Diseño de un metamaterial con índice de refracción negativo en el espectro visible

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1 Diseño de un metamateial con índice de efacción negativo en el especto visible Auto: Calos Gacía Meca Diectoes: D. Alejando Matínez Abiéta David Zoilla Gascón Poyecto Final de Caea pesentado en la Univesidad Politécnica de Valencia paa la obtención del título de Ingenieo de Telecomunicaciones Valencia, Mayo 007

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3 Contenido Resumen iii Agadecimientos vi Capítulo Intoducción.. Antecedentes y motivación.. Objetivos 4... Documentación 4... Diseño e innovación 4.3. Contenidos del poyecto 5 Capítulo Índice de efacción negativo 7.. Intoducción 7.. Física de los mateiales de índice de efacción negativo 9.3. Popiedades de los mateiales de índice de efacción negativo Dispesión Refacción negativa Focalización con un mateial con n< Otas popiedades 9.4. Aplicaciones Capítulo 3 Metamateiales Intoducción Teoía Modelo de Dude-Loentz Medio plasmónico diluido Split-ing esonatos El pime NIM Tipos de metamateiales Metamateiales tipo SRR 40 i

4 3.3.. Tias o láminas de metal paalelas sepaados po dieléctico Aplicaciones Supelente Óptica de tansfomación Modulado electo-óptico a fecuencias de THz Tunneling de enegía electomagnética Fabicación 53 Capítulo 4 Caacteización y simulaciones Simulaciones Softwae de simulación Modelo matemático paa dielécticos y metales Repoducción de esultados Electomagnetic paamete etieval fom inhomogeneous metamateials Magnetic Response of Metamateials at 00 Teahetz Simultaneous negative phase and goup velocity of light in a metamateial Extacción de los paámetos constitutivos efectivos de un metamateial Método de extacción Ejemplos 70 Capítulo 5 Metamateial de índice negativo a fecuencias en el ango del visible. _ Índice de efacción negativo a longitudes de onda visibles Diseño del metamateial Pimeos pasos Simulaciones y física del metamateial Diseños mejoados Tabajo futuo 9 Capítulo 6 Conclusiones. 95 Anexo Deducción de las expesiones de n y k en función de S y S 99 Anexo Código paa la extacción de los paámetos efectivos de un metamateial 03 Anexo 3 Publicaciones 07 Bibliogafía ii

5 Resumen El pesente poyecto es un tabajo de investigación sobe un nuevo tipo de mateiales nanoestuctuados denominados metamateiales, cuyas popiedades electomagnéticas no se pueden enconta en medios natuales. Sus aplicaciones son ealmente sopendentes y van desde la ealización de capas de invisibilidad capaces de oculta un objeto ante la adiación electomagnética de cieta fecuencia, a la constucción de mateiales con índice de efacción negativo, con los que es posible fabica supelentes sin límite de esolución. Los medios de índice de efacción negativo así como metamateiales de distintos tipos han sido estudiados en una pimea etapa. Posteiomente, se han desaollado una seie de nuevas estuctuas que pesentan índice de efacción negativo a fecuencias ópticas y en el ango del visible, utilizando solamente una capa de metal. Po lo que sabemos, esta es la pimea vez que se popone un metamateial de estas caacteísticas. Además, los metamateiales desaollados pesentan bajas pédidas a las longitudes de onda de tabajo y son compatibles con el poceso de fabicación lift-off convencional. Los diseños han sido optimizados paa se independientes de la polaización del campo incidente y sus paámetos geométicos pueden se diseñados de modo que la fecuencia a la que el índice de efacción es negativo pueda situase en pácticamente cualquie pate del especto visible. Además, es posible fija independientemente los valoes de los paámetos constitutivos de estas estuctuas (pemeabilidad y pemitividad) de modo que se pueden sintetiza una gan vaiedad de medios con distintas popiedades y aplicaciones. Paa veifica la espuesta de las estuctuas popuestas, se ha utilizado un softwae de simulación especializado en iii

