MATEMÁTICAS FINANCIERAS. Fundamentos Valor del dinero en el tiempo Equivalencias

Transcripción

1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Fundamentos Valor del dinero en el tiempo Equivalencias

2 Matemática Financiera La MF se ocupa de la aplicación de relaciones matemáticas que ayudan a la comparación de alternativas. Herramienta Ayuda a tomar decisiones.

3 Proceso de decisión Entender el problema, definir el objetivo. Reunir datos e información. Definir y especificar las alternativas. Identificar el criterio (objetivo). Evaluar cada alternativa Elegir la mejor alternativa. Implementar y supervisar

4 Evaluación de las alternativas A cada alternativa le corresponde un flujo de dinero: Entradas y salidas de dinero en diferentes momentos de la vida del proyecto. A cada flujo de dinero le corresponde una medida de valor: Valor Presente, Valor Anual Equivalente, Tasa de Retorno, Periodo de Recuperación.

5 El valor del dinero en el tiempo S/. 10,000 hoy o dentro de un año? Hoy Una misma suma de dinero vale más hoy que dentro de n periodos. Si obtenemos una cantidad de dinero hoy y pagamos por ella dentro de un año, debemos pagar una cantidad mayor. A la diferencia entre estos valores se le llama interés.

6 Interés y tasa de interés Hoy obtenemos S/. 1, y devolvemos dentro de un año S/. 1, Entonces: Interés = S/.1, S/.1, = S/ Tasa de Interés=(50.00/1,000.00)x100%=5% Formula: Interés = Valor Final Valor Inicial Tasa de Interés=(Interés/Valor Inicial)x100%

7 Interés y tasa de interés Ejemplo: Se compra un TV por S/ con un crédito para pagar en un mes la suma de S/ Qué interés estamos pagando? Interés : =20 Estamos pagando 20 soles de interés. Tasa de Interés: (20/500)x100% = 4% Estamos pagando 4% mensual. La tasa de interés debe expresarse asociada al periodo de tiempo: i % anual, mensual, semanal, diaria, etc.

8 Equivalencia Dos sumas de dinero en dos momentos, son diferentes pero pueden ser equivalentes económicamente. Esta equivalencia está determinada por la tasa de interés. S/.100 hoy equivalen a S/.106 en un año? Si, a una tasa de 6% anual. NO, a cualquier otra tasa.

9 El valor del dinero en el tiempo, más de un periodo Cuando tenemos más de un periodo hay que cuidar la relación entre las tasa de interés y el tiempo total que estamos considerando. Hay que tener cuidado en: El trato de los intereses generados La forma de expresar la tasa

10 El trato de los intereses generados: Interés Simple o Interés Compuesto Supongamos S/.100 hoy a una tasa de interés del 10% anual. A cuanto equivale dentro de 2 años? La respuesta depende de cómo tratamos los intereses generados al final del primer año. Este tratamiento se denomina capitalización.

11 Terminología Antes de seguir, para tratar claramente los temas, fijemos alguna terminología: P, VP = Valor o cantidad de dinero en un tiempo determinado como el presente, tiempo 0. F, VF = Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro dado. n = Números de periodos de interés. i = Tasa de interés por periodo.

12 Interés Simple El interés se calcula en cada periodo sobre el principal (capital inicial) Supongamos S/.100 hoy a una tasa de interés simple del 10% anual. A cuanto equivale dentro de 2 años? En cada año se generan S/.10 de intereses. En dos años se generan S/.20 de interesés Al final del segundo año tendremos S/120

13 Interés Simple Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual simple. Cuánto debemos pagar al final? Periodo Interés Final 0 10, ,000.00x6%= , ,000.00x6%= , ,000.00x6%= , ,000.00x6%= , ,000.00x6%= ,000.00

14 Interés Simple VP a n años con i % interés anual simple. Cuánto debemos pagar al final? VF=VP(1 + i x n) Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual simple. Cuánto debemos pagar al final? VF= 10,000(1+0.06x5) =10,000(1.3)=13,000.00

15 Interés Compuesto En el caso del interés compuesto se considera que los intereses generados en un periodo pasan a formar parte del capital Esto quiere decir que los intereses se capitalizan en cada periodo. El interés se calcula en cada periodo sobre el capital total (principal más intereses acumulados).

