Ejemplo de un Péndulo Simple:

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1 Preparadopor:Prof.AlejandraZ.MatamorosS. UniversidaddeLosAndes.FacultaddeIngeniería.EscueladeSistemas,Dpto.SistemasdeControl. Mérida,Venezuela.Febrero,2009. EjemplodeunPénduloSimple: Uno de los problemas más simples en robótica es el de controlar la posición de un brazo de robot empleando un motor ubicado en el punto de giro. En términos matemáticos,estonoesmásqueunpéndulo,comoelquesemuestraenlafigura1. Figura1 Esquemadelpéndulo. UnmodelomatemáticoobtenidoutilizandolasegundaleydeNewtonparadescribirla ecuacióndemovimientoangulardelamasamy,expresadoenvariablesdeestadoes elquesepresenta: x 1 (t) = x 2 (t) x 2 (t) = g l sen(x 1(t)) k m x 2(t) τ Θ Siendo los estados la posición angular (medida entre la vertical y la cuerda) y la velocidadangular,respectivamentesegúnlasecuaciones.donde:meslamasadela bola, l es la longitud de la cuerda, g es la aceleración de la gravedad, y k es el coeficientedefricción. Segúnelsistemadeecuacionesplanteado,elpéndulotendrásólounadinámicalibre, donde el torque mostrado en la figura será despreciado sólo para propósitos de estudiarunpocolaestabilidaddelospuntosdeequilibrio. l mg LassimulacionesfueronrealizadasutilizandoMatlab (Mathworks).

2 Preparadopor:Prof.AlejandraZ.MatamorosS. UniversidaddeLosAndes.FacultaddeIngeniería.EscueladeSistemas,Dpto.SistemasdeControl. Mérida,Venezuela.Febrero,2009. CálculodelosPuntosdeEquilibrio: Si, x 1 (t) = x 2 (t) = 0 x 2 (t) = g l sen(x (t)) k 1 m x 2 (t) = 0 x 2 (t) = 0 sen(x 1 (t)) = 0 x 1 (t) = ±kπ, k = 0,1, 2,... Sinembargo,esevidentequelospuntosdeequilibrio(0,0)y(π,0),replicanatodos losdemáspuntosobtenidos.portanto,bastaconestudiarlosdosantesmencionados. Seasignaránvaloresnuméricosalosparámetrosfísicosdelsistema,conlafinalidad desimulareldiagramadefasedelsistemaparadichosvalores.luego,secomparará conotrojuegodevalores.(enesteejemplo,sedesprecianlasunidadesfísicassólopor efectosilustrativosdeloqueenestemomentosequiererecalcar). A) g/l=1yk/m=0.5 B) g/l=1yk/m=1 C) g/l=1yk/m=2-3π -2π -π 0π π 2π 3π Figura2.DiagramadeFasedelsistemaconlosparámetrosdescritosena).Seseñalan conflechasrojasalgunospuntosdeequilibrioinestables:focosinestablesy,con flechasazulesalgunospuntosdeequilibrioestables:focosestables.piénseseenlo querepresentaestoenlafísicadelpéndulo. LassimulacionesfueronrealizadasutilizandoMatlab (Mathworks).

3 Preparadopor:Prof.AlejandraZ.MatamorosS. UniversidaddeLosAndes.FacultaddeIngeniería.EscueladeSistemas,Dpto.SistemasdeControl. Mérida,Venezuela.Febrero,2009. Figura3.DiagramadeFasevs.t Figura4.Analicequésucedeahoraenlospuntosdeequilibrioquese reflejanenestediagramadefase,cuandolarelaciónentrelosparámetros esladeb). LassimulacionesfueronrealizadasutilizandoMatlab (Mathworks).

4 Preparadopor:Prof.AlejandraZ.MatamorosS. UniversidaddeLosAndes.FacultaddeIngeniería.EscueladeSistemas,Dpto.SistemasdeControl. Mérida,Venezuela.Febrero,2009. Figura5.Analicetambiénestediagramadefase,cuandolarelaciónentre losparámetrosesladec). Quéinfluenciatienenlosvaloresdelos parámetrosentérminosfísicos? Cómoloasociaconlaexperienciaque ustedhatenidoobservandounpéndulo? Figura6.Respuestatemporaldelaposiciónangulardelpéndulo,antelasdistintas condicionesiniciales(superpuestas) Observeque,adiferenciadelossistemas lineales,lascaracterísticasdinámicassetornanunpocodistintasencadacaso. LassimulacionesfueronrealizadasutilizandoMatlab (Mathworks).

5 Preparadopor:Prof.AlejandraZ.MatamorosS. UniversidaddeLosAndes.FacultaddeIngeniería.EscueladeSistemas,Dpto.SistemasdeControl. Mérida,Venezuela.Febrero,2009. Cómorealizaríaunbosquejodeldiagramadefasedeunsistemanolineal, asabiendasdequecadaexpresiónloquerepresentaeslavelocidadconla cualcambiacadaestado? Quésucederásiustedlinealizaalrededordecadaunodelosdospuntosde equilibrio:(0,0)y(π,0)? Podríadecirsesiseobtienencambiosrelevantes entérminosdelaestabilidaddecadapuntodeequilibrioenlosdiagramas defasedetalrepresentaciónlinealizada? LassimulacionesfueronrealizadasutilizandoMatlab (Mathworks).

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