Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones

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1 Prueba etraordinaria de septiembre. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones.- Un sastre dispone de 8 m de tela de lana y m de tela de algodón. Un traje de caballero requiere m de algodón y m de lana. Un vestido de señora requiere m de cada una de las telas. a) Hallar la cantidad de trajes de cada tipo que debe hacer para maimizar sus ingresos, teniendo en cuenta que un traje de caballero se vende por euros y un vestido de señora por 9 euros. b) Hallar los ingresos que obtendrá si vende todos los trajes y vestidos calculados en el apartado anterior. Hallar la tela que le sobrará de cada clase si es que sobra. El sastre debe confeccionar trajes de caballero e y trajes de señora. Con ello, si los vende todos, obtendrá unos ingresos z 9 y. El gasto de telas en metros cuadrados será: de algodón y ; y de lana y Se trata de hallar los valores de e y que maimizan los ingresos (la función z) teniendo en cuenta que sólo se dispone de m de algodón y 8 m de lana. Esto produce unas restricciones que pesan sobre los valores de e y que se pueden epresar por: y y (tela de algodón) y 8 ( tela de lana) Para hallar la región factible, esto es el conjunto de puntos que verifican el sistema de inecuaciones, representamos en primer lugar las rectas asociadas: es el eje OY; y es el eje OX. Representamos la recta y8 buscando las coordenadas de dos de sus puntos que pueden ser los puntos de corte con los ejes. El punto A(8/, ) y D(, ) Análogamente representamos la recta y que corta a los ejes en los puntos E(,) y C(,).

2 Una vez representadas las rectas, hemos de concretar qué puntos del plano cumplen todas las inecuaciones. Esto lo hacemos evaluando las inecuaciones para un punto de prueba que no pertenezca a ninguna de las rectas. Por ejemplo el punto P(,). Al sustituir las coordenadas de este punto en las inecuaciones vemos que todas ellas se satisfacen. Esto nos permite añadir a la figura, en cada una de las rectas unas flechitas que indican la zona en la que se cumple la inecuación, que es la zona que contiene al punto P, de las dos en que cada recta divide al plano. Así concluimos que la región factible definida por el conjunto de restricciones es el cuadrilátero ABCO. Tenemos las coordenadas de todos estos puntos menos las del punto B. Las hallaremos y resolviendo el sistema de ecuaciones: Restando la segunda ecuación menos la y 8 primera, se obtiene: ; ; y sustituyendo en la primera: y ; y Las coordenadas del punto B son por tanto: B(,) Sabemos por la teoría de la programación lineal que, si eiste una sola solución óptima, ésta se encuentra en un vértice de la región factible. Si eisten infinitas, se encuentran en un lado de la región factible. Evaluamos pues en los vértices la función objetivo z 9 y Z(O) Z(A) 8/ 9 Z(B) 9 Z(C). El punto óptimo es por tanto el punto B(,). Para maimizar sus ingresos el sastre debe fabricar trajes de caballero y de señora. A la misma conclusión hubiéramos llegado representando las líneas de nivel de la función objetivo, es decir las rectas 9 y z (donde vamos dando a z valores). En la siguiente figura, se ve que es en el punto C donde se alcanza el máimo de la función z..- a) Discutir el siguiente sistema para los distintos valores de m. b) Interpretarlo geométricamente en cada caso. c) Resolverlo en particular para m. - y z - y z m y - m z El determinante del sistema viene dado por: A m ( m) m m Si A, tendremos un sistema de solución única, compatible y determinado. Esto ocurre cuando m. En este caso el sistema se interpreta geométricamente como tres planos (cada una de las ecuaciones ) que se cortan en el espacio con un único punto común entre ellos.

3 Si A, entonces m y tenemos que estudiar, en este caso, el rango de la matriz A y el de la matriz ampliada con los términos independientes A. Puesto que ; la matriz A tiene un menor de orden distinto de por lo que su rango es. Veamos ahora el rango de la matriz ampliada: ' A Evaluamos el menor formado por las dos primeras columnas y la cuarta: 7) ( 8) ( Tenemos pues que r(a ) > r(a) y, por tanto el sistema es incompatible para m. En este caso el sistema se interpreta geométricamente como tres planos que se cortan dos a dos, pero no tienen ningún punto común a los tres como en la figura: Resumimos la discusión del sistema: si m el sistema es incompatible (no hay soluciones). Si m el sistema es compatible y determinado (solución única). Sólo nos queda resolver el sistema cuando m. En este caso, se trata de un sistema de solución única que resolveremos por el método de Gauss. z z y z y Ecuaciones que nos llevan directamente a la solución: ; y ; z ;.- Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función. Representarla. < ) ( si si f a) Continuidad: Tanto si es mayor que o menor que, f() es un polinomio y por tanto es una función continua. Es decir, si es distinto de, f() es continua. El único posible punto de discontinuidad podría ser. Estudiamos pues la continuidad en ese punto hallando los límites por la izquierda y derecha en. Límite por la izquierda en :

