T E M A 9: ESTUDIO DEL MOVIMIENTO

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1 1. Introducción: Cálculo vectorial. T E M A 9: ESTUDIO DEL MOVIMIENTO A lo largo del curso de Física te encontrarás con dos tipos de magnitudes: Magnitudes escalares. Son aquellas que quedan definidas por completo con un valor numérico y su correspondiente unidad. Estas magnitudes se representan mediante una letra, que suele ser su inicial, por ejemplo, masa m, tiempo, t. Por ejemplo, para conocer la masa de un cuerpo, basta con indicar su valor (por ejemplo, 5 kg), sin que sea más necesario dar más explicaciones. Magnitudes vectoriales. Son aquellas que, además del valor numérico y la correspondiente unidad, se necesita especificar la dirección y el sentido en que actúan. Se representan gráficamente mediante vectores. Un vector es un segmento orientado que tiene las siguientes características: Su valor numérico absoluto (por tanto, positivo), que denominamos módulo (es la cantidad de veces que contiene a la correspondiente unidad). Su dirección, o recta sobre la que actúa. Su sentido, pues toda dirección tiene dos posibles sentidos. El punto de aplicación, es el punto donde está aplicado o actúa el vector. Para distinguir las magnitudes escalares de las vectoriales, representaremos estas últimas colocando una flecha encima del símbolo ( ), o bien en letra negrita (A). Cuando nos refiramos al módulo, o bien quitaremos la flecha o bien. Las operaciones matemáticas con los vectores o magnitudes vectoriales son distintas de las operaciones con escalares (números). Algebraicamente, dos más dos siempre son cuatro, pero, como veremos, vectorialmente dos más dos pueden ser cualquier valor comprendido entre cero y cuatro, dependiendo de las direcciones relativas de los vectores que se suman. Estas operaciones las analizaremos primero desde un punto de vista geométrico o gráfico, y después detallaremos las relaciones analíticas que definen estas operaciones. Por sencillez las estudiaremos solamente en el plano Operaciones con vectores: método geométrico Suma de vectores La suma de dos vectores es otro vector que se obtiene gráficamente de la siguiente forma: colocamos el primer vector y, a continuación, desde el extremo del primero, situamos el segundo vector, respetando su dirección y sentido; el vector suma es el vector que va desde el origen del primero al extremo del segundo, como se muestra en las figuras. Cuando los vectores no tienen la misma dirección, se obtiene el mismo resultado aplicando la regla del paralelogramo: se dibujan los dos vectores a sumar con el origen común y, desde el extremo de cada uno, se traza una paralela al otro, formándose un paralelogramo; el vector suma coincide con la diagonal del paralelogramo que parte del origen común. Diferencia de vectores El opuesto de un vector es un vector que tiene el mismo módulo, la misma dirección pero sentido contrario de él. 1

2 La diferencia de dos vectores a y b es otro vector, d = a b, que resulta de sumar al primero el opuesto del segundo: Pero si, entonces,, es decir, el vector d es el que sumado al b da el vector a; luego si hacemos coincidir los orígenes de a y b, el vector es el que va desde el extremo del b al extremo del a. Producto de un vector por un escalar El producto de un vector por un escalar o número, λ, es otro vector, con las siguientes características: Su módulo es el producto del módulo del vector por el valor absoluto del escalar: Su dirección es la misma que la del vector Su sentido es el mismo que el del vector si el escalar es positivo, y el opuesto si el escalar es negativo. Un vector unitario es aquel cuyo módulo es la unidad. Todo vector,, puede expresarse como el producto de su módulo por un vector unitario en su dirección, : Como los vectores tienen distintas direcciones, tendremos que especificar también la dirección en la que se encuentra el vector unitario. El criterio que se emplea es: Vector unitario en dirección OX: Vector unitario en dirección OY: Vector unitario en dirección OZ: Así, por ejemplo, la representación en notación vectorial del vector unitario de módulo 5 que se encuentra sobre el semieje OY positivo es: 1.. Operaciones con vectores: método analítico Componentes de un vector Si la suma de dos vectores es otro vector, entonces podemos decir que, cualquier vector puede expresarse como la suma o composición de otros dos. El número de posibilidades es infinito, sin embatgo, a nosotros nos interesa particularmente expresar un vector como la suma de dos vectores perpendiculares. Dichos vectores perpendiculares se denominan componentes rectangulares. Como se puede ver en la figura: Observando la figura, se puede comprobar que: Si usamos la notación vectorial en función de vectores unitarios, podemos escribir: Esta es la notación vectorial en función de las componentes. La operación que hemos hecho se denomina descomposición de un vector en sus componentes rectangulares. Como es evidente, el módulo de es: La ventaja de este procedimiento es que podemos efectuar sumas de muchos vectores descomponiéndolos en sus componentes x e y sumando posteriormente estos por separado. Obtendremos, así, las componentes x e y de la resultante.

