ECONOMIA DE LA PRODUCCION DE BIENES AGRICOLAS TEORÍA Y APLICACIONES 1

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1 DOCUMENTO CEDE ISSN (Edición Electrónic SEPTIEMBRE DE 004 CEDE ECONOMIA DE LA PRODUCCION DE BIENES AGRICOLAS TEORÍA Y APLICACIONES RAMÓN ANTONIO ROSALES ÁLVAREZ, EDSON APAZA MAMANI 3, JORGE ALEANDER BONILLA LONDOÑO 4 Resumen El documento tiene como objetivo principl mostrr el mrco teórico y opertivo de l economí de l producción de los bienes grícols. En el mrco teórico se desrrolln los principios microeconómicos relciondos con l producción y los costos de los bienes grícols, sí como ls leyes que soportn l teorí de l dulidd. L prte empíric o plicd del documento se centr en l estimción de modelos econométricos de ls funciones de producción más utilizds en l gricultur. A prtir de los modelos estimdos se derivn y se representn gráficmente los conceptos más importntes que se tienen en cuent en el nálisis económico de l producción grícol. Ls bses de dtos se hn construido prtir de experimentos grícols llevdos cbo en los centros de investigción gropecuri de Colombi y México. Finlmente, el presente documento pretende contribuir l inicio de un serie de publicciones en ls que se muestre los resultdos de distintos estudios llevdos cbo en el áre de economí grícol del Progrm de Mestrí en Economí del Medio Ambiente y Recursos Nturles PEMAR de l Fcultd de Economí de l Universidd de los Andes. Plbrs clve: economí grícol, economí de l producción, dulidd Clsificción JEL: E3, Q 3 4 Este documento hce prte de ls nots de clse del curso Desrrollo, Economí Agrícol y Medio Ambiente, del progrm de Mestrí en Economí del Medio Ambiente y de los Recursos Nturles PEMAR de l Fcultd de Economí Universidd de Los Andes. Economist Agrícol Ph. D., Profesor Asocido Fcultd de Economí, Universidd de Los Andes. Profesor del curso Desrrollo, Economí Agrícol y Medio Ambiente, Econometrí I, y Econometrí Avnzd. Fcultd de Economí. Universidd de Los Andes. Mgíster en Economí y Mgíster en Economí del Medio Ambiente y de los Recursos Nturles, Profesor Asistente curso Desrrollo, Economí Agrícol y Medio Ambiente, Fcultd de Economí. Universidd de Los Andes. Mgíster en Economí y Mgíster en Economí del Medio Ambiente y de los Recursos Nturles, Profesor Econometrí II, Tller de Econometrí I y Tller de Econometrí Avnzd. Fcultd de Economí. Universidd de Los Andes.

2 THE ECONOMICS OF AGRICULTURAL PRODUCTION GOODS Abstrct The min objective of this document is to sho the theoreticl nd opertive frmeork of the economy of griculturl goods. In the theoreticl frmeork the microeconomic principles re relted ith the production nd costs of griculturl goods nd the theory of the dulity. The empiricl or pplied prt of the document is centered on the estimtion of econometric models of the production functions most commonly used in griculture. From the estimted models, the most importnt concepts of the economicl nlysis of griculturl production re derived nd represented grphiclly. The dtbses hve been built from griculturl experiments of the Agriculturl Reserch Centers of Colombi nd Mexico. Finlly, this document ims to contribute to the beginning of set of publictions of the results of different studies relted to griculturl economics done in the Msters Degree Progrm in Environmentl nd Nturl Resources (PEMAR of the Fculty of Economics Universidd de Los Andes, Key ords: griculturl economics, production economics, dulity theory JEL clssifiction: E3, Q

3 TABLA DE CONTENIDO. LA ECONOMÍA AGRÍCOLA LA ECONOMIA AGRÍCOLA Y SU RELACIÓN CON LA MICROECONOMÍA Y LA MACROECONOMÍA Relción de l Economí Agrícol con l Microeconomí Relción De L Economí Agrícol Con L Mcroeconomí Objetivo De Los Agentes Económicos TEORIA MICROECONOMICA DE LA PRODUCCIÓN L Tecnologí Función De Producción LA FUNCIÓN DE BENEFICIOS Propieddes de l función de beneficios Lem de Hotelling FUNCIONES DE PRODUCCION Función de Producción Cudrátic Función de Producción Ríz Cudrd Función de Producción Cobb-Dougls Función de Producción de Elsticidd de Sustitución Constnte (CES Función de Producción Trscendentl Función de Producción Trnslogritmic TEORIA DE LA FUNCION DE COSTOS Objetivo de l Función de Costos Propieddes y Crcterístics de l Función de Costos Alguns Especificciones de L Función de Costos TEORIA DE LA DUALIDAD L Dulidd de Funciones Función Dul de Beneficios Función Dul de Producción Función Dul de Costos Relciones entre l Función de Producción y l Función de Costos REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ANEO. BASE DE DATOS Agrícol.xls ANEO. BASE DE DATOS Sinlo.xls ANEO 3. BASE DE DATOS Gudljr.xls

4 LISTA DE FIGURAS { } FIGURA NO.. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE V ( y ( x, x R y Min { x, }.. : bx FIGURA NO.. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN: y x... FIGURA NO. 3. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN NEOCLÁSICA... 4 FIGURA NO. 4. ESPACIAMIENTO DE LAS ISOCUANTAS... 6 FIGURA NO. 5. LA RECTA ISOCOSTO... 7 FIGURA NO. 6. LÍNEAS DE RACIONALIDAD TÉCNICA Y ECONÓMICA, Y LA SENDA DE EPANSIÓN... 9 FIGURA NO. 7. ETAPAS DE PRODUCCIÓN FIGURA NO. 8. INTERDEPENDENCIA DE FACTORES... 0 FIGURA NO. 9. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CUADRÁTICA... 6 FIGURA NO. 0. LÍNEAS DE ACOTAMIENTO, LÍNEAS DE RACIONALIDAD ECONÓMICA Y SENDA DE EPANSIÓN FIGURA NO.. PRODUCCIÓN DE MAÍZ. FPC FIGURA NO.. PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL DE LA FPC DE MAÍZ... 3 FIGURA NO. 3. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN RAÍZ CUADRADA FIGURA NO. 4. LÍNEAS DE ACOTAMIENTO, LÍNEAS DE RACIONALIDAD ECONÓMICA Y SENDA DE EPANSIÓN FIGURA NO. 5. PRODUCCIÓN DE MAÍZ. FPRC FIGURA NO. 6. PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL DE MAÍZ. FPRC FIGURA NO. 7. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS FIGURA NO. 8. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS FIGURA NO. 9. PRODUCCIÓN DE MAÍZ. FPCD FIGURA NO. 0. PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL DE MAÍZ. FPCD FIGURA NO.. REPRESENTACIÓN DE LAS ISOCUANTAS SEGÚN LA ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CES... 4 FIGURA NO.. PRODUCCIÓN DE MAÍZ. FPCES FIGURA NO. 3. PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL DE MAÍZ. FPCES FIGURA NO. 4. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN TRASCENDENTAL FIGURA NO. 5. ISOCLINAS PARA LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN TRASCENDENTAL SIN TÉRMINO DE INTERACCIÓN FIGURA NO. 6. PRODUCCIÓN DE MAÍZ. FPT FIGURA NO. 7. PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL DE MAÍZ. FPT FIGURA NO. 8. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN TRANSLOGARITMICA FIGURA NO. 9. PRODUCCIÓN DE MAÍZ. FPTL FIGURA NO. 30. PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL DE MAÍZ. FPTL... 5 FIGURA NO. 3. FUNCIÓN DE COSTOS DE LARGO PLAZO FIGURA NO. 3. OPTIMO ECONÓMICO

