PROBLEMAS RESUELTOS DE MÉTODOS GENERALES PARA RESOLVER PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS

Transcripción

1 UNIVRSIDAD NACIONAL DL CALLAO FACULTAD D INGNIRÍA LÉCTRICA Y LCTRÓNICA SCULA ROFSIONAL D INGNIRÍA LÉCTRICA CURSO: TORÍA D CAMOS LCTROMAGNÉTICOS ROFSOR: Ing. JORG MONTAÑO ISFIL ROBLMAS RSULTOS D MÉTODOS GNRALS ARA RSOLVR ROBLMAS LCTROSTÁTICOS oblem Nº Ciet densidd de cg volumétic en el espcio libe ví como ρ,5 /. Utilindo l ecución de oisson encuente si se supone que cundo, mients que cundo. b Ao encuente usndo l ley de Guss y un integl de líne. Resolución Cálculo de utilindo l ecución de oisson n el espcio libe o vcío, l ecución de oisson viene dd po:... ρ o o condición: ρ /,5 Reemplndo ρ en, tenemos:...,5 Se sbe que en coodends esféics, cundo depende de l coodend, el Lplcino qued: el potencil eléctico sólo Luego, l ecución equivle : d d d d d d,5 d d

2 st ecución es un ecución difeencil de do gdo. esolvel, despejo d e intego po pime ve y obtengo: d d d d d d,5,5 C d C d,5, luego: A continución, intego po segund ve y obtengo: 4 C C, De l ecución 3 se obsev que p conoce el potencil necesito conoce el vlo de ls constntes C y C. ll ests constntes, pimeo clculo el cmpo eléctico, plicndo gdiente de potencil, y luego plicmos ls condiciones de fonte dds en el poblem. s deci: C,5 $... 4 Hllo ls constntes C y C plicndo ls Condiciones de Fonte C.F.: C.F. cundo vlundo est condición en l ecución 4, qued: C,5 cundo Resolviendo obtengo que: C d C.F. cundo vlundo est condición en l ecución 3, qued: 4,5 C C cundo ; se lló que C 4 Luego: C C Finlmente eemplo ls constntes C y C en l ecución 3 y obtengo l función potencil :,5 4 4 Volt

3 b Cálculo de utilindo l Ley de Guss y un integl de líne: o Ley de Guss, en su fom integl, tenemos: Q d S ; Q ρ dv... I V S o condición del poblem: ρ.5 Reemplndo est condición, sí como los vectoes y ds senθ dθ dφ, y el elemento difeencil de volumen, l dv senθ dθ dφ d ecución I qued: π π π π o senθ dθ d φ,5 θ o φ θ φ senθ dθ dφ d π π,5 π d senθ dθ dφ θ φ,5 4π 8π,5 $,5 ll, conociendo el cmpo eléctico, utilio: d Al eempl $,5 y d d d, tenemos:,5,5 4 C... II ll l constnte C plicmos l condición de fonte siguiente: Si Luego: 4 C C Reemplndo l constnte C en l ecución II, tenemos: 4 Volt

4 oblem Nº Desde el punto de vist electostático l tie puede considese como un esfe conducto con cg negtiv y oded de un tmósfe cgd positivmente. L mgnitud del cmpo eléctico en l supeficie es de unos V/m, y un ltu de m disminuye st unos V/m. Hst es ltu, m, l densidd volumétic de cg puede considese constnte. Considee que el dio de l tie es R 6 4 Km. Detemine l densidd de cg supeficil medi de l tie. b Clcule l densidd de cg volumétic de l tmósfe st l ltu indicd. c Si tommos el potencil de l tie como efeenci volt Cuál seá su vlo m? Not: puede poimse el poblem medinte un geometí pln, y que << R. Resolución Según el enuncido nuesto modelo de tmósfe es el siguiente: V y Q?? m tmósfe Supeficie teeste $n V y m Se obsev que el modelo de tmósfe se v compot como un cpcito plno Cálculo de σ densidd de cg supeficil de l tie: Se sbe que l densidd de cg supeficil viene dd po: σ n Según dtos: V $ p ; demás n $ $ m Luego: σ $ σ