3 Suma de vectores La suma de dos vectores componentes:, es otro vector, cuyas componentes son la suma algebraica de las respectivas Diferencia de vectores La diferencia de dos vectores componentes:, es otro vector, cuyas componentes son la diferencia de las respectivas Producto de un vector por un escalar El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyas componentes son el producto del escalar por cada una de las componentes del vector: Producto escalar de dos vectores El resultado de multiplicar escalarmente dos vectores es el escalar (número) que se obtiene de multiplicar el módulo de uno de ellos por el módulo del otro por el coseno del ángulo que forman. Este producto se simboliza por un punto y se lee «a escalarmente por b»: La propia definición nos sirve para determinar el ángulo que forman dos vectores conocidos: Así mismo, de la definición se desprende que si los dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero. Si los vectores son paralelos y del mismo sentido, coincide con el producto de los módulos (ya que cos 0 = 1), pero si tienen sentido contrario, el producto escalar tiene signo opuesto (ya que cos 180 = 1) Podemos efectuar también el producto escalar de dos vectores si estos están expresados en función de sus componentes. Sean, por ejemplo: Aplicando la definición de producto escalar para los vectores unitarios, tendremos: Por lo que, el producto escalar en función de las componentes queda reducido a: A.1. Halla la resultante del siguiente sistema de vectores aplicados en el mismo punto: a: módulo 5 unidades y forma un ángulo de 30º con el semieje X positivo; b: módulo 4 unidades y forma un ángulo de 10º con el semieje OX positivo; c: módulo 3 unidades y situado sobre el semieje OY negativo. A.. Dados los vectores calcula: a) el módulo de cada vector; b) el ángulo que forma cada vector con el semieje OX positivo; c) su suma; d) la diferencia ; e) ; f) el producto escalar de ambos; g) un vector unitario en la dirección de cada uno de ellos.. El movimiento Posiblemente el movimiento sea el primer fenómeno que conocemos y que ya desde niños tenemos una idea intuitiva sobre el mismo. Si nos encontramos mirando por la ventana de nuestra habitación, enseguida sabemos si 3

4 un coche, una bici..., se mueven o no. Basta que les veamos cambiar de posición. La posición de un punto en este estudio consideraremos todos los cuerpos como puntos materiales respecto a otro, tomado como sistema de referencia, es una magnitud vectorial definida por una distancia en una determinada dirección y sentido. Al vector que determina la posición de un punto respecto a otro se le denomina vector de posición (será un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo es la posición del cuerpo en un instante determinado): Cuando hablamos de movimiento de un cuerpo tenemos que identificar este fenómeno con un cambio de posición que experimenta el móvil respecto a un sistema de referencia. Si este es fijo, el movimiento se denomina absoluto; si se le considera como fijo, el movimiento se denomina relativo. Así, por ejemplo, cuando vas sentado en tu coche, estás en reposo relativo respecto a cualquier punto del coche; en cambio, te mueves respecto a cualquier punto exterior a él, como un árbol, un poste, una casa... En la actualidad se considera como imposible encontrar un sistema de referencia absolutamente fijo, por lo que no podemos hablar de movimiento absoluto, sino únicamente de movimiento relativo. Por tanto, definiremos: Movimiento es el cambio de posición de un punto (cuerpo) respecto a un sistema de referencia que se considera fijo. 3. Trayectoria y vector desplazamiento Cuando un punto se mueve respecto a un sistema de referencia recorre un camino describiendo una línea trayectoria - y tarda un tiempo en recorrerlo. Esta línea descrita coincide con la que originan los extremos de los distintos vectores de posición del punto móvil en cada instante (Fig.1) Fig. 1 Fig. Fig. 3 A la diferencia entre dos vectores de posición se denomina VECTOR DESPLAZAMIENTO (Fig.) Obsérvese que el valor de la trayectoria puede o no coincidir con el módulo del vector desplazamiento. Coincidirán si el movimiento es rectilíneo y el móvil no retrocede, o si se supone un desplazamiento pequeñísimo (aunque el movimiento sea curvilíneo), pues en este caso la cuerda tiende a confundirse con el arco (Fig.3) La longitud del camino recorrido por el móvil, es decir, el valor de la trayectoria, es una magnitud escalar. El desplazamiento es una magnitud vectorial (diferencia entre dos vectores). Según la forma de la trayectoria los movimientos pueden ser rectilíneos -trayectoria recta- y curvilíneos - trayectoria curva-. Estos, a su vez, se dividen en circulares, elípticos, parabólicos,... etc. si la trayectoria es una circunferencia, una elipse, una parábola,...etc. 4. Ecuación del movimiento Un movimiento queda definido cuando se conoce una expresión matemática que permita determinar la posición del móvil en cada instante. La expresión r = f(t) -posición en función del tiempo- es característica de cada movimiento y recibe el nombre de ecuación del movimiento. Una variante de la ecuación anterior corresponde al caso en que se conocen las coordenadas del punto en cada instante en función del tiempo transcurrido: x = f 1 (t); y = f (t); z = f 3 (t) Si se conoce la forma de la trayectoria (recta, circular, parabólica...), el problema se reduce a calcular el camino recorrido por el móvil en función del tiempo. En este caso, la ecuación que se considera es la que liga al espacio con el tiempo; es decir: s = f(t). Así, por ejemplo, la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es s = s 1 + v t y 4