5 LISTA DE TABLAS TABLA NO.. ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CUADRÁTICA TABLA NO.. ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN RAÍZ CUADRADA TABLA NO. 3. ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS TABLA NO. 4. ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CES TABLA NO. 5. ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN TRASCENDENTAL TABLA NO. 6. ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN TRANSLOGARITMICA... 5 TABLA NO. 7. ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS TABLA NO. 8. DUALIDAD ENTRE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Y LA FUNCIÓN DE COSTOS

6 INTRODUCCION El presente documento muestr spectos temáticos generles de l teorí de l producción con especil énfsis en plicciones de l economí grícol. Se presentn los procedimientos de cálculo y estimción de ls expresiones más utilizds en l plicción empíric de l teorí de l producción y de l teorí de l firm. Se desrroll l teorí estándr y l mner de estimr modelos teóricos con diferentes forms funcionles medinte el uso de herrmients econométrics, sí como l representción gráfic de ls funciones estimds. El documento cuent con ejercicios que le permiten l estudinte finzr los conceptos vistos en cursos previos y replicr ls estimciones propuests 5. El documento se encuentr dividido en ocho secciones. L primer present l definición de l economí grícol, resltndo su importnci en el desrrollo grícol e industril. L segund relcion l economí grícol con l cienci económic, enftizndo en áres como l microeconomí y l mcroeconomí. L tercer trt los spectos básicos de l teorí microeconómic de l producción. L curt present l función de beneficios y sus propieddes. L quint muestr los tipos de funciones de producción comúnmente trbjdos en economí grícol. L sext trt l teorí de l función de costos y sus propieddes. L séptim introduce l teorí de l dulidd y l octv present un breve descripción de ls plicciones de l dulidd entre l producción y el costo.. LA ECONOMÍA AGRÍCOLA Los entes privdos y públicos hn mostrdo un creciente interés por estudios económicos en los que se nlicen spectos relciondos con: l form como se utilizn los recursos pr l producción de los bienes grícols dentro de un esquem de sostenibilidd económic y mbientl; el conflicto entre los sectores urbno y rurl por el uso recursos, principlmente gu, suelo y bosques; y el impcto en el bienestr de los productores y consumidores nte medids de polític, especilmente ls relcionds con l globlizción de l economí. L cienci que se encrg del estudio de ls leyes económics que grntizn l mejor signción de bienes y recursos en l gricultur es l economí grícol. Est cienci tiene como finlidd signr recursos escsos usos decudos y eficientes de fctores productivos pr ls ctividdes grícols, forestles, gnders y de pesc. L economí grícol desrroll ctividdes de regulción que tienen en cuent ls crcterístics de cd sector, como por ejemplo l evolución de l mno de obr, l incidenci del cpitl en l productividd, y ls técnics plicds en el proceso y en el desrrollo tecnológico. A continución se citn lguns rzones por ls cules l gricultur jueg un ppel importnte en el desrrollo de un pís: 5 Se grdece el poyo de Rmon s Clude Jen Philippe en l edición del documento. 6

7 El sector grícol es primordil por ser el encrgdo de l ofert de limentos y mteris prims pr l industri y pr los trbjdores urbnos. Cmbios en l gricultur que fecten l ofert pueden ocsionr perturbciones en los otros sectores de l economí. L ofert de bienes grícols pr el consumo finl e intermedio es un instrumento importnte de los gobiernos en el control de l inflción. b El sector grícol bsorbe un grn cntidd de trbjdores y es l fuente de l fuerz trbjo pr l industrilizción. Al incrementrse l productividd grícol se ofrecen trbjdores l industri sin quebrntr serimente l ofert de limentos y mteris prims. c En ls etps iniciles del desrrollo económico de un pís, l industri necesit diviss pr importr mquinri y mteris prims que éste no puede producir internmente, sí l gricultur prtir de productos primrios, se convierte en l fuente principl de los ingresos por exportciones. Un pln de desrrollo o progrm de industrilizción requiere considerbles sums de inversión, en tnto que un grn prticipción del ingreso ncionl se gener en l gricultur; siendo ést un fuente principl de horros pr l economí. d En l medid que exist un sector grícol próspero, éste podrá bstecer ls necesiddes del mercdo industril. L industri no puede desrrollrse eficientemente o mplirse un tmño competitivo sin l prticipción del sector grícol, menos que hy un mercdo industril de grn escl. e Cundo un pís inici su industrilizción, hy vris rzones por ls cules es necesrio incrementr l productividd grícol: i El sector grícol brc un poblción grnde en los píses menos desrrolldos. Si l mno de obr debe desplzrse de l gricultur pr ser incorpord en el sector industril, l productividd grícol debe mejorrse pr fcilitr su desplzmiento. ii iii iv Un sector industril creciente requiere un cntidd myor de limentos pr los trbjdores industriles en l ciudd y un cntidd creciente de mteris prims pr ls fábrics recién estblecids. En ls etps iniciles, l industri reliz un incipiente intercmbio con el extrnjero, sin embrgo se empiez crer un fuerte demnd de él. L industri necesit el intercmbio con el extrnjero pr l dquisición de mquinri, tecnologí y otros insumos que no se producen loclmente. Si un pís no puede umentr l productividd del sector grícol, los términos de intercmbio 6 cmbirán fvor de l gricultur y l industrilizción se hrá más costos y difícil. 6 Los términos de intercmbio (TI se refieren l relción de precios domésticos entre los productos grícols (P y los productos industriles (Pi: TI P / Pi. 7

