DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y FISICA Matemáticas Discreta

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y FISICA Matemáticas Discreta SUCESIONES Y RELACIONES DE RECURRENCIA Esta última sección la dedicamos a presentar el concepto de recurrencia, que esta muy ligado al axioma de inducción y tiene frecuentes aplicaciones en la programación DEFINICIÓN: Una sucesión de elementos X es una función de N a X Sí f: N X es una sucesión y si a n la imagen de n, es decir f(n) = a n, entonces a esta sucesión la denotaremos así: {a n } También se describen las sucesiones presentando sus términos en orden creciente de los subíndices EJEMPLO 1: Sea la sucesión {a n }, donde a n = n 2 La lista de los términos de esta sucesión es a 0, a 1, a 2, a 3,, a n, esto es, 0, 1, 4, 9, 16,,n 2, EJEMPLO 2: Sea la sucesión {b n }, donde b n = n + 5 La lista de los términos de esta sucesión es: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, n+5, EJEMPLO 3: Sea la sucesión {c n }, donde c n = (-1) n La lista de los términos de esta sucesión es 1,-1,1,-1,1,-1,1,,(-1) n, EJEMPLO 4: Sea la sucesión {d n }, donde d n = 1/n La lista de los términos de esta sucesión comienza con d 1 Él termino d 0 es eliminado, ya que la división entre 0 no existe Los primeros términos de esta sucesión son: 1/1, ½, 1/3, ¼, 1/5,,1/n,

2 En los cuatro ejemplos anteriores, la sucesión dada en cada caso quedó perfectamente establecida dado a una fórmula del termino a n, b n, c n, o d n en función únicamente de n Cuando esto sucede, decimos que la sucesión es dada en forma explícita Existe otra manera de establecer una sucesión, que es la siguiente: DEFINICIÓN: Una sucesión es definida recursivamente sí: 1 Se especifican los términos iniciales 2 Se da una regla o fórmula para hallar él termino n-ésimo en función de los términos anteriores EJEMPLO 5: Sea la sucesión {a n }, donde a 0 = 3 y a n = 2 n-1 Hallar: a Algunos de los primeros términos b Una formula explícita de la sucesión a Tenemos : a 1 = 2a 0 = 2(3) =6, a 2 = 2a 1 =2(6) =12, a 3 = 2a 2 = 2(12) =24 a 4 = 2a 3 = 2(24) = 48, a 5 = 2a 4 = 2(48) = 96, etc Luego, algunos de los términos de esta sucesión son: 3, 6, 12, 24, 48, 96, b a n = 2a n-1 = 2(2a n-2 ) = 2 2 a n-2 = 2 2 (2a n-3 ) =2 3 a n-3 = = 2 n a 0 = 2 n (3) = 3x2 n Esto es, a n = 3 x 2 n EJEMPLO 6: Sea la sucesión {b n }, donde b 0 = 1 y b n = nb n-1 Hallar: a algunos de los primeros términos b Una formula explícita de la sucesión

3 Solución a tenemos: b 1 = 1b 0 = 1(1) = 1, b 2 = 2b 1 = 2(1) = 2, b 3 = 3b 2 = 3(2) = 6, b 4 = 4b 3 = 4(6) = 24, b 5 = 5b 4 = 5(24) = 120, etc b b n = nb n-1 = n(n 1)b n-2 = n(n 1) (n 2)b n-3 = n(n 1) (n 2) x x2x1xb 0 = n(n 1) (n 2) x x2x1x1 = n! O sea, b n es el factorial de n Esto es, b n = n! EJEMPLO 7: la sucesión de Fibonacci Sea la sucesión {f n }, donde f 1 = 1, f 2 =1 y f n = f n-1 + f n-2, n > 3 hallar algunos de los primeros términos Solución Tenemos: f 3 = f 2 + f 1 = = 2 f 4 = f 3 + f 2 = = 3 f 5 = f 4 + f 3 = = 5 f 6 = f 5 + f 4 = = 8 f 7 = f 6 + f 5 = = 13 f 8 = f 7 + f 6 = = 21 f 9 = f 8 + f 7 = = 34 f 10 = f 9 + f 8 = = 55

