convección (4.1) 4.1. fundamentos de la convección Planteamiento de un problema de convección

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1 convección El modo de transferencia de calor por convección se compone de dos mecanismos de transporte, que son, la transferencia de energía debido al movimiento aleatorio de las moléculas (difusión térmica) y el movimiento global o macroscópico del fluido. El movimiento del fluido del fluidos se asocia con el hecho de que, en cualquier instante, grandes números de moléculas se mueven de forma colectiva o como agregados. La transferencia de calor se clasifica de acuerdo con la naturaleza del flujo. Se habla de convección forzada cuando el flujo es causado por medios externos, tales como: ventilador, bomba o vientos atmosféricos. Por otra parte, en la convección natural (o libre) el flujo es inducido por fuerzas de empuje que surgen a partir de la diferencia de densidad ocasionada por la variación de la temperatura en los fluidos. La transferencia de calor por convección ocurre en una región de interfase entre un fluido en movimiento y una superficie sólida, entre dos líquidos inmisibles en movimiento relativo y entre un gas y un líquido que tiene movimiento relativo, que están a diferentes temperatura. En la Figura 4.1, se muestra el perfil de velocidad típico presente en la región de la interface, conocida como capa límite, zona en la cual ocurre el fenómeno de convección. Sin importar la naturaleza particular del proceso de transferencia de calor por convección, el flujo de calor por unidad de área, es proporcional a la diferencia de temperatura entre la superficie ( ) y del fluidos que la rodea ( ). La ecuación que modela adecuadamente éste fenómeno se conoce como Ley de enfriamiento de Newton y se expresa de la siguiente forma: (4.1) Donde q es el flujo de calor por unidad de área expresada en W/m2 y h es el coeficiente de convección (también llamado coeficiente de película o fílmico) expresado en W/m2 K fundamentos de la convección Planteamiento de un problema de convección Considere la condición de flujo de la Figura 4.1, donde el fluido con velocidad y temperatura fluye sobre una superficie de forma arbitraria y de área A. Se supone que por lo que produce un flujo de calor local hacia el fluido, dado por la ecuación de Newton. La transferencia de calor total que pasa a través de la superficie A se determina integrando el flujo de calor por unidad de área sobre el área, es decir: (4.2) Se define el coeficiente de convección promedio sobre toda la superficie A, como: 1

2 (4.3) Luego al iguala las ecuaciones (4.2) y (4.3) se obtiene una relación entre el coeficiente de convección local y promedio (4.4) Para el caso de un problema sobre una placa plana de longitug x, la ecuació (4.4) se reduce a: (4.5) Como se podrá notar el problema de transferencia de calor por convección consite en determinar el coeficiente promedio de conveción capa límite de convección Capa límite hidrodimámica Considerece una placa plana, como la Figura 4.2, donde un flujo de fluido incide sobre ésta. Las partícula de fluido al hacer contacto con la placa adquiren una velocidad relativa a la placa nula. Éstas partícula actuán por efecto de la viscosidad sobre las capas contiguas retardando su movimiento, así sucesivamente, hasta que a una distancia y = los efectos se hacen insignificante, esto como conscuencia de que la velocidad del fluido se hace igual a la velocidad de corriente libre. La cantidad se le llama espesor de capa límite hidrodinámica y se define como: (4.6) Cuando el fluido choca con la placa se producen dos regiones perfectamente definidas, la primera región, llamada capa límite, que se caracteriza por una capa muy delgada en los que los gradientes de velocidad y esfuerzos corte son grandes. La segunda región, llamada flujo de potencia, se encuentra fuera de la capa límite y los gradientes de velocidad y esfuerzos cortantes son insignificantes. A demás de el espesor de la capa límite,, existen dos parámetros impotente que se deber calcular, estos son: El coeficiente de fricción y el esfuerzo cortante en la pared. El coeficiente de fricción se define por: (4.7) Donde es la densidad del fluido, 2