8 f L prticipción más grnde del ingreso ncionl en los píses menos desrrolldos se gener en el sector grícol. En este sentido, el sector que puede contribuir más, por su tmño, pr l implementción de un progrm de desrrollo e industrilizción, el cul requiere considerbles fondos, es el grícol. Un incremento en el ingreso grícol por encim del nivel de subsistenci, suministrrá el potencil y el nivel de horro requerido por l sociedd pr relizr sus plnes de inversión. Pr que el umento en el ingreso se verddermente efectivo, éste debe reflejr un umento de l productividd y no solmente un umento en los precios. g L industri tmbién necesit un mercdo fuerte y bien desrrolldo pr operr y funcionr eficientemente. Hy muchs industris que requieren un tmño mínimo ntes de poder cceder l tecnologí ctul y logrr economís de escl. El grueso de l demnd industril en píses menos desrrolldos es l poblción directmente vinculd l gricultur. Si l gente en el sector grícol no gn un ingreso muy por encim de su necesidd de subsistenci, no será cpz de formr el mercdo que l industri necesit. Los elementos descritos nteriormente permiten enftizr l importnci del sector grícol y su ppel trscendentl en el desrrollo económico de un pís. En este sentido, el efectur un nálisis estructurdo del comportmiento del sector productivo podrá generr un espcio pr l proposición de recomendciones de polític que incentiven los determinntes de l productividd, su desrrollo y evolución.. LA ECONOMIA AGRÍCOLA Y SU RELACIÓN CON LA MICROECONOMÍA Y LA MACROECONOMÍA... Relción de l Economí Agrícol con l Microeconomí. Ls decisiones de los productores y los consumidores de bienes grícols pueden verse fectds por vribles microeconómics, impctndo el bienestr económico de tles gentes. Ls especilizciones que se encuentrn dentro de l economí grícol con myor enfoque en l microeconomí, son: Economí de l Producción: se encrg del estudio del mercdo de los fctores de producción y del mercdo del producto. L economí de l producción brind los criterios y herrmients pr determinr ls cntiddes óptims de producción y de demnd de recursos. Economí de Mercdo: Se ocup del estudio de los flujos de recursos y de l producción. Cd mercdo cuent con crcterístics diferentes y ésts determinn l estructur en l cul se relizn ls trnscciones. 8

9 Economí de Finnzs: Se ocup del estudio del finncimiento de los negocios y proyectos. Busc brindr lterntivs que se justen l demnd de inversiones de los productores grícols, siendo los criterios básicos, el vlor presente neto, relción beneficio-costo y l ts intern de retorno del proyecto que permiten decidir su vibilidd o no. Economí de los Recursos: se ocup del estudio del uso y l preservción de los recursos que se utilizn o son fectdos por l ctividd grícol, teniendo en cuent el ciclo de vid de estos y evlundo ls posibiliddes de su uso decudo y l disposición finl que permitn mejorr el desempeño de l firm. Est áre incluye el estudio del recurso hídrico, suelo, bosques y el uso de groquímicos y sus impctos en los recursos y en l slud. Economí de Polític Agrícol: Se encrg del estudio de ls leyes grris que rigen y orientn l economí del pís. L polític grícol sectoril permite mejorr el desempeño del sector orientándose ls polítics de créditos, de impuestos, de determinción de fronters grícols y de legislción mbientl pr el uso de groquímicos, entre otros... Relción de L Economí Agrícol con l Mcroeconomí. Ls vribles mcroeconómics cumplen un ppel importnte en l evolución de l economí grícol pr los píses en desrrollo. Son resultdo de l plicción de l polític monetri o l polític fiscl y formn prte de ls vribles determinntes del comercio interncionl. Alguns de ests vribles son: impuestos, subsidios, cuots, tss de cmbio, inversión, horro y ofert monetri..3. Objetivo de los Agentes Económicos. Según l rm de l economí, los gentes presentn objetivos prticulres: Economí del Consumo. El objetivo del gente consumidor es l mximizción de l utilidd. Economí de l Producción. El objetivo del gente productor es l mximizción de los beneficios. Economí de l Producción Agrícol. De cuerdo con ls relciones presentes en l producción grícol, continución se describe l conduct del productor grícol: 9

10 . Objetivo del gricultor. El productor tiene como objetivo mximizr sus beneficios. Por otro ldo, prlelo este objetivo el gricultor puede deser tmbién l mximizción de su producción. b. Escogenci de productos y signción de recursos. El gricultor elige los productos y sign recursos ddo un conjunto de restricciones: l tecnologí, el cpitl y l mno de obr, etc. c. Riesgo e Incertidumbre. Cundo se decide producir existe lgún grdo de vulnerbilidd, riesgo o incertidumbre, y se por su nturlez, por ctividdes ntrópics y/o por decisiones de polític del gobierno. d. Tipos de mercdo y mbiente competitivo. Existen efectos de ls estructurs del mercdo de l producción, ls cules pueden fectr tnto ls relciones de eficienci en el uso de los fctores productivos, como el mercdo de fctores. En sentido contrrio, por lgun ví, el mercdo de fctores puede impctr el mercdo de l producción. 3. TEORIA MICROECONOMICA DE LA PRODUCCIÓN En este cpítulo se describen ls crcterístics más importntes de l tecnologí, su enfoque teórico y forml desde l perspectiv económic y sus plicciones en l economí grícol. 3.. L Tecnologí L tecnologí describe el conjunto de plnes de posibiliddes de producción, de uso de insumos y productos obtenidos que son fctibles ddo un estdo de conocimientos. L tecnologí puede representrse como: Donde y ( y, y,..., y m x ( x, x,..., Y {( y, x } {( y, y,..., y, x, x,..., } m x n, es el vector de productos, pr todo i,,...,m, y x n, es el vector de insumos, pr todo k,,...,n. De est mner, Y represent el vector Producto Insumo Descripción de l tecnologí Considérese un firm que produce un único bien prtir de n insumos. Su tecnologí puede describirse de l siguiente form: 0

11 { } n i. Conjunto de posibiliddes de producción: Y ( y, x R : y f ( x Represent tods ls relciones producto-insumo que son tecnológicmente vibles. { : Y } n ii. Conjunto de requerimientos de insumos: V( y x R ( y; x V ( y represent l cntidd mínim de requerimiento de insumos pr obtener un nivel de producción y. iii. Isocunt. n { x R / x V( y x V( y', y > y} Q( y ' Es un subconjunto de V ( y de nivel y. Indic tods ls combinciones de fctores que genern l menos y uniddes de producción. iv. Función de producción Ejemplo. ( x ( x,x f,...,x n Es el máximo nivel de producto socido l vector de insumos x, x,..., x en el conjunto de posibiliddes de producción Y. ( n Sen > 0 y b > 0 prámetros de l siguiente tecnologí de producción: Y 3 {( y, x, x R y min{ x, } : bx A continución se describe nlíticmente el conjunto de requerimientos de insumos, l isocunt y l función de producción: Conjunto de requerimientos { } { } de insumos: V( y ( x,x R : y min{ x, bx} Isocunt: Q ( y ( x,x R : y min{ x, bx} Función de producción: f ( x,x min{ x, } bx { } Figur No.. Representción gráfic de V ( y ( x, x R y Min { x, } : bx

