PROGRAMACIÓN LINEAL PROBLEMAS PARA PLANTEAR

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1 PROBLEMAS PARA PLANTEAR PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Una compañía tiene dos minas. La mina A produce diariamente una tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y cuatro toneladas de carbón de baja calidad. La mina B produce 2 toneladas de cada una de las clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150$ y los de la mina B a 200$. Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima? 2. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayorista pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor dos cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista, con el objeto dinero y tiempo, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. 3. Un abono para jardines ha de tener como mínimo 15 unidades de un componente químico líquido y 15 de otro sólido En el mercado se encuentran dos clases de abono: tipo A que contiene una unidad de componente líquido y 5 de sólido, y el tipo B que contiene 5 de líquido y 1 de sólido, el precio del tipo A es 1000 y el B de Qué cantidades han de comprarse de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 4. En una encuesta realizada por una televisión local se ha detectado que un programa con 20 minutos de variedades y un minuto de publicidad capta espectadores, mientras que otro con 10 minutos de variedades y un minuto de publicidad capta espectadores. Para un determinado periodo, la dirección de la red decide dedicar 80 minutos de variedades y los anunciantes 6 minutos de publicidad. Cuántas veces deberá aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de espectadores? 5. En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B. La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de A utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y A no supera los dos gramos, mientras que la suma no debe superar los cinco gramos. Además se utiliza por lo menos un gramo de B y se requiere un gramo de A. La sustancia A se vende a 5 millones y la B cuesta 4 millones el gramo. Calcular la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea máximo. 6. Un inversionista dispone de dos millones de Ptas. Puede invertir en bonos del tipo A que dan un rendimiento del 10% y en bonos del tipo B, cuyo rendimiento es del 15%. Existen unos topes legales que impiden invertir más de Ptas. en bonos del tipo B, pero sucede lo contrario con los del tipo A, en los cuales la inversión mínima es de medio millón de Ptas. Por otra parte el inversionista desea colocar en bonos del tipo A tanto dinero al menos, como en bonos del tipo B. Cuánto debe invertir en bonos de cada tipo para que el rendimiento obtenido sea máximo? 7. Una fábrica de automóviles y camiones tiene dos talleres. En el taller A para hacer un camión deben trabajar 7 días-operario, en cambio para fabricar un automóvil se precisa 2 días-operario. En el taller B invierten 3 días-operario tanto en la terminación de un camión como en la de un automóvil. Debido a las limitaciones de hombres y maquinaria, el taller A dispone de 300 días-operario, mientras que el taller B dispone de 270 días-operario. Si el fabricante obtiene una ganancia de 6 millones en cada camión y dos millones en cada automóvil, cuántas unidades de cada uno deberá producir la fábrica para maximizar su ganancia? 8. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones: los del tipo A, con un espacio refrigerado de 20 m³ y no refrigerado de 40 m³; los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de espacio refrigerado y no refrigerado. Se contrata la empresa para que transporte m³ de un producto que necesita refrigeración y

2 4.000 m³ de otro que no la necesita. El coste por Km de un camión de tipo A es de 30 Pta. y de uno del tipo B, 40. Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste sea mínimo? 9. El departamento de policía de una ciudad dispone de 60 coches patrulla y de 140 agentes para ocuparlos. Existen dos tipos de servicios: el de vigilancia intensiva en zonas de alto riesgo, y el de vigilancia rutinaria y de servicio al ciudadano. Los coches destinados al primer servicio son ocupados por tres agentes y los destinados al segundo tipo de servicio, por dos agentes. Puede montarse un servicio de 30 coches de vigilancia intensiva y 30 coches de vigilancia normal? Determinar el número máximo de coches patrulla que pueden ejercer vigilancia en la ciudad. 