Matemáticas UNIDAD 1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 1 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD AMPLIACIÓN DE CONOCIMIENTOS ACERCA DE LOS NÚMEROS NATURALES En 5º año el Subsector Educación se inicia con una ampliación del ámbito numérico que en los años anteriores había llegado hasta 1 millón. Mediante una generalización de la lógica de construcción de los números naturales en nuestro sistema de numeración se supera esta barrera y los estudiantes aprenden a leer, escribir e interpretar números de más de 6 cifras, en especial, en el tramo de 7 a 12 cifras. Diferentes formas de descomposición permiten formarse una idea de las cantidades representadas por números de más de 6 cifras. Se discuten las relaciones de orden en este ámbito numérico y finalmente se analizan los procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, subrayándose el hecho que estos procedimientos no son sino una generalización de los ya conocidos para números más pequeños. 2. APRENDIZAJES ESPERADOS En esta Unidad se propone organizar los contenidos a tratar en dos secciones: a. Interpretación, lectura y escritura de números de más de 6 cifras b. Operaciones con números grandes 2.1 Interpretación, lectura y escritura de números de más de 6 cifras En la primera sección se espera que los estudiantes consoliden un aprendizaje que se inició en los primeros años, a saber, una clara comprensión de la forma en que se van formando los números naturales (primer aprendizaje esperado). Si en 2º año básico se alcanzó una adecuado dominio de la lectura, escritura, orden y sentido de cantidad de los números de 3 cifras, la ampliación del ámbito numérico a números de hasta 6 cifras no debió significar ningún problema para los alumnos y alumnas. Y ahora, un buen dominio de los números de hasta 6 cifras debe constituir la base para el siguiente paso: los números de más de 6 cifras, en especial, los números entre 7 y 12 cifras. Los estudiantes deben estar en condiciones de leer y escribir números de más de 6 cifras y aplicar en ellos el principio de valor de posición (segundo aprendizaje esperado). Con el objeto de ir desarrollando el sentido de la cantidad que representan estos números grandes se presentan formas de descomposición aditiva que puedan contribuir a ese fin, en especial, una descomposición en millones y las unidades restantes o una descomposición en miles de millones, millones, miles y unidades restantes (tercer aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS Interpretación, lectura y escritura de números de más de 6 cifras Comprenden la lógica de construcción de los números de más de 3 cifras y, en especial, de los números de más de 6 cifras. Leen y escriben números de más de 6 cifras y reconocen el valor representado por cada dígito. Descomponen números de más de 6 cifras en formas que destacan la cantidad representada por cada dígito. Interpretan la información que proporcionan números grandes en diferentes contextos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 Finalmente se espera en esta sección desarrollar la capacidad para utilizar estos números, sobre todo en el sentido de ser capaces de interpretar información que aparece medios de comunicación, libros de divulgación científica, páginas de Internet u otras fuentes, que se dan en términos de números de más de 6 cifras y que puedan ser de interés para los estudiantes (cuarto aprendizaje esperado). 2.2 Operaciones con números grandes En la segunda sección la atención se centra en la comparación de números grandes y en los procedimientos de cálculo de las distintas operaciones aritméticas en este ámbito numérico. Se espera que los alumnos y alumnas logren un buen dominio de la comparación de números de más de 6 cifras sobre la base de una generalización de los procedimientos de comparación de los números de hasta 6 cifras que conocieron en años anteriores. Al mismo tiempo, se desea que estén en condiciones de efectuar redondeos a diferentes niveles de precisión, especialmente en contextos en que no se requiere mayor precisión y en los que, por tal razón, resulta provechoso redondear los números involucrados (primer aprendizaje esperado). En relación con los procedimientos de cálculo, los números grandes tampoco muestran diferencias con respecto a los aprendidos en 3º y 4º año básico. El énfasis está colocado precisamente en hacer ver estas similitudes (segundo aprendizaje esperado). En los cálculos con números grandes es especialmente adecuado el empleo de herramientas tecnológicas como la calculadora o la planilla de cálculo. El trabajo con estas herramientas tecnológicas debería ser reforzado con habilidades de redondeo y cálculo mental aproximado. APRENDIZAJES ESPERADOS Operaciones con números grandes Efectúan comparaciones de números grandes y redondean números grandes a diferentes niveles de precisión. Emplean procedimientos de cálculo en situaciones que involucran números grandes. Resuelven problemas que involucran números grandes. Por último, se espera desarrollar habilidades propias de la resolución de problemas en relación con contextos en que es común el uso de números grandes (tercer aprendizaje esperado). 3. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO 3.1 Lectura, escritura y sentido de cantidad de números de más de 6 cifras Conviene subrayar a lo largo de toda la Unidad que el conocimiento y trabajo con números de más de 6 cifras no presenta prácticamente ninguna novedad con respecto a los que se ha visto anteriormente. De hecho, en relación con el nombre de los números, para llegar hasta los números de 12 cifras solo se requiere aprender una palabra nueva: millón. Y con otra palabra nueva (billón), se pueden cubrir todos los números hasta de 18 cifras. La lectura y escritura de números grandes se basa en ciclos de 3 y 6 cifras, contadas siempre desde la posición de las unidades hacia la izquierda. Así, por ejemplo, para leer el número dividimos el número en dos grupos: uno con las 3 cifras de la derecha y el otro con las cifras restantes. Para facilitar la lectura generalmente se separan ambos grupos mediante un punto o un espacio. Una vez separados los dos grupos, se lee primero el grupo de la izquierda, se inserta la palabra mil y se lee luego el grupo de la derecha. De esta forma, si sabemos leer números de 3cifras, no tendremos problemas para leer números de 4 5 y 6 cifras mil miles y 395 unidades por sobre 84 mil FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 Esta separación en dos grupos ayuda asimismo a formarse una idea de cuán grande es la cantidad representada. En efecto, la separación en grupos me dice que estamos hablando de 84 miles y algo más. Es decir, estamos hablando de una cantidad que está entre 84 mil y 85 mil. El grupo de la izquierda me dice de cuántos miles estamos hablando y el grupo de la derecha me dice cuántas unidades tenemos por sobre esa cantidad de miles. Es importante subrayar que el grupo de la derecha debe tener 3 cifras. Y si la cantidad representada por ese grupo corresponde a un número de solo 1 o 2 cifras, entonces tendremos que completar las tres cifras usando ceros a la izquierda. Por ejemplo, el número 528 mil 3 se escribe: Con números de entre 7 y 12 cifras, la situación es parecida, aunque no idéntica. Se introduce la palabra millón que equivale a mil veces mil. Los dígitos que quedan a la izquierda de la posición de las centenas de mil representan millones de unidades. Por esta razón, para leer un número de más de 6 cifras empezamos formando dos grupos de cifras, de modo que el grupo de la derecha tenga 6 cifras. Una vez separados los dos grupos, se lee primero el grupo de la izquierda, se inserta la palabra millones (o millón si el grupo de la izquierda es solo un 1) y se lee luego el grupo de la derecha. Como estos grupos no tienen más de 6 cifras y ya sabemos leer números de hasta 6 cifras, no tendremos problemas para leer números de hasta 12 cifras millones millones y unidades por sobre esa cantidad de millones También aquí esta separación en dos grupos ayuda a formarse una idea de cuán grande es la cantidad representada. El grupo de la izquierda me dice de cuántos millones estamos hablando y el grupo de la derecha me dice cuántas unidades tenemos por sobre esa cantidad de millones. Debemos subrayar que el grupo de la derecha debe tener 6 cifras. Si la cantidad representada por ese grupo corresponde a un número de menos de 6 cifras, entonces tendremos que completar las 6 cifras usando ceros a la izquierda. Por ejemplo, el número millones se escribe: La situación es similar para números de 13 a 18 cifras. Incorporamos una nueva palabra: billón que equivale a 1 millón de millones. Nuevamente separamos grupos de 6 cifras contando desde la derecha. Leemos estos grupos de izquierda a derecha. Entre el primero y el segundo grupo intercalamos la palabra billones (o billón si el grupo de la izquierda es solo un 1) y entre el segundo y el tercero intercalamos la palabra millones. Así, por ejemplo, el número se leerá: billones millones. Podemos seguir con el mismo procedimiento para leer números de más de 18 cifras, considerando que 1 millón de billones es un trillón, un millón de trillones es un cuatrillón, etc. En las ciencias y en la tecnología se presentan con frecuencia números muy grandes que deberían escribirse con gran cantidad de cifras. Sin embargo, la práctica ha mostrado que resulta mucho más conveniente expresar estos números con ayuda de potencias de 10, de modo que no es común ver en textos de contenido científico números con muchas cifras. El uso de potencias de 10 para representar números muy grandes se ve en 6º básico y luego, en 7º básico, se conoce el uso de potencias de 10 para representar números muy pequeños. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 3.2 Una cuestión de idioma A veces en diferentes países se adoptan convenciones que difieren entre sí. En el contexto de la globalización, esto suele traer algunos inconvenientes. Así, por ejemplo, en casi todas las calculadoras y en muchos informes o artículos relativos a temas científicos o tecnológicos se utiliza un punto para separar la parte entera de la parte decimal en números decimales. De modo que debemos tener cuidado al momento de interpretar un número en que sus cifras están separadas por un punto. Una confusión similar surge con la palabra billón. En nuestro idioma, 1 billón equivale a 1 millón de millones. Pero en otros idiomas, especialmente en inglés, 1 billion equivale a mil millones. Esta diferencia no siempre se toma en cuenta en traducciones del inglés, en que la palabra inglesa billion se traduce directamente por billón sin considerar que ambas palabras representan cantidades muy diferentes. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4