Fibras Ópticas. Capítulo Modos

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1 Capítulo 2 Fibras Ópticas. El tema anterior se ha basado en el análisis de guía-ondas planas, es decir, con cambio de índice de refracción en una sola dirección. Ahora vamos a tratar con un medio de transmisión con cambio de índice de refracción en dos direcciones del espaciox e y. Además la geometría del sistema es cilíndrica, todo esto hace que el álgebra sea muy compleja, pero como en casos anteriores podemos intentar explicar lo que ocurre. 2.1 Modos Las fibras cilíndricas comparten con las planas la existencia de modost E (E z =0)yT M (H z =0), sin embargo al estar limitada en dos direcciónes vamos a necesitar dos números para identificar los modos, ahora serán T E lm y T H lm, ambos corresponden a rayos meridionales. Otra diferencia respecto a la guía-onda plana es la existencia de rayos no meridionales que permiten la existencia de modos donde tanto E z como H z son distintos de cero y se llaman modos HE lm o EH lm dependiendo de cual E o H participa más en el campo transversal. Conclusión los modos en una fibra son un lio, ahora bien, tenemos la suerte de que las fibras que se usan para comunicaciones satisfacen la condición de guiado débil o dicho de otra forma 1. Esto implica que los ángulos de aceptación a serán pequeños y por lo tanto los rayos en el interior de la fibra tendrán un ángulo pequeño respecto al eje de la fibra. Todo esto hace que haya modos que tengan constantes de propagación tan próximas que podamos considerarlos casi iguales, en lenguaje técnico se habla de modos degenerados. La superposición de modos degenerados se corresponde con modos linealmente polarizados LP sin tener en cuenta cuales son las configuraciones de los campos de modo que sólo trabajaremos con estos modos. A nivel simplemente descriptivo en la tabla 2.1 podemos ver las correspondencias entre los modos LP y los que tienen en cuenta los campos. Tras este cambio brusco en la forma de calcular los modos, lógicamente también se complica la forma de calcular cuantos pueden ser guiados en el interior de la fibra, no vamos a deducirlo, sin embargo vamos a dar como dato la frecuencia normalizada de la fibra, este es un dato que se calcula a partir de datos físicos de la fibra y nos va a dar información acerca de el número de modos que pueden ser guiados V = 2 a (NA) (2.1) V = 2 an p (2.2)

2 2.1. MODOS 17 Linealmente polarizados Exactos LP 01 HE 11 LP 11 HE 21, T E 01, T M 01 LP 21 HE 31, EH 11 LP 02 HE 12 LP 31 HE 41, EH 21 LP 12 HE 22, T E 02, T M 02 LP lm HE 2m, T E 0m, T M 0m LP lm (l6=0 o1) HE l+1;m, EH l 1;m Linealmente polarizados Tabla 2.1: Correspondencia entre los modos linealmente polarizados y los modos exactos que los forman. La frecuencia normalizada es un parámetro adimensional y suele llamarse elnúmero V o valor de la fibra. La relación entre V y el número de modos dependerá del tipo de fibra así que lo utilizaremos más adelante. Los modos que no pueden ser guiados serán radiados al exterior perdiendose la energía Acoplamiento entre modos Cuando la luz ha sido introducida en la fibra la energía transmitida pertenecerá a alguno de los modos guiados, pero A qué modos? En un principio no lo sabemos, pero la configuración inicial de modos cambia. Por qué? Por el acoplamiento entre modos. Todos los aspectos referidos a la propagación que hemos tratado hasta el momento tenían en cuenta guía-ondas perfectas, pero no lo son. Las no-idealidades de la fibra como: desviaciones del eje respecto a una línea recta variaciones en el diámetro del núcleo irregularidades en la intercara entre núcleo y envoltura variaciones en el índice de refracción, tanto del núcleo como de la envoltura. pueden cambiar las características de propagación de la fibra. Estas variaciones tendrán el efecto de acoplar la energía transmitida de un modo a otro dependiendo de la perturbación específica. La óptica geométrica nos puede ayudar a entender el proceso que podemos observar en la figura 2.1 que ilustra dos no-idealidades. Puede observarse que en ambos casos el rayo no mantiene el mismo ángulo respecto al eje de la fibra. El cambio de ángulo es equivalente al cambio de modo de transmisión. Así pues un modo determinado no se propaga a lo largo de la fibra sin grandes transferencias de energía hacia otros modos, al igual que también recibe estas transferencias, incluso cuando la fibra es de gran calidad. Esta conversión entre modos se llama acoplamiento entre modos o mezcla modal. Este acoplamiento entre modos va a causar que pueda transferirse energía desde un modo guiado a un modo radiativo, con lo que la energía se pierde dando lugar a atenuaciones de la señal transmitida.

