CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONTACTO MECÁNICO

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1 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO CAPÍULO FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO..- EL MÉODO DE LOS ELEMENOS FINIOS El método de los elementos fntos se basa en la dscretzacón de n sstema real, es decr en la partcón en trozos de n cerpo. Es más ben na dscretzacón físca. Cada no de esos trozos es n elemento, es sobre dchos elementos donde se aplcan nas ecacones. A medda qe el elemento es más peqeño, más se parece el modelo a la realdad. Para resolver las ecacones del problema es necesara tambén na dscretzacón matemátca, de tal forma qe se apromen fncones con las qe es Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna 9

2 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO dfícl trabajar por otras más sencllas. En general, calqer fncón se pede apromar por: N f ( ) N f ( ), donde cada pnto es n nodo o ndo....- Ecacones de la elastcdad: Ecacón de eqlbro: t j, j + Ecacón de compatbldad: ( + ) Le de comportamento: j Cjklkl j, j j, Estas ecacones oblgan pnto a pnto, es decr, cada trozo, ndependentemente de s tamaño, debe cmplrlas. A este sstema se le conoce como formlacón ferte....- Prncpo de los trabajos vrtales: j j dv f dv t ds Donde representa las tensones en n volmen, sendo s contorno, es la deformacón vrtal defnda en fncón de los desplazamentos vrtales f t son las cargas eternas aplcadas por ndad de volmen de sperfce, respectvamente. S el sstema vrtal son las ferzas en eqlbro se llega a la ecacón de compatbldad, mentras qe s el sstema vrtal son las deformacones desplazamentos compatbles se llega a la ecacón de eqlbro. Esta formlacón se conoce como débl, fncones de menor grado de dervabldad. Es sentdo opesto a la formlacón anteror, es este caso sólo se oblga al domno al contorno, pero no al pnto concreto. Las dos formlacones concden cando sea n pnto concreto, es decr, a menores elementos más se parece el problema a la realdad. Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna,

3 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna..3.- Formato matrcal de las ecacones elástcas del PV: Deformacones tensones: Los psedovectores de deformacón tensón son: j j z z z ; D, en tensón plana z z z τ τ τ D τ, en tensón plana A fnal se concle qe: j j Le de comportamento: En tensón plana: D G E E E E τ D

4 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna Ecacones de compatbldad: En tensón plana: + { L 443 L Ecacones de eqlbro con PV: Se san compatbles: tds dv f dv + Donde f f f t t t, las cargas en el contorno serán repartdas o pntales. De las ecacones anterores se pede sacar: L D DL L L Con todo reslta: tds dv f DLdV L dv +

5 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO..4.- Dscretzacón matemátca: Hasta ahora no se ha sado el concepto de dscretzacón. Esto consste en na partcón del contno en elementos más peqeños apromar lo qe pasa en calqer parte de elemento por los qe se sabe de ss nodos. La varable prncpal qe se va a apromar son los desplazamentos. Dcha apromacón es: Nδ, donden es la matrz de fncones de forma δ son los desplazamentos en los nodos del elemento como consecenca de las condcones de contorno mpestas. S se ntrodce la apromacón de desplazamentos dentro de las varables anterormente descrtas reslta: L LNδ Bδ DL DLNδ DB L LNδ Bδ tener dervada. Cabe destacar qe al ser L n operador dferencal las fncones de forma deben Ahora se san los resltados obtendos dentro del PV: dv fdv + tds δ B DBδdV δ N f dv + δ N tds C argas repartdas odas las c argas Pδ pntales 443 C argas Pntlaes S las cargas pntales sólo están aplcadas en los ndos: P δ δ P Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna 3