5 la del movimiento rectilíneo uniformemente variado es: s = s 1 + v 1 t + ½ a t. A.3. La ecuación del movimiento de un cuerpo es: r(t) = t i + (t +) j, en unidades SI. Determina: a) El vector de posición en t = 0 y en t = s; b) La distancia al origen para t = s; c) El vector desplazamiento entre los instantes t = 0 y t = s; d) La ecuación de la trayectoria. Dibújala aproximadamente; e) Razona si el módulo del vector desplazamiento coincide con la distancia recorrida. 5. Velocidad media e instantánea Imagina un punto móvil que al cabo de un cierto tiempo Δt pasa de la posición P 1 a la posición P, determinadas por los vectores de posición r 1 y r. El móvil habrá recorrido en dicho tiempo Δt el camino Δs, comprendido entre P 1 y P, y habrá experimentado un desplazamiento Δr Celeridad (rapidez) media e instantánea Se denomina celeridad (rapidez) media o velocidad media escalar al cociente que resulta de dividir la longitud Δs del camino recorrido por el móvil entre el tiempo Δt tardado en recorrerlo. Matemáticamente: s v m t La celeridad (rapidez) instantánea o velocidad instantánea escalar, corresponde a la celeridad media en un instante. Es decir: el cociente obtenido al dividir el espacio pequeñísimo, ds, recorrido por el móvil entre el tiempo pequeñísimo, dt, invertido en recorrerlo. Matemáticamente lo expresamos así: s v lim 0 La velocidad instantánea escalar es el límite al que tiende la celeridad media cuando el incremento de tiempo tiende a cero. Este límite se denomina matemáticamente derivada del espacio respecto al tiempo. s ds v lim 0 dt Pero también podemos hallar la celeridad instantánea sobre la gráfica que representa la posición s en función del tiempo t, como indica la figura. Para hallar la celeridad en el punto P, trazamos la tangente a la curva en dicho punto y medimos sobre las escalas de los ejes para calcular la pendiente de la recta obtenida; en nuestro caso: s (19 14,) Pte 0,5 m / s (34 4,4) La celeridad o velocidad escalar es una magnitud escalar y nos da una medida de la rapidez con que se realiza un movimiento. A.4. Un movimiento está definido por la ecuación de su posición en función del tiempo: s = + 3t Calcula: a) la rapidez media entre los instantes t = 1 s y t'= s; b) ídem entre t = 1 s y t' = 1,1s; c) entre los instantes t = 1 s y t'= 1,01 s. Cuál crees que será la rapidez instantánea en el instante t = 1 s? 5.. Vector velocidad media e instantánea Vector velocidad media es el cociente que resulta de dividir el vector desplazamiento Δr experimentado por el móvil entre el tiempo Δt invertido en ello. Matemáticamente: 5