16 Interés Compuesto Supongamos S/.100 hoy a una tasa de interés compuesto del 10% anual. A cuanto equivale dentro de 2 años? En el primer año se generan S/.100x10%=S/.10 de intereses. El nuevo capital, al final del primer año, es de S/.100 +S/.10=S/.110 En el segundo año se generan S/.110x10%=S/.11 de intereses. Al final del segundo año tendremos S/110+S/.11=S/121

17 Interés Compuesto Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual compuesto. Cuánto debemos pagar al final? Periodo Interés Final 0 10, ,000.00x6%= , ,600.00x6%= , ,236.00x6%= , ,910.16x6%= , ,625.77x6%= ,382.26

18 Interés Compuesto VP a n años con i % interés anual compuesto. Cuánto debemos pagar al final? VF=VP(1+i)n Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual compuesto. Cuánto debemos pagar al final? VF= 10,000(1+0.06)5 = 10,000( )=13,382.26

19 Formas de expresar la tasa de interés Tasa Nominal y Tasa Efectiva Una misma tasa de interés se puede expresar de dos maneras. La Tasa Nominal no toma en cuenta la capitalización periódica o subperiódica. La Tasa Efectiva toma en cuenta las capitalizaciones. Veremos como convertir tasas nominales en efectivas y viceversa.

20 Formas de expresar la tasa de interés Tasa Nominal y Tasa Efectiva Ponemos S/.1,000 al 6% durante un año. Qué pasaría si nos pagan los interesés cada seis meses y estos se capitalizan? A los seis meses ha transcurrido medio (½) año, a este periodo le corresponde: ½ x 6%=3% En seis meses hemos ganado S/.1,000x3%=S/.30, tenemos al medio del año: S/.1, En el segundo medio año ese capital gana el otro 3%: S/.1030x3%=S/ Al final del año tenemos S/.1,060.90, hemos ganado un 6.09% de intereses. En el año, la tasa nominal es 6% pero la efectiva es 6.09%. No son iguales por la capitalización.

21 Equivalencia de Tasas De la Tasa Nominal a La Tasa Efectiva Cuando nos dan una tasa de interés debemos reconocer tres periodos: El periodo de expresión. El período de capitalización. El período efectivo que queremos calcular. Ejemplos: 10% nominal anual capitalizable mensualmente 10% nominal semestral compuesto bimestralmente 8% nominal anual compuesto diariamente 12% nominal mensual compuesto quincenalmente

22 Equivalencia de Tasas La Tasa Efectiva Anual (TEA) Para calcular la tasa efectiva, debemos hacer dos preguntas: Cuántos periodos de capitalización hay en el periodo de expresión? = n Cuántos periodos de capitalización hay en el periodo efectivo de cálculo? = m

23 Equivalencia de Tasas La Tasa Efectiva Anual (TEA) Una tasa nominal anual de 10 % capitalizable mensualmente (i=0.10, n=m=12) nos da una TEA de (1+0.10/12)12-1 = 10.47% 10% nominal semestral compuesto bimestralmente 8% nominal anual compuesto diariamente (1año=360días) 12% mensual compuesto quincenalmente (1 año=52 semanas)

24 Equivalencia de Tasas De la nominal a la efectiva Veamos varias posibilidades:

25 Capitalización continua El limite de la frecuencia de capitalización es la capitalización continua. Cuántos periodos de capitalización hay en el periodo de expresión? Infinitos Cuántos periodos de capitalización hay en el periodo efectivo de cáculo? Infinitos La fórmula en este caso es: i TEA = e 1

26 Efecto de la capitalización

27 Equivalencia de Tasas De TEA a la tasa efectiva Algunos ejemplos: Préstamo, Hipoteca

28 Información financiera

29 Información financiera

30 CENTRUM-PUCP MATEMÁTICAS FINANCIERAS Sesión 2: Flujos de efectivo Equivalencias

31 Terminología En un flujo de dinero identificamos: P, VP = Valor o cantidad de dinero en un tiempo determinado como el presente, tiempo 0. F, VF = Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro dado. A = Cantidad de dinero igual y consecutiva. Serie constante. n = Números de periodos de interés. i = Tasa de interés por periodo.