6 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO En todos los térmnos del PV aparece δ mltplcando; δ es constante, conocdo o desconocdo, pero se pede sacar factor común: δ B DBδdV δ K δ N fdv + N tds + P Pf P t ( Kδ ) ( P + P + P) δ f t La últma ecacón es válda para todo valor qe tome elmnar este térmno, resltando la ecacón: δ, con lo qe se pede Kδ Pf + Pt + P..- INERACCIÓN MECÁNICA Como a se ha menconado en el apartado anteror, el Prncpo de los rabajos Vrtales es condcón necesara sfcente para el eqlbro de n sstema, o estrctra, o de cada na de ss partes. Este Prncpo aplcado a n sstema calqera se formla como: j j dv f dv t ds donde el sgnfcado de cada térmno se eplca en el apartado... Sn embargo, s aplcamos este msmo prncpo a n sstema compesto por dos sóldos en contacto aparece n nevo térmno en la ecacón correspondente a la contrbcón qe tene el contacto. Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna 4

7 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO δ δ Zonas de contacto potencal Fgra..- Detalle de contacto jj dv fdv t ds + C C Para los dos cerpos en contacto es posble obtener la formlacón débl del PV o la energía relatva a la nterfaz asmendo qe el contacto está actvo en las zonas de contacto potencal. Esten dferentes varantes para la formlacón de C c dependendo del método sado. Mltplcadores de Lagrange: En este caso la formlacón del térmno del contacto vene dada por la epresón: donde, g t es la separacón tangencal gn es la separacón, qe se defne como: Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna 5

8 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO n n n () n () Fgra..- Detalle de defncón de g n Penalzacón: En este caso la formlacón del térmno del contacto vene dada por la epresón:, donde, respectvamente. representan las penalzacones normal tangencal Lagrangano Amentado: En este caso la formlacón del térmno del contacto vene dada por la epresón:, donde Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna 6

9 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO.3.- EL PROBLEMA COHESIVO La fractra a lo largo de na nterfaz tene n papel fndamental en la resstenca dctldad de materales compestos, como los compostes. Esto ha motvado na consderable cantdad de estdos sobre los fallos de nterfaces. Dcha nterfaz se pede modelar con los métodos tradconales de la mecánca de la fractra, como la técnca de la lberacón nodal. Pero, tambén se pede sar na técnca qe drectamente ntrodce n mecansmo de fractra adoptando las relacones de reblandecmento entre las traccones la separacón. Esta técnca, llamada modelo de la zona cohesva, ntrodce na energía crítca de fractra qe es la energía necesara para romper separar las sperfces de la nterfaz. Las sperfces de la nterfaz de los materales peden representarse con n conjnto especal de elementos de nterfaz o de contacto, mentras qe el modelo de la zona cohesva se sa para caracterzar el comportamento constttvo de la nterfaz. El modelo de la zona cohesva consste en na relacón constttva de traccones,, actando sobre na nterfaz la correspondente separacón de nterfacal, δ. Las defncones de la traccón la separacón dependen del elemento del modelo del materal. Para los elementos de la nterfaz, la separacón nterfacal o desplazamento, δ, se defne como la dferenca entre los desplazamentos de las sperfces adacentes: Nótese qe la defncón de la separacón se basa en n sstema de coordenadas local para el elemento. La normal de la nterfaz se denota como la dreccón local n la dreccón tangencal local se denota por t. De este modo: Este na formlacón eponencal para el modelo de la zona de materal cohesvo qe sa el potencal de la sperfce: Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna 7

10 CAPÍULO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONACO donde, es el potencal de la sperfce, es la máma traccón en la nterfaz, es la separacón normal a través de la nterfaz donde la máma traccón se consge con, es la separacón de czalladra donde la máma traccón de czalladra de alcanza para. se defnen como:. La traccón se defne como: O tambén se pede separar en ss componentes: De las ecacones anterores se obtenen la traccón normal de la nterface la traccón de czalladra: El trabajo normal de separacón es, mentras qe el trabajo de separacón tangencal se asme qe va a ser gal qe el normal se defne como. Estdo de la nflenca de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolcón de problemas de nteraccón mecánca sperfcal. Págna 8