Valor Absoluto - Desigualdades No lineales

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Rubén Paz Márquez
hace 7 años
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1 - Desigualdades No lineales David J. Coronado 1 1 Departamento de Formación General y Ciencias Básicas Universidad Simón Boĺıvar Matemáticas I

2 Contenido 1 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 2

3 Contenido 1 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 2

4 Contenido Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 1 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 2

5 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto El valor absoluto de x R, denotado por x se define como { x si x 0 x = x si x < 0 El valor absoluto es una distancia no dirigida. En particular, la distancia de x al origen. De manera análoga, la expresión x a es la distancia desde x hasta a.

6 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Teorema Propiedades 1 a b = a b 2 a = a b b 3 a + b a + b Desigualdad Triangular. 4 a b a b Otras propiedades son: x < a a < x < a x > a x > a ó x < a

7 Contenido Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 1 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 2

8 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejemplo Resolver x 2 < 2 2 < x 2 < 2 0 < x < 4 S : (0, 4)

9 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Resolver 3x 5 1.

10 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Resolver 3x 5 1.

11 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Resolver 3x x x 5 ó 3x 5 1

12 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Resolver 3x x x 5 ó 3x = 5 1 3x 4 3 x

13 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Resolver 3x x x 5 ó 3x = 5 1 3x 4 3 x ó 3x = 6 x 6 3 = 2

14 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Resolver 3x x x 5 ó 3x = 5 1 3x 4 3 x ó 3x = 6 x 6 3 = 2 Así S : (, 4 3] [2, )

15 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Recordemos que a es la raíz cuadrada no negativa de a. Decir 16 = ±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ± 16. Así x 2 = x y x 2 = x 2. Esto nos permite afirmar que x < y x 2 < y 2.

16 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Recordemos que a es la raíz cuadrada no negativa de a. Decir 16 = ±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ± 16. Así x 2 = x y x 2 = x 2. Esto nos permite afirmar que x < y x 2 < y 2.

17 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Recordemos que a es la raíz cuadrada no negativa de a. Decir 16 = ±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ± 16. Así x 2 = x y x 2 = x 2. Esto nos permite afirmar que x < y x 2 < y 2.

18 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Resolver 1 3x + 1 < 2 x x > 1 3 2x x + 4 x 1 4

19 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto Ejercicios Soluciones 1 3x + 1 < 2 x 6 S : ( 13, 11 5 ) x > 1 S : (, 5) ( 5 3, 0) (0, ) 3 2x S : [ 2, 1] 4 2x + 4 x 1 4 S : [ 9, 1 3 ]

20 Para resolver las desigualdades no lineales estudiaremos algunos tipos de desigualdades: 1 Desigualdades cuadráticas y de orden superior 2 Desigualdades racionales

21 Contenido Valor Absoluto 1 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 2

22 El primer tipo de desigualdad no lineal que estudiaremos corresponde a desigualdades donde aparecen polinomios de grado dos (desigualdades cuadráticas) y polinomios de grado que dos (desigualdades de orden superior). En ambos casos, siempre debemos factorizar los polinomios y estudiar los signos en cada intervalo. Veamoslo con ejemplos.

23 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x

24 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x

25 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x Primer paso: Pasamos todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad x 2 > 2x x 2 2x > 0

26 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x Primer paso: Pasamos todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad x 2 > 2x x 2 2x > 0 Segundo paso: Factorizamos x 2 > 2x x 2 2x > 0 x(x 2) > 0

27 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x Tercer paso: Buscamos los intervalos de cambio de signo. Estos se construyen con las raíces del polinomio: x(x 2) = 0 x 1 = 0, x 2 = 2 Los intervalos son (, 0), (0, 2) y (2, ) Escogemos un testigo (número) de cada intervalo: 1 (, 0), 1 (0, 2) y 3 (2, )

28 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x Cuarto paso: Hacemos una tabla: x x 2 x(x 2) (, 0) (0, 2) (2, ) 1 1 3

29 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x Cuarto paso: evaluamos cada testigo en la expresión de la primera columna. El signo que dá el resultado, lo colocamos en la casilla correspondiente (, 0) (0, 2) (2, ) x + + x 2 + x(x 2)

30 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x Cuarto paso: para la última fila, multiplicamos todos los signos de cada columna: (, 0) (0, 2) (2, ) x + + x 2 + x(x 2) + +

31 Ejemplo Resolver la desigualdad x 2 > 2x Analizamos los resultados: En los intervalos (, 0) y (2, ) se tiene que x 2 2x > 0 En el intervalo (0, 2) se cumple x 2 2x < 0 Por lo que la solución es Sol: (, 0) (2, )

