Teoría de las decisiones y de los juegos Asignatura: Profesores: Sjaak Hurkens y Flip Klijn Examen: 10 de julio 2008

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1 Teoría de las decisiones y de los juegos Asignatura: Profesores: Sjaak Hurkens y Flip Klijn Examen: 10 de julio 2008 Observaciones: Versión: 1 Duración: 2 horas y 30 minutos Documentos autorizados: ninguno Teléfonos móviles: apagados y guardados No se permite hacer el examen con lapiz No se permite arrancar hojas Dar el resultado final sin explicaciones no será considerado como una respuesta válida 1

2 P.1. (25 puntos) Considera el juego en forma normal G = {N; S A, S B ; u A, u B } donde N = {A, B} es el conjunto de jugadores, S A = {a 1, a 2, a 3, a 4 } y S B = {b 1, b 2, b 3, b 4 } los conjuntos de estrategias. Los pagos están resumidos en la matriz de pagos: A\B b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 (5, 2) (2, 4) (3, 3) (2, 1) a 2 (2, 4) (5, 2) (2, 1) (3, 3) a 3 (4, 1) (4, 2) (1, 0) (1, 0) a 4 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (a) Cuáles son las estrategias estrictamente dominadas de A? Y, cuáles son las estrategias estrictamente dominadas de B? Solamente la estrategia a 4 del jugador 1 está estricatemente dominada (por a 1 a 2 y a 3 ). En particular Las estrategias b 3 y b 4 son debilmente dominadas, pero no estrictamente, porque contra a 4 todas las estrategias del jugador 2 obtienen un pago de 0. (b) Cuáles son las estrategias que sobreviven la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas? Determina el juego resultante G. Despues de eliminar a 4 por ser estrictamente dominada, se puede eliminar b 3 (dominada por b 2 ) y b 4 (dominada por b 1 ). Despues ya no se puede eliminar nada. En particular, a 3 no está dominada porque contra la estrategia mixta del jugador 2 que juega b 1 y b 2 con la misma probabilidad 1/2, con a 3 el jugador 1 obtiene un pago de 4, mientras con a 1 y a 2 obtiene 7/2. (c) Determina todos los equilibrios de Nash en estrategias puras del juego G (el juego original). Comprobando todas las mejoras respuestas contra estrategias puras, se comprueba facilmente que no hay ningun equilibrio de nash en estrategias puras. (d) Determina todos los equilibrios de Nash en estrategias mixtas del juego G. Ya sabemos que no hay equilibrio en estrategias puras. Asi que el jugador 2 tiene que utilizar las dos estrategias b 1 y b 2 con probabilidad positiva. Sea 1 > q > 0 la probabilidad que juega b 1. Este jugador tiene que ser indiferente entre las dos estrategias. Asi que el jugador 1 no puede utilizar una estrategia pura, y tiene que utilizar dos o tres de sus estrategias en el equilibrio mixto. Sea (p(a i ) la probabilidad con que juega a i. Si p(a 2 ) = 0, entonces es estrictamente mejor para jugador 2 utilizar b 2 y no b 1. Por tanto, p(a 2 ) > 0. Si tambien p(a 1 ) > 0, entonces el jugador 1 tiene que ser indiferente entre utilizar a 1 y a 2. Este significa que q = 1/2. Pero entonces con a 1 y a 2 obtiene un pago de 7/2 mientras 2

3 con a 3 obtiene 4. Asi que no existe un equilibrio con p(a 1 ) > 0. Asi que p(a 1 ) = 0 y p(a 3 ) > 0. Para ser indiferente entre a 2 y a 3 necesitamos que 2q + 5(1 q) = 4q + 4(1 q), es decir, q = 1/3. para que el jugador 2 es indiferente entre b 1 y b 2, necesitamos es decir p(a 2 ) = 1/3. 4p(a 2 ) + 1(1 p(a 2 )) = 2p(a 2 ) + 2(1 p(a 2 )), 3

