Los sistemas coordenados sirven para localizar puntos en el espacio. La localización de un punto se obtiene por intersección de tres superficies.

Transcripción

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2 Los sistemas coordenados sirven para localizar puntos en el espacio. La localización de un punto se obtiene por intersección de tres superficies. La intersección de dos superficies da lugar a una línea. En un plano, la posición de un punto está determinada por la intersección de dos líneas

3 Por tanto, para localizar un punto necesitaremos tres superficies. El parámetro característico de la superficie nos dará la coordenada. No obstante, además de las superficies (coordenadas geométricas) necesitaremos también unos elementos de referencia. Por ejemplo, el parámetro característico de una esfera es el radio (coordenada), y el elemento de referencia su centro (punto). El parámetro característico de un cono es su ángulo de semiapertura (coordenada) y el elemento de referencia su eje (línea).

4 SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR Las superficies de referencia son tres planos perpendiculares entre sí (XY, XZ, YZ), denominados planos coordenados. Lo que comúnmente se denominan ejes coordenados son la intersección de cada par de elementos de referencia. La intersección es debida a tres planos que pasan por el punto P y que son paralelos a los de referencia. Su característica geométrica (coordenada) es la distancia al plano de referencia. El plano por tanto es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del plano de referencia.

5 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS Por un origen arbitrario se pasa un plano de referencia. Sobre el plano se traza la recta de referencia, indicando su sentido positivo. Las coordenadas de P quedan especificadas por el corte de tres superficies. Superficie 1: plano paralelo al plano de referencia (superficie con z=cte) Superficie : plano que pasa por O y P normal al plano de referencia (superficie con φ=cte respecto al plano perpendicular al de referencia y que contiene a la línea de referencia) Superficie 3: cilindro circular recto con eje normal al plano de referencia y contiene al origen (superficie con ρ=cte)

6 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS El radio ρ es la coordenada radial de P. φ es la coordenada polar del punto P. Es el ángulo φ entre la parte positiva de la recta de referencia y el plano que pasa por O y P, medido en sentido antihorario. La coordenada z del punto P es la distancia más corta entre P y el plano de referencia.

7 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS Por un origen arbitrario se pasa un plano de referencia. Por el origen pasamos dos rectas perpendiculares entre sí (líneas de referencia) y asignamos sentido positivo a ambas. Las coordenadas de P quedan especificadas por el corte de tres superficies. Superficie 1: esfera con centro en el origen y radio r (superficie con r=cte) Superficie : plano con φ constante, donde φ es un ángulo medido en sentido antihorario a partir de la dirección positiva de la recta de referencia que está en el plano de referencia (superficie con φ=cte) Superficie 3: cono de semiapertura θ, con vértice en el origen y cuyo eje es la parte positiva de la recta de referencia perpendicular al plano de referencia. θ es el ángulo medido en el plano φ=cte a partir del plano de referencia (superficie con θ=cte)

8 EJEMPLO: LA TIERRA Explicar un sistema de coordenadas adecuado para definir la posición de un punto en la Tierra El plano de referencia es el plano del Ecuador, por el que pasamos las líneas de referencia. Superficie 1: esfera terrestre de radio r (superficie con r=cte=6370 km) Superficie : plano con φ constante, que nos da la longitud. Se ha elegido el plano que pasa por el Real Observatorio de Greenwich (Londres, Gran Bretaña). Superficie 3: cono de semiapertura θ que nos da la latitud

9 ELEMENTO DIFERENCIAL DE RECORRIDO El diferencial de recorrido dl asociado a una coordenada i dl i se define en la dirección de máxima variación de la coordenada y sentido el de aumento de la coordenada. La dirección por tanto es perpendicular a la superficie de coordenada constante. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas (que son las más sencillas) o en cilíndricas podemos ver dos ejemplos: dl y =dy Perpendicular al plano y=cte dlρ=dρ Perpendicular al plano ρ=cte

10 Para cualquier coordenada por tanto podemos definir los vectores unitarios como: u = i dli dl i Así, los vectores diferenciales de recorrido y de superficie serán: ds i = ds i u i dl i = dl i u i Cualquier superficie S i por tanto es perpendicular al plano de coordenada i constante.

11 SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR Segmento elemental de recta con dirección arbitraria en un sistema cartesiano: dl Elemento de longitud dl x normal al plano x=cte: dl x =dx Elemento de longitud dl y normal al plano y=cte: dl y =dy Elemento de longitud dl z normal al plano z=cte: dl z =dz La magnitud del elemento de longitud en una dirección arbitraria es: dl = dl x + dly + dlz = dx + dy + dz

12 SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR ds x =dy dz ds y =dx dz ds z =dx dy dv=dx dy dz

13 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS La magnitud del elemento de longitud dl ρ en el punto P normal al cilindro ρ=constante, esto es, en los planos φ=constante, z=constante es: dlρ=dρ La magnitud del elemento de longitud dl φ en el punto P normal al plano φ=constante, esto es, en el cilindro ρ=constante y el plano z=constante es: dl φ =ρdφ La magnitud del elemento de longitud dl z en el punto P normal al plano z=constante, esto es, en el cilindro ρ=constante y en el plano φ=constante es: dl z =dz

14 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS ds ρ =ρdφdz ds φ =dρdz dv=ρdρdφdz ds z =ρdρdφ

15 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS La magnitud del elemento de longitud dl r en la dirección radial normal a la esfera r=constante es: dl r =dr La magnitud del elemento de longitud dl φ en la dirección azimutal normal al plano φ=constante es: dl φ =rcosθdφ Y la de l θ es: dl θ =rdθ

16 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS La magnitud de los elementos de área ds r, ds φ y ds θ en P que están sobre la esfera de radio r, el plano φ=constante y el cono de semiapertura θ=constante, están dadas por: ds r =r cosθdφdθ ds φ =rdrdθ ds θ =rcosθdrdφ Y el elemento de volumen dv estará dado por: dv=r cosθdrdφdθ

17 CAMBIO DE COORDENADAS Si la posición de P está dada en coordenadas cilíndricas por P(r, q, z), y deseamos determinar sus coordenadas cartesianas, suponiendo el mismo origen, podemos ver que: x=ρcosφ y=ρsenφ z=z Inversamente, si P está dado en coordenadas cartesianas, sus coordenadas cilíndricas están dadas por: ρ = x + y y φ = arc tan x z=z

18 CAMBIO DE COORDENADAS Si P está dada en términos de sus coordenadas esféricas P(r, θ, φ), y deseamos dar la posición de P en coordenadas cartesianas, entonces: x=rsenθcosφ y=rsenθsenφ z=rcosθ Si deseamos determinar las coordenadas de P en coordenadas esféricas cuando P está dado en coordenadas cartesianas vemos que de las ecuaciones anteriores: r = x + y + z y φ = arc tan x θ = arcsen x z + y + z

19 Si las coordenadas cilíndricas de P son: CAMBIO DE COORDENADAS ρ=rcosθ φ=φ z=rcosθ donde r, θ, φ son las coordenadas esféricas de P, P(ρ, φ, z) pueden ser transformadas a P(r, θ, φ) por medio de: r = ρ + z φ=φ ρ θ = arctan z = arccos ρ z + z