UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD SYLLABUS Calculo Multivariado 1 INFORMACIÓN GENERAL DEL CURSO ESCUELA O UNIDAD: Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería NIVEL: CAMPO DE FORMACIÓN: SIGLA: ECBTI Profesional Componente de formación disciplinar común CURSO: Calculo Multivariado CODIGO: TIPO DE CURSO: Teórico N DE CREDITOS: 3 N DE SEMANAS: 16 CONOCIMIENTOS PREVIOS: Calculo Diferencial e Integral: El estudiante deberá conocer las propiedades básicas de las funciones continuas y derivables, así como también deberá poder

2 integrar algunas funciones que dependan de una sola variable. DIRECTOR DEL CURSO: Gustavo Antonio Mejía Cortés FECHA DE ELABORACIÓN: Junio de 2014 El curso de Calculo Multivariado forma parte del campo de formación disciplinar común. Esta dirigido a los programas de Ingeniería especialmente a la Ingeniería de telecomunicaciones y de Electrónica, sin embargo esta ofrecido a todos aquellos programas y/o estudiantes que quieran aplicar los conceptos de las funciones de varias variables.. El curso es transversal a los cursos ofrecidos por la Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI), es teórico, de tres créditos y se desarrolla en 16 semanas. DESCRIPCIÓN DEL CURSO: La Estrategia utilizada es el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), en la cual, se le presenta a los estudiantes un problema por cada unidad, con el fin que ellos a través del trabajo autónomo y en equipo de forma colaborativa, desarrollen y lleven a cabo las operaciones necesarias para resolver el problema planteado. Las fases a desarrollar son: Fase 1: El estudiante recibe una guía que describe un problema y se le invita a revisar y a profundizar los contenidos necesarios. Se realizara el primer intento de la lección de evaluación. Fase 2: Con el fin de desarrollar el trabajo, se organiza un foro para el trabajo colaborativo, en el cual además de aclarar las dudas, se discuten las posibles hipótesis para dar solución al problema. Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. Al final se entregará la solución del problema por parte de un estudiante. Fase 3: Con el fin de evaluar los objetivos de aprendizaje adquiridos, el estudiante realizará el segundo intento de la lección de evaluación y un cuestionario en la solución del problema. En este curso el estudiante conocerá lo relacionado con las funciones de varias variables y se encuentra estructurado en tres Unidades académicas: UNIDAD I: Introducción a las Funciones de varias variables: Es una descripción de las funciones de muchas variables, pero para ello se recorrerá tópicos generales como son el uso de vectores, de Geometría, Superficies cuadráticas, Funciones vectoriales y limites y continuidad. UNIDAD II: Derivación de funciones de varias variables: En la cual se reunirá todo lo relacionado con el uso de derivadas involucrando funciones de varias

3 variables, por lo tanto se tiene Derivadas parciales, derivadas direccionales y gradiente, máximos y mínimos, elementos diferenciales en coordenadas cilíndricas y esféricas y por último elementos diferenciales en coordenadas generalizadas y jacobiano. UNIDAD III: Integración de funciones de varias variables: Se reúne lo concerniente a las integrales, por lo tanto se comienza con Integrales dobles y de volumen junto con integrales iteradas, integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, Integrales de línea, circulación y rotacional, Integrales de flujo divergencia y finaliza con los teoremas para la integración como son Green, Stokes y Gauss. 2 INTENCIONALIDADES FORMATIVAS Propósitos: Fortalecer en los estudiantes la capacidad para relacionar eventos en su vida diaria y/o profesional con la formulación de funciones de varias variables, utilizando la estrategia de Aprendizaje Basado en Problemas. Mostrar al estudiante métodos en donde la aplicación de la derivación de funciones de varias variables ayuda a procesos de optimización y a comprender modelos físicos, utilizando la estrategia de Aprendizaje Basado en Problemas. Ilustrar al estudiante formas de calcular integrales de funciones de varias variables y su aplicación en problemas concretos de la vida, de la física y de su propia profesión, es así que se podrán calcular centros de masa, momentos de inercia, volúmenes, áreas, entre otras integrales, aplicando los diferentes métodos de integración, así como también los teoremas integrales del cálculo vectorial, por medio de la estrategia de Aprendizaje basado problemas. Competencias generales del curso: El estudiante evidencia la simulación de algunas situaciones físicas o cotidianas con el uso de funciones de varias variables. El estudiante resuelva problemas de optimización de funciones de varias variables, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange planteando condiciones para la maximización o minimización de funciones de varias variables. El estudiante aplica y relaciona entre sí, los operadores diferenciales para resolver problemas de física y de Ingeniería. El estudiante utiliza los diferentes tipos de integrales y los resuelva aplicando los teoremas de Grenn, de la Divergencia, de Stokes, teoremas necesarios que facilitan el cálculo de las integrales de línea, de flujo y circulación, integrales necesarias en la solución de variados problemas de Física y de Ingeniería.