6 la esolución de poblemas electomagnéticos en tes dimensiones, el cual hemos testeado peviamente mediante la epoducción de esultados de tabajos ya existentes. El poyecto se enmaca en la línea de investigación en metamateiales y plasmónica ecientemente lanzada po el Cento de Tecnología Nanofotónica de Valencia y Das Photonics S.L. Las aplicaciones de los metamateiales diseñados son de gan inteés paa la mejoa de las caacteísticas y pestaciones de los dispositivos fotónicos desaollados en estas dos entidades, así como paa la intoducción de dispositivos con aplicaciones novedosas. iv

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8 Agadecimientos A Alex po su inestimable ayuda A Javie Matí po dame la opotunidad de hace el poyecto en el NTC A mis pades y mi hemana po su apoyo incondicional A Reme po contagiame un poco de su ceatividad e imaginación A los compañeos del NTC vi

9 Capítulo Intoducción.. Antecedentes y motivación Duante mucho tiempo, el hombe ha utilizado distintos tipos de mateiales paa apovecha las popiedades del electomagnetismo. Desde una lente en una cámaa paa poduci una imagen, pasando po una pantalla de metal con el objetivo de potege instumentación sensible, hasta cuepos negos de distintas fomas que eviten eflexiones no deseadas. Con mateiales homogéneos, el diseño óptico es en gan pate una cuestión de elegi la intefaz ente dos mateiales. Po ejemplo, la lente de una cámaa se puede optimiza alteando su foma paa minimiza las abeaciones geométicas. Sin embago, los mateiales electomagnéticos inhomogéneos ofecen un enfoque difeente paa contola la luz. Los cistales fotónicos son un clao ejemplo []. Están compuestos de (nano)estuctuas dielécticas o metálico-dielécticas peiódicas diseñadas paa afecta a la popagación de las ondas electomagnéticas del mismo modo que el potencial peiódico en un cistal semiconducto afecta al movimiento de los electones al defini bandas de enegía pemitidas y pohibidas. La ausencia de modos

10 Intoducción electomagnéticos popagantes en el inteio de los cistales fotónicos paa un cieto ango de longitudes de onda (denominado bandgap fotónico), da luga a distintos fenómenos ópticos como la inhibición de la emisión espontánea, espejos omnidieccionales altamente eflectantes o guiado de bajas pédidas ente otas cosas. Recientemente, una nueva clase de mateiales electomagnéticos inhomogéneos ha sugido: los metamateiales. Aún bajo estudio, estos compuestos estuctuados atificialmente deben sus popiedades a la foma de sus elementos constituyentes (cuyos detalles son infeioes a la longitud de onda), en luga de a su composición química. A difeencia de los cistales fotónicos, basados en el fenómeno de difacción y cuya estuctua cistalina debe tene una peiodicidad compaable a la longitud de onda, los metamateiales pueden se tatados como un medio efectivo definido con unos valoes de pemitividad eléctica y pemeabilidad magnética concetos, ya que la teoía del medio efectivo es aplicable siempe que el tamaño de la celda básica del mateial sea mucho meno que la longitud de onda. Estos nuevos meta-medios, pueden se diseñados paa posee popiedades difíciles o imposibles de enconta en la natualeza, azón po la cual se han denominado metamateiales, y pueden se utilizados paa consegui nuevos dispositivos con extaodinaias popiedades, pefilándose como un nuevo paadigma en el diseño de estuctuas electomagnéticas. Quizá una de las caacteísticas más asombosas de los metamateiales es que a tavés de ellos es posible sintetiza medios con índice de efacción negativo, en cuya intefaz con un medio nomal de índice positivo la luz es efactada con un ángulo opuesto al habitual (veemos esto en detalle en el capítulo ). Figua.. Númeo de publicaciones sobe mateiales con índice de efacción negativo y efacción negativa (puntos). La ecta punteada coesponde a una apoximación lineal.

