Tensores cartesianos.

Transcripción

1 Tensores cartesianos. Transformación de coordenadas. Consideremos dos sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales en el plano, identificados como σ y σ. Supongamos que ambos tienen un origen común, y que los ejes de σ pueden obtenerse rotando un ángulo θ los ejes de σ. Utilizando las notaciones habituales, un punto P puede identificarse por (x,y) en σ y por (x,y ) en σ. La relación entre las coordenadas viene dada por { x = xcos(θ) + y sin(θ) y () = xsin(θ) + y cos(θ) Una notación más adecuada para tratamientos posteriores se construye con las siguientes identificaciones: x = x, y = x 2, x = x, y = x 2. con lo que la transformación anterior toma la forma { x = a x + a 2 x 2 x 2 = a (2) 2x + a 22 x 2 donde las constantes a ij deben reinterpretarse por comparación. Un formato compacto en componentes será 2 x i = a ij x j (3) Con esta notación puede utilizarse un formato matricial del tipo que explícitamente significa ( x x 2 ) = X = A X (4) ( a a 2 a 2 a 22 ) ( x Pasemos ahora al caso tridimensional. Las expresiones (??) y (??) toman la forma x x 2 x 3 = x 2 ) x i = a ij x j (6) a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 x x 2 x 3 (5) (7) La matriz A se llama matriz de transformación. Si las coordenadas vinculadas por A son ortogonales, entonces puede probarse que los coeficientes a ij deben satisfacer que Esto también se puede expresar como, a ij a kj = δ ik (8) A A T = A T = A (9)

2 2 Tensores cartesianos. Los tensores en general serán objetos algebraicos que admiten ser definidos a través de sus propiedades de transformación ante cambios de sistemas de coordenadas. Cuando las coordenadas involucradas son cartesianas ortogonales, se dice que los tensores son cartesianos ortogonales, cuyo tratamiento nos ocupará de aquí en adelante. a) Tensores de rango o escalares: Se trata de cantidades que permanecen invariantes ante transformaciones de coordenadas. φ = φ () Ejemplos de tales cantidades en la física son: la temperatura, la distancia y el tiempo en la mecánica clásica, el intervalo en la relatividad especial, etc. b) Tensores de rango o vectores: Son arreglos ordenados de tres cantidades que se transforman mediante la regla siguiente: v i = a ij v j V = A V () Ejemplos físicos de estos tensores son la posición, velocidad y aceleración clasicas, las fuerzas, la cantidad de movimiento, etc. c) Tensores de rango 2: Son arreglos ordenados de 9 cantidades que se transforman mediante la regla l= k= a il a jk t lk = l= k= a il t lk a jk (2) donde los elementos t ij admiten una representación matricial t t 2 t 3 T = t 2 t 22 t 23 T = A T A T (3) t 3 t 32 t 33 En la física resultan tensores de esta clase la tensión en los sólidos (de allí el origen de la denominación tensor ), el tensor de inercia, el tensor del campo electromagnético, etc. d) Tensores de rango 3: Son arreglos ordenados de 27 cantidades que se transforman como sigue t ijk = l= m= n= a il a jm a kn t lmn (4) Una representación matricial debiera ser tridimensional. Nótese que esto no es práctico en el papel, pero no trae inconvenientes computacionales. 3 Producto de tensores. Sean u i,...,i n y v j,...,j m las componentes de dos tensores de rangos n y m respectivamente. El producto tensorial se define como un nuevo tensor de rango n + m, cuyas componentes son t i,...,i n,j,...,j m = u i,...,i n v j,...,j m (5)

3 Las igualdades entre componentes de tensores siempre deben vincular objetos del mismo rango. Para controlar que así sea, bastará con observar que a cada lado de la igualdad haya el mismo número de subíndices. Estas igualdades deben preservarse ante transformaciones de coordenadas. El caso de mayor interés práctico a nuestros fines es el producto tensorial siguinte: Consideremos un tensor T de rango 2 que se obtiene por el producto de las componentes de dos vectores U y V (tensores de rango ). Observemos la consistencia ante transformaciones. t ij = u i v j (6) k= l= k= l= k= a ik u k Con esto verificamos que la igualdad se preserva en la transformación. a ik a jl t kl (7) a ik a jl u k v l (8) l= a jl v l (9) u i v j (2) 4 Contracción de subíndices en producto de tensores. Sean u i,...,i n y v j,...,j m las componentes de dos tensores de rangos n y m respectivamente. El producto tensorial con contracción del subíndice s es un nuevo tensor de rango n + m 2 cuyas componentes se construyen mediante la siguiente regla: Se eligen los subíndices i s y j s2 (subíndices a contraer). ambos se reemplazan por el subíndice común s. Entonces t i,...,i s,i s+,...,i n,j,...,j s2,j s2+,...,j m = s= u i,...,i s,s,i s+...,i n v j,...,j s2,s,j s2+...,j m (2) Esta definición puede extenderse inmediatamente para el caso de contracción múltiple (dejamos a cargo del lector). Como ejemplo de contracción simple, tomemos el caso de dos tensores de rango 2. t ik = u ij v jk (22) Otro ejemplo típico es el producto escalar de dos vectores (tensor de rango ) t = u i v i (23) i=