4 P.2. (25 puntos) Considera el siguiente juego en forma extensiva. a 3 (7, 5, 2) 2 a 2 3 b 3 a 3 (3, 1, 1) (3, 4, 2) 1 a 1 b 1 b b 3 c 3 d 3 (1, 0, 3) (6, 6, 6) (0, 8, 5) (a) Indica si les afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. (i) Es un juego de información perfecta. Es verdadero o falso? FALSO (ii) Es un juego de memoria perfecta. Es verdadero o falso? VERDADERO (iii) Es un juego repetido. Es verdadero o falso? FALSO (b) Cuál es el conjunto de estrategias del jugador 3? (c) Cuántos subjuegos hay? 3. {a 3 c 3, a 3 d 3, b 3 c 3, b 3, d 3 } (d) Calcula los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras, especificando el perfil, la trayectoria y los pagos. En el subjuego donde jugador 3 decide entre c 3 y d 3, obviamente elige c 3 ya que 6 > 5. En el subjuego empezando con jugador 2, el jugador 2 tiene una estrategia estrictamente dominante a 2 (porque 5 > 4 y 1 > 0). Contra a 2 es mejor para el jugador 3 a 3 (porque 2 > 1). Contra las estrategias de los jugadores 2 y 3 (a 2 y a 3 c 3 ) lo mejor para el jugador 1 es a 1 ya que 7 > 6. EPS: (A 1, a 2, a 3 c 3 ) TRAYECTORIA a 1, a 2 a 3 PAGOS (7, 5, 2). (e) Considera el siguiente perfil de estrategias: (b 1, b 2, b 3 c 3 ). Constituye este perfil de estrategias un equilibrio de Nash en estrategias puras? En caso afirmativo, explicar cuidadosamente por qué es un equilibrio. En caso negativo, explicar cuidadosamente por qué no. 4

5 Si es un equilibrio de Nash (aunque no perfecto en subjuegos) porque Para el jugador 1 b 1 es mejor respuesta: Para el jugador 2 da igual u 1 (a 1, b 2, b 3 c 3 ) = 1 < 6 = u 1 (b 1, b 2, b 3 c 3 ) u 2 (b 1, b 2, b 3 c 3 ) = 6 = 6 = u 2 (b 1, a 2, b 3 c 3 ) Para el jugador 3 tanto b 3 c 3 y a 3 c 3 son mejoras respuestas contr las estrategias de 1 y 2. 5

6 P.3. (25 puntos) Consideramos el juego dinámico de 2 jugadores que consiste en jugar K veces el juego G estático, dado por la siguiente tabla de pagos: 1\2 L C R T (10, 2) (6, 1) (15, 0) M (8, 1) (8, 2) (10, 1) B (6, 2) (4, 1) (12, 4) Los jugadores escogen simultáneamente una acción en la primera etapa. Luego observan el resultado y escogen de nuevo simultáneamente una acción en la segunda etapa. Luego observan el resultado y escogen de nuevo simultáneamente una acción en la tercera etapa. Y asi sucesivamente, hasta alcanzar en total K etapas. Suponemos que no hay descuento (es decir que el pago final es la suma de los pagos de las K etapas). (a) Sea K = 2, es decir se juegan dos etapas. Demuestra que existe un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos en lo cual el jugador 1 obtiene un pago total de 20. Cuál es el pago para jugador 2 en este equilibrio? En la segunda fase, (T, L) es un equilibrio en estrategias puras. Por tanto, jugar (T, L) en la primera fase, y jugar lo mismo en la segunda fase, independiente de lo que haya pasado en la primera fase, es un EPS. El pago para el jugador 2 es = 4. (b) Sea K = 2 Existe algún equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (en estrategias puras) en lo cual los jugadores obtienen los pagos (12, 4) en la primera etapa? En caso afirmativo, especificar el perfil estratégico completo y explicar cuidadosamente por qué es un equilibrio. En caso negativo, explicar cuidadosamente por qué no. Solo hay dos equilibrio de nash en estrategias puras en la segunda fase (T, L) y (M, C). En el primero el jugador obtiene un pago de 10 y en el segundo un pago de 8. En un EPS en estrategias puras hay que jugar un EN en estrategias puras de la segunda fase. Para conseguir un EPS en lo cual se juega (B, R) en la segunda fase, hay que conseguir que el jugador 1 no se desvia, ya que tiene incentivos a hacerlo (15 12). Lo mejor que se puede hacer es utilizar la estrategia de jugar (T, L) en la segunda fase si han jugado (B, R) en la primera, y jugar M, C) en cualquier otro caso. Sin embargo, el castigo de 2 (10-8) no es suficiente para que el jugador 1 no se desvie porque puede ganar 3 (15-12). En otras palabras, la unica manera de conseguirlo seria utilizar la estrategia descrita aquí, pero no es un equilibrio de nash porque si jugador se desvie obtiene = 23 mientras si no se desvia obtiene = 22. (c) Sea K = 3 Existe algún equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (en estrategias puras) en lo cual los jugadores obtienen los pagos (12, 4) en la primera etapa? En caso afirmativo, especificar el perfil estratégico completo y explicar cuidadosamente por qué es un equilibrio. 6