12 Ejemplo. Pr l función de producción y x, se describe nlíticmente su tecnologí: Conjunto de posibiliddes de producción: Y {( y, x R : y x} Conjunto de requerimientos de insumos: V( y { x R : y Isocunt: Q ( y { x R : y x} Función de producción: f ( x x Figur No.. Representción gráfic de l función de producción: y x Ejemplo 3. Sen > 0 y b > 0 prámetros de l siguiente tecnologí de producción tipo Cobb-Dougls: 3 Y {( y, x, x y x x b R : } L descripción de est tecnologí es como sigue:

13 Conjunto de requerimientos de insumos: V( y {( x,x y x x b R : } Isocunt: ( y {( x,x R y x x b } Función de producción: Q : f ( x,x x x b 3... Propieddes de l Tecnologí de l Firm L tecnologí de un firm debe cumplir tres propieddes fundmentles: monotonicidd, convexidd y regulridd. L monotonicidd se refiere que es posible l libre eliminción de insumos, de tl form, que si es vible producir un nivel prticulr de producto con ciert mgnitud de fctores; con l utilizción de un cntidd igul o myor de insumos tmbién es fctible l producción de l menos l mism cntidd de producto. Por otro ldo, l convexidd del conjunto de cntiddes necesris de fctores es un propiedd que grntiz un función de producción cusicóncv; crcterístic importnte en los procesos de optimizción. Finlmente, un conjunto de requerimientos de insumos regulr signific que este es cerrdo y no vcío. Cundo el conjunto es cerrdo, expres que contiene su propi fronter y cundo es no vcío, mnifiest que hy lgun form rzonble de generr un nivel culquier de producción. 3.. Función De Producción. Pr tomr l decisión de uso de fctores o insumos por prte de l firm, es necesrio contr con un buen instrumento que permit resumir ls posibiliddes de producción, es decir, ls combinciones de fctores y de productos que son tecnológicmente vibles. Ests combinciones representn l tecnologí, l cul se puede describir trvés de l función de producción L Producción Totl L producción totl de un empres típic se encuentr representd medinte l ecución de l función de producción: y f (,,, n Donde y es el producto y k el insumo k, pr todo k,...,n. Por ejemplo, considérese un función de producción que depende solmente de dos insumos: trbjo ( y cpitl (, donde l cntidd de cpitl está fij en el corto plzo, pues l empres durnte este tiempo no puede duplicr sus máquins y el tmño de l plnt, y dicionlmente, dich firm se orient un mercdo que demnd productos mnufcturdos (vestidos, rtesnís, clzdos, etc.. Bjo ests condiciones, pr un empres típic, l producción ument 3

14 cundo crece l cntidd de trbjdores contrtdos. Anlíticmente est función de producción se expres como: y f (, donde f ( puede ser reemplzd por un especificción en prticulr. Un ejemplo de est especificción es l siguiente: y, donde 0 y 0 3 > < Est función de producción depende de un solo fctor vrible y puede ser representd gráficmente en el primer cudrnte del plno crtesino. Cundo se plnten funciones de producción más complejs, donde existen múltiples insumos vribles, ésts pueden grficrse en el plno, eligiendo un fctor de interés, y sustituir los fctores restntes por su vlor promedio en l serie de dtos L Productividd Mrginl de Fctores (Pmg. L productividd mrginl de un fctor represent l mgnitud en que contribuye un unidd dicionl del insumo l producto totl. Est se clcul como l derivd prcil de l función de producción con respecto l fctor: Pmg y k k L Productividd Medi de Fctores (Pme: L productividd medi de un fctor es el número promedio de uniddes producids por unidd de insumo. Est se obtiene dividiendo l producción totl entre el fctor productivo: Pme y k k L siguiente gráfic muestr l relción entre los tres conceptos nteriores: l producción totl, l productividd mrginl y l productividd medi respecto l fctor. Figur No. 3. Función de producción neoclásic. 4

15 3..4. Escl de Producción. Cundo un empres duplic simultánemente el uso de sus fctores y el volumen de su producción ument en l mism proporción, como si l fábric contr con un plnt gemel, su ldo, y se sumrn sus producciones, se dice que l firm present un tecnologí con rendimientos constntes escl. Por otro ldo, si l producción resultnte de est duplicción de los fctores es myor o menor que el doble de l producción inicil, l tecnologí exhibe rendimientos crecientes o decrecientes escl, respectivmente. Es importnte preguntrse Qué h sucedido con l relción cpitl por trbjdor (K/L en estos tres tipos de rendimientos escl? Pues l relción K/L, que represent el cociente entre ls mgnitudes de fctores, no h sido lterd debido l umento proporcionl en cd uno de los insumos. Cbe notr que unque l relción K/L se mnteng estble, los fctores pueden convertirse en más o menos productivos dependiendo del tipo de rendimientos que exhibe l tecnologí Elsticidd de Producción. L elsticidd de producción mide el cmbio porcentul en el nivel de producción cundo cmbi en un unidd porcentul l mgnitud del insumo o fctor. A continución se represent l elsticidd de producción del fctor : k ε y, k y k y k Pmg Pme k k Elsticidd de Escl o Elsticidd Totl de Producción. L elsticidd de escl o elsticidd totl de producción mide el cmbio porcentul en el nivel de producción cundo cmbin de mner simultáne y porcentulmente los insumos en l mism cntidd. Se clcul como l sum de ls elsticiddes de producción respecto los insumos. Pr el cso de dos insumos, y, l elsticidd de escl tom l form: donde: y Pmg ε ε y ε ε y, Pme y y, y, ε y Pmg Pme y, y L elsticidd de escl est relciond con los rendimientos que present l tecnologí. Así, cundo ε l función de producción exhibe retornos escl constntes, mientrs que si ε < o ε >, los rendimientos de l tecnologí son decrecientes o crecientes, respectivmente. 5