4 5 Diagonalización de tensores de rango 2. Veremos que para todo tensor de rango 2 simétrico y de componentes reales, existe un sistema de coordenadas en el cual dicho tensor resulta diagonal, y sus componentes no nulas son reales. El proceso por el cual se determina la transformación y se encuentra la forma del tensor, se denomina diagonalización. En ciertas aplicaciones, los ejes del sistema en los que el tensor es diagonal se llaman ejes principales. Comencemos por hacer el producto de un tensor de rango 2 por un vector contrayendo subíndices, con lo que obtendremos otro vector. w i = t ij v j W = T V (24) Busquemos ahora un vector V, tal que W sea paralelo a V. En este caso decimos que V es autovector de T. Entonces A λ se lo llama autovalor de T. Entonces w i = λ v i W = λv (25) t ij v j = λ v i T V = λ V (26) Ahora operamos en forma matricial t t 2 t 3 t 2 t 22 t 23 t 3 t 32 t 33 que en notación compacta toma la forma t λ t 2 t 3 t 2 t 22 λ t 23 t 3 t 32 t 33 λ v v 2 v 3 = λ v v 2 v 3 v v 2 v 3 (27) = (28) (T λ Id) V = (29) Este es un sistema de tres ecuaciones homogéneas en v, v 2 y v 3. Para que la solución sea distinta de la trivial, debe anularse el determinante T λ Id = (3) t λ t 2 t 3 t 2 t 22 λ t 23 t 3 t 32 t 33 λ = (3) Resulta una ecuación de tercer grado en λ cuyas soluciones serán λ, λ 2 y λ 3. Una vez obtenidos estos valores, se determinan las familias de autovectores V correspondientes a cada autovalor λ.

5 Veremos ahora que los autovalores λ son reales. Para ello multiplicamos (??) por v i. Sumamos sobre i y despejamos λ. i= t ij v j v i = λ i= v i v i (32) λ = 3i= 3 t ij v j v i 3i= v i v i (33) Calculamos el complejo conjugado, recordando que t ij es simétrico (t ij = t ji ), y real (t ij = t ij ). λ = 3i= 3 t ij v j v i 3i= v i v i (34) λ = 3i= 3 t ji v j v i 3i= v i v i (35) Entonces los autovalores son todos reales. Ahora probaremos que dos autovectores correspondientes a distintos autovalores son siempre ortogonales. Para ello planteamos las ecuaciones de autovectores a) λ α vi α = b) λ β v β i = t ij v α j (36) t ij v β j (37) multiplicamos a por v β i y b por vi α, sumamos sobre el subíndice i y restamos miembro a miembro (λ α λ β ) i= vi α v β i = i= t ij (v α j v β i vβ j vα i ) (38) El segundo miembro se anula en virtud de la simetría de t ij. Entonces el primer miembro también es nulo. Dado que λ α es distinto de λ β, debe cumplirse que i= v α i v β i = (39) con lo cual queda demostrado que los autovectores son ortogonales. Normalizando los autovectores obtenidos, se puede construir una base ortogonal, que denotaremos por {V,V 2,V 3 }. Entonces siempre puede encontrarse una transformación que sitúe los ejes en las direcciones de los vectores de esta base. En dicho sistema, la base transformada será V = V 2 = Transformando el tensor a los nuevos ejes tenemos que V 3 = (4) T V = λ V (4)

6 t t 2 t 3 t 2 t 22 t 23 t 3 t 32 t 33 = λ (42) Haciendo lo mismo con V 2 y V 3 se concluye que con lo que el tensor queda diagonalizado. t = λ t 2 = t 3 = (43) t 2 = t 22 = λ 2 t 32 = (44) t 3 = t 23 = t 33 = λ 3 (45) T = λ λ 2 λ 3 (46)