5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras fucioes más simples (co las que es más simple trabajar) que da la eactitud adecuada e ciertas aplicacioes. Comezaremos estudiado el proceso de liealizació que ofrece la derivada y cotiuaremos estudiado poliomios de Taylor. Como sabemos, la tagete a y = f( ) e u puto = a, dode la fució f es derivable, pasa a f a co pediete f ( a) y tiee por ecuació y = f( a) + f ( a)( a). por el puto (, ( )) Etoces, la recta tagete es la gráfica de la fució lieal L ( ) : = f( a) + f ( a)( a). Observa que, dode esta recta permaezca cerca de la gráfica de f, L ( ) ofrecerá ua buea aproimació de f ( ). A la fució L ( ) se le llama liealizació de la fució f e el puto a. La aproimació f ( ) L( ) se llama aproimació lieal de f e el puto a. Observa que La ( ) = f( a) y que L ( a) = f ( a). EJEMPLO. U cálculo secillo muestra que la aproimació lieal de la fució f ( ) = + e el puto a = 0 viee dada por y = +. De forma similar se puede obteer que la aproimació lieal de la fució f ( ) = + e el puto a = viee dada por y =

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. Etoces + + si está cerca de a = 0. Por ejemplo, si usamos esta aproimació obte- emos que..0. Observa que. = , co lo cual el error es meor que 0. Si embargo, si os alejamos de a = 0 esta aproimació pierde precisió y o es esperable que produzca bueos resultados, por ejemplo, cerca de a =. Aquí debemos usar la otra liealizació es 5 decir, + +. Observa que si usamos la primera obteemos..0, mietras que co la seguda aproimació obteemos. + =.8. Recuerda que. = Este proceso de aproimació se puede geeralizar, siempre que la fució f tega suficietes derivadas, usado poliomios e lugar de la aproimació lieal L ( ) : = f( a) + f ( a)( a). EJEMPLO. Cosideremos la fució epoecial f ( ) = e y el puto a = 0. Etoces la aproimació lieal e a = 0 es, L ( ) = +, puesto que f (0) = y f (0) =. Por comodidad deotaremos, e adelate a la fució L ( ) por P ( ), puesto que se trata de u poliomio de grado. Observa que P (0) = y P (0) =. Buscamos ahora u poliomio de grado dos P ( ), de forma que P (0) =, P (0) = y P (0) = f (0) =. No es difícil comprobar que ( ) P. = + + Cotiuado este proceso, buscamos ahora u poliomio de grado tres P ( ), de forma que P (0) =, P (0) =, P (0) = y P (0) = f (0) =. No es difícil comprobar que ( ) P. =

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. Cada ua de estas fucioes: y = P( ), y = P( ), e y ( ) = P mejora la aproimació de la fució epoecial f ( ) = e. De hecho, si aproimamos el valor de e.788, que se obtiee para =, obteemos los siguietes resultados: e P() =, e P() =.5, e P() = Los poliomios P( ), P( ) y P ( ) se llama poliomios de Taylor de la fució epoecial de ordees, y, respectivamete. E geeral teemos la siguiete defiició. DEFINICIÓN. Sea f ua fució co derivadas de orde k, para k = 0,, N, e u itervalo que cotiee al puto a e su iterior. Para cada = 0,, N, el poliomio ) ( a) ( a) f ( a) P ( ): = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + ( a) + + ( a)!!! se llama poliomio de Taylor de f de orde alrededor de a. OBSERVACIÓN. El poliomio de Taylor P ( ) y todas sus derivadas hasta el orde coicide co las de la fució f ( ) e el puto = a, es decir, ( ) ( ), ) ) P a = f a P ( a) = f ( a), P ( a) = ( a), P ( a) = ( a),, P ( a) = f ( a). EJEMPLO. Vamos a calcular los diferetes poliomios de Taylor de la fució coseo f ( ): = cos, cetrados e a = 0. Las sucesivas derivadas de la fució coseo so f( ) = cos, f ( ) = se, ( ) = cos, ( ) = se, ) ) f ( ) = ( ) cos, f ( ) = ( ) se. Como cos 0 = y se 0 = 0, teemos que ) f (0) = ( ) y f ) (0) = 0. Puesto que los poliomios de órdees y + so idéticos, es decir, 4 6 P ( ) = P( ) = ( ).! 4! 6! ( )! A cotiuació dibujamos alguos de estos poliomios y cómo aproima la fució coseo. f ) (0) = 0