3 2.2. TIPOS DE FIBRAS 18 Figura 2.1: Dos posibles no-idealidades de la fibra que dan lugar a acoplamiento entre modos: (a) Irregularidad en la intercara entre núcleo y envoltura; (b) Doblado de la fibra. 2.2 Tipos de fibras Vamos a empezar a ver los distintos tipos de fibras con los que nos podemos encontrar, hay varias subdivisiones y en un principio vamos a tratar los distintos perfiles de índices de refracción y el número de modos que se transmiten en una determinada fibra Fibras de índice abrupto Las fibras ópticas que se han visto en los apartados anteriores suponían dos índices de refracciónn 1 para el núcleo y n 2 para la envoltura de forma que n 1 >n 2, esta fibra se denomina de índice abrupto porque el cambio de índices del núcleo a la envoltura es abrupto. Este tipo de perfil se puede definir de la siguiente forma ( n1 r<a (nucleo) n (r) = (2.3) n 2 r a (envoltura) Otra forma de dividir las fibras sería teniendo en cuenta cuantos modos transmiten, uno (fibras monomodo) o más de uno (fibras multimodo), un ejemplo de ambas para índice abrupto puede verse en la figura 2.2. La figura 2.2 (a) muestra una fibra multimodo, suelen tener núcleos de 50m de diámetro o mayores, que es suficiente para que se transmitan varios modos, se pueden ver los multiples rayos dibujados que representan los distintos modos. En la figura 2.2 (b) se representa una fibra monomodo, suelen tener núcleos de entre 2 y 10m y sólo se ha representado el único modo permitipo ellp 01. Las fibras monomodo tienen como ventaja principal la baja dispersión intermodal (ensanchamiento de los pulsos de luz), ya que sólo se transmite un pulso, mientras que las fibras multimodo abruptas tienen una considerable dispersión intermodal (al permitir la transmisión de muchos modos). Esto implica que las fibras monomodo permiten anchos de banda muy superiores a las multimodo. La ventaja de las fibras multimodo aparecen cuando los anchos de banda grandes no son necesarios porque permiten el uso de LED s mientras que en las monomodo sólo pueden usarse láseres permiten mayores aperturas numéricas, así como núcleos mayores lo que facilita el acoplamiento de emisores ópticos tienen menores problemas a la hora de conexionar fibras

4 2.2. TIPOS DE FIBRAS 19 Figura 2.2: Perfil de índice de refracción y modos transmitidos en fibras de índice abrupto: (a) fibra abrupta multimodo; (b) fibra abrupta monomodo. El número de modos permitidos en una fibra abrupta es dependiente de algunos parámetros físicos (los índices de refracción y el diámetro del núcleo) así como de la longitud de la onda transmitida, estos parámetros está reunidos en el número V que ya vimos en las ecuaciones 2.1 y 2.2. Puede demostrarse que el número de modos permitidos en una fibra se aproxima con la siguiente expresión M s V 2 2 (2.4) Fibras de índice gradual Las fibras de índice gradual no tienen una índice de refracción constante en el núcleo, sino un índice que va decreciendo desde el eje de la fibra hasta que alcanza el valor de la envoltura a una distanciaa (radio del núcleo) desde el eje. esta variación puede representarse como n (r) = ( n 1 (1 2 (r=a) ) 1 2 r<a (nucleo) n 1 (1 2) 1 2 = n 2 r a (envoltura) donde es la diferencia relativa de índices de refracción (ecuación 1.9) y es el parámetro que conforma el perfil característico de índice del núcleo. La ecuación 2.5 es una forma muy adecuada de representar el perfil de índice de refracción ya que para = 1 tenemos el índice abrupto, para =1el triangular y para =2el parabólico. Los tres se pueden ver en la figura 2.3. En la actualidad los perfiles de índice gradual que producen mejores resultados para propagación multimodo son los que tienen un perfil cuasi parabólico con 2. Este tipo de fibras son tan usadas que el término índice gradual normalmente se usa para determinar a las de índice parabólico. Por dicho motivo nos vamos a basar en las fibras de índice parabólico para ver sus propiedades. Una fibra parabólica multimodo se representa en la figura 2.4. Podemos observar como los rayos (2.5)

5 2.2. TIPOS DE FIBRAS 20 Figura 2.3: Distintos perfiles de índice de refracción para diferentes valores de. (ecuación 2.5) Figura 2.4: Perfil de índice de refracción y transmisión de rayos en una fibra de perfil parabólico.

