SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Mteril dptdo on fines instruionles por Teres Gómez, de: Oho, A., González N., Lorenzo J. Gómez T. (008) Fundmentos de Mtemátis, Unidd 5: Euiones e Ineuiones, CIU 008, UNEFA, Crs. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Hst hor, en el Curso de Integrl de Induión Universitri, hemos trjdo soluiones de euiones on un inógnit. En est prtdo trtremos sistems de euiones, lo ul no es más que un onjunto de euiones on más de un () inógnit. Comenzremos on sistems ásios de euiones on inógnits, l finl se mplirá el estudio sistems de euiones on inógnits. Los siguientes son ejemplos de sistems de euiones: () () () z 5 z 5 0z 0 z El ejemplo orresponde un sistem de euiones lineles de dos () euiones on dos () inógnits. El ejemplo orresponde un sistem de euiones lineles de tres () euiones on tres () inógnits. El ejemplo represent un sistem de euiones no lineles de dos () euiones on tres () inógnits. Not: En un sistem de euiones no siempre el número de euiones es igul l número de inógnits. TÉRMINOS EMPLEADOS EN SISTEMA DE ECUACIONES Ls dimensiones de un sistem de euiones depende: primero, del número de euiones (l ul llmremos m), segundo, del número de inógnits (l que llmremos n). Entones l dimensión de un sistem l definiremos m n. Sistem Sistem Sistem z z z L soluión de un sistem orresponde los vlores de ls inógnits enontrds que, l sustituirlos en ms euiones, stisfe el sistem originl, es deir son los vlores de ls inógnits que hen que ls igulddes se verifiquen. Los sistems de euiones se pueden onsiderr homogéneos o no homogéneos. LOS SISTEMAS HOMOGÉNEOS, son quellos que tienen todos Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

2 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis los términos independientes igules ero un de sus soluiones es quell en l que tods ls inógnits tienen omo vlor ero (0). A este tipo de soluión se le llm soluión trivil, pero deemos tener presente que no todos los sistems homogéneos tienen un úni soluión. LOS SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS, son quellos en los que por lo menos uno de los términos independientes es distinto de ero (0). Más delnte oservremos ejemplos. Los sistems de euiones denomindos COMPATIBLES, son quellos que tienen soluión pueden tegorizrse omo omptiles determindos e indetermindos. Un sistem es COMPATIBLE DETERMINADO, undo tiene un número finito de soluiones Un sistem es COMPATIBLE INDETERMINADO, undo tiene un número infinito de soluiones. Por otro ldo podemos señlr que un SISTEMA INCOMPATIBLE, es quel que no tiene soluión. Más delnte oservremos ejemplos. Un euión linel en un vrile se define tmién omo un euión de primer grdo en l vrile es de l form on 0. Un euión linel en dos vriles (, ), se define omo un euión de er grdo en d un de ls vriles es de l form 0, donde 0 0. En generl, un euión linel en n vriles,,... n es un euión de er grdo en d un de ls vriles es de l form n n, donde no todos los i sen igules ero. Un sistem de euiones lineles es el onjunto de dos o más euiones lineles on dos o más inógnits. En los ejemplos de l definiión, l iniio de est unidd, el () () son sistems de euiones lineles..- Sistem de euiones lineles Es el onjunto de dos euiones lineles on dos inógnits. En el ejemplo de l definiión es sistems de euión lineles. Criterios pr determinr l eisteni de soluiones de sistems Antes de intentr resolver un sistem de euiones, es onveniente determinr si el sistem tiene soluión onoer l nturlez de ést. En este prtdo indimos lgunos riterios que nos pueden orientr en l úsqued de l soluión. Pr el siguiente el sistem : Se presentn dos () sos: Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

3 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Cso : Si el sistem de euiones es homogéneo, es deir, 0, tendremos dos opiones: i) el sistem tiene soluión trivil, 0, 0 ii) el sistem tiene infinits soluiones. Cso : Si el sistem de euiones es no homogéneo suponiendo 0, tendremos tres opiones: i) el sistem tiene sólo un soluión no trivil es l siguiente: ii) iii) el sistem tiene infinits soluiones el sistem no tiene soluión. Vemos lgunos ejemplos de determinión de soluiones: Ejemplo : so de que eist. Pr el sistem de euiones 0 0 determin l soluión, en Oservmos que el sistem es homogéneo, pues 0, demás que, entones, por lo tnto, orresponde l so.i), en onseueni el sistem tiene soluión trivil, 0, 0. Ejemplo : Pr el siguiente sistem de euiones soluión, en so de que eist. 0 0 determin l El sistem es homogéneo, que 0, demás que, entones Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