5 F Reemplndo 8,85., se obtiene que: σ m m b Clculo de ρ densidd de cg volumétic 77 pc o ecución de oisson: ρ... n coodends ectngules, cundo el potencil sólo depende de l coodend, el lplcino de qued: Reemplndo en : d ρ d e d d Resolviendo est ecución difeencil de segundo gdo intego dos veces, obtenemos: ρ C C... Aplico l condición de fonte: ; si vlundo l ecución p, obtenemos: C Además, sbemos que: d d $, entonces: ρ C $ C ρ... 3 V V Aplico condición de fonte: C m m ρ V Reemplndo C en 3 obtengo:... 4 m V o condición de fonte: si m m vlundo l ecución 4 p m obtenemos: c Cálculo de p m : Se lló que: Luego, si m ρ 9. ρ 7,965. ρ 3 3 5,. Volt C m

6 oblem Nº 3 pc n coodends cilíndics, l densidd volumétic de cg es ρ v ρ m 3 en ρ m y V en ρ 4m, los cules se deben l distibución de l cg, lle: en ρ 3m ; b en ρ m * Considee que se tt de un poblem de electostátic en el vcío.. Si Resolución Cálculo de en ρ 3m o ecución de oisson, en el vcío, se cumple: ρv... o condición: C v 3 ρ ρ m, luego, l ecución qued: ρ... n coodends cilíndics, cundo potencil eléctico sólo depende de ρ, el lplcino qued: ρ ρ ρ ρ o lo tnto l ecución equivle: ρ ρ ρ ρ ρ Resolviendo est ecución difeencil, obtenemos: ρ A Ln ρ B... 3 Hllmos ls constntes A y B plicndo ls condiciones de fonte C.F. siguientes: C.F. Si ρ m : ρ V vlundo l ecución 3 p ρ m, tenemos: B B

7 d C.F. Si ρ 4m : ρ 4 V vlundo l ecución 3 p ρ 4 m, tenemos: 4 V A Ln4 A V 3 V Ln4 A 7,348 V,64 V Reemplndo en 3:,64 ρ 7,348 Ln ρ V vlumos p ρ 3m : ρ 3 79,67 V b Cálculo de cundo ρ m : Se sbe que: n coodends cilíndics, cundo sólo depende de l coodend ρ, el gdiente seá: $ ρ ρ Luego:,64 7,348 $ ρ ρ vlundo p ρ m obtenemos: 36,6 V ρ $ m

8 oblem Nº 4 Dos conos conductoes coiles tienen sus vétices en el oigen y están definidos po θ 4º y θ 55º. l cono inteio está un potencil de V, mients que el eteio está 5 V. Un pequeñ cntidd de islnte impide que los conos se toquen; encuente θ ; b detemine en,6 m ; θ 45º ; φ 6º ; c Clcule ; θ ; d encuente en ; e especifique l cg totl sobe l supeficie θ 4º ;,m< <,5 m ; º < φ < 7º, suponiendo p 4º < θ < 55º. Resolución Según el enuncido l figu es l que se muest continución: vcío Donde: θ θ V V θ 4º θ 55º 5V Aislnte Cálculo de θ : Cundo el potencil sólo depende de l coodend θ, l solución l ecución de Lplce utili, en coodends esféics, es: θ θ A Ln tg B... Hllmos ls constntes A y B plicndo ls condiciones de fonte C.F. siguientes: C.F. Si θ 4 θ 4º V vlundo l ecución p θ 4º d C.F. Si θ V V A Ln tg º B... θ, tenemos:

9 vlundo l ecución p θ 55º, tenemos: 5 V Ln tg 7,5 B... 3 Resolviendo ls ecuciones y 3, obtenemos: A 4 9, 7473 V ; B 36,53 V Reemplndo en l ecución tenemos: θ θ 4 9, 7473 Ln tg 36,53 V O tmbién: θ θ 4,9 Lntg,4 kv b Cálculo de p,6 m ; θ 45º ; φ 6º vlundo en l ecución del potencil obtenid en, tenemos:,458 kv c Cálculo de, θ Como y se clculó el potencil eléctico, el cmpo eléctico se ll plicndo gdiente de potencil. s deci:. Hllndo el gdiente de, en coodends esféics, esult: 4,9 kv $ θ senθ m d Cálculo de en,6 m ; 45º ; 6º: vlundo en el punto obtenemos: 9,88 $ θ kv m e Cálculo de l cg totl sobe l supeficie θ 4º ;,m< <,5 m ; º < φ < 7º, suponiendo p 4º < θ < 55º. o ley de Guss: Q d S. Despejndo Q obtenemos: S Q S d S Reemplndo los vectoes y ds tenemos: θ,5 7º,5 7º 4,9 Q $ θ sen4º dφd $ 4,9 d dφ sen4º, º, º Q 8, 4nC