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. Ahora respoderemos a la siguiete preguta: Cómo de buea es la aproimació de ua fució f ( ) por el poliomio de Taylor P ( ) e u itervalo dado? La respuesta a esta cuestió está e el teorema de Taylor que euciamos a cotiuació. TEOREMA (TAYLOR). Supogamos que la fució f : [ a, b] f( ) tiee derivadas f, ) ) f,, f que so cotiuas e [ ab, ] y que f es derivable e ( ab, ). Etoces eiste c ( a, b) tal que ) ) ( a) f ( a) f ( c) f( b) = f( a) + f ( a)( b a) + ( b a) + + ( b a) + ( b a).!! ( )! OBSERVACIÓN. El teorema de Taylor es ua geeralizació del teorema del valor medio de Lagrage. Cuado aplicamos el teorema de Taylor usualmete dejamos fijo el puto a y tratamos b como variable. La fórmula de Taylor es más fácil de escribir e esta situació si cambiamos la variable b por la variable que usamos ormalmete. Co este cambio de otació el teorema de Taylor afirma que si la fució f tiee suficietes derivadas e u itervalo I que cotiee al puto a e su iterior y I, etoces eiste c I( a, ) tal que ) ( a) f ( a) f ( ) = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a) + R ( ),!! ) f () c dode R ( ): = ( a). Es importate recalcar que el puto c que aparece e la epresió de R ( ) depede del puto. Es decir, para cada I, eiste c I( a, ) que verifica la ( + )! igualdad aterior, que se le llama fórmula de Taylor de la fució f de orde alrededor de a. La epresió R ( ) se le llama resto de Taylor de orde. EJEMPLO. Vamos a calcular e co u error meor que a = 0 ) de la fució epoecial c e, (0, ) e = c I!! 4!! ( )! De la fórmula de Taylor (cetrada e c e obteemos, para =, que e= R (), co R () = y c ( 0, ).!! 4!! ( + )! c e Etoces teemos que e = R () = <.!! 4!! ( )! ( )! Supoemos c que osotros coocemos que e <, co lo cual e < porque c <. Ahora es fácil comprobar que 6 < 0. Etoces, basta tomar = 9 e la fórmula aterior para obteer 0! Co u error meor que e = =.788!! 4! 5! 6! 7! 8! 9!

