F(x,y,z)=0 (2) Es decir la superficie S está formada por dos planos paralelos al plano coordenado xy

Transcripción

1 Estudio de Curvs Superfiies Euiones de superfiies: L superfiie más simpe sido motivo de nuestro estudio e es e pno L euión de mismo referido un sistem de oordends rtesino ortogon es ine en s vries ; es deir : Un punto P π d siempre que e vetor norm pno π se de omponentes e punto de pso de pno se P L euión puede esriirse generindo de siguiente mner: F donde F es un funión de tres vries que en so de pno es: d Bjo ests ipótesis uquier punto de pno P deen stisfer tnto euión omo euión o se que se umpirá: d o o que es o mismo F enerindo: mremos euión de un superfiie reión que invour s oordends de un punto genério de mism Si est reión es de form F superfiie se podrá rterir omo e ugr geométrio de puntos de espio: S{P / F} Pr otener euión de un superfiie mremos s oordends de un punto de mism s igremos s ondiiones que representen que efetivmente dio punto pertene superfiie definid Es posie definir un superfiie dndo un propiedd que es umpid por todos sus puntos o tmién omo e movimiento de un ret en e espio sujeto ierts ondiiones Ejempos: Estudiremos superfiie S{P / 9} euión de superfiie es entones 9 di euión se puede desomponer de siguiente mner: -33 Luego podemos rterir sí: S{P / 33} {P / -3} {P / 3} Es deir superfiie S está formd por dos pnos preos pno oordendo Estudir superfiie siguiente: S{P / - 6} L euión - 6 tiene por ríes ; -3 Luego podemos esriir: uego S{P / - 6} {P / -} {P / 3} Es deir dos pnos preos pno Oservión: si euión igud ero no tiene ríes rees diremos que e ugr geométrio es vío Superfiies iíndris Un superfiie iíndri es superfiie generd por un ret md genertri que se desp mnteniéndose pre un eje oordendo poándose en un Esp Li n Mrí Voi - -

2 urv Γ ontenid en e pno oordendo perpendiur eje que ontiene ret genertri t urv se m diretri Supongmos que euión de diretri : f en e pno que mmos on nterioridd Γ se ret genertri pre eje Podemos epresr superfiie omo: S{P / f } Donde euión funión f es euión de superfiie es váid De mism form podemos definir un superfiie iíndri on diretri g de genertri pre eje sí omo tmién un superfiie on genertri genertri pre eje Ejempo 3: E pno π{ P / d ; } es un so prtiur de superfiie iíndri u diretri es ret: -d de genertri pre en eje Z d; d; d; Ejempo : L euión p represent un práo en e pno u genertri es pre eje Esp Li n Mrí Voi - -

3 Esp Li n Mrí Voi Superfiies ónis Un superfiie iíndri es superfiie generd por un ret md genertri que gir de mner que uno de sus puntos mdo vértie V que es fijo poándose en un urv Γ que no ontiene vértie t urv se m diretri Supongmos que euión de diretri se: f en e pno ret genertri que uo punto fijo es V Ejempo 5: Se urv V vértie e : Γ euión de superfiie óni será : S: Euiones de urvs en e espio Hemos estudido st or que es posie representr guns superfiies dds en un sistem de oordends rtesins medinte euión :F guns euiones urvs en e espio pueden ser dds omo interseión de dos superfiies o que equive deir: : que os puntos omunes deen umpir entones diremos ésts se intereptn si dos superfiies ; Sen F F Un ejempo estudido es euión de ret en e espio que es psoe representr omo interseión de dos pnos que ontengn Diremos en gener que : Γ F o o que es o mismo: } { { } / / Γ P F P Ι represent un urv en e espio Es posie tmién representr un urv en e espio por sus euiones prmétris ser: R t t t g t f donde os puntos de oordends son perteneientes urv Dis oordends son funiones de prámetro t Est form es más utiid pr desriir