32 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 2 1)(2x + 4) < 0

33 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 2 1)(2x + 4) < 0

34 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 2 1)(2x + 4) < 0 Primer paso: Factorizamos (ya todos los términos estaban del lado izaquierdo): (x 2 1)(2x + 4) < 0 (x 1)(x + 1)(2x + 4) < 0 Segundo paso: Buscamos las raíces (x 1)(x + 1)(2x + 4) = 0 x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 2

35 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 2 1)(2x + 4) < 0 Segundo paso: Buscamos las raíces (x 1)(x + 1)(2x + 4) = 0 x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 2 Tercer paso: Construímos los intervalos (, 2), ( 2, 1), ( 1, 1), (1, ) Con testigos: 3 (, 2), 1, 5 ( 2, 1), 0 ( 1, 1), 2 (1, )

36 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 2 1)(2x + 4) < 0 Cuarto paso: Hacemos una tabla: (, 2) ( 2, 1) ( 1, 1) (1, ) 3 1, x 1 + x x (x 1)(x + 1)(2x + 4) + +

37 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 2 1)(2x + 4) < 0 Como la pregunta es cuándo el polinomio es negativo? la solución es Sol: (, 2) ( 2, 1)

38 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 1)(2 x) 1

39 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 1)(2 x) 1

40 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 1)(2 x) 1 Paso 1: (x 1)(2 x) 1 (x 1)(2 x) 1 0 Paso 2: Resolvemos para factorizar (x 1)(2 x) 1 0 2x x x 1 0 x 2 + 3x 3 0 Al aplicar la resolvente, notamos que no tiene raíces: no se puede factorizar. b 2 4ac = 9 4( 1)( 3) = 9 12 = 3 < 0

41 Ejemplo Resolver la desigualdad (x 1)(2 x) 1 En estos casos, existe un sólo intervalo: (, ). Cualquier valor servirá de testigo, tomemos x = 0. Al evaluar (no hacemos tabla ya que tendría una sola columna): x 2 + 3x = 3 < 0 Por lo tanto, la expresión x 2 + 3x 3 siempre es negativa, lo cual implica solución vacía Sol:

42 Contenido Valor Absoluto 1 Valor Absoluto Definición Desigualdades con Valor Absoluto 2

43 En los casos en que aparezca una fracción, procedemos de manera similar, recuerda que no puedes pasar multiplicando ni dividiendo ninguna expresión donde aparezca la variable ya que no conoces el valor de x ni si el resultado es positivo o negativa (no sabes si la desigualdad cambia o no). Veamos los ejemplos

44 Ejemplo Resolver 2x x x x

45 Ejemplo Resolver 2x x x x

46 Ejemplo Resolver 2x x x x Paso 1: Todo a la izquierda 2x x x x 2x x x x 0 Paso 2: Simplificamos y factorizamos numerador y denominador: 2x x x + 3 2x + 1 (x + 3) x 1 x x 2 1 x 0

47 Ejemplo Resolver 2x x x x Paso 3: Ya factorizado, buscamos las raíces tanto del numerador y denominador, estos valores determinaran los intervalos: x 2 1 x 0 x 1 = 2, x 2 = 1 Intervalos (, 1), (1, 2), (2, ) Hacemos la tabla

48 Ejemplo Resolver 2x x x x Cuarto paso: La tabla: (, 1) (1, 2) (2, ) x x + x(x 2) + Como la respuesta no depende de los testigos escogidos, podemos omitir la fila correspondiente.

49 Ejemplo Resolver 2x x x x Por lo tanto la solución es Sol:(1, 2] [2, ) = (1, ) Nota: En 2 el intervalo va cerrado por ser la desigualdad. Pero en el 1 va abierto por ser la raíz del denominador (siempre va abierto).

50 En general, no hace falta escribir los pasos, pero es importante seguirlos Pasar todo a la izquierda. Factoriazar (el polinomio o el numerador y el denominador). Buscar raíces y definir intervalos. Realizar la tabla. Escribir la conclusión.

51 Ejercicios Resolver x 1 x + 2 < 0 2x x x x 3 x 3 6x x 6 > 0 4 x 1 2 x 1 5 (x 2 1)(2x + 4) x(3 x) > 0

52 Ejercicios Soluciones x 1 < 0 S : ( 2, 0) x + 2 2x x x + 2 S : R \ {1} 1 x 3 x 3 6x x 6 > 0 S : (1, 2) (3, ) 4 x 1 2 x 1 S : [ 3 2, 2) (2, ) 5 (x 2 1)(2x + 4) x(3 x) > 0 S : (, 2) ( 1, 0) (1, 3)

53 Saludos. Si no logras resolver correctamente los problemas planteados, no dudes en notificarlo en el foro de la unidad. Estaremos pendientes.

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