10 oblem Nº 5 Los dos plnos conductoes mostdos en l figu están definidos po, m < ρ <, m ; < <,m ; φ,79 d y φ,88 d. l medio que ode los plnos es ie. l egión ;,79 d < φ <,88 d despecie los efectos de bode y clcule: el potencil eléctico en función de φ ; b el cmpo eléctico en función de ρ ; c l densidd de flujo eléctico D en función de ρ. d l densidd supeficil de cg σ en l supeficie supeio del plno infeio. e l cg Q en l supeficie supeio del plno infeio. egión cm egión espcio Resolución L figu dd equivle : espcio V V φ,79 d φ,88 d

11 " φ Cálculo de " : n este cso el potencil sólo depende de l coodend φ, luego l solución de l ecución de Lplce utili, en coodends cilíndics, es: φ A φ B... Hllmos ls constntes A y B plicndo ls condiciones de fonte C.F. siguientes: C.F. Si φ,79 d : V vlundo en l ecución tenemos: A,79 d B V... d C.F. Si φ,88 d : V vlundo en l ecución tenemos: A,88 d B V... 3 Resolviendo ls ecuciones y 3 obtenemos: A V y B 3 78 V Reemplndo ls constntes A y B en l ecución obtengo: φ φ 378 V b Cálculo de : Si se sbe que : c Cálculo de "D" : Se sbe : D V $ φ ρ m o d Cálculo de " σ " 77 nc D $ φ ρ m Se sbe que l densidd de cg supeficil " σ " viene dd po: σ n D n ; n $ Vecto unitio noml

12 77 nc 77 nc Reemplndo : D $ y n $ φ $ φ, tenemos: σ ρ m ρ m e Cálculo de Q L cg Q en l supeficie supeio del plno infeio se ll po:, ρ, 77, Q σ ds dρd 77, Ln ρ, S ρ, Q nc oblem Nº 6 Detemine l función potencil p l egión inteio de l tes ectngul de longitud infinit cuy sección tnsvesl se ilust en l figu. Se sbe que: sen7 π / b, y, b y espcio espcio b Resolución o los dtos ddos en el enuncido deducimos que se tt de un poblem bidimensionl en coodends ectngules o ctesins. Además, cundo el potencil es ceo o nulo p ls condiciones de fonte dependientes de : y b, l solución pticul de l ecución de Lplce que se utili es quell donde ls funciones seno y coseno dependen de. o lo tnto, l ecución utili es l siguiente: y, Acos ky Bsenky C cos k Dsenk... Hllmos ls constntes A, B, C y D plicndo ls condiciones de fonte C.F. siguientes: C.F. Si :, p y y vlúo l ecución p :, y Acos ky Bsenky C cos Dsen

13 Sbemos que un poducto de dos fctoes es ceo cundo po lo menos uno de ellos es ceo. n este cso, el segundo fcto debe se igul ceo. s deci: d C.F. Si y :, p b vlúo l ecución p y : C D C, Acos Bsen C cos k Dsenk n este cso, el pime fcto debe se igul ceo. s deci: A B A Reemplo ls constntes A y C en l ecución : Hcemos: B D Luego: y, Bsenky Dsenk y, senky senk... 3 C.F. Si b :, p y by vlúo l ecución p b : by, senky senkb senkb sen nπ ; n Luego: nπ kb nπ k ; n b Reemplo en l ecución : nπ nπ y, sen y sen b b n genel, tenemos: y, nπ nπ... 3 n sen n b y sen b 7π 4t C.F. Si y :, sen b vlúo l ecución 3 p y : p b n n 7 sen π sen π sen π b b b, n n

14 Desollndo l seie tenemos: π π 7π 7π 7π sen sen... 7 sen sen sen b b b b b Compndo mbos miembos de l ecución obtenemos: 7 7π sen b Además:... n ; n 7 Reemplndo,,..., n en l ecución 3 tenemos que l solución genel es: y, 7π 7π sen y sen b b 7π sen b oblem Nº 7 Un esfe conducto descgd de dio se coloc en un cmpo eléctico inicilmente unifome ve l figu. Clcule: l potencil eléctico en puntos eteioes l esfe b L intensidd de cmpo eléctico en puntos eteioes l esfe c L densidd de cg esultnte σ en l esfe. Q sfe conducto