6 r v El vector velocidad media tendrá la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento Δr. De forma análoga a lo expuesto antes, el vector velocidad instantánea corresponde al vector velocidad media en un instante. Es decir: al cociente que resulta de dividir un desplazamiento pequeñísimo dr entre el tiempo pequeñísimo dt empleado. Matemáticamente r dr v lim 0 dt Recordando que la longitud de la trayectoria no tiene por qué coincidir con el módulo del desplazamiento, nos será fácil comprender que la celeridad media tampoco tendrá que coincidir necesariamente con el módulo del vector velocidad media. En cambio, el valor de la celeridad instantánea si coincidirá con el módulo del vector velocidad instantánea, pues ya hemos visto que para desplazamientos pequeñísimos la trayectoria coincide con el valor del desplazamiento. Es decir, que ds = dr. Teniendo en cuenta el significado geométrico de las derivadas, podremos enunciar que: El vector velocidad instantánea -o simplemente velocidad- es una magnitud vectorial cuyo módulo es la derivada del espacio respecto al tiempo, cuya dirección es la de la tangente a la trayectoria en cada punto y cuyo sentido es el del movimiento. La unidad de velocidad en el S.I. es el m/s. Ejemplo: El vector de posición de un móvil es r = t i + t j en unidades del SI. Determina: a) La expresión del vector velocidad instantánea; b) El vector velocidad en el instante t = s y su módulo. a) Suponemos que un instante es t y otro muy próximo a él es t+ t. Calculamos la velocidad media entre ambos instantes: Y puesto que t tiende a cero, el vector velocidad instantánea resulta: b) Sustituimos t = s en la expresión obtenida: Ahora, calculamos el módulo del vector obtenido: Lo que acabamos de hacer para calcular la velocidad instantánea, es lo que se conoce en matemáticas como la derivada de una función. En nuestro caso, la función es la posición que, como hemos dicho, cuando un cuerpo se mueve, es función del tiempo. En general, podemos decir que si la función es y = a t n, su derivada será: Las derivadas tienen, entre otras, las siguientes propiedades: Derivada de la suma de dos funciones: Es igual a la suma de las derivadas de las funciones: Derivada del producto de dos funciones: Es igual a la derivada del primer factor por el segundo sin derivar más la derivada del segundo factor por el primero sin derivar: Como es lógico, la derivada de una constante es cero. 6. Aceleración media e instantánea Son muy pocos los movimientos que se realizan a velocidad constante, entendiendo -claro está- la velocidad como una magnitud vectorial. Excepto el movimiento rectilíneo y uniforme, en todos los demás movimientos se produce siempre un cambio en el vector velocidad: en los movimientos variados se modifica el módulo o valor de la velocidad; en los movimientos curvilíneos, se modifica -al menos- la dirección y sentido. Como es lógico, cuando 6

7 un móvil efectúa un cambio en su velocidad -Δv- tarda un tiempo -Δt- en realizarlo Vector aceleración media Imagina un móvil que en un instante t de su movimiento posee una velocidad v y que al cabo de Δt segundos posee una velocidad distinta v = v + v. Se denomina vector aceleración media -o también- aceleración media al cociente que resulta de dividir la variación de velocidad Δv experimentada por el móvil entre el tiempo Δt invertido en ella. Matemáticamente: v a m t Será una magnitud vectorial de la misma dirección y sentido que Δv. La unidad de aceleración en el S.I. es el m/s. 6.. Vector aceleración instantánea Igual que hicimos para el estudio de la velocidad podemos considerar el vector velocidad instantánea -o sencillamente, la aceleración- como el límite a que tiende el vector aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero. Matemáticamente: v dv a lim t 0 dt La aceleración es, pues, la derivada del vector velocidad respecto al tiempo. Su dirección y sentido son los del vector Δv/Δt. A.5. El vector de posición de un móvil es r(t) = t i 3t j, en unidades SI. Calcula los vectores velocidad y aceleración para t =1 s y sus módulos. 7. Componentes del vector aceleración Al ser la velocidad una magnitud vectorial, dos cosas pueden variar en ella: su valor numérico, o módulo, y su dirección; dando con ello origen a dos tipos de aceleración, llamadas aceleración tangencial y aceleración normal o centrípeta Aceleración tangencial La aceleración tangencial en un punto P de la trayectoria es una magnitud vectorial cuyo origen es el punto móvil P, cuya dirección es la de la tangente a la trayectoria, cuyo sentido es el del movimiento y cuyo módulo es el cociente que resulta de dividir la variación del valor numérico de la velocidad (v - v 1 ) entre el tiempo Δt invertido en ello. Según esto, el valor de la aceleración tangencial media vendrá dado por: ( v v1 a tm ) t Y el de la aceleración tangencial instantánea: v dv a lim t 0 dt 7.. Aceleración normal o centrípeta La aceleración centrípeta o normal en un punto P de la trayectoria es una magnitud vectorial cuyo origen es el punto móvil P, cuya dirección es la del radio de la circunferencia a que pertenece la curva, cuyo sentido es hacia el centro de la circunferencia y cuyo módulo viene dado por la expresión: a n = v /r donde v representa el valor numérico de la velocidad en dicho punto P y r el radio de la circunferencia. 7

