LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

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1 LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco

2 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje myor igul 5, por ls coordends del foco se se que el eje focl es el eje y, y que l distnci del centro l foco es c 3. Además, 5. L ecución de l curv es del tipo 1, pr l cul se necesit tener el vlor de, el semieje menor. Puesto que se conocen y c, se determin de l expresión que ls relcion: 5 3 c x + y 16 x + y

3 . Se pueden determinr todos los elementos que crcterizn l elipse del ejemplo nterior y representrl en el plno coordendo: Centro: C(0, 0) Eje focl: eje y Vértices: V(0, 5) y V (0, 5) Focos: F(0, 3), F (0, 3) Distnci focl: c 6 Longitud del eje myor: 10 Longitud del eje menor: 8 Longitud de cd ldo recto: Excentricidd: ( ) 16 5 c e < 1 5

4 GRÁFICA EJEMPLO

5 3. L ecución de l elipse con vértices V(4, 0) y V ( 4, 0) y excentricidd ¾ se puede otener de l siguiente mner: Por los vértices se se que es un elipse con centro en el origen, que su eje focl es el eje x, y que 4. Por l definición de l excentricidd: 3 c por lo tnto,, y c e c Entonces c L ecución es x 16 + y 7 1

6 4. Pr l elipse cuyo eje myor coincide con el eje x y ps por los puntos (4, 3) y (6, ), l considerr l fórmul x y + 1 Como los puntos deen stisfcer l ecución, se tiene: Pr (4, 3): (1) + Pr (6, ): () Éste es un sistem de ecuciones con dos incógnits: y. Pr resolverlo se puede despejr de ls dos ecuciones e igulr los vlores pr determinr el vlor de :

7 Cont.ejemplo 4. De (1): De (): ( ) 16 9 ( ) (3) (4)

8 Igulndo (3) y (4): Cont.ejemplo ( ) ( ) Este vlor se sustituye, por ejemplo, en (4): ( 5) L ecución de l elipse es: x 5 + y 13 1 Pr definir sus elementos se requiere conocer el vlor de c. c c c

9 Cont.ejemplo 4. Los elementos de l elipse son: Centro: C(0, 0) Eje focl: Eje x Vértices: V(, 0) y V (, 0) Focos: F( 39, 0), F ( 39, 0) Distnci focl: Longitud del eje myor: Longitud del eje menor: Longitud de cd ldo recto: Excentricidd: c e c

10 Cont.ejemplo 4. GRÁFICA F'( 39,0) F( 39,0) V'(- 5, 0) V( 5, 0)

11 5. Pr l elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V (, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y F ( 1, 4), encontrr su ecución, elementos y gráfic. Como los vértices y los focos tienen l mism ordend, l elipse tiene su eje myor prlelo l eje x, de mner que l fórmul utilizr es: ( ) ( ) x h y k + 1 El centro de l elipse está en el punto medio de los vértices (y de los focos) por lo tnto sus coordends son x1+ x 6 + ( ) x

12 Cont..ejemplo 5 y1+ y y 4 L distnci del centro culquier de los vértices es el vlor de, de modo que: 6 Y c es l distnci del centro culquier de los focos: c Pr determinr l ecución es necesrio conocer el vlor de : c

13 Pr x 0 ( 0 ) ( y 4) y y ( ) y ± 4y 3 y y 1 (0, 6.3) (0, 1.7) Pr x 4 ( 4 ) ( y 4) y y 1.7 ( 4) + y 7 1 y y 1.7 (4, 6.3) (4, 1.7) Pr x ( ) ( y 4) ( y 4) 7 1 y ( y 4) y y 4± 7 y y 1.35 (, 6.65) (, 1.35)

14 Cont ejemplo 5. GRÁFICA

15 6. Pr l elipse cuyos vértices son los puntos ( 3, 7) y ( 3, 1) y l longitud de cd ldo recto es encontrr l ecución, sus elementos y su gráfic Como los vértices tienen l mism scis l elipse es verticl y que el eje myor, y el focl, son prlelos l eje y. L ecución que le corresponde es: ( x h) ( y k) 1 El centro es el punto medio del eje myor Su scis es l mism de los vértices y su ordend es y1+ y 7 + ( 1) y 3 C(-3, 3) + VV '

