XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO"

Transcripción

1 XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos del plno F ' y F (llmdos focos), es siempre un cntidd constnte. Esto es PF' PF = NOTACIONES L hipérol const de dos rms diferentes y de longitud infinit, en donde: AA'=, eje focl o eje trnsverso (o eje rel). FF'= c, distnci focl. BB'=, eje conjugdo (o eje imginrio). El punto medio de FF ' es el centro C de l hipérol. CA ' = CA = ; CB ' = CB = ; CF ' = CF = c. Pr que hy hipérol es necesrio que c >. L cuerd que ps por un foco y es perpendiculr l eje focl se llm ldo recto ( LR ) o ncho focl. Ls digonles del rectángulo prolongds se llmn síntots de l hipérol. L relción entre, y c, por el teorem de Pitágors es c = +. Si =, l hipérol se llm EQUILÁTERA. c L relción e = es l excentricidd de l hipérol. 63

2 11.. CONSTRUCCIÓN DE UNA HIPÉRBOLA CON REGLA Y COMPÁS Pr construir un hipérol con regl y compás, suponemos conocidos los focos F, F', l cntidd constnte y el procedimiento es como sigue: ) Se otiene el punto medio de F, F' que es el centro C de l hipérol. ) Por el centro C se trz l perpendiculr F, F' (que es el eje conjugdo). c) A prtir del centro C, se señln los vértices A, A' que están l distnci de C o se que CA ' = CA =. d) Se construye el rectángulo de los ejes trnsverso y conjugdo y se trzn ls digonles que son ls síntots de l hipérol. e) Se mrcn puntos culesquier l derech de F y l izquierd de F ', por ejemplo los simétricos P 1, P1 ', P, P ', P3, P3 ', P, P ', P5, P5 ', f) Con centro en los focos y rdios A ' P, AP 1 1, se otienen ls intersecciones 1 que son puntos de l hipérol y que 1 F' 1F = AA' =, repitiendo esto con los rdios A ' P, AP, A' P3, AP3, A' P, AP, A' P5, AP5, se otienen ls intersecciones,3,, 5, que uniéndolos con trzo continuo, se otiene l curv. 6

3 11.3. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS Consideremos un hipérol con y c conocidos, uicd en un sistem de coordends crtesins rectngulres, cuyo centro coincide con el origen de coordends C ( 0,0), sus focos están sore el eje x cuys coordends son F' ( c,0) y F ( c,0) y se P ( x, y) un punto culquier de l hipérol (que puede estr sore l rm izquierd o sore l derech sin que esto ltere l definición de hipérol) uicdo sore l rm derech como se muestr en l figur y que de cuerdo con l definición este punto P estrá situdo en l hipérol dd si y solo si PF' PF =, expresándol nlíticmente: si PF ' = ( x + c) + y ; PF = ( x c) + y ( x + c) + y ( x c) + y = Aislndo el primer rdicl en el primer miemro, elevndo l cudrdo, hciendo operciones y reduciendo términos semejntes se tiene: ( x + c) + y = + ( x c) + y ( x + c) + y = + ( x c) + y + ( x c) + y ( x c) + y + x cx + c x + cx + c + y = + + y ( x c) cx = + y ( x c) y cx = + elevndo l cudrdo y reduciendo términos semejntes: [ y ] ( ) = ( x c) cx + c x cx + = x cx + c + y c x x y = c fctorizndo: ( c ) x y = ( c ) De l sección 11.1, l relción entre =, despejndo c +, y c por el teorem de Pitágors es = c y sustituyendo en l expresión nterior, se tiene: x y = dividiendo entre x y x y ; = 1 : = L expresión es l FORMA ORDINARIA de l ecución de l hipérol con centro en el origen y eje focl sore el eje x. 65

4 Con ls misms condiciones nteriores, pero con el eje focl coincidiendo con el eje y, procediendo nlíticmente en l mism form se y x otiene l ecución = 1 que es l FORMA ORDINARIA de l ecución de l hipérol con centro en el origen y eje focl sore el eje y. L ecuciones y contienen sólo potencis pres en ls vriles x y y, l hipérol que determinn cd un de ells es SIMÉTRICA respecto cd uno de los ejes coordendos y l origen, por lo que l osquejr su gráfic es suficiente considerr solmente l prte que está situd en el primer cudrnte y provechndo su simetrí se puede completr el osquejo de su gráfic. Not: Si en ls ecuciones y, los semiejes y son igules ( = ), ls hipérols resultntes se llmn EQUILATERAS, y que el rectángulo principl de l hipérol equiláter es un cudrdo y por lo tnto sus síntots son perpendiculres entre sí. x o ien y y = 1 x y = o ien x = 1 y x = 66