8 7.3. Cálculo de la aceleración conocidos sus componentes Hemos dicho que el vector aceleración -o, sencillamente, la aceleración- consta de dos componentes perpendiculares entre sí: la aceleración tangencial, de módulo dv/dt y dirección tangente a la trayectoria, y la aceleración normal, de módulo v /r y dirección perpendicular a la trayectoria (Fig.6). La aceleración resultante a será la suma vectorial de sus componentes: y su módulo valdrá: a a t a n a = a t + a n Como es lógico, si un movimiento no tiene aceleración normal (caso de los movimientos rectilíneos) la aceleración coincide con la aceleración tangencial: a = a t Si no tiene aceleración tangencial, pero si normal (caso del movimiento circular uniforme), la aceleración total coincide con la aceleración normal: a = a n. A.6. Un automotor parte del reposo en una vía circular de 400 m de radio y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado hasta que a los 50 s de iniciada su marcha, alcanza la velocidad de 7 km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Calcular: a) La aceleración tangencial en la primera etapa de su movimiento; b) la aceleración normal; c) la aceleración total. 8. Magnitudes angulares En un movimiento circular -prescindimos ahora de otros tipos de movimientos curvilíneos- a la vez que el punto móvil recorre un arco, su vector de posición describe un ángulo (Fig.7). Como interesa estudiar el movimiento bajo estos dos aspectos -arco recorrido y ángulo descrito- y hallar el modo de pasar de uno a otro mediante un cálculo matemático sencillo, se elige como unidad de medida de ángulos el radián, el cual se define así (Fig.8): Un radián es el valor de un ángulo central tal que comprende un arco que mide lo mismo que el radio con que ha sido trazado. Fig.7 Fig.8 Fácilmente se deduce que la longitud de un arco cualquiera es igual al producto del ángulo central que lo abarca, expresado en radianes, por el valor del radio. Efectivamente: Si para ϕ = 1 rad, el arco, s, mide 1 radio, s = r; para ϕ = rad, el arco medirá radios, s = r para ϕ radianes, el arco medirá φ radios, s = ϕ.r Como una circunferencia contiene π veces el radio, le corresponderá un ángulo de π radianes Velocidad angular Se define como la relación que existe entre el valor del ángulo descrito y el tiempo tardado en describirlo. Su expresión matemática es: Su unidad es el radián por segundo (rad/s). Frecuentemente se usa como unidad de velocidad angular la revolución por minuto (r.p.m.). Para pasar de r.p.m. a rad/s basta multiplicar el número de revoluciones por π (1rev = 1vuelta = π radianes) y dividir entre 60 (1 minuto = 60 s). 8

9 Para expresar velocidades angulares en velocidades lineales se multiplica el valor de la velocidad angular, en rad/s, por el valor del radio, en metros. Así obtendremos la velocidad lineal expresada en m/s. v = ω r A.7. Siendo 30 cm el radio de las ruedas de un coche y 956 las revoluciones que da por minuto, calcula: a) la velocidad angular de las mismas en rad/s; b) la velocidad del coche en m/s y en km/h; c) la aceleración normal de un punto situado en la periferia de dichas ruedas. 8.. Aceleración angular Es la relación que existe entre una variación cualquiera de la velocidad angular y el tiempo invertido en efectuarla. Matemáticamente se expresa así: 1 t Su unidad es el rad/s. Para expresar aceleraciones angulares en aceleraciones lineales basta multiplicar la aceleración angular, en rad/s, por el valor del radio, en metros. Así obtenemos la aceleración lineal expresada en m/s : a t = α r 9. Estudio de los movimientos rectilíneos a través de sus ecuaciones Un movimiento se conoce cuando se tiene su ecuación, ya que por medio de ella y realizando sucesivas derivaciones se pueden obtener los valores de su velocidad y aceleración en cualquier instante. Partiendo de las ecuaciones más sencillas de la forma s = f(t) se van a estudiar los movimientos más frecuentes dentro del estudio de la Cinemática. Es importante que antes de escribir las ecuaciones del movimiento rectilíneo, tengamos presente que la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales cuya dirección coincide con la trayectoria y cuyo sentido viene determinado por los signos + y. Para averiguar qué signo tienen en cada problema podemos utilizar el siguiente criterio: Para la posición. El signo de la posición coincide con el signo de los semiejes cartesianos. Para la velocidad. La velocidad es positiva cuando el móvil se desplaza en el sentido del semieje OX o del eje OY (hacia la derecha o hacia arriba), y es negativa si se desplaza en sentido contrario (hacia la izquierda o hacia abajo). Para la aceleración. Una aceleración es positiva si su sentido coincide con el de la velocidad positiva y es negativa si su sentido es contrario a la misma Movimiento uniforme Es el de un móvil que siguiendo una trayectoria recta recorre espacios iguales en tiempos iguales. La velocidad es constante en módulo, dirección y sentido. Por tanto no tiene aceleración tangencial ni normal. Al tratarse de un movimiento rectilíneo, podemos tomar como sistema de referencia el eje OX en la dirección del movimiento. Así, todos los vectores tienen la misma dirección y podemos expresar la ecuación del vector 9

