Máximos y mínimos. Mínimo global Máximo global máximo relativo mínimo relativo

Transcripción

1 Máximos y mínimos. Anteriormente estudiamos métodos para obtener los extremos de funciones de una variable. Extenderemos esas técnicas a funciones de dos variables. Sea una función de dos variables, definida por ( ) continua en una región cerrada R (recordar que es región cerrada en ), entonces existen puntos y en R tal que ( ) ( ) ( ),. es llamado Mínimo global para es llamado Máximo global para en en Los valores ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) están en para todo ( )de se llaman el máximo y mínimo de en la región Si f está una función de y, entonces tiene un máximo relativo en ( ) si ( ) ( ) para toda ( ) en una pequeña cercanía de ( ). tiene un mínimo relativo en ( ) si ( ) ( ) para toda ( ) en una pequeña cercanía de ( ). 1

2 Ejemplo: La función que se ilustra en la figura siguiente tiene un mínimo relativo a ( ) un máximo relativo a ( ), y puntos de silla a ( ) y ( ) Los puntos donde se pueden producir los puntos extremos se llaman Puntos críticos Puntos críticos Un punto ( ) en el dominio de ( ) para el que ( ) y ( ) se dice que es un punto crítico de. Ejemplo 2

3 Aunque todos los extremos relativos de una función deben hallarse en los puntos críticos, no todo punto crítico de una función es necesariamente un extremo relativo Por ejemplo La función ( ) tiene un punto crítico en ( ) pues obteniendo las derivadas ( ) y ( ) Debemos obtener el punto ( ) para el cual ( ) y ( ) ( ) Y ( ) por lo que el punto ( ) es punto crítico, pero no es punto extremo, es decir, no es máximo ni mínimo local (relativo). En la gráfica se observa que f toma valores positivos para todos los puntos del eje Y y toma valores negativos para todos los puntos del eje X con excepción del ( ) La superficie se llama Paraboloide Hiperbólico y su forma es la de una silla de montar, por lo que aquel punto crítico que no es máximo ni mínimo se dice que es punto de silla. Criterio para clasificar los puntos críticos Si ( ) está una función de dos variables y ( ) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, entonces Se define ( ) ( ) [ ( )] tiene un mínimo relativo en ( ) si ( ) tiene un mínimo relativo en ( ) si ( ) 0 Si, tiene un punto de silla en ( ( )) Si, el criterio no es concluyente por lo que necesitamos analizar la gráfica para buscar más información. 3

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5 Nota: En el ejemplo 2 se ha supuesto que la planta de fabricación es capaz de producir el número de unidades requerido para lograr un beneficio máximo. En la práctica, la producción viene limitada por ciertas restricciones. Los problemas de optimización con restricciones (ligaduras) la analizaremos a continuación. Ejemplo 3: El único almacén de comestibles en una pequeña comunidad rural vende dos marcas de jugo de naranja helado: Una marca local que obtiene a un costo de 30 centavos por lata y una marca nacional muy conocida que obtiene a un costo de 40 centavos por lata. El dueño del almacén calcula que si la marca local se vende a centavos por lata y la marca nacional a centavos por lata, se venderán cada día aproximadamente latas de marca local y latas de la marca nacional. Qué precio debería fijar el vendedor a cada marca para maximizar las utilidades obtenidas de la venta del jugo? Solución: Como Utilidad = utilidad de la venta marca local + utilidad de la venta marca nacional Se concluye que la utilidad diaria total de la venta del jugo está dada por la función ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Calculando las derivadas parciales y Obtenemos los puntos críticos, resolviendo y 5

6 y y deducimos que el único punto crítico de es ( ) Analizamos usando criterio ( ) ( ) ( )( ) Como ( ) y ( ) se concluye que tiene un máximo ( relativo ) cuando Es decir, el vendedor puede maximizar las utilidades vendiendo la marca local de jugo a 53 centavos por lata y la marca nacional a 55 centavos por lata. Muchos problemas de optimización tienen restricciones o ligaduras en los valores que pueden usarse para llegar a la solución óptima. Tales ligaduras tienden a complicar los problemas de optimización ya que la solución óptima puede ocurrir fácilmente en un punto frontera del dominio Máximos y mínimos restringidos Un problema restringido de optimización tiene la forma Maximiza (o minimiza) f(x, y,... ) sujeta a restricciones. Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primeramente despejando una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera. Un método rápido para solucionarlos es el método de los Multiplicadores de Lagrange Multiplicadores de Lagrange Para localizar los candidatos a extremos relativos de una función ( ) sujeta a la restricción ( ), se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener y.. ( ) El incógnita λ se llama un multiplicador de Lagrange. Los extremos relativos deseados se encontrarán entre los puntos ( ) resultantes Ejemplo: Una aplicación a la economía La función de producción de Cobb Douglas para un cierto fabricante viene dada por 6

7 ( ) donde denota las unidades de trabajo (a $ 150 la unidad) e las unidades de capital (a $ 250 la unidad). Hallar el máximo nivel de producción admisible para este fabricante, si el costo conjunto de trabajo y capital limitado a $ Solución: La función a maximizar es ( ) llamada función objetivo El límite impuesto sobre el costo conjunto de trabajo y capital se refleja Formamos la función ligadura ( ) Derivamos parcialmente las funciones objetivos y restricción ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Las ecuaciones de Lagrange correspondiente son 1), ( ) ( ) 2), ( ) ( ) 3) ligadura De 1) despejamos Y la reemplazamos en 2) simplificando obtenemos Por tanto,, que sustituido en la tercera ecuación 3) da ( ) 7

8 Luego en, unidades de capital, unidades de trabajo En consecuencia, la máxima producción es ( ) ( ) ( ) unidades Gráficamente se tiene 8

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