4 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis por lo tnto, orresponde l so.ii), en onseueni el sistem tiene infinits soluiones Ejemplo : Pr el siguiente sistem de euiones soluión, en so de que eist., determin l 0 El sistem es no homogéneo, que, 0, por otro ldo oserv que:, entones por lo tnto, orresponde l so.i) resolvemos omo sigue: ()( ) ( 0)() ()( ) ()() ()( 0) ()() ()( ) ()() 0 Respuest: L soluión es -, Ejemplo : Resolver el siguiente sistem de euiones El sistem es no homogéneo, pues, demás que:,, entones por lo tnto, orresponde l so.ii), en onseueni el sistem tiene infinits soluiones. Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistem de euiones El sistem es no homogéneo, que,, demás oservmos que:,, entones por lo tnto, orresponde l so.iii), en onseueni el sistem no tiene soluión. Interpretión Geométri de los sistems de euiones lineles Tods ls euiones lineles de dos vriles (inógnits) tienen línes rets por gráfis en el plno rtesino. En el so de un sistem de dos euiones lineles Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

5 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis dos vriles (inógnits), l representión gráfi del mismo viene dd por dos rets en el mismo plno ls ules se pueden omportr de l siguiente form: Cso A: El sistem es homogéneo (omptile determindo) tiene soluión trivil 0, 0. ( ) e 0 0 e e e Ls dos rets tienen en omún el punto Cso B: El sistem es no homogéneo (omptile determindo) tiene un úni soluión no trivil. e e e e Ls dos rets tienen en omún el punto que no es el origen Cso C: El sistem homogéneo o no homogéneo (omptile indetermindo) tiene infinits soluiones. e e e e Ls rets son oinidentes (un sore l otr) Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin 5

6 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Cso D: El sistem es no homogéneo (inomptile) no tiene soluión. e e e e Ls rets no tienen punto en omún Método pr resolver sistem de euiones lineles De los riterios estudidos en est guí, el numerdor omo.i es el que nos oup en este so; es deir, sistems no homogéneos on un soluión. Se indió que teniendo el sistem: Su soluión es: Sin emrgo, eisten diferentes métodos que nos permiten otener est soluión on proedimientos mu espeífios. Es mu importnte onoer dihos proedimientos pr nálisis posteriores. Pr resolver sistems de euiones lineles utilizremos los dos siguientes métodos: Métodos Anlítios: Sustituión Igulión Eisten otros métodos pr resolver sistems de euiones, tles omo los de reduión, mtriiles el método gráfio, pero en est guí sólo desrrollremos los dos métodos nlítios meniondos mostrremos su interpretión gráfi. Método de Sustituión Este método, omo su nomre lo die, onsiste ásimente en despejr de un de ls euiones ulquier inógnit, preferilemente l que teng menor oefiiente, pr, ontinuión, sustituirl en otr euión por su vlor. Estudiemos este método on los siguientes ejemplos: Ejemplo : Resuelv el sistem de euiones método de sustituión. 5 utilizndo el Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

7 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Soluión: Pso : Verifimos l nturlez de l soluión. El sistem es no homogéneo, porque 0 0, entones: El sistem tiene un soluión úni. Pso : Denotmos d euión on un número, pr diferenirl. 5 () () Pso : Elegimos un de ls euiones pr despejr un de ls inógnits, en este so tommos l () pr despejr. Es indistinto l euión que se elij l inógnit que se despeje. 5 5 () e () El - ps sumndo 5 el que está multiplindo ps dividiendo tod l epresión. Finlmente llmmos () l nuev euión. Pso : Sustituimos l epresión orrespondiente, en l euión del sistem que no fue tomd, en este so es l e (). ( ) 5 Reemplzmos l por el vlor que tiene según l euión. Pso 5: Otenemos un euión de primer grdo on un inógnit l resolvemos Sum de friones, onsiderndo que el mínimo entre es El ps multiplindo Agrupmos términos semejntes Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