3 es la velocidad de corriente libre y es el esfuerzo cortante en la pared. Y el esfuerzo cortante en la pared es: (4.8) Donde ð es la viscosidad dinámica del fluido Capa límite térmica Así como se produce la capa límite hidrodinámica, también se produce una capa límite térmica, siempre y cuando exista un gradiente de temperatura entre la superficie de la placa y el fluido que entra en contacto con ella (ver Figura 4.3). En la entran del fluido a la placa, se puede considerar que la distribución de temperatura es uniforme, luego al estar la partícula de fluido en contacto con la placa que esta a, tal que, se transmite energía térmica a las partículas de fluido. Cuando se alcanza el equilibrio térmico las partículas de fluido en contacto con la placa alcanzan la temperatura de la placa, las cuales a su vez intercambia energía con las partículas adyacentes, produciendo un gradiente de temperatura en ésta región. Ésta región donde existe el gradiente de temperatura se le llama capa límite térmica y su espesor (espesor de la capa límite térmica) se determine por: (4.9) Donde es la temperatura en la superficie de la placa ( ) y es la temperatura del fluido en la corriente libre Haciendo el cambio de variable, en termino de exceso de temperatura adimensional ð (4.10) El espesor de la capa límite térmica será (4.11) EL flujo de calor por unidad de área que pasa al fluido a través de la placa es 3

4 (4.12) Se debe destacar que las partículas de fluido que están en contacto con la superficie de la placa reciben el calor mediante conducción, ya que no existe movimiento relativo es ésta partícula. Desde éstas particular de fluido en contacto con el fluido, el calor pasa al resto del fluido por convección. Luego el coeficiente de convección local se puede calcular por la siguiente relación: (4.13) Ahora bien, para determinar el coeficiente de convección local se debe calcular el gradiente de temperatura en la superficie de la pared. Otro parámetro de suma importancia en la convección es el número de Nusselt, que se define por: (4.15) Usando y haciendo, el número de Nusselt se puede determinar por (4.16) Aquí también se nota que para calcular el número de Nusselt se requiere calcular el gradiente de temperatura adimensional en la superficie de la pared Ecuaciones fundamentales para convección Como se notara en las secciones anteriores, el estudio de la convección implica la combinación de movimiento del flujo, mezcla y transferencia de calor. El movimiento del flujo se rige por la ecuación de continuidad y ecuación de momentum, la transferencia de calor la describe la primera y segunda ley de la termodinámica y la mezcla la ecuación de conservación de las especies. Ecuación de Continuidad La ecuación de continuidad (o ley de conservación de la masa) esta dada en el sistema de coordenada rectangular por: 4

5 (4.17) Para un fluido incompresible, que es la situación más común en la capa límite, se tiene: (4.18) En la Figura 4.4, se muestra el sistema de coordenada cilíndricas y esférica. Luego la ecuación de continuidad para densidad constante en coordenadas cilíndrica es: (4.19) En coordenadas esféricas la ecuación de continuidad para densidad constante es (4.20) Ecuación de Momentum (o Balance de Fuerzas) La ecuación de momentum para fluidos Newtoniano fue propuesta por Navier Stokes y se expresa de la siguiente manera: (4.21) En forma vectorial, la ecuación de Navier Stokes es: (4.22) En el sistema de coordenada cilíndricas la ecuación de Navier Stokes es: 5

6 (4.23) En el sistema de coordenada esférica la ecuación de Navier Stokes es: (4.24) Donde Ecuación de Energía (Primera Ley de la Termodinámica) 6

7 La primera ley de la termodinámica para un fluido cuya conductividad térmica se puede considerar isotrópica se expresa de la siguiente forma: (4.25) Donde ð es el coeficiente volumétrico de expansión térmica, ð la viscosidad dinámica y ðð es disipación viscosa, que se obtiene por la siguiente expresión. (4.26) Los primeros tres términos del lado derecho de la ecuación (4.26), al ser multiplicados por ð representan los esfuerzos cortantes viscosos y el resto a los esfuerzos normales. Colectivamente, los términos representan la velocidad a la que la energía cinética se convierte en forma irreversible a energía térmica debido a los efectos viscosos. Para el caso de un gas ideal, por lo que la ecuación se simplifica a (4.27) y para un líquido incompresible ( ) y la ecuación será: (4.28) La mayoría de los problema de convección, las propiedades del fluido se pueden considerar constantes, no existe generación de calor, se desprecia la disipación viscosa y los efectos de compresibilidad del fluido, por lo que la primera ley se puede expresar de la siguiente forma: (4.29) o que es lo mismo 7