15 Resolución Como l esfe conducto está descgd Q, ls línes de fue del cmpo eléctico en ls cecnís de l esfe se compotn en l fom mostd continución. Obseve que ests línes de fue ingesn o slen pependiculmente l supeficie de l esfe, l cul su ve es un supeficie equipotencil. n este cso, el potencil de l esfe es igul ceo poque l cg de l esfe es ceo. Q θ cosθ Cálculo del potencil eléctico, θ en puntos eteioes l esfe Si el potencil depende sólo de ls coodends y θ, l solución l ecución de Lplce son los mónicos esféicos. s deci: Desollndo l ecución nteio tenemos: n n, θ A n C n n θ n C C Cn, θ A A cosθ cosθ A 3cos θ... n n θ... Hllmos ls constntes A, A,..., A y CC,..., n, C, plicndo ls condiciones de n fonte C.F. siguientes: C.F. Si puntos lejnos de l esfe: Luego:, θ, θ d ; donde: y d d, θ cte cosθ cte... Igulmos ls ecuciones y, y ls evlúo p. C C cos θ cte A A cos cos... θ θ Compndo mbos miembos de l ecución obtenemos: A cte ; A Además, tods ls A pti de A son igules ceo. s deci:

16 A A3... A n ; n Reemplmos en l ecución : C C Cn, θ A cosθ cos θ... n n θ... 3 d C.F. L esfe está descgd, es deci su cg es igul ceo Si Q, entonces el témino C / es igul ceo, po lo tnto l constnte C es igul ceo C. * Recuede que el potencil de un esfe de dio y cg Q, viene ddo po Q/4π. Reemplo en 3: C Cn, θ A cosθ cos θ... n n θ C.F. Si :, potencil popio de l esfe θ vlundo l ecución 4 p obtenemos: C 3 Además: C n n Reemplndo en l ecución 4 tenemos: O tmbién: 3, θ A cosθ cosθ 3, θ Acosθ 3 b Cálculo de en puntos eteioes l esfe L intensidd de cmpo eléctico deci: lo llmos plicndo gdiente de potencil, es, θ, θ Hllndo el gdiente del potencil en coodends esféics, tenemos: c Cálculo de σ de l esfe, θ cosθ 3 senθ θ Se cumple: σ n n nuesto cso: y n. σ 3 cosθ Luego, l densidd de cg supeficil σ de l esfe es:

17 oblem Nº 8 Los conductoes de un cble coil muy lgo tienen dios y b < b. l conducto inteio se ll un potencil φ y el conducto eteio se ll conectdo tie. Si l egión < ρ < c se llen con un dieléctico de pemitividd, y l egión c < ρ < b con un dieléctico de pemitividd. Clcul: l potencil eléctico φ, el cmpo eléctico, l densidd de flujo eléctico D y l polición en culquie punto de l egión < ρ < b. b L densidd supeficil de cg libe en cd supeficie conducto. c Ls densiddes de polición pesentes Resolución Según el enuncido l figu coespondiente es: b c Sbemos que un cble coil está constituido po dos conductoes y uno o más mteiles dielécticos ente ellos. Además, en el enuncido nos dn los potenciles de estos conductoes condiciones de fonte, po lo tnto el poblem se esuelve plicndo l ecución de Lplce. De l figu obsevmos que y dos egiones, ls cules denominemos: egión y egión. Cálculo de,, D y p puntos < ρ < b Según el enuncido, el potencil eléctico depende sólo de l coodend ρ, po lo tnto l solución l ecución de Lplce utili es:

18 ρ A Lnρ Como en l egión ente los conductoes y dos mteiles dielécticos, entonces est ecución se plic p cd egión, po lo tnto tenemos: l egión < ρ < c : ρ A Lnρ B... B l egión A Lnρ B c < ρ < b : ρ... Ls constntes A, A, B y B se lln plicndo ls condiciones de fonte C.F. siguientes: C.F.: Si ρ b ρ b vlundo l ecución p ρ b tenemos: A Lnb B A Lnb... 3 d C.F.: Si ρ ρ B vlundo l ecución p ρ tenemos: A Ln A Ln... 4 B B 3 C.F.: Si ρ c intef dielécticodieléctico Igulmos ls ecuciones y evlundo p ρ c ρ c ρ c A Lnc B A Lnc B t C.F.: Si ρ c intef dielécticodieléctico : D n D n siempe que σ Luego, se cumple que: n n n est iguldd llo n y n utilindo gdiente de potencil. Finlmente obtengo: A A... 6 Reemplndo ls ecuciones 3, 4, 6 en 5 obtenemos: A ; A Ln c / b Ln c / Ln c / b Ln c / Ln B ; Ln c / b Ln c / B Lnb Ln c / b Ln c / Finlmente eemplo ests constntes en ls ecuciones y y obtengo l función potencil p cd egión. ρ Lnρ Ln Ln c / b Ln c / Ln c / b Ln c / ; < ρ < c

19 ρ Lnρ Lnb Ln c b Ln c Ln c b Ln c / / / / ; c< ρ < b Hllo plicndo gdiente de potencil Se sbe que: Luego: ρ ρ ρ ρ ρ ; < ρ < c ρ ρ Ln b / c Ln c / ρ ; c< ρ < b ρ ρ Ln b / c Ln c / Hllo D utilindo l elción: D Luego: D ρ ρ ρ Ln b / c Ln c / ; < ρ < c D ρ ρ ρ Ln b / c Ln c / ; c< ρ < b Hllo utilindo l elción: ρ ρ ρ Ln b / c Ln c / ; < ρ < c ρ ρ ρ Ln b / c Ln c / ; c< ρ < b n ls figus mostds continución se obsev pociones de mteil dieléctico polido, de ls egiones y, y los coespondientes vectoes polición.

20 Cgs de polición en el dieléctico de pemitividd. Cgs de polición en el dieléctico de pemitividd. b Cálculo de σ p cd supeficie conducto Sbemos: σ n c c b l supeficie de dio ρ : n ρ σ ρ Ln b/ c Ln c/ l supeficie de dio ρ b : n ρ c Cálculo de σ ol y ρ ol Hllo Luego: σ ol plicndo l ecución: Si ρ : n ρ Si ρ b : n ρ σ ρ b b Ln b/ c Ln c/ σ σ σ pol ol ρ ol ρ b n / / Ln b c Ln c b Ln b/ c Ln c/ ll ρ ol utilio l ecución: ρ pòl Al ll l divegenci del vecto polición se obtiene como esultdo ceo, po lo tnto l densidd de cg volumétic de polición tmbién es ceo. s deci: ρ ol

21 oblem Nº 9 Se un ilo muy lgo con densidd de cg linel λ situdo un distnci de un plno conducto puesto tie, tl como se obsev en l figu. Detemine l intensidd de cmpo eléctico y el potencil eléctico en el punto, y,. Clcule simismo l cg supeficil inducid en el plno conducto., y, λ O Resolución Si l cg λ está ubicd en,, su imgen λ está ubicd en,, de mne que ls dos son plels l eje y., y,, y, λ λ O O λ CÁLCULO D LA INTNSIDAD D CAMO LÉCTRICO N L UNTO clcul l intensidd de cmpo eléctico en el punto se utili el pincipio de supeposición plicdo los cmpos elécticos. sto signific que ls intensiddes de cmpo eléctico debido l cg linel es igul l sum de λ y su cg imgen λ.

22 s deci: λ λ Como se tt de un ilo muy lgo ilo infinito, l mgnitud de es conocid, po lo tnto l ecución nteio qued: π λ π λ... De l figu: ;; ; ; ; ; y y ;; ; ; ; ; y y Asimismo: ;; ;; Reemplndo en l ecución y simplificndo obtenemos: [ ] π λ CÁLCULO DL OTNCIAL LÉCTRICO N L UNTO l potencil eléctico en el punto lo llo tmbién plicndo el pincipio de supeposición. s deci: λ λ Reemplndo los potenciles en el punto, debido ls cgs lineles λ y λ, y simplificndo, l ecución nteio qued: Ln π λ

23 Reemplndo y obtenemos: / λ Ln, p π CÁLCULO D LA CARGA SURFICIAL INDUCIDA N L LANO CONDUCTOR L cg supeficil inducid en el plno conducto se ll evlundo el cmpo eléctico en. s deci: σ λ σ π Not. se compueb tmbién que l cg inducid po unidd de longitud en el plno conducto es igul λ.