Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

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1 Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Bajo licencia de creative commons Unos investigadores británicos afirman que el penalti perfecto existe. Después de muchas investigaciones y de estudiar numerosos vídeos concluyen que la forma de lanzar un penalti para conseguir un disparo imparable es: coger carrerilla cinco o seis pasos desde el borde del área, golpear el esférico a una velocidad de 105km/h o más con un ángulo de 20 a 30 grados y de esta forma el balón cruza la línea de gol a 0,5 metros por debajo del larguero, a la misma distancia de cada uno de los palos. Este es un simple ejemplo en el que podemos ver una aplicación de la medida de ángulos para solucionar un problema, pero ya desde la antigüedad se utilizó la medida de ángulos en campos como la navegación para orientarse y conocer la posición del barco, o la astronomía para localizar estrellas en el cielo. En este tema estudiaremos dos de las unidades en las que se pueden medir los ángulos: el grado sexagesimal y el radián, la relación que existe entre ellos, así como operaciones con ángulos. Veremos también qué son las razones trigonométricas de un ángulo.

2 1. Medida de ángulos Bajo licencia de creative commons Mi pueblo está a 60 kilómetros (o metros) de mi casa y tardo una hora y cinco minutos en llegar. Allí tengo un huerto que mide 2 hectáreas, o lo que es lo mismo 2 hectómetros cuadrados. Igual que podemos medir la distancia desde mi casa a mi pueblo, el tiempo que tardo en llegar o la superficie de mi huerto, también podemos medir la amplitud de un ángulo. Y lo mismo que para medir las distancias, el tiempo o la superficie podemos utilizar distintas unidades, para medir ángulos también usaremos distintas unidades.

3 1.1. El grado sexagesimal Fuente propia La forma de medir ángulos en el sistema sexagesimal, es la misma que utilizamos para medir el tiempo. Para medir el tiempo se elige como unidad principal la hora y luego la podemos dividir en minutos y segundos. Pues bien, para medir la amplitud de un ángulo, se elige como unidad principal el grado sexagesimal que, como en el tiempo, también se puede dividir en minutos y segundos. Actividad Sabemos que un ángulo recto mide 90º. Si lo dividimos en 90 partes iguales, cada una medirá un grado sexagesimal, se escribe 1º. Un ángulo nulo = 0º Un ángulo recto = 90º Un ángulo llano = 180º Una circunferencia = 360º Para medir ángulos más pequeños utilizaremos otras unidades más pequeñas que el grado: el minuto y el segundo. Cada grado vale 60 minutos, se escribe: 1º =60' Cada minuto vale 60 segundos, se escribe: 1' = 60'' El grado, el minuto y el segundo forman el sistema sexagesimal de medidas de ángulos. Para pasar de una unidad a otra bastará multiplicar o dividir por 60 como indica el siguiente gráfico:

4 Fuente propia Medidor de ángulos digital Bajo licencia de creative commons Expresa en la unidad que se indica: a) 20º en segundos b) 3' en segundos 90'' en grados d) 18'' en minutos Pregunta de Elección Múltiple 1. Cuántos grados son 45'? a) 0,0123º

5 0,75º 2. Cuántos segundos son 120º? a) '' b) 7200'' 2'' 3. Cuántos grados son 585''? a) 9,75º b) 0,1625º 35100º 4. Cuántos segundos son 37'? a) 0,6'' b) '' 2220''

6 1.2. Forma compleja e incompleja de la medida de un ángulo Bajo licencia de creative commons Actividad En el presente apartado la explicación que se da del uso de la calculadora científica para pasar la medida de un ángulo en grados de forma incompleja a compleja o viceversa se ha extraído del manual de instrucciones de la calculadora casio fx-570es. En la calculadora científica que posea el alumno/a es probable que el procedimiento sea algo diferente (aunque no debe ser muy distinto). En ese caso se debe consultar el manual de instrucciones propio de la calculadora. Vamos a seguir comparando las medidas de ángulos con las de tiempo. Por ejemplo, podemos decir que una película dura 1 hora 30 minutos y 45 segundos o que dura 1,5125 horas. Son dos formas diferentes de expresar la misma cantidad de tiempo. La primera en horas, minutos y segundos se llama forma compleja, y la segunda solo en horas se llama forma incompleja. Del mismo modo, un ángulo puede medir, por ejemplo 45º 9' 36'' (forma compleja) ó 45,16º (forma incompleja). Vamos a ver como se pasa de forma incompleja a compleja y al contrario con la calculadora. Vamos a pasar 45,16º a forma compleja : En la calculadora, si escribimos 45,16 (recuerda que en la calculadora has de utilizar el punto de vez de la coma decimal) y pulsamos seguida de y en la pantalla aparece 45º 9º 36. Esto lo interpretamos como 45º 9' 36'', y es la expresión en forma compleja de 45,16º. Ahora lo haremos al contrario. Vamos a pasar 45º 9' 36'' a forma incompleja :