11 Intoducción 3 El desaollo e impacto de este tipo de mateiales en los últimos años ha sido sopendente y buena muesta de ello es la cantidad de atículos de investigación publicados al especto (figua.), que se ha ido duplicando cada 0 meses []. Gan pate de la culpa la tiene el descubimiento de las popiedades de focalización de los medios de índice de efacción negativo, caentes del límite de esolución de las lentes convencionales. Al tipo de lentes fomadas po mateiales cuyo índice de efacción es negativo se las conoce como supelentes y fueon calificadas como uno de los 0 hallazgos científicos más impotantes de 003 po la pestigiosa evista Science [3]. El descubimiento coe a cago del físico ingles John Pendy, cuyo atículo sobe la supelente ha ecibido ya unas 000 citas [4]. En vista de la ceciente impotancia de los metamateiales y sus numeosísimas aplicaciones (muchas de las cuales comentaemos a lo lago del texto), el Cento de Tecnología Nanofotónica de Valencia (NTC) y DAS Photonics, spin-off del NTC, lanzaon ecientemente una línea de investigación sobe metamateiales. Este poyecto está enmacado dento de dicha línea. El NTC es el cento de tecnología y sistemas fotónicos más impotante de España y ha sido ceado con fines de investigación científica, desaollo tecnológico e innovación (I+D+I) en el campo de las tecnologías ópticas avanzadas y sistemas fotónicos paa las telecomunicaciones. Su misión es se un líde en Euopa en la mico/nanofabicación de estuctuas de silicio (Si) como sopote clave paa el desaollo de la nanotecnología y la nanociencia, en especial hacia sus aplicaciones en fotónica. Paa ello dispone de una línea completa CMOS de fabicación de dispositivos nanofotónicos en obleas de silicio de 6 en una sala limpia clase 0/00/0000 de 500 m, que se encuenta actualmente en constucción. La esolución máxima alcanzable es de apoximadamente 0 nm. Estas capacidades seán fundamentales paa la fabicación de las estuctuas desaolladas duante este poyecto.

12 4 Intoducción.. Objetivos En téminos geneales, la meta de este poyecto es adquii un conocimiento lo más pofundo posible en metamateiales paa posteiomente pode utilizalo en el diseño de nuevas estuctuas. Estas son las dos fases que podemos distingui y cuyos objetivos se detallan a continuación:... Documentación Debido a la natualeza de tabajo de investigación que tiene el poyecto, y como es habitual cuando se desea aboda una nueva disciplina como son los metamateiales, el pime paso es loga un dominio básico de la teoía en que ésta se fundamenta. Este ha sido el popósito de la pimea fase del poyecto y paa ello se ha dispuesto de acceso a vaias evistas intenacionales donde han sido publicados los atículos más impotantes de este campo así como del asesoamiento continuo de Alejando Matínez, expeto en cistales fotónicos (muy elacionados con metamateiales) y docto investigado en el NTC, ente otos, en el campo de los metamateiales.... Diseño e innovación Po el gan inteés del NTC y Das Photonics en dispositivos fotónicos, el objetivo final del poyecto es el desaollo de metamateiales con popiedades electomagnéticas únicas que pemitan intoduci mejoas e innovaciones en un amplio ango de aplicaciones, avanzando así hacia un nuevo concepto de las tecnologías ópticas, más eficientes, compactas y con nuevas funcionalidades. Paa conseguilo, utilizando el conocimiento adquiido duante la fase de documentación, intentaemos cea estuctuas cuyos paámetos constitutivos (pemeabilidad y pemitividad) se puedan diseña de modo que puedan toma los valoes que se deseen en la banda espectal que nos inteese, centándonos especialmente en obtene un índice de efacción negativo a fecuencias ópticas, algo que hoy en día sigue pesentando seios poblemas tanto de diseño como de fabicación.