16 3..7. Isocunt. L isocunt represent tods ls combinciones de fctores que genern exctmente y uniddes de producción. Ls isocunts se pueden clsificr según su espcimiento: convergentes cundo l productividd mrginl de l producción es creciente, divergentes cundo l productividd mrginl es decreciente, y constnte cundo l productividd mrginl se mntiene estble. El espcimiento de ls isocunts puede socirse demás l tipo de rendimientos escl que exhibe l tecnologí: crecientes, constntes o decrecientes cundo ls isocunts son convergentes, constntes o divergentes, respectivmente. A continución se presentn gráficmente los tres tipos de espcimiento de ls isocunts: Figur No. 4. Espcimiento de ls isocunts Optimizción. L firm puede conocer su máximo nivel de producción, de cuerdo con l tecnologí disponible y sin considerr ls restricciones de mercdo. Dicho vlor es conocido en l teorí económic como el producto máximo físico. Por otro ldo, cundo ls restricciones de mercdo son incorpords, l firm tiene como interés mximizr su beneficio económico sujeto l tecnologí de producción. L solución este problem de optimizción se conoce como óptimo económico Ts Mrginl de Sustitución Técnic de Fctores. L ts mrginl de sustitución técnic de fctores mide l proporción de sustitución entre los insumos o fctores productivos lo lrgo de un isocunt. Su expresión nlític est representd por l pendiente de l isocunt. Diferencindo l función de producción f ( y : y, con respecto los insumos 6

17 (, f (, f dy 0 d d fd fd Isocosto. d d f f L curv de isocosto se define ddo un nivel de precios de los fctores 7, ls diferentes combinciones de insumos que genern el mismo costo. Es l líne de costo constnte que restringe l función de producción, es decir es el presupuesto con que cuent el productor pr dquirir los fctores. El máximo nivel de producción sujeto l restricción de presupuesto se encuentr en el punto donde l isocunt es tngente l rect de isocosto. Este punto se interpret como el nivel óptimo de producción que minimiz el costo de producción. Figur No. 5. L rect isocosto 3... Elsticidd de sustitución. Mide l vrición porcentul del cociente entre los fctores respecto l vrición porcentul de l ts mrginl de sustitución, mnteniéndose fijo el nivel de producción. L elsticidd de sustitución es un medid de l curvtur de l pendiente de l isocunt. Por ejemplo, si un pequeñ vrición de l pendiente provoc un grn vrición del cociente entre ls cntiddes de fctores, se present un lto vlor de l elsticidd de sustitución y l isocunt se torn reltivmente horizontl. L fórmul de cálculo se present continución: 7 Se consider que los precios son exógenos, por lo tnto el productor es un gente tomdor de precios. 7

18 σ d d ( TMST TMST L elsticidd de sustitución σ vri entre 0 y. Un σ 0 indic que los fctores son complementrios perfectos, mientrs que un σ represent fctores de producción que son sustitutos perfectos o netos Isoclin. Isoclin es l líne que une puntos de igul pendiente de ls isocunts, es decir, ls isoclins representn el conjunto de puntos que tienen l mism ts mrginl de sustitución. Ests línes permiten cotr y diferencir ls etps de producción. Línes de Rcionlidd Técnic (Ridge Line. Líne de cotmiento de óptimos físicos. Divide ls etps II y III de producción. Mide el nivel de producción que se obtiene si el objetivo es mximizr el nivel de uso de los fctores. L expresión nlític se obtiene cundo l productividd mrginl de los fctores es igul cero 8 : Pmg 0 y Pmg 0. Línes de rcionlidd económic (Pseudo Scle Line. Isoclin que indic el óptimo económico. Tmbién definido como ls línes de cotmiento pr los óptimos económicos. Al igul que ls línes de rcionlidd técnic, ls línes de rcionlidd económic muestrn el nivel de producción que se obtiene si el objetivo es minimizr el costo o mximizr el beneficio, sujetos l restricción tecnológic. Ls ecuciones de ls línes de óptimo económico prcil se encuentrn l igulr el vlor de l productividd mrginl de los fctores sus costos mrginles o precios de los insumos 9 : Pmg p y Pmg p Send de Expnsión. Une los puntos de tngenci entre l isocunt y l rect de isocosto. Indic l send de evolución del máximo nivel de producción cundo se relizn diferentes combinciones óptims de los fctores productivos. L expresión nlític de l send de expnsión se deriv de l condición de mximizción de producción sujet l costo, donde l ts mrginl de sustitución técnic de fctores es igul l ts mrginl de sustitución económic (relción de precios: Pmg Pmg 8 9 Condición de primer orden del problem de mximizción del nivel de producción. Condición de primer orden del problem de minimizción de costos de producción o mximizción de beneficios. 8

19 L siguiente figur muestr ls línes de rcionlidd técnic y económic, y l send de expnsión de un función de producción que depende de dos insumos, y : Figur No. 6. Línes de rcionlidd técnic y económic, y l send de expnsión Etps de Producción En l teorí económic de l producción se distinguen tres etps de producción. L primer etp se crcteriz por un producto mrginl myor l producto medio; y finliz cundo ests expresiones se hcen igules. Por otro ldo, en l segund y tercer etp de producción, el producto medio se encuentr por encim del producto mrginl. En prticulr, l segund etp se extiende hst que el producto mrginl es igul cero, de llí en delnte se present l etp tres, siendo su principl crcterístic el producto mrginl negtivo. Es importnte mencionr que no tods ls funciones de producción cuentn con ls tres etps descrits. A continución se muestrn gráficmente ls etps de producción: Figur No. 7. Etps de producción. 9

20 3..4. Interdependenci de Fctores Los fctores de producción pueden ser técnicmente independientes, complementrios o competitivos. Son técnicmente independientes cundo el producto mrginl de un fctor no es fectdo por el incremento de otro insumo. Por otro ldo, los fctores son técnicmente complementrios o técnicmente competitivos, si el producto mrginl de un insumo se increment o decrece por el umento del otro fctor, respectivmente. Figur No. 8. Interdependenci de fctores. 0

21 4. LA FUNCIÓN DE BENEFICIOS L función de beneficios es l solución l problem de mximizción de l diferenci entre los ingresos totles y costos totles sujet l tecnologí. El plntemiento nlítico del problem de mximizción de beneficios (PMB pr un firm que produce un único bien prtir de n insumos es el siguiente: Mx x py. x py x x 3 x 3 sujeto f ( x,x,x y 3,...,x n Donde p es precio del producto y (,,... n x n, n el vector de precios de los fctores, pr todo k,,...,n; mgnitudes que son exógens, ls cules se determinn en el mercdo. A continución se presentn l condición de primer 0 (CPO y segundo orden (CSO del PMB: Π f CPO: p k 0, pr todo k,,...,n. x x f CSO: 0 k x k k * * * * A prtir de l CPO es posible obtener el vector: ( x, x, x3,..., xn, denomindo vector de demnd de fctores. Posteriormente, l sustitución de ls funciones de demnd óptims en l función de producción permite encontrr l función de * * * * * y* x,x,x,...,x. L función de beneficios puede obtenerse l ofert: y ( 3 n * * * * * * * * reemplzr ( x, x, x,..., x y * y* ( x,x,x,...,x 3 n y 3 n en l función objetivo. Tods ests funciones son expresds en términos de ls vribles exógens: Función de demnd: x * xk * ( p, Función de ofert: y * y* ( p, Función de beneficios: Π * Π* ( p, k, pr todo k,,...,n. 0 L CPO indic iguldd entre el ingreso mrginl y el costo mrginl de producción. L CSO expres l necesidd de funciones de producción con concvidd pr l mximizción de beneficios.