10 velocidad en forma escalar. Si medimos la posición x desde el origen del sistema de referencia y suponemos que en el instante inicial, t = 0 el móvil ocupa la posición x 1 (llamada posición inicial), podemos escribir de acuerdo con la definición de rapidez dada anteriormente: x x x1 v x ( t ) x1 v t 1 t t1 Si t 1 = 0, la ecuación anterior se escribe: x = x 1 + v t A.8. Dos móviles se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades constantes de y 4 m/s respectivamente. Si el encuentro tiene lugar a 16 m del punto de partida del primero, determina: a) el tiempo invertido hasta el instante del encuentro; b) la distancia que separaba inicialmente a los móviles Diagramas velocidad-tiempo y espacio-tiempo Si representamos en un sistema de ejes coordenados los valores de la velocidad en ordenadas y los del tiempo en abscisas, se obtendrá una línea recta paralela al eje de los tiempos, puesto que la velocidad permanece constante (Fig.9). El valor numérico del área de la figura determinada por la ordenada -v- y por la abscisa (t = t - t 1 ) equivale al espacio recorrido por el móvil que se mueve con velocidad constante durante el intervalo de tiempo t. Fig. 9 Representando en un sistema de ejes los valores de las magnitudes espaciotiempo se obtiene una línea recta cuya pendiente (tangente del ángulo que forma con el eje de los tiempos) coincide numéricamente con el valor de la velocidad (Fig.10). Si no existe espacio inicial la gráfica tiene por origen el origen de coordenadas. En caso contrario, corta al eje de los espacios en un punto cuya distancia al origen representa el espacio inicial. Fig Movimiento uniformemente acelerado Es el de un móvil que siguiendo una trayectoria recta su velocidad varía únicamente en módulo de una manera constante. Por tanto, tiene aceleración tangencial constante y aceleración normal nula. Las ecuaciones del movimiento se deducen de la condición a t = cte. Pero como la aceleración normal es cero, la aceleración tangencial coincide con la total, es decir a t = a. Por tanto, podemos poner: v v 1 a v v a( t t 1 1) t t 1 si t 1 = 0, queda finalmente: v = v 1 + a t Para hallar la distancia recorrida podemos utilizar dos métodos: A) Método algebraico. Utilizando la celeridad media, tenemos: = v v +v1 v1+ at +v1 1 t = t = t x = v t + a x media 1 10

11 B) Método gráfico. Teniendo en cuenta que en la gráfica rapidez tiempo el área de la figura que queda entre la línea que representa v en función de t y las verticales trazadas entre dos instantes equivale a la distancia recorrida, podemos escribir: 1 Δ x = Area rectángulo + Area triángulo = v t ( v v ) t 1 1 v v 1 pero como la aceleración es a, llevando a la ecuación anterior t v v 1 = a t, queda finalmente: 1 x v1 a Diagramas velocidad-tiempo y espacio-tiempo A.9. Un coche lleva una velocidad de 90 km/h y después de recorrer 31,5 m se detiene. Calcula su aceleración y el tiempo invertido en el frenado. Como se deduce de su expresión matemática, la velocidad en este movimiento, es función lineal del tiempo y vendrá representada gráficamente por una línea recta cuya pendiente corresponde al valor de la aceleración (Fig.11). Fig.11 Fig. 1 Si no hay velocidad inicial el origen de la recta coincide con el de coordenadas. En caso contrario cortará al eje de las velocidades en un punto, cuyo valor representa la velocidad inicial. Representando en un sistema de ejes coordenados los valores de las magnitudes espacio-tiempo se obtiene una línea curva -parábola-. La pendiente de la tangente en cada punto coincide con el valor de la velocidad instantánea del móvil en ese punto. Si no hay espacio inicial, el origen de la curva coincide con el origen de coordenadas. En caso contrario corta al eje de los espacios en un punto cuya distancia al origen representa el espacio inicial Relaciones velocidad-espacio-aceleración Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: v = v 1 + a t y x = x 1 + v 1 t + 1/ at de forma que se elimine entre ambas el tiempo se deduce fácilmente que: v v1 a x a x1 a ( x x1 ) Expresión muy útil para aquellos casos en los que no se da el tiempo de forma explícita Caída libre de los cuerpos Como ejemplo más sencillo de movimiento rectilíneo uniformemente variado interesa estudiar el que adquieren los cuerpos al caer libremente hacia la superficie de la Tierra o al ser lanzados verticalmente hacia arriba. El decir caída libre supone la caída en el vacío y, por tanto, en ausencia de rozamientos. Para distancias relativamente pequeñas los cuerpos caen en el vacío con un movimiento que puede 11