13 Intoducción 5.3. Contenidos del poyecto Hemos estimado opotuno dividi el texto en seis capítulos, el pimeo de los cuales es esta intoducción. En el capítulo dos se justificaá la existencia de medios con índice de efacción negativo patiendo de las ecuaciones de Maxwell. Se pesentaán además las popiedades y aplicaciones más impotantes de los mismos. El capítulo tes petende se una intoducción a los metamateiales, incluyendo sus fundamentos físicos, los pincipales tipos de éstos y una selección de aplicaciones. Paa la veificación de las popiedades de las estuctuas que vayamos diseñando, utilizaemos un softwae de simulación electomagnética 3D. Este seá descito en el capítulo cuato. Además, en dicho capítulo simulaemos algunas estuctuas significativas ya existentes que nos ayudaán a compende mejo la teoía de metamateiales. Po último analizaemos el método utilizado paa la de extacción de los paámetos constitutivos de una estuctua a pati del conocimiento de su espuesta ante un campo electomagnético, el cual nos popocionaá el simulado. En el capítulo cinco se pesentaán las estuctuas que han sido desaolladas duante el poyecto. Detallaemos el poceso de diseño, examinaemos los fundamentos físicos de las mismas e incluiemos los esultados de simulación más elevantes. Asimismo planteaemos cuales podían se los pasos a segui paa continua el tabajo ealizado. Po último, en el capítulo seis extaeemos una seie de conclusiones que ayudaán a sintetiza los puntos claves del poyecto y destacaemos las aplicaciones más impotantes de los metamateiales diseñados.

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15 Índice de efacción negativo 7 Capítulo Índice de efacción negativo.. Intoducción Desde el punto de vista de la electodinámica clásica, la pemitividad eléctica ε y la pemeabilidad magnética µ caacteizan totalmente la popagación de ondas electomagnéticas en un mateial. Esto es debido a que son los únicos paámetos de una sustancia que apaecen en las ecuaciones de Maxwell: B xe = (.) t v D xh = J + (.) t D v = ρ (.3) B = 0 (.4)

16 8 Índice de efacción negativo Las dos pimeas ecuaciones son la ley de Faaday y la ley de Ampèe y se considean las ecuaciones de Maxwell pincipales, puesto que las ecuaciones (.3) y (.4), conocidas como leyes de Gauss, se pueden deduci de las pincipales en combinación con la ecuación de continuidad: ρ J = t (.5) La elación (.5) expesa el hecho de que la caga ni se cea ni se destuye. La pemitividad y la pemeabilidad de un medio intevienen en las ecuaciones de Maxwell a tavés de las elaciones constitutivas, que paa un medio lineal son: D = ε E = ε ε 0 E (.6) B = µ H = µ H (.7) µ 0 Nótese que si el medio es dispesivo, estas elaciones sólo son válidas en el dominio de la fecuencia y ε, µ o ambas dependeán de ésta. Las ecuaciones (.)-(.7) ecogen toda la teoía clásica de campos electomagnéticos. Dado un medio lineal, isótopo y homogéneo despovisto de fuentes ( J = ρ = 0 ), si tomamos el otacional de ambos miembos de (.), sustituimos el esultado en (.) y aplicamos la identidad vectoial x( xa) = ( A) A, obtenemos la denominada ecuación de onda: E E µε = 0 (.8) t Suponiendo una vaiación sinusoidal del campo, la solución de esta ecuación es una combinación lineal de téminos de la foma: E = E cos( k ω ) 0 t (.9) Que coesponde a una onda peiódica de fecuencia angula ω que se popaga a una velocidad en la diección dada po k. Llamamos vecto de onda a k = kk ˆ / c = ( µε ) y númeo de onda a k (veemos que el númeo de onda puede toma valoes positivos y negativos). Intoduciendo esta solución en (.8) obtenemos la conocida elación de dispesión [5]:

17 Índice de efacción negativo 9 k ω n = (.0) c Esta ecuación elaciona la fecuencia ω (ad/s en el sistema de unidades intenacional) de una onda monocomática con su númeo de onda k. Se define el índice de efacción n de un medio del siguiente modo: n = ε µ (.) El índice de efacción tiene el significado físico de la cantidad po la que hay que dividi c (velocidad de la luz en el vacío, igual a km/s) paa obtene la velocidad efectiva de una onda plana que se popaga en dicho medio. En geneal, ε y µ son númeos complejos (en el dominio de la fecuencia), cuyas pates imaginaias dan cuenta de las pédidas del mateial. Paa simplifica el siguiente azonamiento, supondemos que las pédidas son despeciables y po tanto los paámetos fundamentales son eales. Entonces, esulta evidente de (.0) que un cambio simultáneo en el signo de ε y µ no tiene efecto en dicha elación, pudiendo intepetase esta situación de vaias maneas. Una de ellas es admiti que no hay difeencia física ente una sustancia con pemitividad y pemeabilidad simultáneamente del mismo signo, ya esa éste positivo o negativo. También cabe la posibilidad de que, en el caso de que ambas sean negativas, se esté violando alguna ley física fundamental, con lo que la existencia de un mateial de esas caacteísticas no tendía sentido. Po último, quizá pueda existi tal mateial y sus popiedades sean distintas de las de oto con pemitividad y pemeabilidad de igual valo absoluto peo positivas. En 968, Victo Veselago consideo este poblema y demostó fomalmente que es el último caso el que se satisface [6]. Su tabajo pemaneció exclusivamente teóico hasta que unos 40 años después vaios expeimentos han cooboado sus agumentos [7, 8]... Física de los mateiales de índice de efacción negativo La definición (.) nos indica que: n = ± ε µ (.) De las dos soluciones, tadicionalmente se ha escogido la aíz con signo positivo, peo esto no siempe es coecto. Paa justifica esta afimación, analizaemos las popiedades de una onda monocomática que se popaga po un medio con ε y µ

18 0 Índice de efacción negativo negativos. Independientemente del signo de n, la ecuación a esolve sigue siendo (.8) cuya solución está dada po (.9). El campo magnético puede calculase sustituyendo (.9) en (.) esultando: kˆ H = xe (.3) z Donde se ha definido la impedancia caacteística de un medio como: µ µ z = = (.4) n ε Es evidente a pati de (.) y (.4) que z y n, del mismo modo que ε yµ, también deteminan unívocamente el compotamiento electomagnético de un medio continuo. Ahoa sustituiemos (.9) y (.3) en las ecuaciones de Maxwell pincipales paa obtene: kxe = ωµ H (.5) kxh = ωεe (.6) Continuando con la suposición de un medio sin pédidas (el mismo agumento sive paa un medio con pédidas pues esto sólo implica una atenuación de los campos y no afecta a la fase [9]), las elaciones anteioes indican que si ε y µ son ambos positivos, la tena ( E, H, k ) es dextógia o a deechas (figua.(a)), mientas que si tanto ε como µ son negativos, estos vectoes foman una tena levógia o a izquiedas. Es po ello que a este tipo de medios se les ha denominado mateiales zudos o LHM (del inglés Left-Handed Media), en oposición a los medios diestos, conocidos como RHM. El vecto de Poynting, que indica la diección del flujo de la enegía de la onda y cuyo valo es: S = ExH (.7) siempe tiene la misma diección elativa a los campos independientemente del signo del índice de efacción, que es aquella que se aleja de la fuente del campo y está dada po kˆ (como así lo ecoge la ecuación (.3)). Además, en los medios con bajas pédidas y en geneal en la mayoía de los medios, la velocidad de la enegía viene dada po la velocidad de gupo vg [0].