32 Representación Un flujo se puede representar gráficamente:

33 Calcular el valor futuro sabiendo el valor presente Factor F/P (halla F dado P) Tenemos un valor inicial P puesto a un interés i% a n períodos. Cuál es el valor futuro F? F=P (F/P,i%,n)=Px(1+i)n Ejemplo: Cuál es el valor futuro de S/.1,000 dentro de 4 años a un 3.5% anual? F=1,000x(1.035)4=1,147.52

34 Calcular el valor futuro sabiendo el valor presente Función VF de Excel TASA = i% Nper = n Pago (no se aplica) Va = P Tipo (no se aplica)

35 Calcular el valor futuro sabiendo la anualidad Factor F/A (halla F dado A) Cuál es el valor final de un flujo A durante n períodos a un interés i%? F=A(F/A,i%,n)=Ax[((1+i)n -1)/i] Ejemplo: Cuál es el valor futuro de una serie de pagos de S/. 10,000 al final de los próximos 7 años a una tasa de 11% anual? F=10,000x[((1+0.11)7-)/0.11] =

36 Calcular el valor futuro sabiendo la anualidad Función VF de Excel TASA = i% Nper = n Pago = A Va (no se aplica) Tipo (no se aplica)

37 Calcular el valor presente sabiendo el valor futuro Factor P/F (halla P dado F) Cuánto debo poner hoy a un interés i% durante n períodos para tener un valor final dado? P = F (P/F,i%,n) = F x (1+i)-n Ejemplo: Cuánto vale un bono que me pagará S/.90,000 dentro de 10 años, si la tasa de interés es 2.5% anual? P=90,000x(1.025)-10=70,307.86

38 Calcular el valor presente sabiendo el valor futuro Función VA de Excel TASA = i% Nper = n Pago (no se aplica) Vf = F Tipo (no se aplica)

39 Calcular el valor presente sabiendo la anualidad Factor P/A (halla P dado A) Cuánto vale hoy una serie de pagos A durante n períodos a un interés i%? P=A(P/A,i%,n) n =Ax[((1+i) -1)/(i(1+i)n)] =Ax Ejemplo: Cuál es el valor presente de una serie de pagos de S/. 10,000 al final de los próximos 7 años a una tasa de 11% anual? P=10,000x[((1.11)7-1)/(0.11(1.11)7)] =

40 Calcular el valor presente sabiendo la anualidad Función VA de Excel TASA = i% Nper = n Pago = A Vf (no se aplica) Tipo (no se aplica)

41 Calcular la anualidad sabiendo el valor futuro Factor A/F (halla A dado F) Cuánto debemos depositar durante n períodos a un interés i% para tener un valor F al final? A=F(A/F,i%,n)=Fx[i/((1+i)n -1)] Ejemplo: Cuánto debo depositar cada año, empezando dentro de un año, al 5% anual para acumular S/. 3,500 al final del octavo año? A=3,500x[0.05/((1+0.05)8-1)]=

42 Calcular la anualidad sabiendo el valor futuro Función PAGO de Excel TASA = i% Nper = n Va (no se aplica) Vf = F Tipo (no se aplica)

43 Calcular la anualidad sabiendo el valor presente Factor A/P (halla A dado P) Cuál es el valor A de un flujo durante n períodos a un interés i% para que equivalga a P hoy? n A=P(A/P,i%,n)=Px[(i(1+i) )/((1+i)n =Px -1)] Ejemplo: Si recibo S/.10,000 hoy cuánto debo depositar cada año, empezando dentro de un año, al 5% anual durante 8 años? 8 A=10,000x[(0.05(1.05) )/((1.05)8 A=10,000x -1)]=