12 considerarse uniformemente variado. Los cuerpos en el vacío y en un mismo lugar de la Tierra caen todos con la misma aceleración. La aceleración de un cuerpo en caída libre se denomina aceleración debida a la gravedad o aceleración de la gravedad. Se la representa por la letra «g» y su valor en las proximidades de la superficie terrestre es del orden de 9,81 m/s. En estos movimientos:. El signo se debe a que el sentido de la aceleración es el de la coordenada Y decreciente (los cuerpos caen hacia la Tierra) Las ecuaciones deducidas para el movimiento rectilíneo uniformemente variado son aplicables en estos casos - caídas y ascensiones- quedando así sus ecuaciones: 1 v v 1 g y y1 v1 g v v1 g ( y y1) A.10. Se deja caer libremente una piedra desde una altura de 5 m. Calcula: a) La velocidad con la que llega la piedra al suelo; b) El tiempo que tarda en caer la piedra al suelo. Si en lugar de dejar caer la piedra libremente, la lanzamos hacia abajo con una velocidad inicial de 5 m/s, cómo se modificarían los cálculos anteriores? 10.- Composición de movimientos rectilíneos Imagina que quieres atravesar, nadando, un rio con objeto de alcanzar la orilla opuesta. Si lo haces perpendicularmente a la corriente verás que no tocas la orilla en un punto situado enfrente del de partida sino un poco más abajo. Esto es debido a que estás sometido simultáneamente a dos movimientos: el tuyo propio y el de arrastre de la corriente, dando como resultado otro movimiento, consecuencia de los dos. En general podemos decir: Si un punto está sometido simultáneamente a varios movimientos elementales, el movimiento resultante se obtiene al sumar vectorialmente los movimientos componentes. Es decir: 1. La velocidad resultante es la resultante vectorial de las velocidades componentes.. La aceleración resultante es la resultante vectorial de las aceleraciones componentes. 3. El desplazamiento resultante es la resultante vectorial de los desplazamientos componentes Composición de dos movimientos rectilíneos y uniformes perpendiculares Imaginemos una barca con la que un remero pretende cruzar un río perpendicularmente a las orillas. La barca es desviada por la corriente del río, de manera que su trayectoria es una recta que forma un ángulo α con la orilla: El movimiento real de la barca está compuesto por: - Un MRU perpendicular a las orillas del río, debido al esfuerzo del remero. - Un MRU paralelo a las orillas, debido a la corriente del río. Vector velocidad El móvil sale del punto O sometido a la vez a las velocidades constantes v x y v y, perpendiculares, siendo la velocidad resultante. Ésta es la suma vectorial de. ; su módulo vale: Vector de posición Dado que ambos movimientos componentes son rectilíneos y uniformes, la ecuación de la posición de cada uno de ellos es la del MRU. Si tomamos el origen de coordenadas en el punto de la orilla desde el que sale la barca, estas ecuaciones son: x = v x t; y = v y t El vector de posición,, es la suma vectorial de los vectores de posición correspondientes a cada movimiento componente: ; su módulo vale: 1

13 Trayectoria Si despejamos el tiempo de la ecuación x = v x t y sustituimos en y = v y t el valor obtenido, tendremos la ecuación de la trayectoria: Como v x y v y son constantes, también lo es el cociente v y /v x, por lo que podemos expresar la ecuación de la trayectoria de la forma: y = k x Esta ecuación es la de una recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente tiene un valor de: 10.. Composición de movimientos rectilíneos: uno uniforme y otro uniformemente variado A) De direcciones perpendiculares: Tiro horizontal Es el caso de un proyectil disparado horizontalmente desde una cierta altura (Fig.). El móvil está sometido simultáneamente a dos movimientos: uno horizontal, rectilíneo y uniforme, de avance; y otro, vertical, rectilíneo y uniformemente variado sin velocidad inicial, de caída. Al ser simultáneos ambos movimientos, el tiempo de avance es igual al tiempo de caída, cumpliéndose para cada movimiento elemental que: Movimiento horizontal uniforme (de avance): - Velocidad en cualquier instante: v x = v 0 - Posición en cualquier instante: x = v x t Movimiento vertical de caída libre: - Velocidad en cualquier instante: v y = g t - Posición en cualquier instante: y = y 0 1/ g t El máximo alcance que logra el proyectil se calcula hallando el tiempo que tarda en caer y sustituyéndolo en la expresión general del avance. Por tanto: El alcance depende de la velocidad de salida del proyectil y de la altura desde donde se dispara. La velocidad con que llega al suelo será la resultante vectorial de la velocidad vertical conseguida en la caída (v y = g t) y de la velocidad horizontal constante de avance v x : v v x v y B) De direcciones cualesquiera: Tiro oblicuo. Es el caso de un proyectil disparado con un cierto ángulo α sobre la horizontal. En este caso (Fig.) la velocidad de salida v se descompone en dos componentes rectangulares: una vertical (v 0y ) que estará influenciada por la acción de la gravedad sobre el móvil, originando como consecuencia un movimiento rectilíneo uniformemente variado de subida y bajada; y otra horizontal (v x ) que originará un movimiento rectilíneo y uniforme de avance. Como se puede deducir de la figura los valores de estos componentes rectangulares de la velocidad serán en el instante de salida: v 0x = vcosα v 0y = vsenα 13

