TEMA 7. ESTÁTICA Y ELASTICIDAD OBJETIVOS

Transcripción

1 OBJETIVOS Comprender el concepto de equilibrio estático de un sólido rígido. Expresar adecuadamente las condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido. Determinar las características de las ligaduras de un sólido rígido en equilibrio estático (apoyo, articulación y empotramiento). Definir los límites de proporcionalidad, elasticidad y ruptura, entendiendo que su valor depende tanto del material como de la intensidad y el tipo de deformación experimentada. Comprender que la validez de la ley de Hooke está limitada a pequeñas deformaciones. Identificar y expresar el tipo de deformación en un sólido atendiendo al modo en que actúan las fuerzas externas sobre él.

2 ÍNDICE 7.1 Condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido 7.2 Ejemplos de equilibrio estático 7.3 Elasticidad: ley de Hooke 7.4 Tracción y contracción lateral 7.5 Elasticidad de volumen: compresión uniforme 7.6 Flexión 7.7 Elasticidad de forma: cizalladura y torsión

3 7.1 Condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido FF = 0 MM = 0

4 7.1 Condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido MM ii = rr ii FF gggg MM nnnnnnnn = rr ii FF gggg = rr cccc FF gg

5 7.1 Condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido

6 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un obrero empuja horizontalmente una cubeta grande llena de concreto, con masa total de 600 kg, suspendida de una grúa mediante un cable de 20 m. Cuál es la fuerza que el obrero debe ejercer para mantener la cubeta a una distancia de 2,0 m de la vertical? Fuerzas concurrentes: FF = 0 T α FF TT ssssssαα = 0 TT ccccccαα mmmm = 0 F mg FF = 590 NN

7 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un cilindro de masa M se apoya en un sistema sin rozamiento formado por un plano inclinado 30 con la horizontal a la izquierda y otro inclinado 60 a la derecha. Determinar la fuerza ejercida por cada plano sobre el cilindro. Fuerzas concurrentes: 30 N 1 FF = 0 NN 1 sssssssss NN 2 ssssss60 = 0 N 2 60 NN 1 ccccccccc NN 2 ccccccccc MMMM = 0 mg NN 1 = 3 2 MMMM NN 2 = 1 2 MMMM

8 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Una balanza con un brazo de 50 cm se balancea sobre un pivote a 1,0 cm de un extremo. Cuando un paquete de azúcar se deposita en el plato de la balanza, el equilibrio se logra con una masa estándar de 0,12 kg en el otro plato. Cuál es la masa del azúcar? Ignore las masas de los platos. Fuerzas no concurrentes: FF = 0 MM = 0 MM oo = MMMM dd mmmm DD = 0 F MM = 5,9 kkkk O mg Mg DD = 49 cccc dd = 1 cccc

9 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Calcular la fuerza ejercida por la articulación A sobre el puntal si se supone (a) que la barra no tiene peso y (b) que el peso de la barra es de 20 N. Fuerzas no concurrentes: FF = 0 MM = 0 T (a) FF xx TT ccccccccc = 0 FF yy + TT sssssssss 60 = 0 MM AA = TTTT 60ll ccccccccc = 0 FF xx = 30 NN FF yy = 30 NN F y A F x 60 N (b) FF xx TT ccccccccc = 0 FF yy + TT sssssssss 80 = 0 FF xx = 35 NN T TTTT ll 20 ccccccccc 60ll ccccccccc = 0 2 FF yy = 45 NN F y A F x 20 N 60 N

10 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un par de fuerzas de 80 N se aplica sobre las esquinas opuestas de una placa rectangular (a) Hallar el momento producido respecto a la esquina inferior izquierda. (b) Demostrar que el resultado es el mismo que si se calcula el momento respecto a la esquina superior izquierda. Par de fuerzas: MM = 0 O (a) MM AA = dd 2 FF dd 2 FF = (dd 2 dd 1 )FF = dd FF dd 1 = aa sssssssss dd 2 = bb ccccccccc A (b) MM AA = 1 2 ( 3bb aa) FF MM OO = dd FF = 1 2 ( 3bb aa) FF 30 d 1 F 1 30 d 2 d=d 1-d 2 F 2