5 x y Dos hipérols en un mismo sistem de coordends con ecuciones = 1 y x = 1 se llmn hipérols CONJUGADAS entre si. y y = ± c = ± = ± ; es pr R c Los ELEMENTOS de l hipérol referidos l sistem de coordends x, y son: Si l hipérol es horizontl: x y = 1; C ( 0,0) ; A (,0) ; B ( 0,); F ( c,0), pr determinr ls coordends de L, despejmos y de l ecución : y = ± x, hciendo x = c se tiene y = es pr L c, ; y =,. Por simetrí de l hipérol se tiene: A' (,0) ; B' ( 0, ) ; F' ( c,0) L ' c, ; R c, ; Ecución de ls síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl (trnsverso): y = 0 (eje x ). c Excentricidd: e = 67

6 y x Si l hipérol es verticl: = 1 A ( 0,) B (,0) ; F ( 0,c) ; L, c A 0, ',0 F' 0, c ; ; C ( 0,0) ; Por simetrí: '( ); B ( ); ( ) L ', c R, c ; R ', c Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl: x = 0 (eje y ). Ecución del eje conjugdo: y = 0 (eje x ). c Excentricidd: e = L EXCENTRICIDAD de l hipérol es un crcterístic de l form de su rectángulo principl y por consiguiente de l form de l mism hipérol, quedndo determind por l relción de l distnci entre los focos de l hipérol FF ' l c distnci entre sus vértices A' A, quedndo indicd por e =, como en l hipérol c >, se tiene que est relción siempre es myor que uno o se que e > 1, cunto más cercno es uno est vlor, será más lrgdo su rectángulo principl en dirección de su eje focl, en el cso de l hipérol equiláter, est relción es e =. 68 EJEMPLOS En cd inciso del 1 l 3 se d l ecución de un hipérol, se pide otener sus elementos y osquejr su gráfic. 1) x y = x y L ecución dd es de l form = 1 (hipérol horizontl). Pr que el osquejo de l hipérol se hg rápidmente, se recomiend construir primero el rectángulo principl, en seguid, trzr ls síntots (ls digonles), luego los elementos del primer cudrnte, pr después, provechndo l simetrí de l hipérol completr su osquejo. De l ecución dd: = 16 ; = ; = 9 ; = 3, como c = + ; c = = 5; c = 5; 9 9 =, por lo tnto, sus elementos son: C ( 0,0) ; A (,0) ; B ( 0,3) ; F ( 5,0) ; L 5,

7 Por simetrí: A '(,0) ; B '( 0, 3) ; '( 5,0) F ; L ' 5, ; R 5, ; R ' 5, 3 3 Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl (trnsverso): y = 0 (eje x ). Ecución del eje conjugdo: x = 0 (eje y ). 5 Excentricidd: e = ) y x = y x L ecución dd es de l form = 1 (hipérol verticl), = 16 ; = ; = 9 ; = 3, como 9 c = + ; c = = 5; c = 5; =, por lo tnto, 0, 3,0 F 0,5 ; sus elementos son: ( 0,0) C ; A ( ); B ( ); ( ) 9 L,5 Por simetrí: A '( 0, ) ; B '( 3,0) ; F '( 0, 5) ; 9 L ',5 ; 9 9 R, 5 ; R ', 5 Ecución síntots: y x 3 y = 3 x. Ecución del eje focl : x = 0 (eje y ). Ecución del eje conjugdo: y = 0 (eje x ). 5 Excentricidd: e = 69