14 Los dos movimientos independientes están definidos por las ecuaciones: Movimiento horizontal uniforme: - Velocidad: v x = v 0 cos α - Posición: x = (v o cos α) t Movimiento vertical de caída libre: - Velocidad: v y = v 0 sen α g t - Posición: y = y 0 + (v 0 sen α) t ½ g t Calculo de la altura máxima. El proyectil conseguirá su máxima altura cuando la componente vertical de la velocidad sea cero. De aquí podemos deducir el tiempo que tardará en conseguir dicha altura. En efecto: 0 = v 0 senα g t y, por tanto: v sen t y máx 0 g Sustituyendo este valor de t en la ecuación de la posición vertical: v0 sen 1 v0 sen v0 sen y máx y0 v0 sen g y0 g g g Cálculo del alcance final. El tiempo que avanza el proyectil es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura, puesto que lo que tarda en subir es igual al tiempo que tarda en bajar. Considerando esto, el alcance del proyectil se calculará sustituyendo el tiempo de avance en la ecuación del desplazamiento horizontal: v0 sen v0 x = v cos = g ya que senα cosα = sen α. El máximo alcance posible para una velocidad dada se logrará cuando sen α = 1; es decir: cuando α = 90º; y, por tanto, cuando α = 45º. A.11. Una barca cruza un río de 30 m de anchura. Si la velocidad de la corriente es de 4 m/s y la barca desarrolla una velocidad de m/s perpendicular a la corriente, calcula: a) El tiempo que tarda la barca en cruzar el río; b) La distancia que recorre; c) La ecuación de su trayectoria. A.1. Desde una ventana situada a 30,0 m sobre el suelo, se lanza horizontalmente con un tirachinas una canica con una velocidad inicial de 15 m/s. Determina: a) La posición y la velocidad de la canica 1 s después de haber sido lanzada; b) El instante en que llega al suelo; c) La distancia que alcanza según la horizontal; d) La velocidad cuando llega al suelo. A.13. Se lanza un balón desde un montículo de 50 m de altura, con una velocidad de 100 m/s que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcula: a) La altura máxima alcanzada; b) La velocidad en el punto más alto. c) el tiempo del movimiento y el alcance. 11. Movimiento circular uniforme sen cos g 0 Es el de un móvil que siguiendo una trayectoria circular recorre arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales. Su velocidad es constante en módulo, pero no en dirección y sentido. No tiene, por tanto, aceleración tangencial, pero si normal. También puede describirse este movimiento como el de un móvil cuyo radio vector describe ángulos iguales en tiempos iguales. Al tiempo empleado por el móvil en recorrer una circunferencia completa se le denomina período (T), y al número de vueltas dadas en un segundo, frecuencia (f). El período y la frecuencia son, como puedes deducir, inversos. Según lo expuesto en la definición, la velocidad angular media coincide con la instantánea y, por tanto: 14 v0 sen x = g

15 En el caso que el móvil hubiese descrito un ángulo inicial ϕ 1 antes de comenzar a contar el tiempo, el ángulo total descrito vendría dado por la ecuación: 1 El valor de la aceleración normal viene dado por: a n = v /r o también por a n = ω.r A.14. Un punto material describe una trayectoria circular de 1 m de radio con una velocidad angular de 30 rpm. Calcular: el período, la frecuencia, la velocidad angular en rad/s, la velocidad lineal y la aceleración normal. 1. Movimiento circular uniformemente variado Es el de un móvil que siguiendo una trayectoria circular su velocidad varía en módulo de una manera constante. Como consecuencia, la velocidad angular del móvil también variará de una manera constante; es decir: el móvil posee aceleración angular constante. Este movimiento presenta las dos clases de aceleración: tangencial y normal. La primera es constante y la segunda, no, puesto que al variar el valor de la velocidad, varía, asimismo, el de la aceleración normal (v /r). Al ser constante la aceleración angular, el valor de la aceleración angular instantánea coincidirá con el de la aceleración angular media y, por tanto: 1 t 1 t El ángulo descrito por el móvil puede calcularse según la expresión: 1 t t 1 1 A.15. Un volante que gira 300 rpm adquiere en 10 s una velocidad de régimen de 600 rpm. Calcula: a) la aceleración angular; b) el ángulo descrito en ese tiempo y el número de vueltas dado en ese tiempo. 15

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