4 El estudiante fortalece su capacidad de generar conocimiento de forma grupal, al participar de forma activa con su grupo de trabajo cuando dan solución a los problemas de continuidad de las funciones de varias variables, al cálculo de gradiente de dichas funciones, al cálculo de las integrales triples, de flujo y de línea. 3 CONTENIDOS DEL CURSO Esquema del contenido del curso:

5 Nombre de la unidad Contenidos de aprendizaje Referencias Bibliográficas Requeridas (Incluye: Libros textos, web links, revistas científicas) UNIDAD 1: Introducción a las Funciones de varias variables a. Vectores: Sistemas de coordenadas, cosenos directores, producto escalar y vectorial. b. Geometría del espacio: Ecuaciones de la recta y de planos. c. Superficies cuadráticas: Curvas en el espacio, curvas paramétricas, longitud de arco y curvatura. d. Funciones vectoriales: Funciones de dos variables, curvas de nivel, funciones de varias variables. e. Límites y continuidad: Propiedades de los límites, diferentes tipos de funciones continuas. En la base de datos de la Biblioteca se encuentran los e-books (si los enlaces no funcionan, porque estos se actualizan, pueden buscar en la base de datos de la biblioteca) García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGraw-Hill España. Recuperado de En las bibliotecas de algunos centros: Thomas, G. Finney, R. Calculo con geometría analítica. Volumen 2. Sexta edición. Addison-Wesley Iberoamericana En otras bibliotecas: Edwards, C. H. Penney, D. Calculo con Geometría analítica. Prentice Hall

6 UNIDAD 2: Derivación de funciones de varias variables. a. Derivadas parciales: Regla de la cadena y derivación implícita. Serie de Taylor. b. Derivadas direccionales: Gradiente, planos tangentes a las superficies de nivel. c. Máximos y mínimos: Máximos y mínimos absolutos y condicionados, multiplicadores de Lagrange. d. Elementos diferenciales de línea y de área: Elemento de arco y de superficie en coordenada s cilíndricas y esféricas. e. Transformaciones diferenciales generalizadas: Elementos de arco y área en coordenada s generalizadas, Jacobiano de la transformación. En la base de datos de la Biblioteca se encuentran los e-books (si los enlaces no funcionan, porque estos se actualizan, pueden buscar en la base de datos de la biblioteca) García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGraw-Hill España. Recuperado de En las bibliotecas de algunos centros: Thomas, G. Finney, R. Calculo con geometría analítica. Volumen 2. Sexta edición. Addison-Wesley Iberoamericana En otras bibliotecas: Edwards, C. H. Penney, D. Calculo con Geometría analítica. Prentice Hall

7 UNIDAD 3: Integración de funciones con varias variables. a. Integrales dobles y de volúmenes: Regla del punto medio, integrales iteradas, integrales dobles sobre regiones generales, integrales dobles en coordenadas polares. b. Integrales triples: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables en las integrales triples. c. Integrales de línea: Integral de línea en campos vectoriales, rotacional, campos potenciales. d. Integrales de Flujo: Flujo y Divergencia e. Teoremas de integración: Green, de Gauss y de Stokes. En la base de datos de la Biblioteca se encuentran los e-books (si los enlaces no funcionan, porque estos se actualizan, pueden buscar en la base de datos de la biblioteca) García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGraw-Hill España. Recuperado de En las bibliotecas de algunos centros: Thomas, G. Finney, R. Calculo con geometría analítica. Volumen 2. Sexta edición. Addison-Wesley Iberoamericana En otras bibliotecas: Edwards, C. H. Penney, D. Calculo con Geometría analítica. Prentice Hall Referencias bibliográficas complementarias Otros sitios recomendados: Sitio: Edumatematica. Profesor Enrique Mateus. Recuperado el 29 de noviembre de Sitio: Profe Julio. Recuperado el 11 de abril de

