Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

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1 Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos del rectángulo circunscrito quel rectángulo y cuy áre se máxim. RESOLUCION.- ) Con centro en el vértice B del ldo se trz un circunferenci de rdio l medin m b. Se trz l prlel l ldo y distnci l ltur h. L prlel medi de ests dos rects contiene el punto medio M del ldo b, siendo M el punto de corte de est rect con l circunferenci nteriormente trzd. El punto de corte de l rect que ps por C y M con l prlel l ldo distnci h nos d el tercer vértice, A, del triángulo. Como existen dos posibles puntos M, (un rect cort un circunferenci en dos puntos), existen dos soluciones posibles distints. A cd ( cosα + bsin α)( sin α+ bcosα) ( + b sin α + b cuyo máximo se obtiene pr el máximo de π α. Entonces 4 c d ( + b). b) Designemos por c y d los ldos del rectángulo circunscrito. Se á el ángulo que formn los ldos y c. c cosα, d sin α c sin α, d bcosα c cosα + bsin α d sin α + bcosα El áre del rectángulo circunscrito es: sin α, es decir, pr + b )sin αcosα + b π α, o bien, /8

2 57. Trnsformr un triángulo en otro equivlente que se semejnte un triángulo ddo. Primer método.- Ddo un triángulo ABC, construyendo el segmento AD de longitud l sum de AB y CH (ltur desde C AB), l circunferenci de diámetro AD, y su corte, P, con l perpendiculr trzd por el punto de AD que disc AB de A determin un triángulo cuy ltur PB es el ldo de un cudrdo de áre el doble de l del triángulo ABC. Aplicndo est construcción l triángulo ddo, supongmos que es ABC, y l que queremos trnsformr, se obtienen, respectivmente unos segmentos PB y QB tles que los cudrdos construidos sobre ellos tienen doble áre que los triángulos de prtid. Llevndo hor QB sobre l rect PB y trzndo por Q ls prlels PA y PD se encuentrn los puntos A y D. El triángulo A BC, semejnte l ABC, de bse A B y ltur un segmento de longitud BD es clrmente el triángulo buscdo pues su áre es tmbién l mitd de l del cudrdo de ldo QB. Segundo método.- Se S el áre del triángulo de prtid. Se ABC el triángulo ddo. El triángulo que buscmos es el CB A, donde: /8

3 ' h' ' h' h S Ls condiciones nteriores determinn y por consiguiente B. Trzndo un prlel por B l ldo AB obtendremos A en su intersección con AC. 58. En un plno se dn un punto P y dos rects r y r. Trzr por P un rect que corte en A y B ls rects dds de form que PA PB k, siendo k un segmento ddo. Consideremos l inversión de centro P y rzón k. Si en est inversión l circunferenci invers de r cort r en un punto B, el inverso de B, es decir A, está en r y se verific que PA PB k. Se trz C invers de r en l inversión de centro P y rzón k ; C cortrá r en dos puntos (o en uno); cd uno de ellos unido con P determin un rect solución del problem. Es clro que si C no cort r el problem no tiene solución. 5. Considérese en el plno tres pres de puntos distintos (p, q ), (p, q ), (p, q ). Demostrr que si por cd dos pres de puntos ps un circunferenci o bien ps un circunferenci por los seis puntos o ls rects r pq, r pq, r son concurrentes. pq Se C l circunferenci que ps por p, q, p, q y sen nálogmente C y C. Si C C C, ps un circunferenci por los seis puntos y no hy nd que probr. Es obvio que si dos circunferencis coinciden, entonces ls tres coinciden. Supongmos, por consiguiente, que ls tres son distints. En ese cso: r es el eje rdicl de C y C. r es el eje rdicl de C y C. /8

4 r es el eje rdicl de C y C. Así, si p es el punto de intersección de r y r, p tiene l mism potenci respecto de ls circunferencis C y C, luego está tmbién en r. En sum r, r y r son concurrentes. 60. El cubo de ldo 6 cm, cuy bse A A A A 4 está situd en un plno horizontl y cuy bse superior B B B B 4 no tiene superficie, está lleno de gu. Se inclin subiendo el vértice A un centímetro, el A 4 dos centímetros y el A se qued en el suelo. Se pide: ) Altur que qued el vértice A. b) Volumen de gu que se derrm. B B B 4 B A A A 4 A ) Observndo que el punto medio de A A y A A 4 coinciden, l cot de A es l sum de ls cots de A y A 4 (por ser cero l cot de A ); es decir l ltur de A es cm. b) L superficie del gu form un rectángulo cuyos ldos miden B' B 4 B B' 6 6 Su áre es por tnto + + 7cm 40cm 70cm. El volumen del gu derrmd es por ello l mitd del volumen del prism oblicuo de bses rectángulos de áre 70cm y su ltur cm: Volumen derrmdo 70 70cm. 4/8