7 Si queremos introducir en la calculadora la expresión del ángulo en forma compleja para que nos devuelva la expresión en forma incompleja, haremos lo siguiente: Escribimos 45 y pulsamos escribimos 9 y pulsamos escribimos 36 y volvemos a pulsar Por último pulsamos y volvemos a pulsar: Después de seguir todos estos pasos, la calculadora nos devuelve la expresión 45,16 que son grados aunque la calculadora no lo indique. Está claro que a la hora de hacer operaciones es mucho más cómodo hacerlo en forma incompleja por eso si en algún ejercicio nos dan la medida de un ángulo en forma compleja, siempre podemos echar mano de la calculadora para pasarla a incompleja que es más fácil de "manejar". Ahora coge tu calculadora que vamos a practicar. Pregunta de Elección Múltiple 1. Utiliza la calculadora para expresar 25' 50'' en grados. a) 45,6º b) 0,43º 0,255º 2. Expresa en forma compleja 7,25º con la calculadora. a) 7º 15' 0'' b) 7º 26' 0'' 7º 41' 16'' 3. Expresa 25º 30' 54'' en forma incompleja. Hazlo con la calculadora. a) 25,3054º b) 25,5º 25,515º

8 Cuando nos dan un ángulo expresado en forma compleja para que lo pasemos a incompleja, no siempre nos van a pedir que lo expresemos en grados como acabamos de aprender, aunque esto sea lo más habitual. También nos pueden pedir que lo expresemos en minutos o en segundos. Esto también lo podemos hacer con la calculadora aplicando lo que hemos aprendido en el presente apartado. Vamos a hacer algunos ejemplos. Expresa en la unidad que se indica: a) 45º 9' 36'' en grados b) 45º 9' 36'' en minutos 45º 9' 36'' en segundos Pregunta de Elección Múltiple 1. Expresa en grados 15º 42' 18'' a) 15, 4218º b) 15,705º 18º 2. Expresa en minutos 50º 6' 18'' a) 3006,3' b) 50,105' 5618' 3. Expresa en segundos 10º 21' 52'' a) 10, '' b) 621, '' 37312''

9 1.3. El radian Fuente propia 1 radián = 57,3º Hemos visto en los apartados anteriores que los ángulos se pueden medir en grados minutos y segundos. Otra unidad importante para medir ángulos es el radián. Vamos a ver la equivalencia que existe entre los grados y los radianes y verás que fácil es pasar de una unidad a otra, simplemente hay que usar una regla de tres. Actividad Podemos decir que una circunferencia completa mide 360º ó radianes, y se escribe. Por tanto media circunferencia medirá la mitad, es decir, 180º ó. Con esta equivalencia,, es fácil pasar la medida de un ángulo de grados a radianes y viceversa, simplemente aplicando una regla de tres. Vamos a ver algunos ejemplos.

10 Bajo licencia de creative commons 1. Expresa 120º en radianes. 2. Expresa en grados. Pregunta de Elección Múltiple 1. La medida en grados de 1 radián, es: a) 57,3º b) 1º 30º 2. La medida en grados de es: a) 150º b) 300º 320º 3. Expresa 225º en radianes:

11 b) 4. Expresa en grados a) 0,9º b) 200º 162º 5. Expresa en radianes 60º a) b)

12 1.4. Operaciones con medidas de ángulos Bajo licencia de creative commons En este apartado vamos a ver las operaciones con medidas de ángulos expresados en grados sexagesimales o en radianes. Para realizar las operaciones con medidas de ángulos expresadas en grados sexagesimales es muy sencillo, basta con introducir los datos en la calculadora. Si la medida está expresada en forma compleja, solo tendrás que pasarla a forma incompleja como has aprendido en el apartado 1.2 y después realizar la operación. Veamos algunos ejemplos: Bajo licencia de creative commons Realiza las siguientes operaciones con medidas de ángulos: a) (22º 12' 9'') x 4 b) 15,37º + 25,2º 46,22º - 10º 36' 18'' d) 36, 12º : 3