11 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Una escalera de masa m y longitud L se apoya contra una pared vertical sin rozamiento formando un ángulo θ con la horizontal. El centro de masas se encuentra a una altura h del suelo. Una fuerza F tira horizontalmente de la escalera hacia fuera en su punto medio. Determinar el coeficiente mínimo de rozamiento estático μ e para que el extremo superior de la escalera se separe de la pared, antes de que el extremo inferior se deslice. Fuerzas no concurrentes: FF = 0 MM = 0 FF FF rr = 0 NN mmmm = 0 MM OO = mmmm h ttttθθ FF LL 2 ssssssθθ = 0 μμ ee = 2h LLLLLLθθθθθθθθθθ L senθ h mg θ F N O F (L/2) senθ F r =μ e N

12 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un bloque rectangular grande y uniforme se sitúa sobre un plano inclinado. Una cuerda sujeta la parte superior del bloque para evitar que caiga por el plano. Cuál es el ángulo máximo θ para el cual el bloque no se desliza por el plano inclinado? Sea b/a = 4 y μ e = 0,8. Fuerzas no concurrentes: FF = 0 MM = 0 TT + FF rr mmmmmmmmmmθθ = 0 NN mmmmmmmmmmθθ = 0 ttggθθ = aa bb + 2μμ ee MM cccc = FF rr bb 2 + NN aa 2 TT bb 2 = 0 θθ = 62 mg N T F r =μ e N

13 7.2 Ejemplos de equilibrio estático Una caja uniforme de 8 kg de masa y dos veces más alta que ancha, descansa sobre el suelo de un camión. Cuál es el máximo coeficiente de rozamiento estático entre la caja y el suelo para que la caja se deslice hacia atrás en lugar de volcar cuando el camión acelera en una carretera horizontal? Fuerzas no concurrentes: FF = 0 MM = 0 FF rr = mmmm aceleración NN mmmm = 0 μμ ee = 0,5 N mg F r =μ e N MM cccc = FF rr dd + NN dd 2 = 0

14 7.3 Elasticidad: ley de Hooke (a) Barra sólida sometida a fuerzas deformadoras F que actúan en sus extremos. TTTTTTTTTTTTT = FF AA DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD = LL LL (b) Pequeña sección de la barra de longitud L. Los elementos de la barra a la izquierda y a la derecha de esta sección ejercen fuerzas sobre ella. Si la sección no está muy próxima a un extremo de la barra, estas fuerzas se distribuyen por igual sobre el área transversal. La fuerza por unidad de área es la tensión.

15 7.3 Elasticidad: ley de Hooke Microscópicamente, un bloque de material sólido se puede considerar como una hilera de átomos unidos mediante resortes. Los muelles se estiran cuando al bloque se le aplica una tensión.

16 7.3 Elasticidad: ley de Hooke Para determinar la resistencia de la barra a la tracción, la barra se tensa hasta que se rompe Estas barras de acero se rompieron cuando se aplicó una tensión grande

17 7.3 Elasticidad: ley de Hooke La tensión aplicada al extremo de un bloque de material causa elongación

18 7.3 Elasticidad: ley de Hooke DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD = TTTTTTTTTTTTT MMMMMMMMMMM dddd YYYYYYYYYY (YY) Tensión en función de la deformación. Hasta el punto A, la deformación es proporcional a la tensión. El punto B, límite elástico, es el punto a partir del cual la barra no recupera su longitud original cuando se suprime la tensión. En el punto C, la barra se rompe

19 7.3 Elasticidad: ley de Hooke Las fuerzas asociadas a la fricción interna no son conservativas Histéresis elástica

20 7.4 Tracción y contracción lateral Tracción Contracción lateral DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD = TTTTTTTTTTTTT MMMMMMMMMMM dddd YYYYYYYYYY (YY) ll ll = 1 FF YY SS = 1 YY PP Módulo de Poisson Δrr rr σσ = Δrr/rr Δll/ll = σσ Δll Δll = σσ YY PP

21 7.4 Tracción y contracción lateral Tracción Contracción lateral Efecto sobre la sección lateral AA AA = AA ff AA ii AA ii = 2 σσ YY PP Efecto sobre el volumen VV VV = VV ff VV ii VV ii = (1 2σσ) YY PP σσ < 1/2

22 7.4 Tracción y contracción lateral Compresión ll ll = 1 YY PP Δrr rr = σσ YY PP

23 7.5 Elasticidad de volumen: compresión uniforme VV VV = λλ FF AA = λλλλ = 1 BB PP λ: Coeficiente de compresibilidad B: Módulo de compresibilidad BB = YY 3(1 2σσ)