8 (4.30) En coordenadas cilíndrica ésta última ecuación queda de la siguiente forma (4.31) En coordenadas esféricas la ecuación (4.30) se expresa de la siguiente forma (4.32) Cuando se tiene un fluido cuya viscosidad es elevada, tal es el caso de los fluidos lubricantes, la disipación viscosa no se puede despreciar. Por tanto, la primera ley queda de la siguiente forma: (4.33) En coordenadas cilíndricas la disipación viscosa se expresa por (4.34) Donde En coordenadas esférica 8

9 (4.35) Donde La Segunda Ley de la Termodinámica Todo proceso de transformación de energía debe cumplir con la segunda ley de termodinámica, la cual se expresa de la siguiente forma: (4.36) Donde la temperatura en la ecuación (4.36) debe ser expresada en escala absoluta (temperatura absoluta) Consideraciones especiales para análisis de la capa límite Las ecuaciones mostradas en la sección presentan una explicación completa de los procesos físicos que determinan la capa límite hidrodinámica y térmica. Sin embargo, ésta ecuaciones se pueden simplificar al considerar algunos aspectos de la capa límite, como son: El flujo es estacionario El fluido se puede considerar incompresible (densidad constante) Las propiedades son constantes El problema se puede trata en forma bidimensional El espesor de la capa límite hidrodinámica es muy pequeño por lo que se cumple que:,,,, El espesor de la capa límite térmica también en muy pequeño por lo que se cumple que Luego aplicar estas consideraciones, y tomado en cuanta que la capa límite se forma a lo largo del eje x, se tiene que: (Ecuación de continuidad) (4.37) 9

10 (Ecuación de momentum) (4.38) (Ecuación de energía) (4.39) Estas tres ecuaciones se conocen como ecuaciones de la capa límite, cuyas condiciones de borde requeridas para resolverlas son las siguientes: Condiciones de pared Condiciones de corriente libre Las ecuaciones (4.37), (4.38) y (4.39) se adimensionan, haciendo el siguiente cambio de variable: Donde L es una longitud característica de la superficie y U es la velocidad contracorriente de la superficie. Al aplicar los cambios de variables y despreciando las fuerzas de cuerpo, se tiene que (Ecuación de continuidad) (4.40) (Ecuación de momentum) (4.41) (Ecuación de energía) (4.42) Donde: 10

11 es el número de Reynolds es el número de Prandtl Las condiciones de borde para resolver las ecuaciones (4.40), (4.41) y (4.42), son: Condiciones de pared Condiciones de corriente libre El coeficiente de convección se determina por (4.43) y el número de Nusselt (4.44) Ecuaciones de la capa límite para flujo turbulento En la Figura 4.5 se muestra el comportamiento en el tiempo de la velocidad del fluido (componente x de la velocidad) en un punto. Se puede notar que la velocidad es fluctuante en cada punto del fluido, al igual que el resto de las propiedades del fluido (densidad, temperatura, presión, etc.), por lo que se debe expresar dichas propiedades de la siguiente manera: (4.45) Donde es el valor promedio de la velocidad en un intervalo de tiempo y es la fluctuación de la velocidad en torno a 11

12 . El promedio de la velocidad (o de otra propiedad) se determina por (4.46) Donde T es el periodo donde la fluctuación de la velocidad se repite. El resto de las propiedades se pueden expresar de la siguiente forma: (4.47) Antes de introducir estos conceptos a las ecuaciones de continuidad, momento y energía se presenta las reglas generales que ésta notación presenta. Estas reglas son: (4.48) Finalmente las ecuaciones para flujo turbulento en la capa límite son: (Ecuación de continuidad) (4.49) (Ecuación de momentum) (4.50) (Ecuación de energía) (4.51) 5 1 ð P(r,ð, z) z y 12

13 x Figura 4.4: Sistema de coordenada cilíndrica y esférica z Figura 4.5: Comportamiento en el tiempo de la velocidad u en un punto para un flujo turbulento Figura 4.3. Capa límite térmica Figura 4.2. Capa límite hidrodinámica u u t ð r ð P(r, ð,ð) z y x u' r Figura 4.1. Esquema de la capa límite hidrodinámica 13

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