16 Cont..ejemplo 6. L longitud de su eje myor es l distnci entre sus vértices: 7 ( 1) 8 4 Como l longitud de cd uno de sus ldos rectos es, se tiene: ( 4) 8 4 y l longitud de su eje menor es 4 L ecución de est elipse es: ( x + 3) ( y 3) 1 Pr determinr ls coordends de los focos se clcul el vlor de c prtir de l expresión: + c

17 Cont.ejemplo 6. c c c Por lo tnto, los focos son los puntos: ( ) 3, 3 3 ( ) F + F ' 3, 3 3 su excentricidd es: e c 4 3 3

18 Cont ejemplo 6. GRÁFICA

19 7. Encontrr l ecución de l elipse que tiene centro en (1, ), uno de los focos es (6, ) y ps por el punto (4, 6), Como el centro y el foco tienen l mism ordend, el eje focl y el eje myor son prlelos l eje x. Por tnto, l ecución que corresponde est curv es: ( x h) ( y k) Al sustituir ls coordends del centro (h, k) (1, ): ( x 1) ( y ) Hy que determinr y

20 Cont.ejemplo 7. Como el punto (4, 6) pertenece l elipse, stisfce su ecución: ( 4 1) ( 6 ) Pr otener un ecución con un sol incógnit, se hce l sustitución c 9 1

21 Cont ejemplo 7. Pr determinr su gráfic se loclizn los vértices, los focos y el centro, y se se que su eje myor mide (4) 8 y su eje menor, 7 de mner que los puntos de intersección de l elipse con su eje menor son Cd uno de sus ldos rectos mide: B (, ) B ',4 ( 7) Otros puntos de l elipse, con vlores proximdos de l ordend, son:

22 8) Encuentr l ecución de l elipse con focos F(0,, 3) y F (0, 3), y cd uno de sus ldos rectos igul 9. Como los focos tienen l mism scis, el eje focl es el eje y. El centro se encuentr en el punto medio entre ellos: C(0, 0). L distnci c es: c c 9 El ldo recto es: LR 9

23 Sustituyendo: ( 9) ( 9) ± ( 9) 4( )( 18) 4 4 ( ) 9 ± ± El vlor negtivo de no se consider puesto que es un longitud. Por tnto 6.

24 L ecución de l elipse es: x 7 + y 36 1

25 9) Los focos de un elipse son los puntos F(3, 8) y F (3, ) y l longitud de su eje menor es 8. Encuentr l ecución de l elipse, ls coordends de sus vértices y su excentricidd. El eje focl es prlelo l eje y. El centro tiene l mism scis que los focos: h 3. L distnci entre los focos es: k + c C(3, 5) c 3 + c

26 Ecución de l elipse: ( ) x 3 ( y 5) Vértices: V(h, k + ) (3, 5 + 5) (3, 10); V (h, k ) (3, 5 5) (3, 0) + Excentricidd: e c 3 5

27 10) Encuentr l ecución del lugr geométrico de los puntos cuy distnci l punto (4, 0) es igul l mitd de su distnci l rect x 16 0 e interpret el resultdo. Distnci de un punto (x, y) l punto (4, 0): d ( ) ( ) x 4 y Distnci del mismo punto (x, y) l rect x 16 0: x 16 d + 1

28 x d 1 d ( ) 1 8x y 1 x 16 x 4 + y ( ) ( x 4) + y ( x 16) ( x 3x + 56) x x x 64 + y x + y 3x y ( 48) 48 El lugr geométrico descrito es un elipse horizontl con centro en el origen, eje myor igul (8) 16 y eje menor igul 48

29 11) Un rco con form de semi-elipse tiene un ltur máxim de 45m y un clro de 150m. Encuentr l longitud de dos soportes verticles situdos de mner que dividn en clro en tres espcios igules. Si el eje x es l se del rco (el eje focl de l elipse) y el origen es su punto medio, l ecución es del tipo, con el x + y 1 semieje myor, 75 y el semieje menor, 45. Pr que el clro se divid en tres prtes igules, l distnci de los soportes cd vértice y entre ellos dee ser de 50m.

30 L ecución es: x y 05 1

31 Pr determinr l ltur de los soportes, se hce x 5 en l ecución y se despej el vlor de y: ( ) ± 5 y y y y y 1800 y 30 9 Puesto que y es un longitud (l ltur de los postes), se tom sólo l ríz positiv.

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

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