19 Índice de efacción negativo Figua.. Diecciones elativas ente los campos eléctico y magnético, el vecto de onda y el vecto de Poynting en (a) RHM y (b) LHM. Po oto lado, la velocidad de fase v p de esta onda monocomática se puede obtene haciendo constante el agumento del coseno en (.9) y deivando especto al tiempo: d d ω k ω t = cte k ω = 0 v p = = kˆ dt dt k (.5) Puesto que ω es siempe positiva y kˆ es la diección de popagación de la enegía, es clao a pati de la figua. que k es positivo en los medios RHM y negativo en los LHM. Po tanto, la expesión anteio indica que vp seá positiva en un medio RHM y negativa en un medio LHM. Además, si el significado de n es el de la elación ente la velocidad de la luz en el vacío y cieto medio, debemos expesa (.0) como: k ω = n (.6) c Este azonamiento nos pemite esolve la indeteminación en el signo de la expesión (.). Si en un medio la velocidad de fase es negativa, n debe se negativo y vicevesa. Así, la definición del númeo de onda cómo k = k 0 n es consistente. Po este motivo los LHM son también conocidos como NIM (Negative index mateials) Po último, si ε y µ son de signo contaio, n seá puamente imaginaio y teniendo en cuenta que podemos escibi (.9) del siguiente modo: E = E 0 cos( k ωt) = Re( E0e k ωt ) (.7)

20 Índice de efacción negativo sumado a que, como hemos visto, k es popocional a n, concluimos que en este tipo de medios no habá popagación si no simplemente una onda evanescente. En la figua. esumimos esquemáticamente los distintos tipos de mateiales en función del signo de sus paámetos constitutivos. Figua. Distintos tipos de mateiales en función del signo de sus paámetos constitutivos. Diemos de paso que un cambio simultáneo en el signo de ε yµ, no modifica en absoluto el valo de z, pues en ese caso n y µ siguen teniendo el mismo signo, como podemos compoba a pati de la definición (.4). Hasta ahoa, hemos demostado que si los valoes eales de la pemitividadε yµ son negativos, entonces la pate eal de n también es negativa. No obstante, cuando se tata de medios con pédidas, esta es una condición suficiente peo no necesaia. En geneal, en un medio disipativo la condición indispensable paa que Re(n)<0 es la siguiente []: ε '' µ ' + µ '' ε ' < 0 (.8) Consecuentemente, no es necesaio que ε y µ sean negativos. Po ejemplo podemos consegui que Re(n)<0 en un medio magnético con µ ' <0 en el que las pédidas po polaización eléctica sean elevadas a pesa de que ε ' <0. Nomalmente, estas altas pédidas impedián que el medio sea de utilidad.

21 Índice de efacción negativo 3.3. Popiedades de los mateiales de índice de efacción negativo Los medios LHM pesentan una seie de popiedades singulaes que dan luga a fenómenos físicos a veces contadictoios paa la intuición, pues no se poducen en los medios habituales. A continuación vamos a enumea dichas popiedades pestando especial atención a aquellas que están más elacionadas con el tabajo ealizado y que descibiemos en los siguientes capítulos..3.. Dispesión El flujo de potencia (W/m ) de una onda electomagnética viene dado po el vecto de Poynting (.7). Po tanto, la tasa de cambio de la enegía en un pequeño volumen de cieta egión del espacio es S (si este témino es positivo, la enegía disminuye), luego la enegía almacenada en esa unidad de volumen a lo lago del tiempo es [9]: W = Sdt = 4 ( ωε ) d( ωµ ) d dω E + dω H (.9) Paa medios no dispesivos en los que los paámetos constitutivos no dependen de la fecuencia (.9) se tansfoma en: W ε E + µ H = (.0) 4 Si el flujo de enegía electomagnética cesa, W acabaá convitiéndose en calo. La ley de la entopía indica que el calo no se puede absobe si no que solamente puede evoluciona, cece. Po tanto W ha de se necesaiamente mayo que ceo. Si el medio es no dispesivo y ige (.0), ε yµ no pueden se negativos simultáneamente, ya que esto implicaía que W es negativa. Sin embago, la expesión mas geneal paa medios dispesivos (.9) no impide que ε yµ sean ambos negativos siempe y cuando dependan de la fecuencia y se satisfaga que W>0. De esta manea se demuesta que los medios LHM son dispesivos.

