11. Optimización no lineal con restricciones

Transcripción

1 . Optzacó o leal co restrccoes. Optzacó o leal co restrccoes Prcpos y teoreas para la búsqueda de óptos lobales Modelos co restrccoes de ualdad Codcoes de uh-tucker Alortos uércos báscos Prcpos y teoreas para la búsqueda de óptos lobales. Teorea de Weerstrass (codcó sufcete de solucó) Sea el problea eeral de proraacó ateátca: optzar F() defda e D R sueto a S s XD S es copacto (cerrado y acotado) y o vacío y la fucó obetvo es cotua etoces dcha fucó posee u áo y u ío lobal e X. Teorea local-lobal S F es cotua y X coveo etoces: S F es cócava e X etoces todo áo local es lobal S F es covea e X etoces todo ío local es lobal Adeás s F es estrcta el ópto es úco Care Mª García ópez

2 . Optzacó o leal co restrccoes Modelos co restrccoes de ualdad Optzar f(... ) sueto a (... )b... (<) Puede utlzarse dos téccas: Susttucó: se despea varables e las restrccoes y se susttuye e la fucó obetvo. Este étodo puede dar luar a errores s se cosdera putos e los que la fucó obetvo o las restrccoes o está defdas Método de arae: se costruye ua fucó s restrccoes de odo que los óptos de la fucó oral se ecuetra e los putos crítcos de la fucó de arae Multplcadores de arae. araao: cluye ua ueva varable (ultplcador laraao) por cada restrccó : ( ) f ( ) ( ( ) b ) Codcó ecesara de optzacó: ecotrar los putos crítcos del laraao ( ) f b 0 0 Care Mª García ópez

3 . Optzacó o leal co restrccoes Care Mª García ópez 3 Multplcadores de arae. Teorea (Cod. Necesara) S el rao del acobao de las restrccoes e es (cod. de reulardad) y es u ópto local del problea etoces este u tal que ( ) es puto crítco de la fucó de arae. Teorea (Cod. Sufcete) Sea ( ) u puto crítco de la fucó de arae. Etoces S F es cócava e X y X es u couto coveo etoces es áo lobal del problea oral S F es covea e X y X es u couto coveo etoces es ío lobal del problea oral Codcó sufcete de optzacó Costruos la atrz y las atrces que resulta de qutarle a esa atrz las últas p flas y coluas p Para cada puto crítco obteeos las atrces A 0 A...A -- : S el so del deterate de A p cocde co (-) para todo p el puto crítco es u ío local estrcto del problea S el so del deterate de A p cocde co (-) -p para todo p el puto crítco es u áo local estrcto del problea ( ) J Hess M M M M H J J T 0

4 . Optzacó o leal co restrccoes Búsqueda de íos S la fucó o es cócava covea los putos óptos puede estar e el teror o e el cotoro de la reó factble. S la fucó es cócava los íos sólo puede alcazarse e el cotoro de la reó factble s ésta es covea y copacta. S la fucó es covea el ío puede estar e u puto teror o e el cotoro. Se puede utlzar el suete procedeto auque s aratías de alcazar la solucó ópta: Deterar el ío local s restrccoes: s satsface las restrccoes éste es el ío lobal E otro caso cosderaos ua restrccó y resolveos el problea co el étodo de susttucó o de arae. S el ío calculado de esta fora satsface las restrccoes: ópto lobal s o se añade ua ueva restrccó y se repte el proceso Codcoes de uh-tucker. Mazar f(... ) S.A. (... ) b (... ) b... (... ) b Sólo so aplcables s las fucoes satsface la codcó de reulardad: Restrccoes lealete depedetes: cotuas y los radetes e la solucó ópta fora u sstea de vectores lealete depedete Care Mª García ópez 4

5 . Optzacó o leal co restrccoes Codcoes de uh-tucker. Para u problea de azacó s (... ) es ua solucó ópta etoces debe satsfacer las restccoes del problea y adeás debe estr los ultplcadores... tales que ( ) ( ) f [ b ( )] Codcoes de uh-tucker. Para u problea de zacó s (... ) es ua solucó ópta etoces debe satsfacer las restccoes del problea y adeás debe estr los ultplcadores... tales que ( ) ( ) f + [ b ( )] Care Mª García ópez 5

6 . Optzacó o leal co restrccoes Care Mª García ópez 6 Codcoes de uh-tucker. Mazar f(... ) S.A. (... ) b S (... ) es ua solucó ópta del problea ateror etoces debe satsfacer las restrccoes del problea y adeás debe estr los ultplcadores... µ µ. µ tales que ( ) [ ] f b f µ µ Codcoes de uh-tucker. Mzar f(... ) S.A. (... ) b S (... ) es ua solucó ópta del problea ateror etoces debe satsfacer las restrccoes del problea y adeás debe estr los ultplcadores... µ µ. µ tales que ( ) [ ] f b f µ µ

7 . Optzacó o leal co restrccoes Codcoes sufcetes S f es ua fucó cócava y so fucoes coveas los putos que satsface las codcoes de uh-tucker so solucoes óptas del problea de azacó. S f es ua fucó covea y so fucoes coveas los putos que satsface las codcoes de uh-tucker so solucoes óptas del problea de zacó. Alortos uércos báscos. Métodos de pealzacó y barrera Fucoes de pealzacó: fuerza la covereca haca la reó factble (alorto de puto eteror) Fucoes de barrera: fuerza a peraecer detro de la reó factble (alorto de puto teror) Care Mª García ópez 7

8 . Optzacó o leal co restrccoes Método de pealzacó Para aproar la solucó de u problea de optzacó o leal del tpo: Optzar f(... ) sueto a (... )b... se cosdera la solucó del problea s restrccoes Optzar f()+p(p) dode P ( p ) p( ( ) b ) co p>0 s el problea es zar y p<0 s el problea es azar Al obteer el valor ópto de la fucó de pealzacó se cuplrá que s p tede a fto etoces () tede a b. Alorto de pealzacó Para el problea de zacó { } Eler ua secueca p por eeplo k... Para cada p k ecotrar u ío local k de f()+p(p k ) Terar cuado P(p k k )/ p k sea sufceteete pequeño Care Mª García ópez 8

9 . Optzacó o leal co restrccoes Método de las dreccoes factbles. Para resolver azar zf() S.A. A b 0: Eler 0 solucó factble. Sea d 0 solucó de azar z f( 0 ) d S.A. Ad b d 0 Eler 0 +t 0 (d 0-0 ) sedo t 0 la solucó de azar f( 0 +t 0 (d 0-0 )) 0 t 0 Cotuar eerado putos 3... hasta que k y k- esté sufceteete próos. Care Mª García ópez 9