8 Sitio: Profe Julio. Recuperado el 11 de abril de Sitio: Calculo de áreas utilizando integrales dobles Recuperado el 23 de abril 4 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Unidad Contenido de Competencia Indicadores de Estrategia de Aprendizaje N de Evaluación 1 Aprendizaje desempeño Sem Propósito Criterios de evaluación Ponderación UNIDAD I: Introducci ón a las Funciones de varias variables 1-Vectores: Sistemas de coordenadas, cosenos directores, producto escalar y vectorial. 2-Geometría del espacio: El estudiante evidencia la simulación de algunas situaciones físicas o cotidianas con el uso de funciones de varias variables. Para cumplir con lo anterior: El estudiante reconoce propiedades básicas de los vectores y realiza operaciones entre los mismos. -Escribe la Aprendizaje Basado en Problemas de acuerdo a las siguientes fases: Fase 1: El estudiante recibe una guía que describe un problema, desde el cual se plantea un reto y se motiva al estudiante a profundizar en los estudios de vectores, geometría, ecuaciones de la recta, superficies cuadráticas para llegar a las funciones de varias variables. Fase 2: Con el fin de aclarar dudas sobre las reglas de comportamiento durante el trabajo colaborativo, el tutor organiza una sesión virtual sincrónica donde se 6 -Lograr que el estudiante identifique cada uno de los elementos del curso y genere apropiación por las temáticas del mismo. -Determinar la capacidad del estudiante para apropiarse de los conceptos básicos sobre las -Reconoce los parámetros de las funciones de varias variables. -Determina las características y propiedades esenciales de la continuidad de las funciones de varias variables. 5 % 20%

9 Ecuaciones de la recta y de planos. 3-Superficies cuadráticas: Curvas en el espacio, curvas paramétricas, longitud de arco y curvatura. el concepto de vector, lo puede describir en diferentes sistemas de coordenadas y puede realizar operaciones entre los mismos. El estudiante identifica la ecuación de la recta en tres dimensiones, así como la ecuación del ecuación de la recta y del plano. ecuaciones de las cónicas y las puede clasificar, así como también las curvas las puede establece los protocolos de interacción y entrega del trabajo solicitado. En esta misma sesión se discute con el estudiante las posibles hipótesis para dar solución al problema, y el tutor le orienta para que pueda encontrar la información necesaria que le permita dar solución al problema planteado. El estudiante, junto con el grupo colaborativo Identifica los problemas y el planteamiento de posibles soluciones, a través de una actividad colaborativa que desarrolla dentro de un foro, donde el estudiante puede autorregular su aprendizaje. funciones de varias variables. -Establecer el nivel de comprensión de la aplicación de los conceptos básicos asociados a la descripción de las funciones de varias variables a la solución de problemas. 4-Funciones vectoriales: Funciones de dos variables, curvas de nivel, funciones de varias variables. 5-Límites y plano y de algunas superficies cónicas. El estudiante diferencia las funciones de una variable con la de varias variables, además puede describir dichas funciones y parametrizar. características de las funciones de varias variables y puede y aplica los criterios para Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. El tutor será parte activa moderando desde al lado la construcción del trabajo colaborativo, así mismo estará apoyando de forma permanente en las dudas que el estudiante va adquiriendo en su experiencia práctica. continuidad: Propiedades de los límites, diferentes tipos de funciones hallar las características básicas de las mismas. conocer sobre la continuidad de las mismas así como los criterios de Fase 3: Con el fin de evaluar los objetivos de aprendizaje adquiridos, el tutor evalúa los resultados del trabajo grupal, así como el individual, dando garantía que cada estudiante sea evaluado en conjunto como de forma individual. continuas. clasificación de las funciones

