Átomo de hidrógeno. z = r cos θ B = A = r sen θ x = A cos φ = r sen θ cos φ y = A sen φ = r sen θ sen φ

Transcripción

1 Coordenadas esféricas polares La ecuación de Schroedinger para el átoo de hidrógeno debe resolverse en coordenadas esféricas polares (r θφ) que guardan la siguiente relación con las coordenadas cartesianas (xyz): z r cos θ B A r sen θ x A cos φ r sen θ cos φ y A sen φ r sen θ sen φ

2 Hailtoniano Ya vios que el hailtoniano del átoo de hidrógeno es el siguiente: Hˆ h M N h e Ze κ r Schroedinger deostró que el cabio de las seis coordenadas ( x y z x y z ) N N por otras seis N ( X Y Z rθ φ ) e e e donde (XYZ) serían las coordenadas del centro de asa del átoo y (r θφ) las coordenadas esféricas polares del electrón con el núcleo coo origen nos conduce a la separación de la ecuación de Schroedinger en dos ecuaciones: una que expresa y deterina el oviiento traslacional del átoo coo un todo y otra fundaentalente electrónica que describe el oviiento relativo del electrón con respecto al núcleo.

3 Ecuación electrónica La ecuación electrónica es la siguiente: h µ Ze κ r ( r θ φ ) E( r θ φ ) donde µ es la asa reducida del sistea electrón núcleo. Para resolver esta ecuación coo la energía potencial sólo depende de la coordenada r y no de θ y φ se acepta una separación de variables es decir una función de onda que pueda escribirse coo: ( r θ φ) R( r) Θ( θ ) Φ( φ) Las condiciones a la frontera para resolver la ecuación electrónica son: 1) La función Θ(θ) debe ser univaluada es decir Θ(θ) Θ(θ+π) ) La función Φ(φ) tabién es univaluada Φ(φ) Φ(φ+π) 3) La función R(r) debe tender a cero para distancias grandes del núcleo: ( r) 0 li r R Cada una de estas condiciones a la frontera introduce un núero cuántico en la solución. La últia condición a la frontera introduce el núero cuántico principal n. La segunda condición a la frontera introduce un núero cuántico aziutal l que toa valores desde 0 hasta n-1. La priera condición a la frontera introduce un núero cuántico agnético que toa valores desde l hasta +l. Así nos queda una función de onda dependiente de tres núeros cuánticos: ( r θ φ ) R ( r) Θ ( θ ) Φ ( φ ) n l n l l con n 1 es decir n 13 l 0 1 (n-1) l l-1 0 -l+1 -l

4 Núeros cuánticos Para n 1 el único valor de l es 0 y de es 0 tabién Para n hay dos valores posibles para l 0 1. En este últio caso puede toar tres valores Para n 3 hay tres valores posibles para l 0 1. En este últio caso puede toar cinco valores Para n 4 hay cuatro valores posibles para l En este últio caso puede toar siete valores Y así sucesivaente. Teneos de esta anera un sinnúero de funciones de onda posibles: 1 00( r θ φ ) R10 ( r) Θ00( θ ) Φ0( φ ) función 1s ( φ ) R ( r) Θ ( θ ) Φ ( φ) 00 θ r función s ( r θ φ ) R1( r) Θ11 ( θ ) Φ1( φ ) ( r θ φ ) R1( r) Θ10 ( θ ) Φ 0 ( φ ) ( φ ) R ( r) Θ ( θ ) Φ ( φ ) θ r funciones p ( φ ) R ( r) Θ ( θ ) Φ ( φ ) r función 3s 3 00 θ ( r θ φ ) R31( r) Θ11 ( θ ) Φ1( φ ) ( r θ φ ) R31( r) Θ10 ( θ ) Φ 0( φ ) ( φ ) R ( r) Θ ( θ ) Φ ( φ ) θ r funciones 3p

5 Núeros cuánticos ( r θ φ ) R3 ( r) Θ + ( θ ) + ( φ ) 1( r θ φ ) R3 ( r) Θ + 1( θ ) + 1( φ ) ( r θ φ ) R3 ( r) Θ0 ( θ ) Φ 0( φ ) 1( r θ φ ) R3 ( r) Θ 1( θ ) Φ 1 ( φ ) ( φ ) R ( r) Θ ( θ ) Φ ( φ ) 3 + Φ 3 + Φ θ 3 r funciones 3d ( φ ) R ( r) Θ ( θ ) Φ ( φ) 4 00 θ r función 4s Y así sucesivaente.

6 Funciones radiales Las seis prieras funciones radiales se presentan en la siguiente tabla: Favor de notar: 1) Las funciones s no valen cero para r 0 ) Las funciones p d f valen cero para r 0 3) Las funciones se ven doinadas por una función exponencial negativa con exponente Zr/na 0 Debido a ello decaen ás lentaente confore n crece.

7 Funciones angulares Las funciones angulares puras del átoo de hidrógeno se presentan en la siguiente tabla: Favor de anotar lo siguiente: 1) La única función que no depende de los ángulos θ y φ es la función s ) De las tres funciones p dependen de un polinoio trigonoétrico lineal de θ y sólo la p z es una función de valor real 3) Las otras dos funciones p dependen de e iφ 4) Las cinco funciones d dependen de un polinoio trigonoétrico cuadrado de θ y tabién de e iφ razón por la cual sólo la dz (con 0) es una función de valor real.

8 Funciones radiales Las gráficas de las prieras funciones radiales de tipo s se dan en los siguientes diagraas:

9 Funciones radiales Las gráficas de las siguientes funciones radiales de tipo p y d se dan en los siguientes diagraas:

10 Funciones angulares reales A partir de las funciones angulares originales pueden obtenerse ediante cobinaciones lineales adecuadas funciones de valor real. Ello se logra a partir de la ecuación: ± φ e i cos φ ± i senφ De la que podeos obtener las funciones trigonoétricas a partir de cobinaciones de funciones exponenciales iaginarias: e cos φ sen φ e iφ iφ + e e i iφ iφ De aquí que las siguientes cobinaciones de las funciones angulares originales sean de valor real llaadas arónicos esféricos Y(θφ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) + Θ ( θ ) ( φ ) Y l cos Y lsen Θ l l l Φ ( θ ) Φ ( φ ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) i l Así por ejeplo con l1 obteneos las funciones de valor real: 1/ iφ ( 3 / 8π ) senθ e + ( 3 / 8π ) 1/ iφ 1 senθ e 3 Y 1cos senθ cosφ 4π 1/ iφ ( 3/ 8π ) senθ e ( 3 / 8π ) 1/ iφ 1 senθ e 3 Y 1sen senθ senφ i 4π 1/ 1 / p p x y

11 Funciones angulares reales Las funciones angulares de valor real ás epleadas son las siguientes:

12 Funciones angulares reales Vaos a graficar los arónicos esféricos Y 10 (θφ) p z Y 0 (θφ) d z sobre un plano que contenga al eje z ya que sólo dependen de θ Luego vaos a graficar los arónicos esféricos Y 1 1cos(θφ) p x Y 1 cos(θφ) d xz sobre el plano xz o sea con φ0 valor para el cual cosφ 1 Y los arónicos esféricos Y cos(θφ) d x-y Y sen(θφ) d xy Sobre el plano xy o sea con θ90 valor para el cual sen θ 1