4 Lím f( ) Lím Límite por la derecha en : Lím f( ) Lím ( ) El valor de la función en es : f() - Los tres valores son iguales, por tanto f() es también continua en y, por tanto, continua en (, ) b)derivabilidad: Tanto si es mayor que o menor que, f() es un polinomio y por tanto es una función derivable y, en esos puntos, su derivada viene dada por: si < f '( ) [ ] si > Queda por estudiar la derivabilidad en. f() será derivable en si los límites por la izquierda y por la derecha de f '() en, son iguales: Lím f '( ) Lím Lím f '() Lím Puesto que ambos límites coinciden, f() es derivable y su derivada para cualquier valor de se puede calcular con la fórmula: si < f '( ) si.- Dibuja la función f() - y halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa y. Los puntos de corte de f() con el eje X vienen dados por la ecuación cuyas soluciones son y -. Además, si, y. Por otra parte al ser f() un polinomio en el que sólo figuran potencias pares de se cumple que f(-) f() por lo que la función es simétrica respecto al eje vertical. Resumiendo esto en una tabla y hallando algunos valores más: y - El área que nos piden calcular es la señalada en gris en la figura y viene dada por: A ( ) d ( ) d

5 Obsérvese que hemos puesto la segunda integral entre barras, lo que indica que hay que tomar el valor absoluto. Esto es así porque, al estar la función f(), entre y, por debajo del eje X, la integral es negativa. Si no tomamos el valor absoluto estaríamos restando esa área y no sumándola. Por esa misma razón, no podemos calcular el área evaluando la integral entre y. A ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) u.- En un centro de enseñanza de idiomas estudian 8 alumnos entre los cuales cursan francés e inglés simultáneamente, cursan inglés y cursan francés. Se escoge un alumno al azar. a) Calcular la probabilidad de que el alumno elegido no estudie francés. b) Calcular la probabilidad de que el alumno elegido no estudie ni francés ni inglés. c) Sabemos que el alumno elegido no estudia francés. Calcular la probabilidad de que estudie inglés. Tratamos en primer lugar de organizar los datos del problema en la tabla de más abajo. La empezamos a rellenar siguiendo el orden en el que se nos proporcionan los datos del problema. En la casilla del etremo inferior derecho ponemos los 8 alumnos del centro de enseñanza. Los que estudian francés e inglés simultáneamente los ponemos en la primera casilla de la primera fila. Los que cursan inglés en el total de la primera columna. Los que cursan francés en el total de la primera fila. Una vez puestos estos datos, las casillas que quedan vacías las rellenamos haciendo una resta con los demás datos de la fila o de la columna. Llegaremos así a la tabla completa: Estudiantes que cursan inglés Estudiantes que no cursan inglés Totales Estudiantes que cursan francés Estudiantes que no cursan francés Totales 8 Los valores de la tabla nos permiten responder directamente a las preguntas del problema. a) El total de los que no estudian francés es. La probabilidad de que un alumno elegido al azar no estudie francés es /8,7 b) Hay alumnos que no estudian ni francés ni inglés. La probabilidad de elegir uno de ellos es /8, c) Sea I el suceso <<el alumno elegido estudia inglés>>. Sea el suceso <<el alumno elegido estudia francés>> Llamaremos al suceso contrario de. I son los alumnos que estudian inglés pero no francés. En la tabla aparecen es el conjunto de los alumnos que no estudian francés: en total son. Por tanto, la probabilidad de que estudie inglés, sabiendo que no estudia francés es: PI ( I') 8 PI ( / '),87 P ( ') 7 8

6 .- Se estima que el tiempo empleado por un deportista en la realización de cierta prueba sigue una distribución normal con media de segundos y desviación típica de. a) Se escoge un deportista al azar. Calcular la probabilidad de que tarde más de segundos en realizar prueba. b) Se escoge una muestra de deportistas y se calcula la media de los tiempos empleados en realizar la prueba. Calcular la probabilidad de que resulte una media superior a segundos. c) Halla un intervalo en el que esté contenida la media de esa muestra de deportistas, con un nivel de confianza del 9%. Sea X la variable: tiempo empleado por el deportista en la realización de la prueba. El problema nos dice que X N(,) a) P(X > ) P( X ) P( Z ) P( Z ) - φ(),977,. ( φ(k) es la función de distribución Normal, cuyos valores obtenemos de la tabla). b) Designaremos con M, la variable: media de los tiempos empleados por los deportistas. La variable M sigue una distribución normal de media y desviación típica,7. M N(,,7) P(M > ) P ( M ) P( Z ) P( Z,8),7 - φ(,8) -,99,7 c) El intervalo pedido es tal que la probabilidad de que M pertenezca a ese intervalo es 9 %,9 α - α,9 ; α, ;,9 ; z α/,. Para hallar el valor de z α/ se hace una lectura inversa de la tabla de la función normal. Es decir, φ( z α/ ),9. Se busca el valor,9 entre los números del interior de la tabla y z α/ será el valor que le corresponde, leído en la primera columna de la izquierda y, el segundo decimal, en la cabecera. El intervalo es I (µ - z α/ (8,77,, ) σ n, µ z α/ σ ) (,,7,,,7 ) n

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