13 Ya has visto que esto es muy fácil prueba tú ahora: Pregunta de Elección Múltiple 1. Calcula 3,25º x 5 a) 16,25º b) 17,083º 18,75º 2. Realiza la siguiente suma (15' 18'') + (20º 6' 18'') a) 20º b) 35,66º 20,36º 3. Calcula 38,24º - 9,5º a) 47,74º b) 28,74º 29º 4. Realiza la siguiente división (10º 59' 6'') : 5 a) 2, 1192º b) 2º 2,197º

14 Hemos visto como se hacen operaciones con medidas de ángulos en forma sexagesimal. Vamos a ver como se opera con medidas de ángulos expresados en radianes verás que también es muy sencillo: Vamos a hacer un ejemplo : Como solo hay que sumar el 2 con el 0,75 y después añadirle el número Ahora vamos a practicar el resto de las operaciones con algunos ejercicios. Bajo licencia de creative commons Realiza las siguientes operaciones con medidas de ángulos: a) b) Pregunta de Elección Múltiple 1. Realiza la siguiente suma:

15 b) 2. Calcula: a) b) 3. Resuelve la siguiente multiplicación: a) b) 4. Resuelve esta división a) b)

16 2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo Bajo licencia de creative commons Actividad En los siguientes apartados (del 2.1 al 2.4) la explicación que se da del uso de la calculadora científica para el cálculo y las operaciones con razones trigonométricas se ha extraído del manual de instrucciones de la calculadora casio fx-82ms. En la calculadora científica que posea el alumno/a es probable que el procedimiento sea algo diferente (aunque no debe ser muy distinto). En ese caso se debe consultar el manual de instrucciones propio de la calculadora. La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos. Estas relaciones y el nombre que recibe cada una de ellas es lo que veremos en este apartado. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Uno de los hechos más famosos de la antigüedad fue como Thales de Mileto midió la altura de la gran pirámide usando solamente su bastón y las sombras de la pirámide y del bastón. Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar los conceptos "cateto opuesto" y "cateto contiguo". Vamos a ver cual es cada uno de ellos. Como sabemos, en un triángulo rectángulo hay tres ángulos, un ángulo de 90º que es el que forman los dos catetos y dos ángulos agudos (menores de 90º), formados cada uno de ellos por un cateto y la hipotenusa. El cateto opuesto a un ángulo agudo, es el que está justo frente a dicho ángulo, y el cateto contiguo a un ángulo agudo es el que forma parte del ángulo. Vamos a verlo con el siguiente ejemplo:

17 El cateto opuesto al ángulo Fuente propia es "b" porque es el cateto que está justo frente a El cateto adyacente al ángulo es "c" porque es el cateto que forma parte del ángulo, ya que el otro lado del ángulo, el lado "a", es la hipotenusa. Sabrías decir cuales son los catetos opuesto y adyacente del ángulo siguiente ejercicio.? Vamos a comprobarlo con el Pregunta de Elección Múltiple 1. El cateto opuesto al ángulo es: a) a b) b c 2. El cateto adyacente al ángulo es: a) c b) b a

18 2.1. Seno de un ángulo agudo Bajo licencia de creative commons Con lo que acabamos de aprender ya tenemos las herramientas necesarias para estudiar las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Empezaremos por el seno. Aunque para explicar las razones trigonométricas vamos a utilizar el ángulo, de la misma forma se pueden calcular también las razones trigonométricas del ángulo. Actividad Fuente propia Definimos el seno del ángulo, y se escribe de la siguiente forma:

19 Fuente propia 1. Calcula el seno del ángulo 2. Calcula ahora el seno del ángulo En el ejercicio anterior hemos calculado el seno del ángulo y del ángulo sin saber cuanto mide ni cuánto mide.pero una vez que conocemos el valor del seno, es muy fácil calcular con la calculadora la medida de estos ángulos. Vamos a calcular la medida del ángulo y después tu harás lo mismo para calcular la medida del ángulo. Hemos calculado. Para calcular la medida de, seguiremos los siguientes pasos con la calculadora: 0,6 Después de pulsar estas teclas la calculadora nos devuelve el número 36, Esto quiere decir que el ángulo Pero nosotros no necesitamos escribir tantos decimales, podemos aproximar el número que nos da la calculadora con dos decimales y escribir Pregunta de Elección Múltiple Calcula cuanto mide el ángulo del ejercicio. Da la respuesta con dos decimales. a) 36,86º b) 48,59º 53,13º

20 Fuente propia También podemos calcular el seno de un ángulo con la calculadora si conocemos su amplitud. Vamos a calcular sen 63,43º La tecla para calcular el seno de un ángulo es. Hay dos tipos de calculadoras vamos a ver como se calcula el seno en cada una de ellas. Primer tipo Hay que pulsar primero el valor del ángulo y después la tecla del seno, así: 63,43 La calculadora nos devuelve el número 0, , pero nosotros no necesitamos escribir tantos decimales y podemos dar una aproximación de ese número. Así, podemos decir: ó también Segundo tipo Hay que pulsar las teclas al contrario, es decir, primero pulsamos la tecla del seno y después la medida del ángulo, así: 63,43 Pero el resultado que obtenemos es el mismo. Pregunta de Elección Múltiple Intenta calcular tú ahora con la calculadora el seno del ángulo respuesta con dos decimales.. Da la a) sen 26, 57º = 0,44 b) sen 26, 57º = 1, 2 sen 26, 57º = 0, 89 Veamos algunas aplicaciones de lo que hemos aprendido.

21 1. Calcula la altura de este edificio aplicando la definición de seno. Fuente propia 2. Calcula el valor del ángulo del siguiente triángulo. Fuente propia Pregunta de Elección Múltiple 1. En el siguiente triángulo, calcula y.

22 a) b) 2. Calcula con la calculadora sen 65º. Da la solución con dos decimales. a) sen 65º = 0,42 b) sen 65º = 2,14 sen 65º = 0,90 3. Sabiendo que. Calcula el valor de. Da el resultado en radianes. a) b) 4. Calcula la hipotenusa "a" del siguiente triángulo aplicando la definición de seno. Fuente propia a) a = 4,62 cm b) a = 3,48 cm a = 8 cm

23 Recuerda que hemos visto dos unidades de medida de ángulos: grados y radianes. Todo lo que hemos trabajado en este apartado con la calculadora, lo hemos hecho con la calculadora en modo DEG (esto es modo grados) que quiere decir que si escribimos: 3 la calculadora nos calcula el seno de 3º. Pero también podemos poner la calculadora en modo RAD (esto es modo radianes), que quiere decir que si escribimos en la calculadora: 3 la calculadora nos calculará el seno de 3 rad. Veamos como se pasa de un modo a otro. En la calculadora, aparece debajo de la pantalla, lo siguiente: Esto quiere decir que para trabajar en grados, tememos que pulsar las teclas: Y para trabajar en radianes, pulsaremos las teclas: Como ya sabes hay diferentes tipos de calculadoras, pero en todas aparece bien claro las teclas que hay que pulsar para trabajar en los diferentes modos.

24 2.2. Coseno de un ángulo agudo Bajo licencia de creative commons Todo lo que hemos aprendido en el apartado anterior sobre el seno de un ángulo lo vamos a aprender ahora sobre el coseno. Igual que para el seno, vamos a utilizar el ángulo para la definición, pero después veremos que el coseno de se calcula de la misma forma. Es todo muy parecido al apartado anterior, verás que fácil. Actividad Fuente propia Definimos el coseno del ángulo, y se escribe, de la siguiente forma:

25 Fuente propia 1. Calcula el coseno del ángulo 2. Calcula ahora el coseno del ángulo Al igual que con el seno en el apartado anterior, hemos calculado ahora el coseno del ángulo y del ángulo pero no sabemos cuanto miden ni, ni. Pues lo mismo que antes, vamos a calcular la medida de y de a partir del valor del coseno. Vamos a calcular primero el valor de y después tú calcularás la medida de siguiendo los mismos pasos. Sabemos que. Para calcular, haremos los siguientes pasos en la calculadora: 0,8 Después de pulsar estas teclas la calculadora nos devuelve el número 36, Esto quiere decir que el ángulo. Pero como ya sabes, nosotros no necesitamos tantos decimales, y podemos aproximar este número y quedarnos con dos decimales, así diremos que. Fíjate que nos sale el mismo valor de que cuándo hicimos estos mismos pasos con el seno en el apartado anterior. Esto es lógico porque hemos puesto como ejemplo el mismo triángulo, pero bueno, nos sirve para practicar. Pregunta de Elección Múltiple Siguiendo los pasos que acabas de aprender, calcula la medida del ángulo valor del coseno. Da la respuesta con dos decimales. a partir del a) b)