10 continuas. UNIDAD 2: Derivació n de funciones de varias variables. 1-Derivadas parciales: Regla de la cadena y derivación implícita. Serie de Taylor. 2-Derivadas direccionales: Gradiente, planos tangentes a las superficies de nivel. 3-Valores máximos y mínimos: Máximos y mínimos absolutos y condicionados, multiplicadores de Lagrange. 4-Elementos diferenciales: Elemento de arco y de El estudiante resuelva problemas de optimización de funciones de varias variables, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange planteando condiciones para la maximización o minimización de funciones de varias variables. Para lo anterior: El estudiante reconoce el concepto de derivada parcial, lo puede utilizar para aproximar las funciones a la serie de potencias. El estudiante identifica la diferencia entre propiedades de las derivadas de las funciones de varias variables y realiza cálculos aplicando dichas derivadas. -Escribe la serie de Taylor o de potencias para las funciones más sencillas y escribe las ecuaciones de los planos tangentes a diferentes curvas aplicando el gradiente. Aprendizaje Basado en Problemas de acuerdo a las siguientes fases: Fase 1: El estudiante recibe una guía que describe un problema, desde el cual se plantea un reto y motiva al estudiante a profundizar en los estudios de las derivadas de las funciones de varias variables. Fase 2: Con el fin de aclarar dudas sobre las reglas de comportamiento durante el trabajo colaborativo, el tutor organiza una sesión virtual sincrónica donde se establece los protocolos de interacción y entrega del trabajo solicitado. En esta misma sesión se discute con el estudiante las posibles hipótesis para dar solución al problema, y el tutor le orienta para que pueda encontrar la información necesaria que le permita dar solución al problema planteado. El estudiante, junto con el grupo colaborativo Identifica los problemas y el planteamiento de posibles soluciones, a través de una actividad colaborativa que desarrolla dentro de un foro, donde el estudiante puede autorregular su aprendizaje. Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. El tutor será parte 5 -Lograr que el estudiante identifique cada uno de los criterios para la derivabilidad de las funciones y pueda aplicar las derivadas en la solución de problemas. -Determinar la capacidad del estudiante para apropiarse de los conceptos básicos sobre los operadores diferenciales. -Establecer el nivel de comprensión de la aplicación de los conceptos básicos asociados al cálculo de los máximos y mínimos de las funciones de varias variables. -Identifica los criterios para la derivabilidad de las funciones de varias variables.-reconoce los diferentes tipos de las derivadas, como son las parciales, las derivadas direccionales y el gradiente.. -Identifica los puntos críticos de una función de varias variables y puede encontrar los máximos y mínimos absolutos y condicionados de las funciones de varias variables. 25 %

11 superficie en coordenada s cilíndricas y esféricas. 5- Elementos diferenciales: Elementos de arco y área en coordenada s generalizadas, Jacobiano de la transformación. derivadas parciales y derivadas direccionales y puede utilizar la derivada direccional para explicar el gradiente y escribir la ecuación de los planos tangentes a diferentes curvas. El estudiante condiciones para el cálculo de los máximos y de los mínimos de funciones de varias variables. características activa moderando desde al lado la construcción del trabajo colaborativo, así mismo estará apoyando de forma permanente en las dudas que el estudiante va adquiriendo en su experiencia práctica. Fase 3: Con el fin de evaluar los objetivos de aprendizaje adquiridos, el tutor evalúa los resultados del trabajo grupal, así como el individual, dando garantía que cada estudiante sea evaluado en conjunto como de forma individual diferencia los de los diferentes diferenciales diferencias como el de arco, de cuando se pasan área en diferentes de unos sistemas de sistemas de coordenadas, y puede coordenadas a hallar la generalización otros. a otros sistemas de coordenadas. UNIDAD 3: Integració n de funciones con varias 1-Integrales dobles y de volúmenes: Regla del punto medio, integrales iteradas, integrales El estudiante aplica y relaciona entre sí, los operadores diferenciales para resolver problemas de física y de Ingeniería. diferentes tipos de integrales y realiza cálculos aplicando dichas integrales. Aprendizaje Basado en Problemas de acuerdo a las siguientes fases: Fase 1: El estudiante recibe una guía que describe un problema, desde el cual se plantea un reto y motiva al estudiante a profundizar en los estudios de la integración múltiple, de línea, de flujo y aplicación de los teoremas de Green, Stokes y Gauss. 5 -Lograr que el estudiante identifique cada uno de los diferentes tipos de integrales, pueda calcular dichas integrales y las pueda aplicar. -Identifica los diferentes tipos de integrales que involucran funciones de varias variables. -Reconoce las diferentes coordenadas que se 25%