7 En caso negativo, explicar cuidadosamente por qué no. Ahora si que se puede porque se puede castigar y premiar durante los ultimos dos fases. Considera la estrategia jugar (B, R) en fase 1, en caso de cumplirse, jugar (T, L) en fase 2 y 3. En caso de que no se juega (T, L) en fase 1, entonces se juega (M, C) en fase 2 y 3. Ahora no hay incentivos de desviarse (por parte de jugador 1) porque = 32 > = 31. 7

8 P.4. (25 puntos) Considera el siguiente juego con información incompleta entre los jugadores 1 y 2. El azar determina si los pagos de los jugadores son como en la matriz X o como en la matriz Y. La matriz X tiene probabilidad 2/3 de ser seleccionada mientras la matriz Y tiene probabilidad 1/3 de ser seleccionada. El jugador 2 es informado sobre qué matriz ha sido seleccionada, pero el jugador 1 no sabe cuál es la matriz seleccionada. El jugador 1 elige entre las acciones A y B mientras jugador 2 elige simultáneamente entre las acciones I y D. Los pagos son los que se dan en la matriz seleccionada por el azar. 1/2 I D A (3,6) (5,3) B (4,1) (2,3) Matriz X 1/2 I D A (4,1) (3,3) B (0,6) (2,2) Matriz Y (a) Calcula el pago esperado de cada jugador en caso de que el jugador 1 elige la estrategia A y el jugador 2 elige la estrategia DD. u 1 (A, DD) = = 10/3 u 2 (A, DD) = = 3 (b) Cuál es la mejor respuesta para el jugador 2 cuando el jugador 1 elige A? Cuál es la mejor respuesta para el jugador 2 cuando el jugador 1 elige B? En la matriz X lo mejor contra A es I, en la matriz Y la mejor contra A es D. Asi que MR 2 (A) = ID. En la matriz X lo mejor contra B es D, en la matriz Y la mejor contra B es I. Asi que MR 2 (B) = DI. (c) Calcula todos los equilibrios Bayesianos en estrategias puras. Jugador 1 solo tiene dos estrategias puras y las mejoras respuestas del jugador 2 son ID y DI respectivamente. Calculamos las mejoras respuestas del jugador 1 contra estas dos estrategias puras. u 1 (A, ID) = = 3 Asi que MR 1 (ID) = B. u 1 (B, ID) = = 10/3 8

9 u 1 (A, DI) = = 14/3 u 1 (B, DI) = = 4/3 Asi que MR 1 (DI) = A. Asi que no hay equilibrio bayesiano en estrategias puras. 9