44 Calcular la anualidad sabiendo el valor presente Función PAGO de Excel TASA = i% Nper = n Va = P Vf (no se aplica) Tipo (no se aplica)

45 Problemas y ejercicios

46 Ejemplo 01 Dada la tasa nominal del 7%, compuesta mensualmente, calcular la tasa efectiva anual.

47 Ejemplo 02 Si la tasa de interés es de 6% anual, a cuanto equivalen $100 dentro de un año?

48 Ejemplo 03 Supongamos que alguien nos regala un bono del estado de $25 a 8 años. Al vencer el octavo año, el estado pagará al posesor del bono la suma de $25. Cuál seria el valor del bono al momento que lo hemos recibido? Supongamos una tasa de interés del 3% anual.

49 Ejemplo 04 Un contratista ha comprado una escavadora pagando cuotas de $50,000 al año, con un interés del 8% anual por un periodo de cuatro años. Cuál es el valor presente actual de la maquina? Cuál es el valor futuro de la maquina?

50 Ejemplo 05 Cuál es el valor actual de una moto niveladora que ha sido comprada pagando cuotas de $25,000 cada 6 meses por un periodo de 4 años al interés efectivo del 10% anual?

51 Ejemplo 06 Un contratista quiere comprar un cargador cuyo precio es de $350,000. El contratista y el concesionario del equipo han acordado el siguiente plan de pagos: $80,000 al contado. La diferencia en 50 cuotas mensuales al interés del 12%. Cuál es el pago mensual que el contratista debe desembolsar?

52 Ejemplo 07 Si el contratista del problema anterior decide después de 10 meses de pago, extinguir la restante obligación, qué suma tendría que pagar?

53 Ejemplo 08 Un contratista invierte $5,000 por año en certificados de deposito a un interés del 6% por año y planea continuar la inversión por los próximos 6 años. Cuál será el valor de la inversión al final de los 6 años?

54 Ejemplo 09 Un contratista ha comprado un camión al precio de $125,000 y planea usarlo en los próximos 6 años. Después de 6 años de uso, el valor residual del camión es de $30,000. Cuál será el costo anual del contratista por el camión si la tasa de interés es del 10% anual?

55 Ejemplo 10 Una compañía desea acumular una suma de $10,000 haciendo depósitos anuales durante 5 años. Si el interés recibido es el 4% al año, Cuál será el deposito anual?

56 Ejemplo 11 A Carmen le han ofrecido la oportunidad de recibir el siguiente flujo variable de ingresos en los tres años siguientes: Año 1 = $1,000 Año 2 = $2,000 Año 3 = $500 Si Carmen quiere ganar como mínimo 6% de su inversión, Cuánto es lo máximo que debería pagar hoy?

57 Ejemplo 12 Maria desea determinar cuanto debería depositar a fin de cada mes, durante 5 años, para tener acumulados $10,000, para la universidad de su hijo. El tipo de interés es del 10%.

58 Ejemplo 13 Para comprar un automóvil, José pidió un préstamo por $8,500 al % efectivo anual, a pagar en 40 meses. Cuánto deberá pagar todos los meses José?

59 Ejemplo 14 Supongamos que una empresa pide prestado $25,000 que devolverá en tres cuotas iguales al final de cada uno de los 3 años siguientes. El banco pide un 2.5% mensual. A cuanto asciende la cuota a pagar?

60 Ejemplo 16 Supongamos que en 19X1 la empresa BAMSA obtiene beneficios por acción de $2.50 y que en 10 años después el beneficio por acción ha aumentado a $3.7. Cuál es la tasa de crecimiento del beneficio por acción?

61 Ejemplo 17 Usted tiene 65 años de edad y esta considerando si le convienen comprar una anualidad de una compañía de seguros. Por un costo de $10,000, la compañía de seguros le pagara $1,000 anualmente por el resto de su vida. Si usted puede ganar 8% anualmente con su dinero en una cuenta bancaria y espera vivir hasta los 80 años, vale la pena comprar la anualidad?, Cuánto debería vivir para que valga la pena la anualidad?