12 variables. dobles sobre regiones generales, integrales dobles en coordenadas polares. 2- Integrales triples: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables en las integrales triples. 3- Integrales de línea: Integral de línea en campos vectoriales, rotacional, campos potenciales. 4- Integrales de superficie: Flujo y Divergencia 5- Teoremas de El estudiante utiliza los diferentes tipos de integrales y los resuelva aplicando los teoremas de Grenn, de la Divergencia, de Stokes, teoremas necesarios que facilitan el cálculo de las integrales de línea, de flujo y circulación, integrales necesarias en la solución de variados problemas de Física y de Ingeniería. Por lo tanto: El estudiante reconoce las diferentes integrales como son las dobles, triples, iteradas, de línea, de flujo y puede realizar diferentes cálculos de las mismas con sus respectivas aplicaciones. -Calcula los diferentes tipos de integrales por diferentes métodos. condiciones para el cálculo de las integrales de línea y de flujo y aplica los teoremas de Green, Stokes y Gauss. Fase 2: Con el fin de aclarar dudas sobre las reglas de comportamiento durante el trabajo colaborativo, el tutor organiza una sesión virtual sincrónica donde se establece los protocolos de interacción y entrega del trabajo solicitado. En esta misma sesión se discute con el estudiante las posibles hipótesis para dar solución al problema, y el tutor le orienta para que pueda encontrar la información necesaria que le permita dar solución al problema planteado. El estudiante, junto con el grupo colaborativo Identifica los problemas y el planteamiento de posibles soluciones, a través de una actividad colaborativa que desarrolla dentro de un foro, donde el estudiante puede autorregular su aprendizaje. Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. El tutor será parte activa moderando desde al lado la construcción del trabajo colaborativo, así mismo estará apoyando de forma permanente en las dudas que el estudiante va adquiriendo en su experiencia práctica. Fase 3: Con el fin de evaluar los objetivos de aprendizaje adquiridos, el tutor evalúa los resultados del trabajo grupal, así como el individual, dando garantía que cada estudiante sea evaluado en conjunto como de forma individual. -Determinar la capacidad del estudiante para apropiarse de los conceptos básicos sobre las integrales de las funciones de varias variables. -Establecer el nivel de comprensión de la aplicación de los conceptos básicos asociados al estudio de las funciones vectoriales como son el concept o de flujo y de circulación. utilizan para realizar cálculos de integrales múltiples. -Identifica los teoremas utilizados para calcular integrales de línea y de flujo.

13 Green, de Gauss y de Stokes. El estudiante identifica la forma como se pueden calcular las integrales al pasar de unas coordenadas a otras. El estudiante diferencia los diferentes teoremas que se utilizan en el cálculo vectorial para hallar o transformar unas integrales en otras. 5 ESTRUCTURA DE EVALUACION DEL CURSO Tipo de evaluación Ponderación Puntaje Máximo Autoevaluación Coevaluación Formativa Formativa Heteroevaluación Fase de reconocimiento Reconocimiento del curso (25). Primera Fase -Trabajo Individual (40). -Trabajo Grupal (60). 25(5%) 100 (20%)

14 Segunda Fase -Trabajo Individual (50). -Trabajo Grupal (75). 125(25%) Tercera Fase -Trabajo Individual (50). -Trabajo Grupal (75). 125(25%) Prueba final 125 (25%) Total 500