4 e movimiento de un punto en e espio en donde e prámetro t represent e tiempo s oordends e ugr que oup en e espio en d instnte Como ejempo onoido vemos que s euiones prmétris de ret se justr perfetmente nuestr desripión nterior: ut P P r : ut t R; u u u u3 // r P r t u t u 3 Otro ejempo importnte son s euiones: ost Γ : sen t t R; son onstntes t Ests on s euiones prmétris de éie irur E está ontenid en e iindro de genertri pre eje de euión: que podemos otener eiminndo t de s dos primers euiones En este so e prámetro represent e ánguo de giro sore e pno prtir de eje positivo de s Si t ument en π reempndo en s euiones que s oordends e no vrín en efeto sen t sen t π ;ost os t π pero en mio oordend ument en ntidd p t π t π que es independiente de t que reie en nomre de pso de éie Esp Li n Mrí Voi - -

5 Superfiies de Revouión: Un superfiie de revouión es que se otiene iendo rotr un urv genertri ontenid en un pno rededor de un ret de mismo pno t ret se m eje de rotión Cd punto de genertri desrie irunferenis ontenids en os pnos normes eje de rotión donde está e entro de s irunferenis se denominn preos de superfiie Los pnos que ontiene e eje de rotión ortr superfiie formn os mdos meridinos Intentremos r euión de un superfiie de revouión pr eo onsideremos un urv en e pno Cu euión es f onsiderremos eje omo eje de rotión Entones urv genertri Si será f γ es un punto de genertri Z girr rededor de eje desrie un irunfereni de entro C de rdio P r f r C que es oordend de punto Un ve que e punto sore irunfereni rotr se enuentr en posiión Pe rdio en ese so será r CP este náisis nos permite deduir que e rdio puede epresrse omo r Qued entones ro que girr un punto fijo de urv genertri sore tretori de un preo oordend no vrí Conuimos que s oordends de un punto genério de un superfiie de rotión P on oordend CP es deir f es euión de superfiie de rotión Entones si genertri es un urv en e pno oordendo gir rededor de eje oordendo euión de superfiie se otiene reempndo oordend por en euión de urv genertri Ejempo 6: Se urv γ urv genertri de un superfiie de rotión Si gir rededor de eje entones euión de superfiie que otenemos es: o o que es o mismo Si gir rededor de eje entones euión de superfiie que otenemos es: o o que es o mismo En mos sos otenemos un eipsoide irur Ejempo 7 Esp Li n Mrí Voi - 5 -

6 p Enontrr euión de superfiie generd por urv: γ uo eje de giro es e eje L euión de superfiie es: p Serí Ud Cp de grfir di superfiie? Euión gener de segundo grdo en dos vries: Consideremos siguiente euión : B C D E F H L M 3 Donde por o menos uno de os oefiientes de os términos de segundo grdo es distinto de ero Nuestr intenión es enontrr s ondiiones que deen umpirse pr que euión 3 represente un superfiie que denominremos superfiie uádri Superfiies Esféris Se r un número re positivo se C un punto fijo de espio se m esféri de entro C rdio r ugr geométrio de puntos de espio t que distni entro es igu C rdio r Es deir: S { P / d P C r} { P / r } Deimos que euión de esfer es : S : r uego podemos onuir que euión de un esfer on entro en e origen es: S: r Oservmos entones refiriéndonos euión 3 que en este so pr que represente un esfer se deerá umpir que: BC demás DEF Ejempo 8: Se euión 6 indir si es euión de un superfiie esféri en t so dr s oordends de su entro su rdio Comenemos ompetndo os udrdos: 6 Esp Li n Mrí Voi Luego podemos deir que euión indid represent un esfer de entro en C--3 rdio 6 9 9

7 Esp Li n Mrí Voi Trtremos de enontrr s ondiiones sufiientes pr que euión de tipo 3 represente un superfiie esféri Por emper tomremos BC DEF M L H dividiendo por otenemos M L H ompetndo udrdos otenemos M L H L H o ien M L H L H est epresión representrá un superfiie esféri siempre que > M L H que es ondiión sufiiente usd Eipsoide L euión gener de eipsoide on entro en e origen es 5 donde os números son rees positivos nimos euión de mism: Simetrís: origen de oordends respeto : es simétri pno respeto : es simétri pno respeto : es simétri pno respeto : es simétri e e eipsoide e eipsoide e eipsoide e Interseión on os ejes: os puntos que son os de interseión de eipsoide on e eje se mn vérties de eipsoide segmento u ongitud es se o m semi-eje os puntos B B que son os de interseión de eipsoide on e eje se mn vérties segmento B B u ongitud es se o m semi-eje Interseión on os pnos oordendos o o que mremos trs o seiones prinipes que represent un eipse de semi ejes