8 3) x y = L ecución dd es de l form: x y = 1 (horizontl) como = = o se = = 5 se trt de un hipérol equiláter c = + = = 50 ; c = 5 5 = = 5 5 y los elementos son: C ( 0,0) 5,0 0,5 5,0 L 5,5 A ( ); B ( ); F ( ); ( ) A ; B '( 0, 5) ; '( 5,0) L '( 5,5) ; R ( 5, 5) ; R '( 5, 5) Por simetrí: '( 5,0) F ; Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl (trnsverso): y = 0 (eje x ). Ecución del eje conjugdo: x = 0 (eje y ). Excentricidd: e = ) Otener l ecución de l hipérol con centro en el origen, LR = 3, semieje trnsverso = 6 y eje focl sore el eje y. De cuerdo con l informción dd, l ecución de l hipérol es de l form: y x = 1 (verticl), si = 6 y LR = = 3; = 3 6 = 9 ; = 3 ; c = + ; c = = 5 ; c = 3 5 ecución y x = , los elementos son: C ( 0,0 ) ; ( 0,6) 3 F ( 0,3 5) ; L,3 5. Por simetrí: '( 0, 6) F '( 0, 3 5) ; L ', 3 5 ; R,3 5 ; R ', 3 5 Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl : x = 0 (eje y ). Ecución del eje conjugdo: y = 0 (eje x ). 3 5 Excentricidd: e = 6 = 5 A ; B ( 3,0) A ; B '( 3,0) 70

9 5) Otener l hipérol conjugd de y x = Ls hipérols conjugds comprten los mismos ejes, de tl modo que el eje focl de un es el conjugdo de l otr y el conjugdo de l primer es el focl de l otr. L ecución de l hipérol conjugd es: x y = (horizontl), donde = 9 ; = 3; = 36 ; = 6 ; c = + ; c = = 5 ; 36 c = 3 5 ; = = 1 3 0,6 3 5,0. Elementos: C ( 0,0) ; A ( 3,0) ; B ( ); F ( ); L ( 3 5,1) A ; B '( 0, 6) ; '( 3 5,0) L '( 3 5,1) ; R ( 3 5, 1) ; R '( 3 5, 1) Por simetrí: '( 3,0) F ; Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl: y = 0 (eje x ). Ecución del eje conjugdo: x = 0 (eje y ). 3 5 Excentricidd: e = = 5 3 EJERCICIOS En cd uno de los incisos del 1 l 3, se d l ecución de un hipérol, oteng sus elementos y osqueje su gráfic. 1) y x = 1 9 ) x y = ) y x = ) Otener l ecución de l hipérol con centro en el origen, = 6, e = y el eje focl 3 sore el eje y. 5) Otener l ecución de l hipérol conjugd de y x = 1, sus elementos y 36 8 osquejr su gráfic. 71

10 11.. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO A ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS x y y x En form nálog l elipse, ls ecuciones = 1 y = 1 nos muestrn l siguiente PROPIEDAD ESENCIAL de l hipérol, que sirve pr otener su ecución en culquier posición. En est sección nos limitremos únicmente hipérols horizontles y verticles con centro fuer del origen. PROPIEDAD ESENCIAL: En ls ecuciones y, el primero y segundo términos significn: ( L dis tn ci de un punto culquier " P" de l hipérol l eje conjugdo) ( Mgnitud del semieje trnsverso) ( L dis tn ci de un punto culquier " P" de l hipérol l eje trnsverso) ( Mgnitud del semieje conjugdo) Apliquemos est propiedd pr otener l ecución de l hipérol con centro fuer del origen y ejes prlelos los ejes coordendos: ) Si el centro tiene coordends ( h k) C, y el eje focl es prlelo l eje x como se muestr en l figur, l plicr l propiedd esencil se tiene: ) Si el centro tiene coordends ( h k) ( PQ) ( PR) ( i) = 1 donde PQ = x h ; PR = y k sustituyendo en ( i ): ( x h) ( y k) = 1 Est es l ecución de l hipérol en form ordinri con centro C ( h, k) y eje focl prlelo l eje x (hipérol horizontl). C, y el eje focl es prlelo l eje y como se muestr en l figur, plicndo l propiedd esencil se tiene: 7

