Conjuntos y Conjuntos Numéricos

Transcripción

1 Conjuntos y Conjuntos Numéricos Alguna Nociones Básica Sobre Conjuntos Definición: Un conjunto es una colección de objetos o cosas, llamados los elementos o miembros del conjunto. Formas de expresar un conjunto: 1. descriptiva - se da una descripción verbal de los elementos que forman parte del conjunto. 1. El conjunto de las vocales de nuestro alfabeto. 2. El conjunto de los números positivos menores o iguales que El conjunto de los números enteros positivos pares menores que numeración o listado - se listan los elementos que forman parte del conjunto. 1. V = {a, e, i, o, u} 2. A = {1, 2, 3,, 100} 3. P = {2, 4, 6,, 100} 4. C = {0, 1, 2, 3, } 3. constructiva - se usa la notación de construcción de conjuntos. 1. V = {x x es una vocal de nuestro alfabeto} 2. A = {x x es un número entero positivo menor o igual que 100} 3. P = {x x es un número positivo par menor que 102} Conjuntos Bien Definidos Definición: Se dice que un conjunto está bien definido si se puede decidir sin lugar a dudas si un objeto es o no elemento del conjunto. Los siguientes son ejemplos de conjuntos que no están bien definidos. Por qué? 1. El conjunto de los números bonitos. 2. El conjunto de las personas inteligentes. 3. El conjunto de las canciones favoritas. Copyright CARIMOBITS 1

2 Conjunto Nulo o Vacío Definición: Un conjunto es nulo o vacío, denotado por o { }, si no contiene elemento alguno. Nota: { } no denota el conjunto nulo o vacío, pues el conjunto tiene un elemento, la letra griega (phi). 1. El conjunto de los números enteros entre 5 y 6 es nulo o vacío. Algunos conjuntos numéricos importantes para el curso Precálculo. 1. Números Enteros Positivos o Números Naturales o Números de Conteo N={1, 2,3,...} 2. Números enteros no negativos o Números Cardinales C= {0, 1, 2, 3, } 3. Números Enteros Z={..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...} 4. Números Racionales Q = {x x es o se puede expresar del la forma p/q, donce p y q son números enteros, con q 0} Q = {p/q p y q son enteros con q 0 } 5. Números Reales R = {x x se puede escribir como un número decimal} 6. Números Irracionales I = {x x es un número real que no se puede escribir como el cociente de dos números enteros} Copyright CARIMOBITS 2

3 Relación entre los conjuntos anteriores: N = {Números Naturales} C = {Números Cardinales} I = {Números Irracionales} Z ={Números Enteros} El Conjunto de los Números Reales Q = {Números Racionales} Números Reales Podemos decir que: todo número natural es un número cardinal; todo número cardinal es entero; todo número entero es racional; todo número racional es real. El conjunto de los números reales se forma reuniendo los números racionales con los irracionales. Copyright CARIMOBITS 3

4 El Cuerpo R,, de los Números Reales Si a, b y c son números reales, entonces se cumple las siguientes propiedades: Suma Propiedad a + b es un numero real Propiedad de clausura o cierre de la suma único a + b = b + a Propiedad conmutativa de la suma a + (b + c) = (a + b) + c Propiedad asociativa de la suma a + 0 = 0 + a Propiedad del elemento neutro o identidad de la suma a + (-a) = (-a) + a Propiedad del opuesto o inverso aditivo Multiplicación Propiedad a b es un numero real único Propiedad de clausura o cierre de la multiplicación a b = b a Propiedad conmutativa de la multiplicación a (b c) = (a b) c Propiedad asociativa de la multiplicación a 1 = 1 a Propiedad del neutro o identidad de la multiplicación a 1/a = 1/a = 1 Propiedad del opuesto o inverso aditivo multiplicativo Combinadas Propiedad Propiedad Distributiva de Izquierda de la a (b + c) = a b + a c Multiplicación con respecto a Suma (distributiva de izquierda) Propiedad Distributiva de Derecha de la (b + c) a = b a + c a Multiplicación con respecto a la Suma (distributiva de derecha) Copyright CARIMOBITS 4

5 Ejercicios: 1. Indica la propiedad de los nu meros reales que justifica cada uno de los siguientes enunciados. Todas las letras representan números reales = 0 5 (3 + 7) = 5 (7 + 3) 3x + y = y + 3x 2x + 2y = 2(x + y) ½ + 0 = ½ x 1/x = 1, donde x 0 Propiedad 2. Aplica la propiedad indicada y complete el enunciado. Todas las letras representan números reales. Puede haber más de un contestación. Propiedad 2(x + 3) = Conmutativa de la suma 2(x + 3) = Conmutativa de la multiplicacio n 2(x + 3) = Distributiva 6x + 3 = Distributiva 4x + (5y + 3z) = Conmutativa de la suma 4x + (5y + 3z) = Asociativa de la suma (2x + 5) + 0 = Elemento neutro o identidad de la suma 3. Indica cuáles de los siguientes enunciados son siempre ciertos y cuáles no. Si el enunciado es cierto, indique la propiedad que lo hace cierto; de lo contrario, escriba un contraejemplo para demostrar que un enunciado no siempre cierto. Verdadero/Falso 5 + 2x = 2x + 5 a b = b a a /b = b/a a(bc) = (ab)(ac) (a b) c = a (b c) a/(b/c) = (a/b)/c Copyright CARIMOBITS 5