22 Ejemplo 4. Se dese mximizr los beneficios de un firm cuy tecnologí est representd por l siguiente función de producción: f ( x x, donde <. Mx x Π py x sujeto : y x Π CPO: px 0 x Función de demnd: Función de ofert: Función de beneficios: Mx x * y * x Π p p px Π( p p p x p p 4.. Propieddes de l función de beneficios L función de beneficios present ls siguientes propieddes: i. Π ( p,, es no decreciente en p y no creciente en. ii. Π ( p, es homogéne de grdo uno en los precios: Π ( tp,t tπ ( p,, t 0. iii. Π ( p,, es convex en los precios. Se p ( p,. Pr todo p y p, si p t p ( t p, culquier que se t, tl que 0 t, l nuev función de beneficios es: Π (p t Π( p ( t Π (p iv. Π ( p,, es continu en los precios. 4.. Lem de Hotelling. Dd l siguiente función de beneficios: ( p, Máx p. f ( x. x Π x Derivndo l expresión con respecto l precio del producto y los precios de los fctores, y evlundo en el óptimo se tiene:

23 Π f ( x x* x*( p, p y* ( p, Π y xk xk * ( p, x* x*( p, k Ests dos ecuciones se conocen como el lem de Hotelling pr l ofert y l demnd, respectivmente. Ejemplo 5 Encontrr l función de beneficios, verificr sus dos primers propieddes y plicr el lem de Hótelling, prtir de l siguiente tecnologí de producción: f ( x Lnx Lnx, x Se inici el proceso encontrndo l función de beneficios: Máx x,x p.f ( x,x p ( Lnx Lnx x x Aplicndo ls condiciones de primer orden:. L función de beneficios: p 0 x p 0 x x * x * p p Π( p, p Ln p Ln p p p Π( p, pln p Ln p p p. Propieddes:. Π ( p, no es decreciente en p y no creciente en. Con respecto p: 3

24 4 p p p p Ln p Ln p p, ( Π [ ] [ ] p Ln p Ln 0 > p Ln p Ln Con respecto y : 0 < Π x p p p p p, ( 0 < Π x p p p p p, ( b. p, ( Π es homogéne de grdo uno en los precios: tp tp t tp Ln t tp Ln tp ( tp,t p, ( t Π Π Π Π p p p Ln p Ln p t ( tp,t p, ( t 3. Evlundo el lem de Hotelling:. Función de ofert:

25 5 p p p p Ln p Ln p, y* ( p p, ( Π p Ln p Ln p, * ( y b. Función de demnd: * x p p p p p, ( Π * x p p p p p, ( Π 5. FUNCIONES DE PRODUCCION. Un función de producción describe l relción técnic que trnsform insumos o fctores en productos. De cuerdo con l definición mtemátic de función, est es un regl de signción donde cd elemento del conjunto de prtid, le corresponde solo un elemento del conjunto de llegd. El conjunto de prtid recibe el nombre de dominio de l función, el cul en este cso está representdo por todos los vlores posibles de los insumos o fctores. El conjunto de llegd se conoce como el rngo de l función o codominio, y est constituido por el conjunto de vlores posibles del producto. Ls funciones de producción pueden tener vrids especificciones: cudrátic, cúbic, ríz cudrd, Cobb-Dougls, Leontief, CES, trnscendentl y trnslogrìtmic, entre otrs. En l economí grícol todo investigdor supone inicilmente un form prticulr de l función de producción, cuy especificción obedece l conocimiento teórico que se tiene de ls relciones entre los fctores y el producto. Muchs veces l función de producción que se plnte no se encuentr completmente especificd, es decir, no se conoce el vlor de todos

26 los prámetros que l conformn. Sin embrgo, herrmients como l estimción econométric, l progrmción mtemátic o los métodos de simulción permiten l obtención de funciones de producción especificds de form complet, e inclusive, prtir de l econometrí existe l posibilidd de probr ls hipótesis iniciles del investigdor. Adicionlmente, crcterístics teórics de l función de producción como l continuidd y doble derivbilidd se desen conservr tmbién en l práctic. Est sección describe diferentes especificciones de l función de producción de un firm típic prtir de dos insumos. 5.. Función de Producción Cudrátic. L función de producción cudrátic se crcteriz por l existenci de un relción no linel entre los fctores y l producción. A diferenci de l función linel, est especificción permite l obtención de un productividd mrginl de los fctores no constnte. L función de producción cudrátic tiene l form: Y 0 b b 0.5b L siguiente figur muestr en tres dimensiones l representción gráfic de l función cudrátic: Figur No. 9. Función de producción cudrátic Crcterístics Generles L función cudrátic cuent con ls siguientes crcterístics: Estrict Concvidd. L función present estrict concvidd cundo se cumplen ls siguientes desigulddes: b > ; b 0 ; b 0; 0; 0 b b3 < < > > 6

27 Es importnte notr, que el cumplimiento de ests expresiones grntiz l rcionlidd de uso de los fctores. Estrict Cusiconcvidd. Ante l usenci de estrict concvidd, l función puede ser cusicóncv con óptimo locl. Homogeneidd. L función de producción cudrátic no present homogeneidd. Elsticidd de Producción. L elsticidd de producción de est función depende del nivel de uso de insumos. L elsticidd respecto l insumo tiene l form: Y ε i Y i 0 i i bi b i l 0.5b 0.5b b i 3 3 Elsticidd Totl o Elsticidd Escl. L elsticidd de escl es vrible: ε ε ε Elsticidd de Sustitución (σ. L elsticidd de sustitución no es constnte y l ecución que l describe es complej en su representción. Isocunts. L pendiente, convexidd y espcimiento de ls isocunts se evlú de l siguiente mner:. Pendiente. Ls isocunts tienen form de elipse. En ese sentido, existen puntos de pendiente positiv, negtiv, cero e infinit. b. Convexidd. Ls isocunts son convexs con respecto l origen. c. Espcimiento. Cundo > 0, ls isocunts convergen, mientrs i b i que si b < 0 ls isocunts divergen, pr todo i,. i Independenci Técnic. Pr identificr l interrelción de los fctores, se requiere verificr el signo del coeficiente de intercción de los insumos: b > 0 3 Fctores técnicmente complementrios. b 0 3 Fctores técnicmente independientes. b < 0 3 Fctores técnicmente competitivos. Línes de Acotmiento o de Rcionlidd Técnic. De cuerdo con los resultdos de interdependenci de fctores, se puede identificr el tipo de pendiente de ls línes de cotmiento: i ls línes de cotmiento tienen pendiente positiv cundo los fctores son técnicmente complementrios, 7