26 Fuente propia También podemos calcular el coseno de un ángulo si conocemos su amplitud. Vamos a calcular el coseno de 63,43º. La tecla para calcular el coseno de un ángulo es. Como ya sabes, hay dos tipos de calculadoras vamos a ver como se calcula el coseno en cada una de ellas. Primer tipo Hay que pulsar primero el valor del ángulo y después la tecla del coseno, así: 63,43 La calculadora nos devuelve el número 0, , pero podemos aproximar este número tan largo con dos decimales. Así podemos decir que ó también Segundo tipo Hay que pulsar las teclas al contrario, es decir, primero pulsamos la tecla del coseno y después la medida del ángulo, así: 63,43 Pero el resultado que obtenemos es el mismo. Pregunta de Elección Múltiple Calcula el coseno del ángulo. Da la respuesta con dos decimales. a) cos 26,57º = 0,44 b) cos 26, 57º = 1, 5 cos 26, 57º = 0,89 Vamos a practicar un poco con lo que hemos aprendido.

27 1. A qué distancia me encuentro del edificio? Fuente propia 2. Calcula el valor de Fuente propia Pregunta de Elección Múltiple 1. En el siguiente triángulo calcula.

28 Fuente propia a) b) 2. Calcula con la calculadora. a) b) 3. Sabiendo que. Calcula el valor de. a) b) 4. Calcula el cateto c del siguiente triángulo rectángulo aplicando la definición de coseno. Fuente propia

29 b) c = 2,5 cm c = 0,1 cm

30 2.3. Tangente de un ángulo agudo Bajo licencia de creative commons Bueno, ya solo nos queda estudiar la tangente. Vamos a hacerlo de la misma forma que el seno y el coseno. Actividad Fuente propia Se define la tangente del ángulo, y se escribe como:

31 Fuente propia 1. Calcula la tangente del ángulo. 2. Calcula ahora la tangente del ángulo. Al igual que en los dos apartados anteriores hemos podido calcular la medida de los ángulos y a partir del seno o del coseno, también podemos hacerlo a partir de la tangente. Vamos a calcular la medida de, y después tú harás lo mismo con. Sabemos que. Para hallar pulsaremos las siguientes teclas en la calculadora: 0,75 Después de pulsar estas teclas, la calculadora nos devuelve el número: 36, Que como ya sabes esto quiere decir que o también y que lo podemos aproximar como: Pregunta de Elección Múltiple Siguiendo estos pasos, calcula la medida del ángulo a partir de su tangente. a) b) Practiquemos lo que hemos aprendido sobre la tangente.

32 1. Calcula la altura del edificio con los siguientes datos: Fuente propia 2. Calcula el valor de con los siguientes datos: Fuente propia Pregunta de Elección Múltiple 1. En el siguiente triángulo calcula y. Fuente propia a)

33 2. Calcula con la calculadora. a) b) 3. Sabiendo que calcula el valor de. a) b) 4. Calcula el cateto c del siguiente triángulo aplicando la definición de tangente: Fuente propia a) c = 1,44 cm b) c = 0,692 cm c = 4,330 cm

34 2.4. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo conocida una de ellas Bajo licencia de creative commonns Bueno, estamos ya en el último apartado, lo que vamos a ver ahora es cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas. Esto te resultará sencillo, puesto que no necesitas nuevos conocimientos, basta con recordar lo que has aprendido del manejo de la calculadora y de trigonometría a lo largo de este tema. Vamos a verlo con un ejercicio resuelto y verás que fácil es. Calcula las demás razones trigonométricas de sabiendo que Pregunta de Elección Múltiple 1. Sabiendo que. Calcula las demás razones trigonométricas de. a) b)

35 a) b) 3. Sabiendo que. Calcula las demás razones trigonométricas de. a) b)