6 2.2. TIPOS DE FIBRAS 21 Figura 2.5: Diagrama de rayos expandido que nos muestra en lugar de una variación contínua del índice de refracción una variación escalonada que es la que produce la curvatura de los rayos. meridionales siguen caminos curvos en las cercanías del eje de la fibra, en lugar de los caminos rectos con reflexiones que vimos en las fibras de índice abrupto. Para intentar entender la forma en que se producen este tipo de trayectorias volveremos a los conceptos de la óptica geométrica y nos apoyaremos en la figura 2.5. En ella podemos ver un rayo que se curva gradualmente al atravesar capas de cada vez menor índice de refracción, hasta que se produce la condición de reflexión total y el rayo vuelve hacia el eje de la fibra. Durante su trayectoria el haz es continúamente refractado. Las fibras graduales multimodo tienen mucha menor dispersión intermodal que las abruptas multimodo debido a su configuración (esto lo entenderemos en el siguiente tema). Gracias a esta característica el ancho de banda para las fibrass graduales multimodo es muy superior a las abruptas multimodo sin perder las ventajas que presentaban estas últimas (apartado 2.2.1) El número de modos que puede transmitirse en una fibra gradual se calculará de forma distina a las abruptas, no vamos a justificar de donde aparece la fórmula pero es la siguiente M g (n 1 ka) 2 (2.6) +2 si utilizamos la fórmula 2.2 y sustituimos en la anterior tenemos! V 2 M g = M s (2.7) Así pues para un índice parabólico el número de modos guiados es la mitad que para un índice abrupto Fibras monomodo La ventaja de la propagación de un sólo modo, aunque quedará más clara en capítulos posteriores, es que se eliminan las dispersiones temporales por diferencias de retardo entre distintos modos. Las fibras multimodo no pueden conseguir la propagación de un modo único, ya que como vimos en el apartado debido a irregularidades de la fibra, se generarán todos los modos posibles aunque sólo se inyecte uno. Así pues para transmitir un único modo la fibra ha de estar diseñada para permitir la propagación sólo de ese modo mientras que todos los otros serán dispersados o atenuados. Basándonos en los apartados anteriores, donde vimos fibras multimodo tanto abruptas como graduales, para obtener una fibra monomodo hay que conseguir un númerov adecuado. Para fibras monomodo tan sólo el modo fundamental (LP 01 ) puede existir. Assí pues el límite para operación monomodo es

7 2.2. TIPOS DE FIBRAS 22 el punto en que empieza a permitirse la transmisión de un segundo modo (LP 11 ). La frecuencia de corte normalizada para fibras abruptas ocurre para V c = De forma que para la propagación de un único modo (LP 01 ) ha de cumplirse 0 V < 2:405 (2.8) podemos preciar que no hay límite inferior, esto es debido a que en una guía-onda cilíndrica el modo fundamental se puede transmitir siempre. La reducción del númerov se puede hacer reduciendo el radio del núcleo de la fibra o bien reduciendo la NA ola. La para fibras monomodo está alrededor del 1% y los radios por debajo de los 10m. Ejemplo Calcular el máximo diámetro de una fibra con =1.5% y n 1 =1.48 que opera con una longitud de onda de 0.85m. También recalcular el diámetro máximo para una reducción de un factor 10. Solución: A partir de la ecuación 2.2 podemos calcular el radio de la fibraa a = o sea un diámetro de 2.6m V 2n 1 p 2 La reducción de 10 veces nos lleva a 2:4 0:85 10 = 2 1:48 p =1:3m 0:03 6 a = 6 2:4 0: :48 p =4:0m 0:003 con lo que tenemos un diámetro de 8m Parece claro con el ejemplo anterior que el diámetro de las fibras monomodo ha de ser realmente pequeño, mucho menor que las multimodo citadas en apartados anteriores. Es posible construir fibras monomodo con núcleos un poco mayores, aunque aún con tamaños mucho menores que las fibras monomodo, reduciendo. Tanto la reducción de a como la de generan problemas al intentar acoplar la luz de los emisores en la fibra. La reducción a complica la inyección de luz en la fibra y la de complica los procesos de fabricación. Otra forma de incrementar a es la utilización de fibras monomodo graduales, esto modifica el número V de la siguiente forma q V c =2: = (2.9) para la fibras parabólicas se produce un incremento dev c y por tanto de a (para la misma y )de p 2, mientras que para fibras triangulares se puede llegar a un incremento de p 3. Este tipo de fibras llamadas de dispersión modificada también se pueden encontrar comercialmente. Un problema con el que nos encontramos con las fibras monomodo con bajos y bajos V es que el modo LP 01 penetra apreciablemente en la envoltura, es decir, que la onda evanescente es grande. Como ejemplo podemos decir que para un V de 1.4 la mitad del modo viaja en la envoltura en forma de onda evanescente, así pues, la zona de caida exponencial se extiende una distancia significativa fuera del 1 Este número lo consideraremos un axioma, no sale de las ecuaciones 2.4 o 2.7, ya que ambas son aproximaciones válidas para cantidades de modos elevadas.