28 ii ls línes de cotmiento son rectngulres si los fctores son técnicmente independientes, y iii ls línes de cotmiento tienen pendiente negtiv cundo los fctores son técnicmente competitivos. Figur No. 0. Línes de cotmiento, línes de rcionlidd económic y send de expnsión. Etps de Producción. L función present ls etps de producción II y III pr cd fctor individul y pr l escl cundo l función es estrictmente cóncv. Por otro ldo, present l etp I solmente, o ls etps II y III pr cd fctor individul y pr l escl si l función es estrictmente cusicóncv. Ejemplo 6. Se tiene l siguiente función de producción que relcion el uso de Nitrógeno ( y fósforo ( que intervienen en l producción de Míz (Y: Y ε Hlle ls expresiones mtemátics de óptimo físico, isocunts, línes de rcionlidd técnic, línes de rcionlidd económic, send de expnsión y l ts mrginl de sustitución técnic.. Optimo Físico. Pr nitrógeno: PMg 0, 3 3 8

29 4 Pr fósforo: PMg 0, 4 b. Isocunts. Ls isocunts están representds por l siguiente expresión: ± 4 4 ( Y c. Línes de rcionlidd técnic. Líne de cotmiento pr : PMg α α 0, 3 4 Líne de cotmiento pr : PMg P 0, 3. 4 d. Línes de rcionlidd Económic. Sen P Y, r y r, el precio del míz, del nitrógeno y el fósforo, respectivmente: Línes de rcionlidd económic: r y 3PY 3 r P 4 Y 4 e. Send de expnsión r r r r 3 o 4 r 4 r 4 r 3 r 3 f. Ts mrginl de sustitución: TMS, r PMg PMg r Estimción Econométric de l Función Cudrátic. En est sección se present l estimción econométric y lguns gráfics más representtivs de un función de producción cudrátic (FPC. A prtir de l bse de dtos Agrícol.xls, cuy informción prece en el nexo se obtuvieron los siguientes resultdos: 9

30 Tbl No.. Estimción de un función de producción cudrátic. Dependent Vrible: Y Method: Lest Squres Dte: 03/0/0 Time: :56 Smple: Included observtions: Vrible Coefficient Std. Error t-sttistic Prob. C E N E E P E-6.E N^ E E P^ E E R-squred Men dependent vr Adjusted R-squred S.D. dependent vr S.E. of regression.50e-4 Sum squred resid.6e-6 F-sttistic.8E3 Durbin-Wtson stt Prob(F-sttistic L ecución de l función cudrátic estimd es l siguiente: Y.4N.8P 0.0N 0.0P Est función present ls etps II y III de producción debido su estrict concvidd. A continución se muestr l representción gráfic del producto totl, el producto medio y mrginl, y l isocunt: Figur No.. Producción de míz. FPC El modelo muestr no significnci estdístic pr el intercepto. Debido que l bse de dtos h sido simuld, el R de l estimción es uno. Los t estdísticos muestrn un lt relevnci de ls vribles (N, P, N y P. Puede observrse que existe dependenci estdístic. 30

31 Figur No.. Producto medio y producto mrginl de l FPC de míz 5.. Función de Producción de Ríz Cudrd. L función de producción de ríz cudrd es comúnmente utilizd por sus propieddes similres con l función de producción cudrátic. En prticulr, su especificción se diferenci de l función cudrátic porque los fctores de producción se expresn en form de ríces cudrds. L función de producción de ríz cudrd tom l form: Y b / / / / b b3 b4 b5 b6 L siguiente figur muestr en tres dimensiones l representción gráfic de l función de ríz cudrd: Figur No. 3. Función de producción de ríz cudrd Crcterístics Generles L función de producción de ríz cudrd present ls siguientes crcterístics: Estrict Concvidd. Se present estrict concvidd globlmente cundo b b, b 0 ; y estrictmente cóncv loclmente si b 0 ; y b b 0, 4, 5 6 >, b3 < 0 b. 6 <, 4 5 > 3

32 Estrict Cusiconcvidd. Sin estrict concvidd, l función puede ser cusicóncv loclmente. Homogeneidd. Al igul que el modelo cudrático est función no es homogéne. Elsticidd de Producción. L elsticidd de producción pr cd fctor productivo es vrible. Elsticidd Totl. L elsticidd totl depende del nivel utilizción de insumos. Elsticidd de Sustitución. L elsticidd de sustitución de l función ríz cudrd es un expresión complej y por consiguiente no constnte. Independenci Técnic. L relción de independenci de los fctores se reflej en el prámetro b 6, donde: b > 0 6 : los fctores son técnicmente complementrios. b 0 6 : los fctores son técnicmente independientes. b < 0 6 : los fctores son técnicmente competitivos. Línes de Acotmiento. L pendiente de l isocunt determin l relción e independenci técnic de los fctores de producción. Isocunts. Ls isocunts tienen form de elipse. Ls crcterístics de ls isocunts son ls siguientes:. Pendiente. Ls isocunts tienen puntos de pendiente positiv, negtiv, cero e infinit. b. Convexidd. Ls isocunts son convexs respecto l origen. c. Espcimiento. Con b i i > 0 ls isocunts convergen y con b < i 0 ls isocunts divergen, pr i,. Etps de Producción. L función de producción de ríz cudrd present ls etps II y III pr cd fctor individul y pr l escl si l función es estrictmente cóncv. Lleg presentr l etp I solmente, o ls etps II y III pr cd fctor individul y pr l escl si l función es estrictmente cusicóncv. 3

33 Figur No. 4. Línes de cotmiento, línes de rcionlidd económic y send de expnsión. Ejemplo 7. Se tiene l siguiente función de producción que relcion el uso de Nitrógeno ( y fósforo ( que intervienen en l producción de Míz: Y ε Ls expresiones mtemátics de óptimo físico, isocunts, línes de rcionlidd técnic, línes de rcionlidd económic, send de expnsión y l ts mrginl de sustitución técnic se obtienen de l siguiente form:. Optimo Físico. Pr nitrógeno: PMg 3 0, Pr fósforo: PMg 4 0, 3 4 b. Isocunts. Ls isocunts están representds por l siguiente expresión: ± ( 4 4 ( Y c. Línes de rcionlidd técnic. 33

