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1 .5. Área de ua superfce. Sea g ua fucó co prmeras dervadas parcales cotuas, tal que z g( x y), 0 e toda la regó D del plao xy. Sea S la parte de la gráfca de g cuya proyeccó e el plao xy es como se lustra e la Fgura XX, sedo S ua superfce suave (y para smplfcar la defcó, que gú vector ormal a la superfce es paralelo al plao xy). Se defrá la expresó que permte calcular el área A de la superfce S. Fgura 54. Superfce S y regó. Sea P { } 1,,, ua partcó teror de la regó, dode las logtudes de los lados de los rectágulos so de la partcó x y y. Sea (,,0), y sea (,, (, ) ) x y u puto teror al elemeto P x y f x y el puto correspodete e la superfce S. S se cosdera que el plao tagete a la superfce S e C, sedo T y S áreas de las regoes e el plao tagete y e la superfce S, respectvamete, obtedas al proyectar la regó e el plao tagete y e la superfce S. Cuado la orma de la partcó, P, es pequeña, etoces el valor de, las T es ua aproxmacó de S, y por tato T es ua aproxmacó del área A de la superfce S. Y al 1 tomar el límte de esta suma de ema cuado P 0 se obtee A Lm T P 0 1

2 Sea los vectores u y v co puto cal P, que so los vectores tagetes a las curvas que se geera e la superfce S e los plaos y y0 y x x0, respectvamete, como se observa e la Fgura XX. Y recordado que la terpretacó geométrca que tee las dervadas parcales, es que represeta la pedete de las rectas tagetes determadas por los vectores u y v, que e estos plaos so g ( x, y ) y (, ) respectvamete. Por tato los vectores u y v vee dados por (,0, x(, ) ) 0,, (, ) u x g x y x ( y ) v y g x y y x g x y, y Ahora be, el área del paralelogramo que esta determado por los vectores u y v, esta determado por la orma del producto vectoral de ellos, es decr, u v, as ˆ ˆj kˆ u v x 0, (, ) ˆ (, ) ˆ ˆ gx x y x gx x y x y gy x y x y j+ x yk 0 y g x, y y Etoces, y T u v gx x, y + gy x, y + 1 x y Al susttur esta expresó e el límte de la suma de ema cuado P 0, sabedo que x y A, y al aplcar la defcó de la tegral doble se obtee que 0 1 x y x y A Lm g x, y g x, y 1 x y g x, y g x, y 1dA P E dode, es la regó que proyecta la superfce sobre plao xy. Esta defcó se emplea cuado la superfce S, esta defda e forma explcta por z g( x, y). Y puede reescrbrse e térmos de los vectores u y v como represeta a cotuacó x y. A da g g da Por tato, s la superfce S es ua superfce defda e forma paramétrca por la fucó vectoral g: / g ( xuv (, ), y, z), obsérvese que el área de la superfce S vee defda por la tegral doble defda por A da g g dudv u v

3 E dode, g u yz, xz, xy, gv + + uv, uv, uv, EJEMPLO 50. Determe el área de la superfce lateral del parabolode defdo por z x + y delmtada por los plaos z 1 y z Solucó. Esta superfce que esta defda explíctamete, tee ua parametrzacó x x g g x y y y x + y z f ( x, y) dada por : / (, ), co 1 z, por lo que la tegral para calcular el área de su superfce queda plateada de la sguete maera A fx x, y + fy x, y + 1dA x + y + 1dA π rcosθ + rseθ + 1rdrdθ π 4r + 1rdrdθ 1 π ( 4 1 ) 8 0 r + π ( ) 6 Al resolver la tegral, e este caso es apropado, realzar u cambo e coordeadas polares debdo a la regó que proyecta la superfce sobre el plao xy. 1 dθ

4 Fgura 55. Parabolode Crcular del Ejemplo 50. EJEMPLO 51. Determe el área de la superfce lateral del parabolode defdo por z x + y delmtada por los plaos z y z 4 Solucó. Esta superfce que esta defda mplíctamete, tee ua parametrzacó u x g g u v v y u + v z dada por : / (, ), co u 4 y v 4, por lo que la tegral para calcular el área de su superfce queda plateada de la sguete maera xy, yz, xz, A gu gv dudv + + dudv uv, uv, uv, Dode, ( xy, ) 1 0 1; ( yz, ) u ; u v ( xz, ) 1 0 v u v Así pues, la tegral para determara el área de este coo trucado esta dada por [] 1 [ ] [ ] ( ) xy, yz, xz, A + + dudv uv, uv, uv, + u + v dudv π 4 1+ r cosθ + rseθ rdrdθ 0 π 4 r + rdrdθ π 6 1 π ( 4 r 1 ) 0 4 dθ Al resolver la tegral, e este caso es apropado, realzar u cambo e coordeadas polares debdo a la regó que proyecta la superfce sobre el plao xy, e dode se observa que r 4 y 0 θ π.

5 Fgura 56. Superfce S del Ejemplo 51. EJECICIOS POPUESTOS.5. Determe el área de las superfces que se dca a cotuacó 1) La superfce dada por el cldro ) El parabolode ) El coo trucado z + y, etre los plaos x y x. 4 + x + y z, que se ecuetra para y 9. x + z y, etre los plaos y 1 y x 4. 4) El hemsfero x y z 4 y el plao yz.

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