Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Transcripción

1 RELACIONES DE ORDEN Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un conjunto parcialmente ordenado ( A, R ) es un par formado por un conjunto A y una relación de orden R definida en él. Los elementos a y b del conjunto ordenado (A, R) se dicen comparables si a R b o b R a. (A, R) es un conjunto totalmente ordenado si dos elementos cualesquiera de A son comparables. 1

2 Ejemplos 1) (N, ) es un conjunto totalmente ordenado. a b existe n tal que b = a + n 2) (N, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un conjunto parcialmente ordenado. a b existe n tal que b = a n 3) Sea D n = { z / z divide a n } (D n, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un conjunto parcialmente ordenado. 4) ( (S), ) es un conjunto parcialmente ordenado. 2

3 DIAGRAMAS DE HASSE (Helmut Hasse, ) 1. El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado finito es una representación del mismo en la que cada elemento se representa por un punto del plano. 2. Si a R b se dibuja a por debajo de b y se une a con b por medio de un segmento. 3. Finalmente se suprimen los segmentos que corresponden a la propiedad transitiva, es decir, si a R b y b R c se suprime el segmento correspondiente a a R c. 3

4 ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS Sea ( A, ) un conjunto ordenado. m A es maximal de A si no existe x A tal que m x. m A es minimal de A si no existe x A tal que x m. m A es máximo de A si x A, x m. m A es mínimo de A si x A, m x. El máximo de A, se nota I y se llama elemento unidad. El mínimo de A, se nota O y se llama elemento cero. 4

5 Sea S un subconjunto no vacío del conjunto ordenado ( A, ). c A es cota superior de S si x S, x c. c A es cota inferior de S si x S, c x. S está acotado si tiene una cota superior y una cota inferior. s A es supremo (o mínima cota superior) de S si es cota superior de S y cota superior c de S se tiene que s c. i A es ínfimo (o máxima cota inferior) de S si es cota inferior de S y cota inferior c de S se tiene que c i. 5

6 Ejercicio Representar el diagrama de Hasse del conjunto ordenado (D 48, ) y hallar los maximales y minimales, las cotas superiores e inferiores, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo (si los hay) del subconjunto A = {2, 3, 4, 6, 12} en el conjunto ordenado (D 48, ). Solución cotas superiores de A = {12, 24, 48} cota inferior de A = {1} supremo de A = {12}, ínfimo de A = {1} maximal de A = {12}, minimales de A = {2, 3} máximo de A = {12} y no existe mínimo de A. 6

7 Definición Si ( A, R ) y ( B, S ) son dos conjuntos ordenados, en el conjunto producto A B se pueden definir dos relaciones de orden: Orden producto: ( a, b ) Prod ( c, d ) a R c y b S d Orden lexicográfico: ( a, b ) Lex ( c, d ) a c y a R c a = c y b S d. Si ( A, R ) y ( B, S ) son dos conjuntos totalmente ordenados, (A B, Lex ) es totalmente ordenado. (A B, Prod ) no es necesariamente totalmente ordenado. 7

8 Ejemplo Sean (A = {1, 2, 3}, R) y (B = {,,, }, S) conjuntos ordenados según los diagramas de Hasse siguientes entonces 8

9 Ordenación topológica Si (A, P ) es un conjunto finito ordenado, entonces existe un orden total (A, T ) que lo contiene, es decir, si a P b entonces a T b. Demostración Sean a 1 elemento minimal en A, a 2 elemento minimal en A {a 1 },, a i minimal en A {a 1, a 2,, a i 1 }, Como A es finito, en un número finito de pasos se obtiene un orden total para los elementos de A: a 1 T a 2 T T a i T T a n 9

10 RETÍCULOS Definición A) Un conjunto ordenado ( L, ) es un retículo si para todo par de elementos a, b L existen sup { a, b } L e inf { a, b } L. 10

11 Ejemplos 1) (N, ) es un retículo. Sup {a, b} = máx {a, b} inf {a, b} = mín {a, b} 2) (N, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un retículo. Sup {a, b} = mcm {a, b} inf {a, b} = mcd {a, b} 3) Sea D n = { z / z divide a n } (D n, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un retículo. Sup {a, b} = mcm {a, b} inf {a, b} = mcd {a, b} 4) ( (S), ) es un retículo. Sup {A, B} = A B inf {A, B} = A B 11

12 5) Si ( A, R ) y ( B, S ) son retículos, entonces ( A B, Prod ) es retículo sup Prod {(a, b), (c, d)} = (sup R { a, c }, sup S { b, d }) inf Prod {(a, b), (c, d)} = (inf R { a, c }, inf S { b, d }) ( A B, Lex ) es retículo sup Lex {(a, b), (c, d)} = ( sup R { a, c }, inf S { b, d }), si a c ( a, sup S { b, d } ), si a = c inf Lex {(a, b), (c, d)} = ( inf R { a, c }, sup S { b, d }), si a c ( a, inf S { b, d } ), si a = c 12

13 Definición B) Un retículo es una terna ( L,, ) donde L es un conjunto y, son dos operaciones binarias definidas en L que cumplen las siguientes propiedades: 1. idempotente : a a = a, a a = a 2. conmutativa : a b = b a, a b = b a 3. asociativa : (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) 4. absorción : a (a b) = a, a (a b) = a. 13

14 Proposición Las dos definiciones anteriores son equivalentes: a b sup { a, b } a b = inf { a, b } La relación entre las operaciones y el orden es: a b a b b a b a 14

15 Definiciones Un retículo L es acotado si posee elemento máximo y mínimo. Se designa por 1 al elemento máximo y por 0 al mínimo. 1 es el elemento neutro para : x 1 = x, x L 0 es el elemento neutro para : x 0 = x, x L Un retículo ( L,, ) es distributivo si a, b, c L se cumple: a ( b c ) ( a b ) ( a c ) a ( b c ) ( a b ) ( a c ) 15

16 Ejemplos 1) (D n, ) es retículo acotado y distributivo n. 2) Los siguientes retículos acotados no son distributivos ya que a ( b c ) ( a b ) ( a c ) Teorema Un retículo (L,, ) es no distributivo si y sólo si contiene a uno de los dos retículos del ejemplo anterior 2). 16

17 Definiciones Sea ( L,, ) un retículo acotado. a L se dice que a L es complementario de a si a a = 1 a a = 0 Un retículo acotado L es complementario si todos sus elementos poseen complementario. Ejemplos 1) ( (S), ) es retículo acotado, distributivo y complementario. 2) (B n ={0, 1} n, PROD ) es retículo acotado, distributivo y complementario. 17

18 3) (D, ) es retículo acotado, distributivo y complementario. 4) (D, ) es acotado y distributivo, pero no es complementario. 5) Los siguientes retículos acotados, no distributivos, son complementarios, pero el complementario del elemento c no es único.,,,, 18

19 Teorema Sea ( L,, ) un retículo acotado y distributivo. El complementario de cada elemento, si existe, es único. Definición Un álgebra de Boole es un retículo acotado, distributivo y complementario. George Boole ( ), en Las leyes de la verdad (1854) utiliza el álgebra para tratar expresiones de lógica proposicional. Claude Shannon ( ), en su tesis doctoral demostró cómo utilizar las leyes de la lógica para diseñar circuitos (1938). 19