5 Ddo que MC MB es BC BM, y el punto C describe un circunferenci, c, nomotétic l dd, c, en un homoteci de centro en B y rzón ; su centro es el punto A y su rdio AB. Observndo el triángulo ABC result que AM y CO son medins, y que MC MB y OA OB, luego H es el bricentro del triángulo. Se tiene sí que AH AM y, por tnto, que H describe un circunferenci, c, nomotétic de c en un homoteci de centro en A y rzón. L figur nomotétic de c en l homoteci de centro A y rzón, es, por composición de homotecis del mismo centro, un circunferenci, c, simétric l dd, c, en un simetrí centrl de centro en A (u nomotétic de centro en A y rzón -). 6. Ddo el conjunto de circunferencis representds por l ecución x + y λx + λ b 0 donde, b son constntes, λ IR un prámetro, se pide: ) L ecución del lugr geométrico de los puntos de contcto de ls tngentes ests circunferencis, prlels l eje OX. b) L nturlez de l curv. 6. Se un circunferenci de centro O y en ell el diámetro AB. Se trz por B un rect que cort l circunferenci en M. Sobre dich rect se tom el segmento MC MB. Ls rects OC y AM se cortn en H. Hllr el lugr geométrico de los puntos H cundo BM gir lrededor de B y construir l figur nomotétic del lugr geométrico hlldo en l homoteci de centro A y rzón. ) Al ser ls tngentes prlels l eje OX, los puntos de contcto son los extremos del diámetro prlelo l eje OY. x + y λx + λ b 0 ( x λ) + y b + λ λ luego ls coordends de los puntos de contcto verificn x λ [] y b + λ λ 5/8

6 que son ecuciones prmétrics del lugr. Si 0, el lugr se reduce l segmento del eje OY limitdo por los puntos (0, -b) y (0, b). Si 0, eliminndo ë en [], se obtiene ( b que constituye l ecución del lugr. ) x + y [] b) Si 0 se trt de un segmento. Si 0 y b 0 entonces el lugr es: - Pr >, el pr de rects y ± x. - Pr, l rect y 0. - Pr <, se reduce l punto (0, 0). Si 0, y b 0, l ecución [] se puede escribir como: x y + b b por lo que: - Pr > se trt de un hipérbol. - Pr < se trt de un elipse. Si y b 0 se obtienen ls rects y ± b. 6. Se supone en IR un sistem de referenci ortogonl OXY. Hllr l envolvente de los ejes rdicles de dos circunferencis C y C, donde l circunferenci C es fij y tiene su centro en el eje OY, y l circunferenci C es vrible con centro en OX y tngente l prábol y x. Se m + b > 0. x + y by m l ecución de l circunferenci C, con centro en (0, b), y Supondremos que l circunferenci C es tngente l prábol en un punto distinto del origen. Se x + y x k l ecución de C, con centro en (, 0). Eliminndo y en el sistem x + y x k x y x + x( ) k 0 6/8

7 qued un ecución de º grdo cuys ríces hn de ser igules pr que C y l prábol sen tngentes. Así, h de ser k ( ). L ecución de l fmili de ls circunferencis C es: x + y x + ( ) 0 L ecución del eje rdicl de C y C es: ( x + y by m) ( x + y x + ( ) x by ( ) + m ) 0 [] Derivndo respecto en []: x ( ) x + [] Eliminndo entre [] y [] result l ecución de l envolvente: ( x + ) x by x + m x + x by m 0 Se trt de un prábol, slvo si el centro de C es el origen (b 0), en cuyo cso se trt de un pr de rects prlels l eje OY. 64. Se un pirámide rect de bse cudrd, cuyo ldo de l bse mide y l ltur 4. Cortmos dich pirámide por un plno que ps por uno de los ldos de l bse. Clculr: ) el perímetro mínimo de los polígonos de intersección que se formn, en función de. b) el volumen de l cuñ inferior pr este perímetro mínimo, utilizndo. ) Considerndo el desrrollo lterl de l pirámide, el perímetro mínimo se tendrá cundo l poligonl BEFC se un líne rect. En este supuesto, l ser semejntes los triángulos BEA y VDA, se tiene: BE VA AE AB EF AD AB VH AD AV VE VA + AH 6 AE EF + 4 El perímetro mínimo es: 4 68 BE + EF + FC + CB /8

8 b) L cuñ inferior se puede considerr un prismtoide de bses el cudrdo ABCD h y el segmento EF (bse degenerd). Su volumen es V ( S + S + 4S m ), donde h es 6 l ltur del prismtoide, S y S ls áres de ls bses y S m el áre de l sección medi. EK AE 4 VH 8 h EK ; luego h 8 AV El áre del cudrdo ABCD es 4, luego S 4. El áre del segmento EF es 0, luego S 0. L sección medi es un rectángulo, cuyos ldos miden 0 + y , luego S m El volumen de l cuñ es: V ( ) /8

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