4 f 11 = f 10 + f 9 = = 89 f 12 = f 11 + f 10 = = 144 así, los 12 primeros términos de esta sucesión son; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Observar que en este ejemplo no se pidió hallar una formula explícita de la sucesión Esto se debe que tal formula no es fácil encontrarla De hecho, esta fue hallada años después cuando Fibonacci la planteo en 1202 RELACIONES DE RECURRENCIA Si se tiene una definición recursiva de una sucesión y se busca una solución explícita, la formula recursiva es llamada relación recursiva En términos mas concretos, tenemos la siguiente definición DEFINICIÓN: Una relación recursiva para una sucesión {a n } es una ecuación que expresa a n en términos de uno o mas de los términos previo: a 0, a 1, a 2,, a n-1 Una sucesión es llamada solución de una relación de recurrencia si los términos de la solución satisfacen la relación de recurrencia EJEMPLO 8: sea la relación de recurrencia: a n = 2 n-1 a n-2 determinar si las siguientes sucesiones son soluciones de esta relación de recurrencia 1 {a n }, donde a n = 3n 2 {a n }, donde a n = 4 3 {a n }, donde a n = 3n {a n }, donde a n = 3 n solución:

5 1 Remplazando a n =3n en la relación de recurrencia: a n = 2a n-1 a n-2 =2(3(n 1)) 3(n 2) = 6n 6 3n + 6 = 3n = a n Por lo tanto, {a n }, donde a n = 3n, si es una solución 2 Reemplazando a n = 4 en la relación de recurrencia: a n = 2a n-1 a n-2 =2(4) 4 = 4 = a n por lo tanto, {a n }, donde a n =4, también es una solución 3 Reemplazando a n = 3n + 4 en la relación de recurrencia: a n = 2a n-1 a n-2 = 2[3(n 1) + 4] [3(n-2) +4] = 6n n = 3n + 4 = a n por lo tanto {a n }, donde a n = 3n + 4, también es una solución 4 Reemplazando a n =3 n en la relación de recurrencia: a n = 2a n-1 a n-2 = 2(3 n-1 ) 3 n-2 = 6(3 n-2) 3 n-2 = 5(e n-2 ) = a n por lo tanto, {a n }, donde a n = 3 n, no es una solución Este ejemplo nos dice que una relación de recurrencia puede tener varias soluciones CONDICIONES INICIALES Recordar que una sucesión definida recursivamente, además de la relación de recurrencia, se deben dar los términos iniciales A estos términos iniciales se les llama también condiciones iniciales Así, en la sucesión de Fibonacci, las condiciones iniciales son f 1 = 1 y f 2 = 1

6 RESOLUCION POR ITERACION Un método que surge naturalmente para resolver una relación de recurrencia, es el método de iteracion Este consiste en regresar hacia atrás en la sucesión, mediante la relación de recurrencia, hasta llegar a las condiciones iniciales EJEMPLO 9: Resolver la relación de equivalencia s n = 5s n-1, sujeta a la condición inicial s 0 =7 solución: s n = 5s n-1 = 5(5s n-2 ) = 5 2 s n-2 = =5 n s 0 = 5 n = 5 n (7) = 7x5 n esto es, s n = 7x5 n Siguiendo los mismos pasos seguidos en la solución del ejemplo anterior se demuestra el siguiente teorema TEOREMA 711 La relación de recurrencia a n = ra n-1, donde r es una constante, sujeta a la condición inicial a 0 = k tiene una única solución y está dada por a n = kr n, n > 0 EJEMPLO 10: Hallar la solución de la relación de recurrencia a n = 6ª n-1, sabiendo que a 2 = 108 solución:

7 de acuerdo al teorema anterior, a n = kx6 n, donde k = a 0 Hallemos K Tenemos que a 2 = 108 a 0 = 108/6 2 = 3 k = 3 Por lo tanto, la solución buscada es a n = 3 x 6 n EJEMPLO 11: hallar una formula explícita para b n si se cumple que b n = 2b n 1 +1, Con la condición inicial b 1 = 1 solución: b n = 2b n = 2 (2b n 2 + 1) + 1 = 2 2 b n = 2 2 ( 2b n 3 + 1) = 2 3 b n = 2 n 1 b n n = 2 n n n si s = 2 n n n , Entonces s es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica Aplicando la formula:

8 1 + a + a 2 + +a n 1 = a n - 1/a 1 se obtiene que s= 2 n 1 / 2 1 = 2 n 1 por lo tanto, regresando a la igualdad inicial, tenemos que b n = 2 n 1 RELACIONES HOMOGENEAS LINEALES El método de iteración no siempre funciona Ahora introducimos una nueva técnica para resolver relaciones de recurrencia homogéneas y lineales El concepto lineal significa que cada término con subíndice, aparece elevado a la primera potencia Así la relación siguiente es lineal: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + f(n), donde c 1 y c 2 son constantes y f(n) es una función con dominio el conjunto N Si en la relación anterior se tiene que F(n) = 0, n N La relación es, además, homogénea DEFINICIÓN: Una relación de recurrencia se dice que es homogénea lineal de orden k con coeficientes constantes si es de la forma: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + c 3 a n c k a n k, donde c 1, c 2, c 3, c k son constantes reales y c k = 0 EJEMPLO 12: se tiene que: 1 La relación de Fibonacci: f n = f n 1 + f n 2 es lineal homogénea de grado 2 con coeficientes constantes 2 La relación a n = 3a n 1 + 2a n 4 es lineal homogénea de grado 4 con coeficientes constantes El grado igual a 4 se ve si esta relación la escribimos así: a n = 3a n 1 + 0a n 2 +0a n 3 +2a n 4

9 3 La relación a n = a n 1 + a 2 n-2 es homogénea de grado 2 con coeficientes constantes, pero no es lineal 4 La relación b n = nb n 1 es lineal homogénea de grado 1, pero no tiene coeficientes constantes 5 La relación H n = 2H n es lineal de grado 1 con coeficientes constantes, pero no es homogénea Por razones de simplicidad, nos concentramos solamente en las relaciones de recurrencia lineales homogéneas de grado 2 con coeficientes constantes Esto es, relaciones de tipo: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 a esta relación le asignamos la siguiente ecuación de segundo grado: x 2 c 1 x c 2 = 0, que escribe el nombre de ecuación característica de la relación dada A las raíces de esta ecuación las llamadas raíces características de la relación Las raíces características nos proporcionan la solución de la relación de recurrencia, en la forma que indica el siguiente teorema TEOREMA 712: Sea la relación de recurrencia a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 (1) con su correspondiente ecuación característica x 2 c 1 x c 2 = 0 (2) 1 si la ecuación característica tiene dos raíces distintas, r 1 y r 2, entonces: n a n = α + n r 1 β r2 Donde ά y β son constantes que dependen de las condiciones lineales, es la formula explícita para la sucesión

10 2 si la ecuación característica tiene una sola raiz r ( r 1 = r 2 = r), entonces a n = n α r + β n r n donde ά y β son constantes que dependen de las condiciones iniciales, es la formula explícita para la sucesión EJEMPLO 13: Resolver la relación de recurrencia a n =a n 1 + 2a n 2, con condiciones iniciales a 0 = 9 y a 1 = 3 Solución: La relación dada es homogénea lineal de orden 2 con coeficientes constantes En consecuencia, podemos utilizar el teorema anterior para resolver el problema La ecuación característica correspondiente es: x 2 x 2 = 0, cuyas raíces son r 1 = 2 y r 2 = -1 por parte 1 del teorema, la solución es la susecion {a n }, donde n n α r 1 + β r2 a n = debemos hallar el valor de los coeficientes ά y β De las condiciones iniciales se sigue que 9 = a 0 = ά β (-1) 0 y 3= a 1 = ά β (-1) 1 o sea el sistema de 2 ecuaciones: ά + β = 9 2ά - β = 3 cuya solución es ά = 4 y β =5 Por lo tanto, la solución de la relación de recurrencia es la sucesión {a n }, donde a n = 4x2 n + 5(- 1) Prof: Gerardo Chacón