10. Una factoría fabrica dos tipos de productos A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas M 1 y M 2. El artículo A necesita 2 horas del trabajo de la máquina M 1 y 1,5 horas del trabajo de la máquina M 2. El artículo B, respectivamente, 1,5 horas y 1 hora. Cada máquina está en funcionamiento, a lo sumo, 40 horas a la semana. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 250 Pta., mientras que por cada unidad de B 150 Cuántas unidades de A y de B deben fabricarse semanalmente, para obtener el máximo beneficio? 11. Consideremos las mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen, cada una, los 2 m; y entre ellas, las que la suma de su lado mayor y el doble del menor no sobrepase los 4m. Determinar el máximo valor que puede tener el perímetro de estas. 12. La capacidad de producción de un taller de montaje es de 120 televisores por día y de 360 aparatos de radio, también por día. El control técnico revisa 200 aparatos de uno y otro tipo al día. Sabiendo que los televisores son cuatro veces más caros que los aparatos de radio, cuál debe ser la producción de cada uno de los artículos para obtener la máxima ganancia? 13. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante chándales y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y m de poliéster. Cada chándal precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster; y cada chaqueta, de 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio de venta del chándal se fija en Pta., y el de la chaqueta en Qué cantidad de chándales y de chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima? 14. En un almacén se guarda aceite de oliva y de girasol. Para atender a los clientes han de tener un mínimo de 20 bidones de aceite de oliva y 60 bidones de aceite de girasol. Los gastos de almacenaje son de 240 Ptas. para un bidón de aceite de oliva y de 180 Ptas. para un bidón de aceite de girasol. Teniendo en cuenta que la capacidad total del almacén es de 100 bidones, cuántos bidones de cada tipo hay que almacenar para que el gasto sea mínimo? Cuándo será máximo el gasto? 15. Una empresa fabrica 2 tipos de aparatos A y B. Para el producto A se necesitan 2 operarios y 20 Kg de material y para el producto B se precisan 5 operarios y 8 Kg de material. La empresa gana Ptas. por cada aparato del tipo A y por cada uno del tipo B. La empresa dispone de 60 operarios y 250 Kg de material.. Cuántos aparatos A y cuántos B se deben de fabricar para obtener el máximo beneficio? 16. Una persona decide hacer ejercicio físico y para ello piensa hacer un recorrido combinando bicicleta y footing y establece las siguientes condiciones: ha de correr un mínimo de 2 Km, ha de hacer un máximo de 30 Km en bicicleta y recorrer, como mínimo, el quíntuplo de Km que corriendo. Si por cada Km corriendo consume 240 calorías y por cada Km en bicicleta consume 30, cuánto Km debe recorrer en cada especialidad para que el consumo de calorías sea máximo? 17. Los alumnos de un conservatorio de música deciden formar una orquesta. Los gustos del público exigen que haya siempre mayor o igual nº de instrumentos de cuerda que de viento, y que el número de instrumentos de cuerda no debe superar al doble de los de viento. En total hay 20 músicos de viento y 30 de

3 cuerda. Los empresarios pagan Ptas. por cada músico de viento y por cada músico de cuerda. Cómo deben organizarse para obtener el máximo beneficio? 18. En un bar de playa elaboran dos tipos de refrescos S y T. Y los hacen con un "producto secreto" y agua. Para hacer S se utilizan 0,4 de litros de "producto secreto" y para hacer T son necesarios 0,3 litros. En total disponen de 120 litros de "producto secreto" y una cantidad ilimitada de agua. Por el gusto de los clientes saben que del producto T se vende la mitad o menos que del producto S. Un litro de S se vende a 250 Ptas. y un litro de T se vende a 200 Ptas. Cuántos litros de cada tipo se debe fabricar para obtener la máxima recaudación? 19. Una empresa de productos químicos elabora dos productos A y B. El producto A lleva 10% de fósforo, 20% de potasio y el resto de agua. El producto B lleva 30% de fósforo, 10% de potasio y el resto de agua. Disponen de Kg de fósforo y de potasio. La empresa vende a 150 pts/kg. El producto B y a 75 pts/kg. El producto A. Cuántos Kg da cada producto ha de fabricar para que el importe de la venta sea máximo? 