22 4 Índice de efacción negativo.3.. Refacción negativa Posiblemente la caacteística más impotante de los medios LHM es el signo negativo de su índice de efacción. En esta sección mostaemos cuáles son las consecuencias de esta popiedad cuando se colocan juntos un medio LHM y oto RHM (cuyo índice de efacción es positivo). Las condiciones de fontea en la intefaz ente dos medios como los de la figua.3(a), deducidas de las ecuaciones de Maxwell, son: nˆ ( D D ) = σ ( B B ) = 0 ( E E ) = 0 v ( H H ) = J S nˆ nx ˆ (.) (.) (.3) nx ˆ (.4) Evidentemente, estas condiciones son las mismas con independencia del signo de n, siempe y cuando tengamos en cuenta el signo coecto de la pemitividad y pemeabilidad de los medios que intevienen. Figua.3. (a) Fontea ente dos medios. Reflexión y efacción ente (b) dos medios RHM. (c) un medio RHM y oto LHM. Consideemos la situación en que el medio es RH y el es LH (figua.3(c)) o vicevesa y supongamos además que ambos medios son dielécticos (más adelante veemos un metal se puede modela como un dieléctico) de modo que la coiente supeficial J S es ceo. Po supuesto, las componentes tangenciales de los campos son continuas a tavés de la intefaz, de acuedo con (.3) y (.4). Si hacemos coincidi la posición z = 0 con la intefaz ente los medios debe cumplise que:

23 Índice de efacción negativo 5 E i,tan e i( k ix x+ k y) iy + E,tan e i( k x x+ k y y) = E t,tan e i( k tx x+ k y) ty La única manea de que esto sea cieto paa todos los puntos de la intefaz es que se satisfaga: k k ix iy = k = k x y = k = k tx ty = k = k x y k,tan = k,tan (.5) Esta ecuación es la condición de consevación de la fase, que es válida paa medios RH y LH. Podemos escibi las componentes tangenciales de los vectoes de onda en función de los ángulos que foman con la nomal: k ix = k i sinθi, kx k sinθ =, ktx = k t sinθ t (.6) Siendo los númeos de onda: k i = k = k ω = ε c µ ωn = c k t ω ε µ ωn = k = = (.7) c c Aplicando (.5)-(.7) a las ondas incidente y eflejada obtenemos la ley de Snell paa eflexión: θ = θ i (.8) Esta ley es igual sea cual sea la natualeza de los medios y. Haciendo lo mismo con la onda incidente y tansmitida llegamos a: n = θ (.9) sinθ n sin Que es la ley de efacción de Snell. La consecuencia más impotante de que conseve su foma habitual, es que si el signo de los índices de efacción de los medios y es distinto, el ángulo de la onda efactada debe se negativo, es deci, la ley paa medios RH se inviete en la fontea ente un medio RH y oto LH. Po oto lado, las componentes nomales de los campos son de signo contaio en cada lado de la intefaz, como indican las condiciones (.) y (.) que combinadas con las elaciones constitutivas (.6) y (.7) quedan:

24 6 Índice de efacción negativo ε (.30) ( E ε E ) = 0 ( H µ H ) 0 nˆ nˆ = µ (.3) La figua.3(c) epesenta la efacción ente un medio RH y oto LH. Puesto que la onda tansmitida se aleja de la intefaz (diección de la enegía) y se popaga po un medio con índice negativo, k t debeá i diigido en sentido opuesto, hacia la intefaz. Es deci, las componentes nomales de los vectoes de onda poseen signos contaios en cada medio. Lo mismo ocue cuando la incidencia es desde un medio LH a oto RH. En la figua.4 tenemos un ejemplo gáfico de efacción negativa. Se tata de imágenes foto-ealistas geneadas po odenado en las que se muesta cómo se veía un cilindo de metal en el inteio de un vaso de cistal en divesas situaciones []. En la pimea imagen, el vaso que contiene al cilindo esta vacío. La imagen cental muesta la misma escena peo con el vaso lleno de agua (índice n=.3). Po último, en la imagen de la deecha se ha sustituido el agua po un medio ficticio con un índice de efacción de signo contaio al del agua y de igual valo absoluto. Las imágenes han sido calculadas con la técnica de apoximación de ayos: Figua.4 Imagen de un cilindo de metal en el inteio de un vaso calculada mediante la apoximación de ayos. (a) Vaso vacío. (b) Vaso lleno de agua nomal (n=.3). (c) Vaso lleno de un agua ficticia con índice de efacción n=-.3 El pincipal poblema paa compoba esta popiedad es la inexistencia de medios con índice negativo en la natualeza. Como veemos en el siguiente capítulo, encontamos la solución a este inconveniente en los metamateiales. La efacción negativa en medios zudos fue veificada expeimentalmente po pimea vez po D. Smith en 00, que