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. EJEMPLO. Para la fució seo f ( ): = se, teemos que las sucesivas derivadas so f( ) = se, f ( ) = cos, ( ) = se, ( ) = cos, ) ) f ( ) = ( ) se, f ( ) = ( ) cos. Como cos 0 = y se 0 = 0 teemos que ) f (0) = 0 y ) f (0) = ( ). Puesto que los poliomios de órdees + y + so idéticos, es decir, 5 7 P ( ) = P ( ) = ( ).! 5! 7! ( + )! A cotiuació dibujamos alguos de estos poliomios y cómo aproima la fució seo. f ) (0) = 0 Etoces, la fórmula de Taylor para la fució seo es 5 7 cos c se = ( ) ( ), c I(0, ).! 5! 7! ( )! ( )! cos c 5 E particular teemos que se = +, co c I(0, ). El error que se comete al aproimar se por está acotado por se = puesto que cos c! 5! 5 cos c 5!! 5! 5! para cualquier valor de c. Etoces, el error será meor que lo que sigifica que 5 4 < si se verifica que 5 5! < 4 0, OBSERVACIÓN. E las codicioes del teorema de Taylor, para ua fució f que tiee suficietes derivadas e u itervalo I que cotiee al puto a e su iterior y I, sabemos que eiste 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. ) ( a) f ( a) c I( a, ) tal que f ( ) = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a) + R ( ), dode!! ) f () c R ( ): = ( a). Como ates, si escribimos ( + )! ) ( a) f ( a) P ( ): = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a),!! ) f () c teemos la igualdad f ( ) = P( ) + R( ), dode R ( ): = ( a). Nos pregutamos ahora qué ocurre e la igualdad f ( ) = P( ) + R( ), cuado a, es decir, cuado está próimo ( + )! al valor a (y dejamos fijo el grado del poliomio). O bie, cuado, es decir, cuado aumetamos el grado del poliomio de Taylor, pero dejamos fijo el valor de. Observa que, de la ) ) R ( ) f () c cotiuidad de la derivada f se verifica que lim = lim ( a) = 0. Etoces a ( a) a ( )! f( ) P( ) R( ) lim = lim = 0. a ( a) a ( a) Es decir, cuado a, la diferecia etre el poliomio de Taylor P ( ) y f ( ) coverge a cero más rápidamete que la potecia ( a) tiede a 0. Esto sigifica que P ( ) está muy próimo a f ( ) cuado está cerca de a. Si eiste ua costate positiva M tal que Taylor está acotado por f ) ( z) M para todo z [ a ] ) f () c a ( ) = ( ). R a M ( )! ( )! a lim = 0, ( + )!,, etoces el resto de Se puede probar que idepedietemete del valor a. Co estas hipótesis de acotació para las derivadas de la fució f se verifica que lim P ( ) = f( ), esto es, k = 0 ) ( a) f ( a) f ( ) = lim f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a)!! ) ( a) f ( a) : = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a) +!! k ) f ( a) k : = ( a ). k! 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. k ) f ( a) E este caso decimos que la serie de potecias ( ) k a, que se llama serie de Taylor de k = 0 k! la fució f alrededor del puto a, es covergete a la fució o que la fució f coicide co la suma de su serie de Taylor. EJEMPLO. Eiste fucioes para las que su serie de Taylor o coverge a la fució. Por ejemplo, cosideremos la fució de Cauchy f( ): = e, 0, 0, = 0 Es posible comprobar que f cetrada e a = 0 es f ) (0) = 0, para todo = 0,,... Esto sigifica que su serie de Taylor de ) (0) f (0) f(0) + f (0) = = 0.!! Esta serie coverge para todo, (su suma vale siempre 0) pero coverge a f ( ) sólo para = 0. EJERCICIO. Calcula los poliomios de Taylor de orde, y alrededor del puto a para las siguietes fucioes f.. f( ) = log( + ), a= 0.. f( ) =, a= 0.. f( ) =, a=. + π 4. f( ) = se, a=. 5. f( ) = +, a= f( ) =, a= 4. 4 EJERCICIO. Calcula los poliomios de Taylor de grado 4 de las fucioes que se idica a cotiuació alrededor del puto dado. () f( ) = alrededor de a = 0. () f( ) = alrededor de a =. + () f ( ) = log alrededor de a =. (4) f ( ) = + 5 alrededor de a =. EJERCICIO. Para qué valores de se puede remplazar se por 50 4? co u error meor que 6 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. EJERCICIO 4. El poliomio de Taylor de orde de ua fució f ( ) dos veces derivable e = a se llama aproimació cuadrática de f e el puto a. Para las siguietes fucioes calcula la liealizació (el poliomio de Taylor de orde ) y la aproimació cuadrática e el puto a = 0. se. f ( ) = log(cos ).. f( ) = e.. f( ) =. 4. f ( ) = cosh. 5. f ( ) = se. 6. f ( ) = ta. EJERCICIO 5. Si remplazamos cos por y < 0.5, qué estimació se puede dar del error? EJERCICIO 6. Cuado 0 0.0, demuestra que e se puede remplazar por + co u error 0.0 meor que el 0.6 % de. Usa que e =.0. EJERCICIO 7. Para qué valores de > 0 se puede remplazar log( + ) por co u error meor que el % de? EJERCICIO 8. Usa u desarrollo de Taylor de la fució log( + ) para calcular log(.) co u error meor que ε = 0.0. e t EJERCICIO 9. Cosidera la fució f ( ) = dt, defiida para > 0. t a) Halla los poliomios de Taylor de grados y de f alrededor de a =. b) Aproima el valor de f (.) usado el poliomio de Taylor aterior de grado y estima el error cometido. 8

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