8 2.2. TIPOS DE FIBRAS 23 núcleo de la fibra. Esto nos da a entender que será esencial que la envoltura tenga un diámetro adecuado (mayor cuanto menor sea el núcleo) y que tenga buenas caracterśiticas en cuanto a absorción y dispersión. Al final veremos que el tamaño total de la fibra (núcleo+envoltura) va a ser similar independientemente del número de modos transmitidos, ya que la reducción en el tamaño del núcleo viene acompañado de un incremento en el tamaño de la envoltura y que tanto el núcleo como la envoltura son fundamentales par la correcta transmisión por fibra. Las fibras monomodo son muy importantes en el mundo de las comunicaciones ópticas debido a que Tienen el mayor ancho de banda y las pérdidas más pequeñas Su calidad de transmisión es mejor debido a la ausencia de ruido modal Son compatibles con la óptica integrada Tienen un elevado tiempo de vida Longitud de onda de corte Se puede apreciar en la ecuación 2.2 que la operación monomodo no lo es para todas los longitudes de onda sino para sólo sobre una longitud de onda de corte c que se puede calcular como c = 2an p 1 2 (2.10) V c donde V c es la frecuencia de corte normalizada. Así pues para toda > c la fibra será monomodo, otra relación que nos va a ser de utilidad se obtiene dividiendo las ecuaciones 2.2 y 2.10 con lo que obtenemos c = V V c (2.11) Los sistemas prácticos de transmisión se operan de forma que se esté trabajando cerca de c para mejorar el confinamiento del modo guiado pero lo suficientemente lejos como para que nose transmita nada del modo LP Índice de refracción efectivo y retardo de grupo La rapidez con que el modo fundamental cambia de fase mientras se propaga a través de una fibra viene determinado por parámetro que ya vimos en el apartado Está directamente relacionada con la longitud de onda 01 del modo LP 01 mediante el factor 2 01 =2; 01 = 2 (2.12) Más alla, sería conveniente definir un índice de refracción efectivo para fibras monomodo n eff como el cociente entre la constante de propagación de dicho modo y la constante de propagación en el vacio n eff = k (2.13)

9 2.2. TIPOS DE FIBRAS 24 Figura 2.6: Constante de propagación normalizada (b) del modo fundamental como función del número V. de esta forma también podemos calcular la longitud de onda de transmisión para este modo respecto a su longitud de onda en el vacio como 01 = (2.14) n eff Por qué hacemos esto. La razón es que el modo findamental se transmite en un medio con un índice de refracción n(r) que depende de la distancia al eje de la fibra (fibras abruptas y graduales) y por tanto el índice de refracción efectivo será un promedio de los índices de refracción de la fibra en los que haya potencia transmitida. Para fibras abruptas monomodo (por ejemplo) gran parte de la potencia es transmitida por la envoltura y por tanto n eff puede que tenga un valor más cercano a n 2 que a n 1. Definiremos un parámetro b al que llamaremos constante de propagación normalizada que será igual a b ' n eff n 2 n 1 n 2 (2.15) Este parámetro adimensional varía entre 0 y 1 y es particularmente útil en la teoría de fibras monomodo. Suele venir representado gráficamente (ejemplo en figura 2.6) y sólo depende de V y de ningún otro parámetro para un perfil de fibra fijo. La aparición de este índice de refracción efectivo modifica ligeramente la fórmula 1.24 que utilizabamos para el cálculo de la velocidad de grupo, ya que ya no tenemos un índice de refracción, esta fórmula quedaría como v g = c (2.16) N ge apareciendo N ge (antes era N g ) que ahora valdría N ge= n eff dn eff d (2.17)

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