25 Índice de efacción negativo 7 utilizó un metamateial fomado po una combinación de split-ing esonatos y finos hilos de metal paa implementa un medio LHM (en el siguiente capítulo descibiemos con detalle este tipo de compuestos, muy difeentes de los mateiales en el sentido tadicional). A pati de entonces otos expeimentos han atificado de manea exitosa la teoía de efacción en medios con índices de distinto signo. Po ota pate, la efacción negativa en cistales fotónicos había sido obsevada mucho antes a fecuencias ópticas [3]. Recientemente, la efacción negativa en guías LHM ha sido demostada a longitudes de onda visibles [4] Focalización con un mateial con n<0 Una de las consecuencias de la efacción negativa es el efecto de doble foco de una lámina de LHM embebido en un medio RH. La figua.5 escenifica esta situación. Dos ayos povenientes de la fuente con ángulos siméticos especto a la nomal a la lámina se encontaán en un mismo punto, el foco, dento de esta lente de mateial LHM. Tas sali de la lente, vuelven a eunise en un segundo foco (foco ). Figua.5. Doble focalización con una lámina de mateial de índice negativo n L. La fuente y el segundo foco se encuentan en un medio RH con índice n R. Simples consideaciones tigonométicas pemiten calcula la distancia s en función de la sepaación de la fuente a la lente l: s tanθ l tanθ R = (.3) L

26 8 Índice de efacción negativo El ángulo θ L lo obtenemos de la ley de Snell (ecuación (.9)): nr θ = L acsin sinθ R nl Puesto que s depende de θ L y este a su vez de θ R, paa cada ángulo de incidencia, tendemos una distancia focal s distinta. Existiá po ello abeación esféica ya la imagen de un punto seá un cículo. La única foma de elimina este poblema es que los índices n L y n R sean iguales, ya que así s siempe seá igual a l independientemente de θ R. En ese caso t = d-l. Debemos emaca que esta no es una lente en el sentido clásico ya que caece de eje óptico, es deci, no es capaz de focaliza ayos paalelos povenientes del infinito.

27 Índice de efacción negativo Otas popiedades Otas popiedades de los medios de índice negativo que han sido descitas son las invesiones de los efectos Dopple y Goos-Hänchen, el intecambio del compotamiento de las lentes cóncavas y convexas y la invesión de la adiación de Vavilov-Čeenkov. Puesto que las epecusiones y aplicación de estas popiedades quedan fuea del ámbito de nuesto estudio, las descibiemos bevemente. Efecto Dopple inveso El efecto Dopple, consiste en la vaiación de la fecuencia de cualquie tipo de onda emitida o ecibida po un objeto en movimiento. Figua.6. Efecto Dopple con ondas de sonido. El ecepto inmóvil pecibe que el sonido emitido po el coche que se aleja (vede) es de fecuencia más lenta que el del coche que se aceca (naanja). Po ejemplo, en medios RH el tono de un sonido emitido po una fuente que se apoxima al obsevado es más agudo que el de una fuente que se aleja. En el caso de la adiación electomagnética, si el objeto se aleja, la luz que emite se desplaza a longitudes de onda más lagas (desplazamiento hacia el ojo), mientas que si el objeto se aceca su luz pesenta una longitud de onda más cota (desplazamiento hacia el azul). Este compotamiento se inviete en los medios LH, es deci, se pecibe una fecuencia más alta si la fuente se aleja que si se aceca.

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