8 Esp Li n Mrí Voi represent un eipse de semi ejes que represent un eipse de semi ejes Interseiones on pnos preos os oordendos: - que represent un eipse siempre que < puesto que pr se interept en os vérties represent un eipse siempre que < undo se interept en os vérties B B - que represent un eipse de siempre que < undo se interept en os vérties C C

9 Esp Li n Mrí Voi Hiperooide de un oj: Estudiemos superfiie de euión: 6 donde os números son rees positivos nimos euión de mism: Simetrís: de oordends origen respeto : es simétri pno respeto : es simétri pno respeto : es simétri pno respeto : es simétri iperooide iperooide iperooide iperooide iperooide iperooide iperooide iperooide Interseión on os ejes: os puntos que son os de interseión de iperooide on e eje os puntos B B que son os de interseión de iperooide on e eje - no tiene souión en e onjunto de os números rees Interseión on os pnos oordendos o o que mremos trs o seiones prinipes que represent un ipéro de vérties B B represent un ipéro de vérties que represent un eipse de semi ejes

10 Esp Li n Mrí Voi - - Interseiones on pnos preos os oordendos: - que represent un ipéro siempre que > puesto que pr se otienen un pr de rets de euiones ; represent un ipéro siempre que > undo se otienen un pr de rets de euiones ; que represent un eipse R Podemos deir tmién e estudio o dejmos uent de etor que s siguientes euiones: - tmién representn iperooides de un oj Hiperooide de dos ojs Estudiremos siguiente euión: Donde son números rees

11 Podemos firmr que est superfiie es simétri on respeto d uno de os ejes oordendos de origen tmién Los puntos de iperooide de dos ojs on e eje oordendo son os puntos - oservmos tmién que no se interept on e eje ni on e eje Ls interseiones on os pnos oordendos e son respetivmente: on tmién on Que representn ipéros de igu semi-eje re E iperooide de dos ojs no ort e pno puesto que no eiste souión pr euión s seiones pns que se otienen seionndo superfiie on pnos de euión son eipses si > ; en so ontrrio no interseión Si se otienen o meniondos puntos de interseión on e eje Ls interseiones que se otiene on pnos de euiones son ipéros uos semi-ejes reen reer en vor souto go preido suede on os pnos de euiones Por otr prte s euiones: omo tmién - Son euiones de iperooides de dos ojs Prooide eíptio Estudiremos euión: on R En e estudio de s simetrís podemos oservr que est superfiie es simétri respeto de pno omo tmién de pno pero no de pno demás es simétri somente respeto de eje Por o tnto no es simétri respeto origen de oordends E prooide es un superfiie que ontiene origen omo uno de sus puntos pero no interept os ejes en ningún otro punto Sus interseiones on os pnos oordendos son: sore e pno represent e origen represent un práo represent un práo Ls interseiones on pnos preos os oordendos pueden ser: Esp Li n Mrí Voi - -

12 Esp Li n Mrí Voi - - representn eipses de euión si son de mismo signo De o ontrrio no represent ningun urv Si < superfiie está íntegrmente sore e pno Si < estrá por dejo representn práos de distintos vérties dependiendo de vor de número representn práos de distintos vérties dependiendo de vor de número Diremos demás que s euiones: ; Tmién representn prooides eíptios demás en e so en que es e mdo prooide irur es fái deduir que es tmién un superfiie de rotión Prooide iperóio En este so estudiremos euión: R on En e estudio de s simetrís podemos oservr que est superfiie es simétri respeto de pno omo tmién de pno pero no de pno demás es simétri somente respeto de eje Por o tnto no es simétri respeto origen de oordends E prooide iperóio es un superfiie que ontiene origen omo uno de sus puntos Sus interseiones on os pnos oordendos son: ; represent s rets pno sore e representn práos representn práos Ls interseiones on pnos preos os oordendos pueden ser:

13 Esp Li n Mrí Voi representn ipéros de euión representn práos de distintos vérties dependiendo de vor de número representn práos de distintos vérties dependiendo de vor de número Diremos demás que s euiones: ; tmién representn prooides iperóios Es posie que un prooide iperóio se un superfiie de rotión?