24 7.6 Flexión TEMA 7. ESTÁTICA Y ELASTICIDAD Flexión lateral Flexión central

25 7.6 Flexión TEMA 7. ESTÁTICA Y ELASTICIDAD Flexión lateral dd = kkkk kk = LL3 3YYYY II = yy 2 dddd

26 7.7 Elasticidad de forma: cizalladura y torsión a) La fuerza tangencial aplicada al lado de un bloque de material causa corte b) Cuando tal fuerza tangencial se aplica a la cubierta de un libro, las páginas se deslizan una sobre otra

27 7.7 Elasticidad de forma: cizalladura y torsión Cizalladura φφ ttttφφ = 1 GG FF AA = 1 GG PP G: Módulo de rigidez o de cizalladura GG = YY 2(1 + σσ)

28 7.7 Elasticidad de forma: cizalladura y torsión Torsión φφ = 1 KK ττ KK = γγ RR4 ll γγ = ππ 2 GG ϒ: Módulo de torsión

29 7.8 Aplicaciones Balanza de torsión de Cavendish para la determinación de G = 6, N m 2 /kg 2

30 7.8 Aplicaciones Galga extensiométrica: Sensor para medir presión, fuerza, posición, momento, etc. basado en el efecto piezorresistivo, por el que ciertos materiales experimentan variaciones de su resistencia eléctrica cuando se deforman bajo la acción de ciertos esfuerzos (

31 7.8 Ejemplos de elasticidad Una cuerda de acero de piano, con 1,8 m de longitud y 0,30 mm de radio, se sujeta a una tensión de 70 N mediante un peso unido a su extremo inferior. En cuanto se estira esta cuerda? Se supone que se cumple la ley de Hooke: ll ll = 1 FF YY AA l Δl ll = ll YY FF AA = mm F

32 7.8 Ejemplos de elasticidad La resistencia a la tracción de un alambre de cobre es aproximadamente de N/m 2 (a) Cuál es la carga máxima que puede colgarse de un alambre de cobre de 0,42 mm? (b) Si se cuelga la mitad de esta carga máxima del alambre de cobre, en qué porcentaje se alargará su longitud? RR TT = FF AA FF = RR TT AA = 42 NN l Δl ll ll 100% = 1 (FF/2) YY AA = 0,14% F

33 7.8 Ejemplos de elasticidad Mientras los pies de un corredor tocan el suelo, una fuerza de cizalladura actúa sobre la suela de su zapato de 8 mm de espesor. Si la fuerza de 25 N se distribuye a lo largo de un área de 15 cm 2, calcular el ángulo θ de cizalladura, sabiendo que el módulo de cizalladura de la suela es de 1, N/m 2. En este caso, la ley de Hooke es: θθ = aaaaaaaaaaθθ = 1 GG FF AA = 1 PP = 5 GG

34 7.8 Ejemplos de elasticidad Dos fuerzas iguales en módulo pero con direcciones opuestas se aplican en ambos extremos de un alambre largo de longitud L y sección transversal A. Demostrar que si el alambre se considera como un muelle, la constante de fuerza k viene dada por k = AY/L y la energía almacenada en el alambre es U=(½)FΔL, donde Y es el módulo de Young y ΔL el incremento de longitud del alambre. xx ll = ll ll = 1 FF YY AA FF = kkδll = kkkk kk = AAAA ll WW = FFFFFF = kkkkkkkk = 1 FF ll = UU 2

35 7.8 Ejemplos de elasticidad Una cinta de caucho de sección 3 mm x 1,5 mm se dispone verticalmente y varias masas se cuelgan de ella. Un estudiante obtiene los datos de la longitud de la cinta en función de la carga que se indican en la Tabla. (a) Determinar el módulo de Young; (b) Determinar la energía almacenada en la cinta cuando la carga es de 0,15 kg; (c) Calcular dicha energía cuando la carga es de 0,3 kg. F/A Carga, kg 0,0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 Longitud, cm 5,0 5,6 6,2 6,9 7,8 8,8 1,E+06 1,E+06 8,E+05 6,E+05 4,E+05 2,E+05 y = 1,4E+06x R² = 0,9873 0,E+00 0,E+00 2,E-01 4,E-01 6,E-01 8,E-01 Δl/l Y=1, N/m 2 mm = 0,15kkkk UU = 0,008 JJ mm = 0,30kkkk UU = 0,034 JJ F l Δl