INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

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1 INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad +l>+5, es ua iecuació por que tiee ua icógita "" que se verifica para valores mayores que 4. INTERVALOS; Los itervalos so sub-cojutos de los úmeros reales que sirve para epresar la solució de las iecuacioes, estos itervalos se represeta gráficamete e la recta umérica real. CLASES; 1. INTERVALOS ACOTADOS; Se deomia así al itervalo cuyos etremos so úmeros reales (fiitos) y a su vez será: Itervalo abierto: Es u itervalo acotado e el cual o se cosidera a los etremos. - a b + a,b> ó ab Itervalo cerrado: Es u itervalo acotado e el cual se cosidera a los etremos fiitos. - a b + [a,b] ó a b / a<b Itervalo semi abierto: a) Por la izquierda: - a b + a<b ó <a;b]

2 b) - a<b ó [a;b>. INTERVALOS NO ACOTADOS; Es aquel dode por lo meos u etremo del itervalo es ifiito (es el ideal +, -). Ejemplo: - a + <-;a] ó a - < > ó >a TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS INECUACIONES Teorema 1: a>b y mr am>bm Teorema : a>b y m>0 am > bm y a/m > b/m Teorema : a>b y m<0 am < bm y a/m < b/m Teorema 4: a>b y m impar R + a m > b m y m a > m b Teorema 7: b>0 a >b a> b ó a< - b b0 a b a b ó a - b Teorema 8: b>0 a <b - b <a< b b0 a b - b a b Teorema 5: a>b y m0 par R + a m > b m y m a > m b a ;b R + Teorema 6: a>0 a -1 >0 a<b a -1 >b -1 a<o a -1 <O a y b tiee el mismo sigo Teorema 9: b>1 b > b y > y Teorema 1O: 0<b< 1 b < b y > y

3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEAL Las iecuacioes de primer grado e ua icógita, so de la forma: a+b>0 ó a+b<0 a+b0 o a+b (a y b so coeficietes, a 0) Resuelva cada iecuació y trace la gráfica de cada solució: > < > < < < (4 + ) + < < ( 8) 5(4 ) < < Resuelva: -<5+m< r y y > ( 4) ( ) (-) < ( 4) + 4 < ( + 5) < INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las iecuacioes de segudo grado e ua icógita so de la forma: a +b+c>0 ó a +b+c<0 (a,b,c, so coeficietes, a 0) a,b,c, R 1. MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS: Ejemplo: a) Resolver las ecuacioes --6>0 b) Resolver la iecuació: -9+18<0

4 c) Resolver la iecuació: --00 d) Resolver: MÉTODO DE LA DISCRIMINANTE: Para determiar los valores que satisface ua iecuació de segudo grado se halla previamete los ceros de la fució y=a +b+c resolviedo la ecuació a +b+c=0, luego coociedo la aturaleza de las raíces de esta ecuació se preseta tres casos segú el discrimiate sea: b -4ac = discrimiate = b -4ac>0 = b -4ac=0 = b -4ac<0 PRIMER CASO: = b -4ac>0 La ecuació a +b+c=0 tiee raíces reales y diferetes, 1 <, Etoces la iecuació de la forma a +b+c>0 (a>0) se verifica para todo e los itervalos <-, 1 > v <,+ ) Pero si la ecuació es de la forma: a +b+c<0 (a>0) se verificará para todo: < 1, > 1. Resolver: --1 >0. Resolver: --4<0 SEGUNDO CASO: = b -4ac=0 Si la ecuació es de la forma a +b+c>0 (a>o), se verificará para todo diferete de 1 C.S.= R-{X 1 } Pero si la iecuació es de la forma: a +b+c<0 a>0 o se verificará para igú valor real "" > <0 9 TERCER CASO: =b -4ac<0 a +b+c>0, a>0, se verificará para todo valor real de "" La iecuació: a +b+c<0; a>0 No se verificará para igú valor real de "". Ejemplo:

5 1. 6 ll + 9 > 0. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA RESOLVER INECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR Formula geeral: a 0 +a 1-1 +a a 0 PRIMER CASO: Cuado P()= (a 1 )(a )...(a ) >0,0, <0, 0 Procedimieto: 1) Se halla todos los valores críticos (raíces) de cada factor (a). ) Se coloca etre estos valores críticos los sigos (+) y (-) alteradamete de derecha a izquierda, es decir, comezado de la derecha del mayor valor crítico y siempre co el sigo (+) ) Ello idicará que la epresió origial del problema será: >0 (positiva) e todos los itervalos abiertos dode el sigo (+) aparezca. <0 (egativa) e todos los itervalos abiertos dode aparezca el sigo (-) 4) Si la ecuació correspode a: 0 ó 0, etoces los itervalos abiertos determiados e el paso aterior ( ) se cierra, pero solamete para aquellos valores críticos que o haga cero al deomiador. 1. Resolver: P()= > 0. Resolver: P()= < 0. Resolver: < 0 4. Resolver: Resolver: > 0 6. Resolver: < 0 SEGUNDO CASO: Para factores que se repite: (a) (+a) ó (a) m a) Si m es par: Los sigos de los itervalos de variació dode figure a o so alterados. 1. Resolver: Resolver (-4) 6 (-)(+)>0. Resolver: (-) (-l)0 4. Resolver: (-1) (+)(+4) > 0 b) Si m es impar: Los sigos de los itervalos de variació dode figure a si so alterados. Ejemplo: 1. Resolver: <0. Resolver: (+1)(-) (-5) < 0

6 INECUACIONES FRACCIONARIAS Forma geeral: P( ) 0 Q( ) Dóde: P() y Q() so moomios o poliomios o ulos co coeficietes reales. PRIMER CASO: Forma geeral: a b c d Resolver: >0. Resolver: 4 1 <0. Resolver: SEGUNDO CASO: Forma geeral: a a' b c b' c' 0 1. Resolver: 1 >0. Resolver: < TERCER CASO: Si la iecuació fraccioaria P( ) Q( ) 0 es de grado iferior (mayor que ) tato P() como Q(). E este caso hay aplicacioes directas del caso. 1. Resolver: >0. Resolver: <0

7 Resolver las siguietes iecuacioes: > > > < < - < 4 8. (+)(-5) 0 9. (-4)(+) (-)(-1) ( -4)(+) k ( p ) (5 p 1) ( z 4) (z ) > y < p. 1 p (+5)(-) 0 6. (5y-1)(y+4) > 0 7. r + 4r > - 8. z + 6z < p 11p p 5p 0. (+6)(+1)(-4) 0. ( + 5)( 1) 0 4. (+4)( -) < y 6. 0 y 4 r 7. 0 r 1 z z a 9. 1 a k p k k p 1 p ( 7)

8 ( 1)( )( ) 51. ( 5)( 7) 4 5. (4 ) ( ) (4 5) > < (-1) (+)(+4) > 0

9 INECUACIONES IRRACIONALES Las iecuacioes irracioales e ua icógita so de la forma: F(, P ( ), P ( ),..., P ( )) 0 ó F(, P ( ), P ( ),..., P ( )) 0 Dode P (), P (),.., P () so moomios o poliomios diferetes de cero. Para que la solució de la iecuació sea válida debe resolverse ates la codició P i () 0, i =,,., e las epresioes co ua radical par, cuyo cojuto solució costituirá el uiverso o detro del cual se resuelve la iecuació dada. Debe observarse que P (), quiere decir, (+ P () ) y si desea la raíz egativa se escribirá epresamete como (- P () ) y si se desea la raíz egativa se escribirá epresamete como (- P () i) P() 0, P() 0 ii) P () = 0 P() = 0 ); es decir: Para resolver las iecuacioes radicales se debe teer e cueta las siguietes propiedades: 1. 0 y 0 y. 0 < < y 0 < < y. 0 < y 0 < y 4. i) Si es u etero positivo par. a) P() 0 P( ) 0 P() 0 b) P( ) 0 P() = 0 c) P ( ) Q( ) 0 P() Q() ii) Si es etero positivo impar. a) P( ) 0 P() 0 b) P( ) 0 P() < 0 c) P ( ) Q( ) P() 0 REGLA Ahora veremos como resolver diversas formas de la iecuació co radicales aplicado criterios de acuerdo a cada tipo de iecuació irracioal. TEOREMAS 1: Sí es u úmero positivo par, etoces: y 0 y y 0 y

10 TEOREMAS : Sí es u úmero positivo impar, etoces: y y ; y y 0 0 ; 0 0 TEOREMAS : Sea a y b úmeros reales, etoces: a b a 0 b 0 a b b a b a 0 0 a b TEOREMAS 4: Sea a y b úmeros reales,etoces a b a 0 b 0 b 0 a b b a b a 0 0 b 0 a b Halla el cojuto solució de las siguietes radicales:

11 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: Se llama valor absoluto de u úmero real al úmero o egativo deotado por y defiido por:, si 0 0, si 0, si 0 Ejemplo: 7 =7, -7=-(-7)=7, =-( -) = - PROPIEDAD BASICAS PARA RESOLVER ECUACIONES E INECUACIONES DONDE INTERVIENE VALOR ABSOLUTO Teorema 1: Sea, a Є R,etoces: 1) a a 0 y a a ) a Corolario: 1) a a 0 ) a aó a y a a aó a Teorema : dados a y b Є R : 1) a b a b a b 0 a b a b 0 ) a b Corolario 1) a b a b a b 0 a b a b 0 ) a b

12 Resuelve los siguietes ejercicios aplicado los teoremas del valor absoluto: APLICACIONES DE LAS INECUACIONES 1. UTILIDAD. Para ua compañía que fabrica termostatos, el costo combiado de mao de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de u periodo dado si importar la producció) so de $60,000. Si el precio de veta de u termostato es de $7, cuátos debe vederse para que la compañía obtega utilidades?. U costructor debe decidir si reta o compra ua máquia ecavadora. Si reta la máquia el pago mesual sería de $600 (co base e u año), y el costo diario (gas, aceite y coductor) sería de $60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo aual sería de $4000, y los costos por operació y mateimieto sería de $80 por cada día que la máquia sea utilizada. Cuál es el úmero míimo de días al año que tedría que usarse la máquia para justificar la reta e lugar de la compra?. Ua compañía de publicidad determia que el costo por publicar cada ejemplar de ua cierta revista es de $1.50. El igreso recibido de los distribuidores es de $1.40 por revista. El igreso por publicidad es el 10 % del igreso recibido de los distribuidores

13 por todos los ejemplares vedidos por arriba de 10,000. Cuál es el úmero míimo de revistas que debe ser vedidas de modo que la compañía obtega utilidades? 4. Ua empresa tiee costos de producció de $600 por uidad de producto. Los costos fijos so de ; si el precio de veta es $8000 por uidad de producto, determiar el úmero míimo de uidades que debe vederse para que la empresa registre utilidades. 5. E el problema aterior si el úmero de uidades es q=1000 y se requiere utilidades de $80000 e este ivel de producció, Cuál debe ser el precio míimo de veta? 6. El costo de producció de u uevo libro de teto es de $9000 por uidad. Si los costos fijos so de $ y el precio de veta es de $15000 por uidad, determiar el míimo úmero de uidades que debe vederse para obteer utilidades. 7. E el problema aterior, para el mismo ivel de producció, determiar el precio de veta para obteer utilidades míimas de MP Compay produce chaquetas, co u costo total de mao de obra de 1. N dólares, dode N deota el úmero de artículos producidos. El costo total de materiales es 0. N. Si hay costos fijos de US $6000 para la plata de producció. Cuátas chaquetas debe veder MP Compay para obteer utilidades, si el precio de veta por chaqueta es US$? 9. Ua empresa tiee costos fijos de producció de $ para cierto producto. El costo uitario de producció es $7000. Si el precio estimado de veta es de $16000, cuátas uidades debe vederse para teer utilidades míimas de $ ? 10. UTILIDADES. La compañía Davis fabrica u producto que tiee u precio uitario de veta de $0 y u costo uitario de $15. Si los costos fijos so de $600,000, determie el umero míimo de uidades que debe ser vedidas para que la compañía tega utilidades. 11. RENTA vs COMPRA. Ua mujer de egocios quiere determiar diferecia etre los costos de comprar y retar u automóvil. Ella puede retar u automóvil por $400 mesuales (co ua base aual). Bajo este pla el costo por milla (gasolia y aceite) es de $0.10. Si comprase el carro, el gasto fijo aual sería de $000 más $0.18 por milla. Cuál es el meor úmero de millas que deberá coducir por año para que la reta o sea más cara que la compra?. 1. PUBLICIDAD. El costo uitario de publicació de ua revista es de $0.65. Se vede al distribuidor e $0.60 cada ua, y la catidad que se recibe por publicidad es el 10% de la recibida por todas las revistas vedidas arriba de las 10,000. Ecuetre el meor úmero de revistas que puede ser publicadas si pérdida, esto es, que la utilidad 0 (supoga que toda la emisió será vedida).

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