Factorización. A 1 A 2 X ancho. f) A T = 352 m 2 largo largo Desarrollo: a) L 1 = 20m b) L 2 = 24m c) A 1 =? d) A 2 =? e) X = ancho 20 cm. 24 cm.

Transcripción

1 Factorización La Factorización se procede en forma contraria al desarrollo de Productos Notables es decir, nos dan un polinomio que debemos expresar como multiplicación (factores). Presentándosenos los siguientes casos: 1) Por factor común ) Factor común por agrupación de términos 3) Por trinomio cuadrado perfecto 4) Por trinomio cuadrado por suma y resta 5) Por diferencia de cuadrados 6) Por trinomios cuadráticos de la forma: x + bx + c ; ó ax + bx + c 7) Suma y/o diferencia de cubos En el medio que nos rodea observamos que existen casos comunes por ejemplo todos comemos, tenemos un lugar donde vivir, en la escuela el uniforme, los pupitres, el horario, etc. y en álgebra existe algo similar, ya que por ejemplo, en los polinomios observamos que en ocasiones en los términos se repiten letras o números y se estructuran de tal manera que se pueden expresar mediante factores. Supongamos que eres el dueño de un terreno rectangular de área igual a 35 m, quieres fraccionarlo en dos partes que tengan el mismo ancho y que la longitud de uno sea de 0 y el otro de4 metros. Cuál es el área de cada terreno? Datos figuras área del rectángulo = (b)(h) a) L 1 = 0m b) L = 4m c) A 1 =? d) A =? e) X = ancho 0 cm. 4 cm. f) A T = 35 m largo largo Desarrollo: A 1 A X ancho

2 Al observar el diagrama el terreno tiene una figura rectangular por lo que para encontrar el área total tenemos: Ancho = x Largo = 0 m + 4 m A T = 35 m Usando la fórmula de área para un rectángulo A sustituyendo tenemos: A T = x (0m + 4m) A T = x (44) 35 m = 44 x = (largo x ancho) y 35m Despejando X : X = 44m encontramos el ancho de cada terreno: X = 35m = 8 m 44m COMPROBACIÓN: Entonces tenemos para: A 1 = (8 m) (0 m) = 160 m y A = (8 m) (4 m) = 19 m que al agrupar resulta : A T = A 1 +A = (8)(0) + (8)(4) = 8 (0+4) = = 35 m Si observas el resultado, el ancho aparece en las dos áreas, este valor en la factorización, recibe el nombre de factor común. A continuación, analizaremos cada una de las diferentes formas de Factorización siguiendo el orden del listado anterior.

3 Por factor común Para poder factorizar polinomios utilizando el factor común, se recomiendan los siguientes pasos que a continuación se te presenta. Ejemplo: Factoriza la expresión 4a 4 b 6a 3 b 3 + 8a 3 b 4 a) Se busca el común divisor de los coeficientes Como puedes ver, el es el común divisor de 4,6 y 8 porque es el mínimo valor que divide a todos los números involucrados (4,6 y 8). b) Cada uno de los términos serán divididos entre las literales repetidas que contengan el menor exponente. 4a 4 b 6 a 3 b a b 4 En este caso observa que a y b son las literales que se repiten y tienen el menor exponente. Ahora bien, el factor común es entonces: a b formado por el común divisor () y las literales que se simplificaron (a b ). c) Dividir cada término del polinomio inicial entre el factor común encontrado: 4 4a b a b 3 6a b a b 3-8a b a b 4 + = a 3ab + 4b d) La expresión factorizada quedaría como: (a b ) (a 3ab + 4b ) siendo este el resultado. A continuación se presentan una serie de ejercicios que podrás resolver utilizando el mismo razonamiento; compara tu resultado con los que se te dan.

4 EJERCICIOS: 1. x y + x z =. x + x 4 b 6 6 x 8 a b 3 1 x 3 c =) 3. a b x + x ( a d + c d ) + c d = 4. 3 k x + 9 k x = 5. 6 x + 4 = x y + 5 x z = 7. 8 a 3 b c 1 a b 3 c d + a b 4 c d = 8. 6 z t z s t 4 1 z t 3 = 9. a 3 c 18 a b x + 4 a 6 c = y 3 a + 14 y b 1 y 6 c = Factor común por agrupación de términos. A diferencia del caso anterior, existen polinomios que tienen un número par de términos en los que al agruparse por parejas, observamos elementos comunes que se factorizan por el siguiente procedimiento: Ejemplo: factorizar 10ax + 9b y -15b x - 6ay 1) Se agrupan por parejas buscando que los términos tengan al menos una literal semejante y los coeficientes tengan un número común. 10ax - 6ay -15b x + 9b y o también podría agruparse:10ax -15b x +9b y-6ay ) Partiendo del ejemplo anterior, se obtiene el factor común de cada pareja de términos. a( 5x - 3y) - 3b (5x - 3y) ó 5x (a-3b ) + 3y (3b a) 3) Puedes ver que para el primer caso (5x -3y) es un factor común en ambos términos y para el segundo es (3b a) por lo que razonando de manera similar a la factorización por factor común, lo podemos expresar como:

5 (5x - 3y)(a - 3b ) el cual es el mismo resultado por cualquiera de las dos opciones. 4) El resultado del paso tres es la Factorización del polinomio. 10ax + 9b y - 15b x -6ay = (5x - 3y)(a - 3b ) Comprueba si los resultados que se presentan son los correctos x x + 3 x = ( x + 1 ) ( 3 x + 1 ). a x + b x + a + b = ( x + ) ( a + b ) 3. a x + b x + 3 a x y + 3 b y = ( x + 3 y ) (a x + b ) 4. 4 m x + 10 m n y + m n y + m n x + 6 n y = (4 m + n) ( m x + 3 n y ) 5. 6 a x + 9 b x y + 4 a x y + 6 b y = ( 3 x + y ) ( a x + 3 b y ) a x 6 a y 5 x + 3 y = ( a 1 ) ( 5 x 3 y ) 7. 3 a b x 4 x 15 a b + 0 = ( x 5 ) ( 3 a b 4 ) 8. 4 a b 3 c 5 a c + 8 a b 3 10a = ( c + ) ( 4 a b 3 5 a) 9. 1 a x 3 y 0 a x y 6 b x 3 y + 10 b x y = (4 a b ) (3 x 3 y 5x y) 10. a 3 a + 3ª + 3 = (a 1 ) ( a 3 ) 3. Trinomio cuadrado perfecto. Se reconoce este tipo de factorización porque de los tres términos dos de ellos, ordenados en forma decreciente (el primero y último ) tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es de primer grado y corresponde al doble producto del primero por el segundo. El procedimiento para factorizar este tipo de trinomios es: Ejemplo: Factoriza el siguiente trinomio cuadrado perfecto: 1x x 1) Ordena el polinomio en forma descendente:

6 4x + 1x + 9 ) Se extrae raíz cuadrada al primero y al tercer término. siendo las raíces exactas; 4x = x, 9 = 3 3) El doble producto de los resultados del paso dos debe ser igual al segundo término del trinomio del primer paso. (x)(3) = 1x 4) Se escribe dentro de un paréntesis los resultados de las raíces, separados por el signo del segundo término y se eleva todo al cuadrado. Si sigues esta secuencia, podrás factorizar cualquier trinomio cuadrado perfecto (TCP). 1x x = 4x + 1x +9 = (x+3) Hemos llegado al resultado! Ahora te corresponde realizar los siguientes ejercicios siguiendo la misma analogía t+16t R = (5+4t). a 4 +6a +9 R = (a +3) 3. x 6x 9 4. x 4x 4 5. x 8x x 4x y 0y t t 64x 80xy y a a Trinomio cuadrado por suma y resta (suma o diferencia)

7 Cuando se presente el caso en el cual no se ajusta el polinomio a un trinomio cuadrado perfecto -tres términos, dos de ellos (el primero y último) tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es de primer grado y corresponde al doble producto del primero por el segundo -se tendrá que ajustar dicho trinomio a uno perfecto, agregando o restando el valor faltante o requerido. Es así como se presentan dos casos particulares: I. Cuando el trinomio es de la forma. a b c a ab c Ejemplo: factoriza la expresión x + 6 x + 13 La solución se puede dar mediante el siguiente procedimiento: 1. Se obtiene la raíz del primer término ( cuadrático). x x. 6x debe corresponder al doble producto del primer término por el segundo término, por lo que para encontrar el cuadrado del segundo término, se divide el término lineal entre Para no alterar la igualdad se suma y resta el cuadrado del resultado obtenido en el punto anterior para poder tener así, un trinomio cuadrado perfecto (TCP) Como 3 = 9 entonces la expresión quedaría: X + 6x Reduciendo: x + 6x + 9 (-9+13) x + 6x