8 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Pso : Sustituimos el vlor de l inógnit enontrd en ulquier de ls euiones (); () ó (), generlmente se elige l que onsidere más senill. En nuestro ejemplo elegimos l euión (), pues pree despejd sustituimos ( ) Pso : Comproión. Sustituimos - - en ms euiones del sistem originl. 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Pso 8: Presentmos l soluión L soluión del sistem es e, de uerdo esto, el sistem es omptile determindo, porque tiene soluión úni. - Como menionmos, l interpretión gráfi orresponde dos rets que tienen en omún el punto P(-,-). Vemos: P(-,-) - 5 Ejemplo : Resuelve el sistem de euiones método de sustituión. Pso : Verifimos l nturlez de l soluión. 0 0 utilizndo el El sistem es no homogéneo, porque 0 0, entones: 5 0 Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin 8

9 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis El sistem no tiene soluión, es inomptile, por lo tnto no es neesrio plir el método de sustituión. Su interpretión gráfi orresponde l Cso D, prtdo.., dos rets prlels (no tienen puntos en omún), omo se muestr ontinuión. 5 0 Ejemplo 8: Resuelve el sistem de euiones método de sustituión. Soluión: Pso : Verifimos l nturlez de l soluión. 5 utilizndo el El sistem es no homogéneo, porque 0 0, entones: 5 El sistem tiene soluión úni. Pso : Denotmos d euión on un número, pr diferenirl. 5 e() e () Pso : Elegimos l euión () despejmos l inógnit (E ) A est euión le llmremos () Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin 9

10 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Pso : Luego en l euión () sustituimos 5 5 Simplifimos. Pso 5: Resolvemos l euión de primer grdo. 5 5 Agrupmos términos semejntes. Pso : Y tenemos el vlor de, hor enontremos el vlor de. Esto result senillo, sólo deemos elegir un de ls tres euiones (); () ó () sustituir en ell el vlor enontrdo de, elegimos l euión () (e ) Pso : Compror el resultdo (pr este ejeriio omprue tú l soluión). Pso 8: Finlmente está resuelto el sistem ls soluiones son / e / de uerdo esto el sistem de euiones es omptile determindo, deido que tiene sólo un soluión, esto indi que l soluión es finit. Método de Igulión Este método onsiste en despejr l mism inógnit en ms euiones luego igulr mos resultdos. Estudiemos este método on los siguientes ejemplos: Ejemplo 9: método de igulión. Resuelve el sistem de euiones 5 utilizndo el Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin 0

11 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Pso : Verifimos l nturlez de l soluión. El sistem es no homogéneo, porque 0 0, entones: El sistem tiene un soluión úni. Pso : Denotmos d euión on un número, pr diferenirl. e () 5 e () Pso : De ms euiones despejmos l mism inógnit. En este so despejmos l inógnit. Despejmos de l euión () ( e ) ( e ) Despejmos de l euión () 5 ( e ) 5 5 ( e ) Pso : Ahor igulmos ls dos epresiones enontrds. Es deir ( e ) ( e ) 5 Pso 5: Resolvemos l euión de primer grdo otenid en l igulión. ( ) ( 5 ) ; 9 Pso : Sustituimos el vlor enontrdo en l euión que se onsidere más senill. Sustituiremos en l (e ) 5 (e ) Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

12 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis 5 ()( ) 5 9 Pso : Se ompruen los resultdos sustituéndolos en el sistem originl. (omprue tú l soluión.) Pso 8: Se present l soluión del sistem: - -. Oserv que el sistem de euiones que mos de resolver, es el mismo ejemplo resuelto por el método de sustituión. Fíjte que on ulquier de los métodos utilizdos hst hor (sustituión e igulión), otenemos etmente l mism soluión pr el sistem. Ejemplo 0: Resuelve el sistem de euiones utilizndo el método de igulión. Pso : Verifimos l nturlez de l soluión. El sistem es no homogéneo, porque 0 0, entones: El sistem tiene soluión úni. Pso : Denotmos d euión on un número, pr diferenirl. e () e () Pso : De ms euiones despejmos l mism inógnit. Despejmos de l euión () (e ) (e ) Despejmos de l euión () (e ) (e ) Pso : Ahor igulmos ls dos epresiones enontrds. Es deir, e e Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