20. En una pajarería envasan comida para periquitos. Hacen dos tipos de productos A y B, compuestos de alpiste y mujo. En cada Kg de los productos se emplean las siguientes cantidades: ALPISTE MUJO PRODUCTO A PRODUCTO B Disponen de 72 Kg. de alpiste y 28 Kg. de mujo. El alpiste lo compran a 24,5 pts/kg. y él mujo a 36,5 pts/kg. El producto A se vende a 75 pts/kg. y el producto B a 90 pts/kg. Cuántos Kg. de cada producto deben elaborar para obtener el máximo beneficio? 21. Una empresa maderera compra en el lugar P m³ de madera y en el lugar G m³. Esta madera la guarda en tres almacenes: A con m³ de capacidad; B con m³ de capacidad y C con m³ de capacidad. Llevar 1 m³ de madera desde los lugares de compra hasta cada uno de los almacenes, en pesetas, viene indicado en la siguiente tabla: ALMACEN A ALMACEN B ALMACEN C LUGAR P LUGAR G A qué almacenes debe trasladar la madera comprada para que sean mínimos los gastos? 22. En una fábrica se producen dos tipos de productos A y B. Para fabricar una tonelada del producto A se necesitan 5 obreros, 20 kw/h, 0 3 toneladas de materia prima y 1 tonelada de agua. Para una tonelada del producto B se emplean 7 obreros, 15 kw/h, 0,1 tonelada de materia prima y 2 toneladas de agua. La empresa tiene que pagar: Ptas. por cada obrero, 300 Ptas. por cada kw/h y Ptas. por cada tonelada de materia prima (el agua no le cuesta nada. Dispone de 300 obreros, kw/h y 40 toneladas de materia prima. Cada tonelada del producto A se vende a Ptas. y cada tonelada de producto B a Ptas. a) Cuántas toneladas de cada producto hay que fabricar para que el coste sea mínimo? b) Y cuántas toneladas hay que fabricar para que el beneficio sea máximo? 23. En un laboratorio se fabrican dos componentes vitamínicos. El producto REVIT lleva un 10% de vitamina A, 30% de vitamina B y 60% de vitamina C. El producto VITAL tiene un 25% de vitamina A, 40% de vitamina B y 35% de vitamina C. Disponen de 6 Kg. de vitamina A, 12 Kg. de vitamina B y 24 de vitamina C. El laboratorio compra a 5 Pts. el gramo de vitamina A, a 7,5 Pts. el gramo de vitamina B y a 12 Pts. el gramo de vitamina C. El laboratorio presenta los compuestos en sobres de un gramo de peso que vende a 30 Pts. cada sobre de REVIT y a 25 Pts. cada sobre de VITAL. Cuántos sobres de cada tipo han de fabricar para obtener el máximo beneficio? 24. Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B, pero no puede pasar de 120 viajes. Entre los dos aviones han

4 de realizar más de 60 vuelos pero menos de 200. En cada vuelo el avión A consume 900 l. de gasolina, mientras que el avión B consume 700 l. Y en cada viaje del avión A la empresa gana Ptas. y Ptas. en cada viaje del avión B. Cuántos viajes debe hacer cada avión para maximizar las ganancias? Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que su consumo de gasolina sea el mínimo? 25. Una empresa automovilística tiene dos fábricas, una en la ciudad Z y otra en la ciudad C. En Z se producen coches al año y en C, 800 coches al año. La empresa tiene 3 almacenes: uno en la ciudad M en el que caben 900 coches, otro en la ciudad B en el que caben 700 coches y otro en la ciudad S con capacidad para 400 coches. Llevar un coche desde la fábrica Z hasta el almacén M cuesta Ptas., Ptas. hasta el B y Ptas. hasta el S y cada coche de la fábrica C cuesta Ptas. llevarlo hasta el almacén M, Ptas. hasta el almacén B y Ptas. hasta el almacén S. Cómo deben almacenarse los automóviles de cada fábrica para que los gastos de transporte sean mínimos? 26. Una emisora de radio emite por Onda Media o por F.M. La programación de un día de Onda Media consiste en: 1 hora de música, 3 horas de deporte, 2 horas de reportajes y 4 horas de debates. Y la programación de un día de F.M. consta de 5 horas de música, 4 horas de deporte, 1 hora de reportaje y 1 hora de debate. La emisora dispone de 50 horas de música, 51 horas de deporte, 24 horas de reportaje y 46 horas de debate. Cada día que la emisión es por Onda Media se obtienen unas ganancias de Ptas. y por F.M. las ganancias de un día de emisión son de Ptas. Cuántos días debe emitir por Onda Media y cuántos por F.M. para obtener máxima ganancia? 27. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto de agua; la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto de agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir un máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de colonia A es de 500 ptas. y el de la colonia B es de Halla los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. 28. Un granjero tiene dos almacenes de patatas, A 1 y A 2, que contienen 20 toneladas y 12 toneladas de patatas, respectivamente. Recibe encargos de tres clientes, C 1, C 2 y C 3 de 8, 10 y 14 toneladas. La distancia entre los almacenes y los clientes (en Km) se dan en la tabla siguiente: C 1 C 2 C 3 A A Suponiendo que el coste de transporte es una cantidad fija por kilómetro y tonelada, cómo tendrán que distribuirse las patatas para minimizar el coste de transporte?. Razona el planteamiento del problema y la técnica usada para su resolución. 29. Una cooperativa tiene autorizada la construcción de m 2 de viviendas como máximo. Necesita viviendas de dos tipos: las de tipo A son de 150 m 2 y su coste es de 20 millones de pesetas. En total no se pueden construir más de 250 viviendas, y de las de tipo B se harán como máximo el doble que las de tipo A. Cuántas deben edificarse de cada tipo para que el coste sea mínimo? 30. Una empresa tiene dos centros de producción que producen tres tipos de productos:. A, B y C. Sus compromisos comerciales consisten en entregar semanalmente 18 unidades de tipo A, 16 de tipo B y 6 de tipo C. El primer centro de producción cuesta cada día 10 6 pesetas y produce diariamente, las siguientes unidades: 9 de A, 4 de B y 1 de C. El segundo centro de producción le cuesta diariamente, las siguientes unidades: 3 de A, 4 de B y 1 de C. Cuántos días por semana debe trabajar cada centro de producción para que cumpliendo los compromisos comerciales, se reduzcan al máximo los costos de producción? 31. Se necesita una dieta que proporcione a un animal calorías y 80 unidades de proteínas por día. En el mercado los alimentos básicos pueden usarse para preparar la dieta: el alimento I cuesta 20 ptas. /Kg, contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. Formula razonablemente el problema de determinar la combinación más barata de alimentos que satisfagan las necesidades de la dieta.

5 32. (Puntuación máxima: 3 Puntos) Una empresa de automóviles tiene dos plantas P y Q de montaje de vehículos en las que produce tres modelos A, B y C. De la planta P salen semanalmente 10 unidades del modelo A, 30 del B y 15 del C y de la Q, 20 unidades del modelo A, 20 del B y 70 del C., cada semana. La firma necesita, al menos 800 unidades de A, 1600 de B y 1800 de C. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 6 millones de pesetas semanales, Cuántas semanas ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? 33. (Puntuación máxima: 3 Puntos) Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con 4 veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 pta. y cada unidad de vinagre 200 pta. 34. (Puntuación máxima: 3 puntos) Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 2000 pesetas y 3000 pesetas por unidad, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teniéndose las siguientes restricciones: El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario. Cada mesa requiere 2 horas para su fabricación; cada silla, 3 horas. La jornada laboral máxima es de 10 horas. El material utilizado en cada mesa cuesta 400 pts. El utilizado en cada silla cuesta 200 pts. Cada operario dispone de ptas diarias para material. 35. (Puntuación 3 puntos) Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para acudir a la final de un campeonato de fútbol. La agencia está considerando ofrecer dos tipos de viajes: El 1º de ellos (A) incluye desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitación doble y cuatro comidas. El 2º (B) incluye desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento en habitación también doble y dos comidas. El precio de venta del paquete A es de ptas. y el del paquete B es de ptas. La agencia tiene contratadas un máximo de 30 plazas de autobús, 20 habitaciones dobles y 56 comidas. El número de paquetes del tipo B no debe superar al de los de tipo A. La empresa desea maximizar sus ingresos. Se pide: a) Expresar la función del objeto. b) Escribir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar gráficamente el recinto definido. c) Determinar cuantos paquetes de cada tipo debe vender la agencia para maximizar sus ingresos. Calcular dichos ingresos.