8 4. Ahora sí, la expresión x + 6x + 9 es un TPC porque x x y 9 3 y además se cumple que (x) (3) = 6x que corresponde al segundo término por lo que se puede expresar como binomio al cuadrado quedando la última expresión: (x + 3) + 4 por lo que el resultado sería: x + 6x + 13 = (x + 3) + 4 Gráficamente lo podemos representar: 3 X + 1 X + + A este tipo de factorización lo podemos generalizar como: a ab c a b c EJERCICIOS: 1. 4x 10x x 4x x 0x x 14x x 7x x 40x x 10x

9 8. x 16x x 0x x - 4x + 4 = 0... II) El trinomio de la forma x x Se resuelve procediendo de manera muy similar al anterior. 1) Se ordena el trinomio de manera descendente de potencia. Ejemplo: x x = 0 Ordenando: x + 14 x + 5 = 0 ) Se obtienen las raíces del primero y tercer término (siendo valores cuadráticos). a a, b b ésta es la diferencia con el caso anterior. x + 14 x + 5 = 0 x 5 3.Se realiza la operación del duplo del primero por el segundo término, ( a b) vemos que: a = x, b = 5 por lo que a b = (x) (5) = 10 x 4. Se compara el resultado obtenido con el término lineal que nos dieron y se expresa la diferencia entre estas dos. 14x 10 x = 4x 5. Ahora ya tienes un TCP que es: x + 14 x + 5 = 0 x 5 (x) (5) = 10 x De tal forma que el binomio al cuadrado quedaría: x + 14 x + 5 = ( x + 5 ) De esta forma, llegamos al resultado, anotando el binomio cuadrado ( x + 5 ) obtenido en el paso cuatro (4x) quedando: y lo X + 14x + 5 = x + 14 x + 5 = ( x + 5 ) + 4 x

10 Gráficamente y en forma general lo podemos representar como: a nab b a ab b nab a b nab donde n = a b nab a + nab a + b nab a + a + nab b b b b Como has entendido perfectamente podrás resolver los siguientes ejercicios. 1. x 0x 64 0, x 6x x 8x x 30x x 4x x x x 3x x 0x x 10x x x

11 Trinomios cuadráticos de la forma x + bx + c. Cuando el trinomio es de la forma x + bx + c; el primer término presenta raíz cuadrada exacta. Después de ordenar el polinomio se procede de la siguiente manera: Ejemplo: Factorizar la siguiente expresión x - x ) Se extrae la raíz cuadrada al primer término. x = x ) Se ponen dos paréntesis cuyo primer término en ambos será el resultado obtenido del paso anterior (descomposición en factores). (X )(X ) 3) Se descompone el tercer término en dos factores, que cumplan la condición de que: su producto sea el tercer término y al mismo tiempo la suma algebraica de ellos sea el segundo término. 15 = 15 x 1, 15 = 3 x 5, = 14; = - 14; = ; = -, como se puede ver el producto ( 3 x 5 ), corresponde al término independiente (10) y a la vez ( 3 5 ) corresponde a la suma algebraica del coeficiente del segundo término (-). 4) Los factores obtenidos del paso tres serán los segundos términos dentro de los paréntesis, respetando los signos determinados en el paso tres, quedando: ( x +3 ) ( x 5 ) 5) El resultado obtenido es la Factorización del polinomio. x - x 15 = ( x +3 ) ( x 5) Para comprobar el resultado obtenido se desarrolla el producto de dichos binomios:

12 ( x + 3 ) ( x - 5 ) = x ( - 5 x + 3 x ) 15 = x - x 15 Se observa que se tienen diferentes combinaciones de factores pero no todos cumplen con la segunda condición. (x - 5)(x + 3) Y este es el resultado! contesta los siguientes ejercicios. 1. x x 0. x x x x x x x 7x x 8x x x x x x 8x x x Trinomio de la forma ax + bx + c Cuando el trinomio es de la forma ax + bx + c se pueden presentar dos casos: Primer caso: Cuando sólo un coeficiente del término cuadrático (raíz cuadrada exacta). Para factorizar se procede de la siguiente manera. Ejemplo: factoriza la siguiente expresión 4x +16x +15 = 0

