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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA UNAN-MANAGUA FAREM - CARAZO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Laboratorio #1 GRAFICA DE REGIONES CONVEXAS Y SOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL Profesor: MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés. Fecha: Agosto 2010 Objetivos del laboratorio: Determinar regiones convexas acotadas y no acotadas, haciendo uso de herramientas de software que permitan visualizar los vértices de las regiones convexas. Obtener los puntos críticos de las regiones convexas obtenidas, resolviendo los sistemas de ecuaciones con el apoyo del software. Hacer uso de los siete pasos para la solución de un problema de programación lineal (PPL) y resolver los problemas de programación lineal por métodos gráficos. Obtener la solución óptima de un problema de programación lineal (PPL) por el método gráfico., haciendo uso de la herramienta de software WINQSB. Resolver problemas de programación lineal con más de dos restricciones a través del Método Gráfico. Introducción Si su Derive no está configurado para unir los puntos con líneas, configúrelo antes, de la siguiente manera. Haga clic en el menú de opciones 1. Dentro del menú de opciones haga clic en el submenú pantalla 2. En la ventana emergente Mostrar opciones, haga clic en la ceja Puntos 3. En el botón de opciones de conectar haga clic en Si I. Gráfica los siguientes puntos y únalos. a. (0,2), (0,0), (2,0),(2,2), (0,2) Para graficar usar Derive en modo gráfica 2D. Ingrese los datos de la forma siguiente [[0,2],[0,0],[2,0],[2,2],[0,2]] Luego haga clic en el icono de representación gráfica. II. Gráfica las siguientes regiones x 2,y 2,x 0,y 0. Para graficar use Derive en modo gráfico 2D Ingrese los datos de la forma siguiente x 2 y 2 x 0 y 0. Observe la región que se obtuvo. Podrá observar que los gráficos obtenidos en (I) y (II) son los siguientes.

2 Ahora usted podrá resolver de manera independiente lo que se le pide, esto es encontrar los vértices de la región convexa formada por la intersección de las inecuaciones indicadas. III. 2x+y 22, x + y 13, 2x+5y 50, x 0, y 0 Graficar la región convexa y muestre los vértices con sus valores. Hacerlo paso a paso. 1. Primero ingrese 2x+y 22 (asegúrese de cambiar el mínimo y máximo de los rangos) Visualice la región que se generó. 2. Ahora x + y 13, verá que la región ha cambiado con respecto a vista en (1) 3. Como puede ver las regiones se interceptan gráficamente se puede ver el punto donde lo hacen, pero se puede calcular algebraicamente usando, el sistema de ecuaciones, para lo cual nos vamos a la ventana Algebra. 4. Hacemos clic en el menú Resolver, donde elegimos sistema haciendo clic en dicha opción, mostrándose una ventana emergente, que nos pedirá cuantas ecuaciones tiene el sistema y de digitaremos 2. A continuación se nos mostrará otra ventana donde ingresaremos las ecuaciones a resolver. 2x+y=22 x + y =13 5. Una vez ingresada las ecuaciones cuyas variables son x e y. presionamos el botón de resolver y nos mostrará los resultados x=9, y=4. 6. Para que solo se muestre la región acotada con las dos inecuaciones graficas en 1 y 2. para lo cual procedemos a ingresarlas de la siguiente manera: 2x + y 22 x + y Graficamos la tercer inecuación 2x+5y 50. Puede verse que al introducir esta nueva inecuación se produce un acotamiento en la parte superior, al cortar la región formada en el paso 6, que tiene como frontera superior a x+y=13. Para conocer donde es el punto de intersección resolvemos el sistema de ecuaciones. 2x+5y=50 x + y =13 8. Una vez ingresada las ecuaciones cuyas variables son x e y. presionamos el botón de resolver y nos mostrará los resultados x=5, y=8.

3 9. Solo nos queda graficar las inecuaciones x 0 y y 0. Las que podemos hacer en este momento. 2 x + y 22 x + y 13 2 x + 5 y 50 x 0 y La gráfica que se mostrará es la siguiente. (0,10) (5,8) (9,4) (0,0) (11,0) IV. Haga de forma similar como en el caso III y encuentre las regiones con sus vértices en los cuatro problemas planteados a continuación. a) 5x+y 20 X+y 12 X+3y 18 x 0 y 0 b) 2x+y 8 X+3y 12 x 0 y 0

4 c) 3x+y 21 X+y 9 X+3y 21 x 0 y 0 d) X+2y 10 3x+y 15 x 0 y 0

5 Parte II: Resuelva los siguientes problemas por el método grafico. Problema 1: La compañía INTEL produce dos dispositivos para computadoras, (producto 1 y producto 2) y requiere partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 2 y cada unidad del producto 2 da una ganancia de $3.00 a) formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método grafico para resolver este modelo. c) Cuál es la ganancia total que resulta? Unidades de Material para cada Materiales dispositivo Producto 1 Producto 2 Total de unidades disponibles de cada material Ganancias por unidad 1. Variables de decisión 2. Función Objetivo 3. Restricciones 4. Formule el modelo matemático del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan. Forma estándar del modelo:

6 5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible. 6. Soluciones factibles. Valores permitidos x, x 1 2 de la región factible Función Objetivo Soluciones factibles (SBF) 7. Solución(es) óptima(s): Problema 2: Una fábrica produce y vende dos productos. Dicha compañía obtiene U$12 de ganancia por cada unidad que vende del producto 1, y de U$4 por cada unidad de su producto 2. Los requerimientos en términos de horas de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores de estos departamentos han estimado que tendrán las siguientes disponibilidades de horas de trabajo durante el próximo mes: 800 horas en el departamento A, 600 horas en el departamento B y 2000 horas en el departamento C. Suponiendo que la compañía esté interesada en maximizar las ganancias, desarrolle el modelo de programación lineal correspondiente

7 Producto 1 Producto 2 Horas disponibles Departamento A 1 1 Departamento B 2 1 Departamento C 3 2 Utilidades netas U$12 U$4 1. Variables de decisión 2. Función Objetivo 3. Restricciones 4. Formule el modelo matemático del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.

8 Forma estándar del modelo: 5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible.

9 6. Soluciones factibles. Valores permitidos x, x 1 2 de la región factible Función Objetivo Soluciones factibles (SBF) 7. Soluciones óptimas: Problema 3: Un laboratorio de Cómputos, almacena, al menos 300 Computadoras de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de computadoras almacenadas no debe exceder de Determine las cantidades posibles de estos dos tipos de computadoras que pueden almacenarse. Restricciones Tipo de Computadoras Computadora 1 Computadora 2 Total Computadoras Tipos de Computadoras 1. Variables de decisión 2. Función Objetivo 3. Restricciones

10 4. Formule el modelo matemático del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan. Forma estándar del modelo: 5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible. 6. Soluciones factibles. Valores permitidos x, x 1 2 de la región factible Función Objetivo Soluciones factibles (SBF) 7. Soluciones óptimas:

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