13 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Pso 5: Resolvemos l euión de primer grdo otenid en l igulión. ( ); 8 ; 8 Pso : Sustituimos el vlor enontrdo en l euión que onsideres más senill. Sustituiremos en l e (E ) ( ) Pso : Se ompruen los resultdos, sustituéndolos en el sistem originl. (omprue l soluión) Pso 8: Se present l soluión del sistem:,. Como menionmos, l interpretión gráfi orresponde dos rets que se intereptn (o ortn) en el punto P(-,). Vemos: p (,) -.- Sistems de Euiones no Lineles Estos son sistems que ontienen por lo menos un euión no linel, por ejemplo: un euión udráti, úi, rionl, entre otrs. Podemos resolverlos utilizndo los oneptos estudidos en est guí. Vemos lgunos de ellos. Ejemplo : Resuelve el sistem 0 Este sistem no es linel, sin emrgo, podemos resolverlo por sustituión. Primero le signmos números ls euiones pr diferenirls 0 e. e. Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

14 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Despejmos un de ls vriles de l e., en este so (E) Sustituimos en l e. 0 ( ) 0 Desrrollmos l sum del inomio elevdo l udrdo Multiplimos tod l euión por m..m(,9) Resolvemos l euión de grdo otenemos: ± donde, 8 8 ± ( 8) ( ) 8 ± 8 8 ± 5 Como otuvimos dos resultdos pr, sustituimos d resultdo en l e., pr otener los vlores de Pr Pr (e. ) ( ) Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

15 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Si queremos ompror, sustituimos los vlores de, en ls euiones originles, tmién sustituimos, en tles euiones verifimos que se umpln ls igulddes. Finlmente, presentmos los resultdos: Ls soluiones son:,, Ejemplo : Resuelve el sistem 5 Este sistem no es linel. Sin emrgo, podemos onvertirlo un sistem linel por medio de mios de vriles sí resolverlo por ulquier de los métodos estudidos. Primero hemos u v Ahor esriimos nuevmente el sistem: 5 u v u v 5 Resolvemos el sistem resultnte por sustituión: Pso : Verifimos l nturlez de l soluión. El sistem es no homogéneo, entones: El sistem tiene un soluión úni. omo Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin 5

16 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Pso : Le signmos números ls euiones pr diferenirls u v u v 5 e. e. Pso : Despejmos l vrile u de l e. l sustituimos en l e. : v v 9v u P; v 5 v 5 Resolvemos el ldo dereho de l euión nos qued: 9v v v 5 5 v 0 Simplifindo l frión, nos qued que v Pso : Sustituimos el vlor de Pso : Sustituimos el vlor de v 0 v v hllr el vlor de u, por ejemplo en l e. : v v en ulquier de ls dos euiones, pr u 5 u 5 u 5 u 5 u u Pso 5: Se devuelven los mios de vriles, determinndo sí el vlor de ls inógnits originles. u v / Pso : Se omprue el resultdo otenido sustituendo en el sistem originl. (Compruélo) Pso : Se present l soluión del sistem. Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin

17 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin Respuest: 5 L soluión del sistem es e. Ejeriios Propuestos Resuelve d uno de los siguientes sistems por los dos métodos ( ) ) ( Resuelve los siguientes sistems por el método que prefiers

18 UNEFA C.I.N.U. Mtemátis z z z 0. z z z. Resuelve el siguiente sistem de euiones ) L sum del triple de un primer número on el dole del segundo es. ) El dole del primero umentdo en uniddes es igul l triple del segundo.. Cuál es l medid de los ldos de un triángulo isoseles si? ) El perímetro es igul 0 m. ) El ldo diferente mide m. menos que uno de los ldos igules.. En l fmili Morles trjn tres persons, el señor, l señor el hijo mor. Cuánto gnrán d uno de los tres, siendo que:. Entre los tres gnn Bs.F El hijo gn Bs.F. 5 menos que l señor.. El señor gn Bs.F. 0 más el dole de lo que gn l señor.. Tomndo en uent ls siguientes premiss:. El totl de lumnos es En ingenierí h 5. lumnos más que en eduión.. En mediin h 8. lumnos menos que en eduión. Cuántos lumnos h en d un de ls tres espeiliddes de un universidd? Sugereni: Pr verifir los resultdos, puedes onsultr l págin: APLICACIONES INTERACTIVAS: SISTEMAS DE ECUACIONES, en l siguiente direión: Euiones: Sistems de Euiones Lineles Págin 8