34 34 Líne de cotmiento pr : 0 3 PMg, 3 Líne de cotmiento pr : 0 4 PMg, 4 d. Línes de rcionlidd Económic Sen P Y, r y r, el precio del míz, del nitrógeno y del fósforo, respectivmente: Línes de rcionlidd económic: 3 P r ( P Y Y y 4 ( Y Y P r P e. Send de expnsión 3 4 ( r P r r r r N o ( 4 3 r r r r N r P f. Ts mrginl de sustitución: 4 3, PMg PMg TMS ( ( Estimción Econométric de l Función Ríz Cudrd. Los resultdos de l estimción de un función de producción de ríz cudrd prtir de l bse de dtos Sinlo.xls, cuy informción prece en el nexo, son los siguientes:

35 Tbl No.. Estimción de un función de producción ríz cudrd 3. Dependent Vrible: Y Method: Lest Squres Dte: 0/09/04 Time: 3:55 Smple(djusted: 0 Included observtions: 0 Vrible Coefficient Std. Error t-sttistic Prob. C N P N^( P^( (N*P^( R-squred Men dependent vr Adjusted R-squred S.D. dependent vr S.E. of regression Akike info criterion Sum squred resid Schrz criterion Log likelihood F-sttistic Durbin-Wtson stt Prob(F-sttistic El modelo estimdo corresponde l siguiente expresión: Y 0,5 0,5 0,5,8939,58739 N,58739 P 0,84440 N 0,44440 P 0,54487 ( N * P Est función present ls etps II y III de producción debido su estrict concvidd. A continución se muestr l representción gráfic del producto totl, el producto medio y mrginl: Figur No. 5. Producción de míz. FPRC 3 En el modelo se observ relevnci estdístic pr tods ls vribles incluid l intercción. Hy dependenci estdístic en el modelo, el R es lto (0,95 y los coeficientes presentron los signos esperdos. 35

36 Figur No. 6. Producto medio y producto mrginl de míz. FPRC 5.3. Función de Producción Cobb-Dougls. L función de producción Cobb-Dougls tiene l siguiente form: Y A b b L gráfic en tres dimensiones de est función de producción se present continución: Figur No. 7. Función de producción Cobb-Dougls Crcterístics Generles L función de producción ríz cudrd present ls siguientes crcterístics: Estrict Concvidd. L existenci de un máximo globl se grntiz con el cumplimiento de ls siguientes restricciones en los prámetros de l función: 0 < b < ; 0 < b < ; ( < b b ; A > 0. 0 < 36

37 Estrict Cusiconcvidd. L función es cusicóncv cundo b > 0, b > 0 y A > 0. Homogeneidd. L función Cobb-Dougls es homogéne de grdo b b. Elsticidd de Producción. Pr este tipo de función l elsticidd de producción respecto los insumos está representd por los prámetros estimdos: ε b, ε b. Elsticidd de Sustitución. L función Cobb-Dougls present elsticidd de sustitución constnte y puede obtenerse de l siguiente form: % dln σ % TMST dln TMST ( ( Independenci Técnic. L función de producción Cobb-Dougls present fctores técnicmente complementrios. Línes de Acotmiento. Est función no tiene línes de cotmiento o de rcionlidd técnic. Isocunts. Ls isocunts presentn ls siguientes crcterístics:. Pendiente: ls isocunts tienen pendiente negtiv. b. Convexidd: ls isocunts son convexs con respecto l origen. c. Espcimiento: Si ( b b > ( b b, ls isocunts están igulmente espcids y si ( b ls isocunts divergen., ls isocunts convergen, cundo b, < Etps de Producción. Est función de producción present solmente l etp II pr cd fctor individul y pr l escl si existe estrict concvidd. Por otro ldo, present l etp I, o etp II solmente pr cd fctor individul y pr l escl si existe estrict cusiconcvidd. 37

38 38 Figur No. 8. Función de Producción Cobb-Dougls Ejemplo 8. Se tiene l siguiente función de producción que relcion el uso de Nitrógeno ( y fósforo ( que intervienen en l producción de Míz: β β A Y Hlle ls expresiones mtemátics de ls isocunts, ls línes de rcionlidd económic, l send de expnsión, l ts mrginl de sustitución técnic y l elsticidd de sustitución.. Isocunts: β β A Y b. Línes de rcionlidd Económic Sen P Y, r y r, el precio del míz, del nitrógeno y el fósforo, respectivmente: Línes de rcionlidd económic: β β β AP r Y y β β β AP r Y c. Send de expnsión: r r β β d. Ts mrginl de sustitución: TMST β β e. Elsticidd de sustitución: ln ln r r d d σ

39 5.3.. Estimción Econométric de l Función Cobb - Dougls. A continución se presentn los resultdos de l estimción de un función de producción tipo Cobb-Dougls (FPCD, prtir de l bse de dtos Gudljr.xls, cuy informción prece en el nexo 3: Tbl No. 3. Estimción de un función de producción Cobb-Dougls 4 Dependent Vrible: LOG(Y Method: Lest Squres Dte: 0/0/04 Time: 00:57 Smple: 00 Included observtions: 00 Vrible Coefficient Std. Error t-sttistic Prob. C LOG(N LOG(P R-squred Men dependent vr Adjusted R-squred S.D. dependent vr S.E. of regression Akike info criterion Sum squred resid Schrz criterion Log likelihood F-sttistic Durbin-Wtson stt Prob(F-sttistic L ecución obtenid es l siguiente: Y e,5588 N 0,7568 P 0,36037 Est función es estrictmente cóncv y cuent con l etp de producción II. A continución se muestr l representción gráfic del producto totl, el producto medio y mrginl: Figur No. 9. Producción de míz. FPCD. 4 El modelo muestr un buen juste (R 0,93 y un lt relevnci y dependenci estdístic. Adicionlmente, los coeficientes presentn los signos esperdos. No obstnte, los errores o perturbciones no siguen un distribución norml. 39

40 Figur No. 0. Producto medio y producto mrginl de míz. FPCD Función de Producción de Elsticidd de Sustitución Constnte (CES. Est función de producción como su nombre lo indic present elsticidd de sustitución constnte. Funciones de producción como l Cobb-Dougls y l Leon Tieff son csos prticulres de l función CES. L función de producción CES tiene l form: Crcterístics Generles [ ] ρ ρ b ( b ρ Y A L función de producción CES present ls siguientes crcterístics: Estrict Concvidd. L función CES es estrictmente cóncv cundo A > 0 ; 0 < b < ; 0 < v y ρ >. Estrict Cusiconcvidd. Se present estrict cusiconcvidd si A > 0 ; 0 < b < ; v > 0 y ρ >. Homogeneidd. L función CES es homogéne de grdo v. Elsticidd de Producción. Se present elsticidd de producción vrible: ε ρ ρ ρ ρ ρ ρ vb [ b ( b ] y ε v ( b [ b ( b ] v Elsticidd Totl. Su elsticidd totl es: ε ε ε. Elsticidd de sustitución. L elsticidd de sustitución tiene l form. 40