13 1) Se extrae la raíz cuadrada al primer término, no olvides que en algunos casos hay que ordenar en forma descendente 4x x ) Se abren dos paréntesis cuyos primeros términos serán el resultado del paso uno. ( x ) ( x ) = 0 3) Se divide el término lineal del polinomio a factorizar entre el resultado del paso uno. término lineal = 16 x resultado del paso uno = x 16x quedando entonces: 8 x 4) Se descompone el término numérico en dos factores cuya suma sea el resultado del paso tres. 15 = ( 5 ) ( 3 ) y además = 8 observa que este resultado corresponde al valor obtenido en el paso tres. 5) Los factores del paso cuatro forman los segundos términos de los paréntesis del paso dos. Obteniendo el resultado siguiente. (x+5) (x+3) De donde 4x + 16 x + 15 = (x+5) (x+3) Para comprobar el resultado, se efectúa el producto de binomios obtenidos: ( x + 5 ) ( x + 3 ) = 4 x +( 6 x + 10 x ) + 15 = 4 x + 16 x + 15 Segundo caso: Cuando el coeficiente del término cuadráticos no tiene raíz cuadrada exacta, se procede de la siguiente manera: Ejemplo factoriza 3x + 7x +

14 1) Se buscan dos factores que multiplicados nos den el primer término del trinomio y dos factores que multiplicados nos den el tercer término. 1er. Término: 3 x = ( 3x ) ( x ) y el tercer término = ( ) ( 1 ) ) De igual forma que el caso anterior, se identifican los números que al multiplicar los extremos y los medios, los productos resultantes nos den la suma algebraica del segundo término. Por lo que el resultado es: 3x, = extremo x,1 = medio 3 x + 7 x + = ( 3 x + 1 ) ( x + ) Para comprobar el resultado se desarrolla el producto: ( 3 x + 1 ) ( x + ) = 3 x + ( 6 x + x ) + = 3 x + 7 x + Utilizando el mismo procedimiento, realiza las siguientes factorizaciones y comprueba tus resultados, seguro tendrás bien todos! 1. 3x 5x 0. 5x 3x x 1x 6 0. x 7x x 4x x 30x x x x 9x x 0x 4 0

15 x x Diferencia de Cuadrados. Cuando se factoriza una diferencia de cuadrados como x 9, se llevan a cabo los siguientes pasos: 1. Se obtienen la raíz cuadrada de cada término (minuendo y sustraendo): x x y 9 3. Se abren dos paréntesis en donde el primer término en ambos paréntesis son el resultado de la primera raíz. ( x ) ( x ) = 0 3. el segundo término en ambos paréntesis, es el resultado de la segunda raíz, separados por signos más (+) y menos (-) respectivamente. ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 0 El resultado obtenido es: x 9 = ( x + 3 ) ( x 3 ) Para comprobar desarrolla el producto ( x - 3 ) ( x + 3 ) = x ( 3 x + 3 x ) - 9 = x 9 EJERCICIOS: 1. a a 16b a y 16 1 x 5

16 a 4 y 1 4 z a 6 a b 9 5 x b y 8 9. a 6 1 b a Suma o diferencia de cubos Este tipo de factorización se reconoce porque consta de dos términos los cuales tienen raíz cúbica exacta. El procedimiento a seguir es: Ejemplo: factorizar 7 a 3 - b 3 1) Se extrae la raíz cúbica a cada término a = 3 a 3 b 3 = - b ) Se escriben entre paréntesis el resultado del paso uno, separados por el signo del binomio original. ( 3a - b ) 3) El segundo factor se forma: a) Elevando al cuadrado el primer término. ( 3 a ) = 9 a b) Efectuar el producto del primero por el segundo cambiando el signo que separa a los elementos del paréntesis. - ( 3 a ) ( -b ) = + 3 a b c) Y por último elevar al cuadrado el segundo término. ( b ) = b Esto te da un TCP. 4 ) El resultado de la factorización se hace uniendo el trinomio y el factor obtenido en el paso dos.

17 7 a 3 - b 3 = ( 3a b ) ( 9 a + 3 a b + b ) Para comprobar la factorización se realiza el producto correspondiente. ( 3a b ) ( 9 a + 3 a b + b ) = 7 a 3 + ( 9 a b + 3 a b 9 a b 3 a b ) b 3 reduciendo términos semejantes la expresión resultante es: 7 a 3 - b 3 = ( 3a b ) ( 9 a + 3 a b + b ) resuelve los siguientes ejercicios y comprueba tus resultados. 1. a a b 1 x y a 64b 5. a x a x 64b 7 8x 3 9. x y 16a Es necesario que corrobores que también se puede factorizar utilizando los sólidos que elaboraste al inicio del tema de productos notables por lo que realizaremos la siguiente práctica. Material: Sólidos elaborados Cuaderno y lápiz Procedimiento:

18 Para la factorización se procede de forma inversa es decir, nos dan el volumen y lo que debemos determinar son las aristas, en este caso éstas son los tres factores a considerar. Al darnos a factorizar un polinomio procederemos de la siguiente forma: 1 Seleccionamos los volúmenes que indica el polinomio. Formemos un prisma o cubo si es posible armarlo desde el principio, en caso de no formarse, integremos parejas de piezas de los dos colores hasta formar la pieza esperada. 3 Identifiquemos las aristas de la pieza formada y escribamos su longitud como factores de manera similar a como lo vimos en los productos. 4 Comprueba lo que obtuviste mediante el algoritmo de la multiplicación. Ejemplo: Factoriza la expresión X 3 + 3X 3X, para hacer esto realizamos siguiente: 1 Seleccionamos los volúmenes que indica el polinomio. X 3 X 3 X X X X 3 + 3X

19 - X - X - X x - Formemos un prisma o cubo si es posible armarlo desde el principio, en caso de no formarse integremos parejas de piezas de los dos colores hasta formar la pieza esperada. Como lo que queremos formar es: X 3 + 3X 3X, jugando con los prismas, la figura que se aproxima a la expresión es la de base (X + )(X 1) esto es largo por ancho y de altura(x) Quedando la figura que nos indica que el volumen a calcular es: (X + )(X 1)(X) X BASE X X 1 -

20 Como lo que queremos formar es: X 3 + 3X 3X, jugando con los prismas, la figura que se aproxima a nuestro sólido problema un prisma es la de base (X + )(X 1) y altura (X) Quedando ahora la figura como (X + )(X 1)(X) X + x X X - 1 X Como lo que queremos formar es: X 3 + 3X 3X, jugando con los prismas agregando dos prismas de volumen X siendo uno claro (positivo) y otro oscuro (negativo), para no alterar el resultado. X X = 0 negativo Prisma de volumen X positivo Prisma de volumen X requiere. Estos dos prismas fueron agregados para completar la figura que se

21 La figura es de un prisma cuya de base es:(x + )(X 1) y altura (X + 1) 1 + X + X altura X X X X -1 X 1 ancho X Identifiquemos las aristas de la pieza formada y escribamos su longitud como factores de manera similar a como lo vimos en los productos. Es el volumen (X + )(X 1)(X + 1) que hemos analizado y completado. 4 Comprueba lo que obtuviste mediante el algoritmo de la multiplicación. Factoriza cada uno de los siguientes polinomios 1) a + 4ab R = a (1+ b ) ) 3 x y + 6 x 3 y -9x y 3 R = 3xy(x + x y - 3y ) 3) 6 a 4 b 1 a 3 b a b 4 R = 6a b ( a - ab + 5b ) 4) x x + 3 x + 1 R = ( x + 4 ) ( x + 3 ) 5) y y 3 4 y - 0 R = ( y + 5 )( y 3-4 )

22 6) x 4 x + 4 R = ( x ) 7) w - 4 w R = ( w 1 ) 8) y 14 y + 49 R = ( y 7 ) 9) z - 64 R = ( z + 8 ) ( z 8 ) 10) 81 - x R = ( 9 x ) ( 9 + x ) 11) y + 3 y - 4 R = ( y + 4 ) ( y 1 ) 1) 54 3 x - x R = ( x + 9 ) ( -x + 6 ) 13) 4 y + 3 y - 10 R = ( 4y + 5 ) ( y ) 14) 3 x 3 x + 4 R = ( 3x 1 ) ( x 4 ) 15) 15 x 3 64 y 3 R = ( 5x - 4y ) ( 5x + 0 x y + 16 y ) 16) b 6 79 R = ( b 9 ) ( b b + 81 ) = ( b + 3 ) ( b 3 ) (b 4 + 9b + 81 ) Resuelve las siguientes factorizaciones: 1) 3 x y + 15 a b x + 3 m n x y + 41x 4 y 3 R= 3x (y +5abx+mny+3x 3 y 3 ) ) 8a 3 b c a c + 6 a c + a b R= a (4a bc 4 +c +3ac+b) 3) a b + a c + b d + a f R = (a+d) (b+c) 4) m 4 m + 4 R = (m-) 5) t 4 + b t + b 4 R = (t +b ) 6) m n R = (m+n) (m-n) 7) 9 v 1 R = (3v+1) (3v-1) 8) x + 3 x + R = (x+1) (x+) 9) b b 35 R = (b+5) (b-7) 10) c 7 c + 3 R = (c-1) (c-3) 11) 4 y 18 y 10 R = (4y+) (y-5) 1) x 3 + y 3 R = (x+y) (x -xy+y ) 13) y 6 8 z 3 R = (y -z) (y 4 +y z+4z ) 14) d R = (d+3) (d -3d+9)