11 ( PQ) ( PR) ( ii) = 1 donde PQ = y k ; PR = x h sustituyendo en ( ii ): ( y k) ( x h) = 1 es l ecución de l hipérol en form ordinri con centro C ( h, k) y eje focl (trnsverso) prlelo l eje y (hipérol verticl). Si ls coordends del centro fuern C ( 0,0), ls ecuciones y se reducirán ls ecuciones y : ( x 0) ( y 0) ( y 0) ( x 0) = 1 = 1 x y = 1 y x = 1 EJEMPLOS x y ) L ecución de un hipérol es ( ) ( ) 1 osquejr su gráfic. =, otener sus elementos y L ecución dd es de l form: ( x h) ( y k) = 1 (hipérol horizontl), l cul nos proporcion los siguientes dtos: ls C h, k =,3 ; = 9 ; = 3; coordends del centro ( ) ( ) = 16 ; = ; y como c = + ; c = = 5 c = 5. Con estos dtos y podemos clculr los elementos de l hipérol pr osquejr su gráfic en form nálog ls hipérols de l form y. A prtir del centro C (,3), se construye el rectángulo principl y se trzn sus digonles (síntots) luego se uicn sus elementos prtir del centro y en form nálog como en ls ecuciones de l form y. C ( h, k) = (,3) ; A ( h +, k ) = ( 5,3) ; B ( h, k + ) = (,7) ; ( h + c, k ) = ( 7,3) 5 F ; L h + c, k + = 7,. 3 73

12 Por simetrí: A '( h, k) = ( 1,3) ; B '( h, k ) = (, 1) ; F '( h c, k) = ( 3,3) L ' h c, k + = 3, ; R = 3 h + c, k 7, ; R ' = 3 h c, k 3,. 3 Ecución de ls síntots: son rects que psn por el punto C (,3) y que tienen pendiente 1 17 m = ± = ± o se: y 3 = ± ( x ) ; y = x + y y = x Ecución del eje focl (o trnsverso): y = 3 (rect horizontl). Ecución del eje conjugdo: x = (rect verticl). c 5 Excentricidd: e = = 3 ) Otener l ecución y el osquejo de l gráfic de l hipérol con centro ( 1, 3) vértices A ( 1, 1), B (,3). De cuerdo con l informción dd, l ecución de est hipérol es de l form: ( y k) ( x h) = 1 (hipérol verticl), en donde CA = ; = ; CB = ; = 3 y 9 c = + = + 9; c = 13 ; = ; l ecución es: ( ) ( ) y + 3 x 1 = 1. 9 h, k = 1, 3 A h, k + = 1, 1 Elementos: C ( ) ( ); ( ) ( ) ( h +, k) = (, 3) F h, k + c = 1, B ; ( ) ( ) 11 L h +, k + c =, ' h, k = 1, 5 Por simetrí: A ( ) ( ); '( h, k) = (, 3) B ; '( h, k c) = ( 1, 3 13) 11 7 L ' h +, k c =, 3 13 ; R = + h, k + c, 3 13 ; 7 R ' h, k c =, Ecución síntots: y + 3 = ± ( x 1) ; y = x y y = x Ecución eje focl: x = 1 (rect verticl). Ecución eje conjugdo: y = 3 (rect horizontl). c 13 Excentricidd: e = = F ; C y 7

13 3) Otener l ecución de l hipérol con extremos del eje trnsverso A '(,3), (,3) foco ( 1+ 3,3) F y osquejr su gráfic. Elementos: C ( 1,3) ; A (,3) ; ( 1,6 ) Por simetrí: A '(,3) ; '( 1,6 ) ' 1 Ecución síntots: 3 = ± 1( x 1) A, De cuerdo con l informción dd, l ecución de l ( x h) ( y k) hipérol es de l form = 1 (hipérol horizontl). El centro de l hipérol es el punto x A' + x A y A' + y A medio del segmento A' A: C, = ( 1,3) CA = = 1 = 3; CF = c = ; c = 3 9 si c = + ; = c = 18 9 = 9 ; = 3 ; = = 3 3 como = ; 3 = 3. L hipérol es equiláter y su ecución x 1 y ,3 L 1+ 3,6. es: ( ) ( ) = 1 B ; F ( ); ( ) B ; F ( 3,3) ; L '( 1 3,6) ; R ( 1+ 3,0) ; R '( 1 3,0) y ; y = x + ; y = x + Ecución eje trnsverso: y = 3. Ecución eje conjugdo: x = 1. Excentricidd: e = ) Otener l ecución de l hipérol con centro C ( 5,), foco F ( 5,7) osquejr su gráfic., excentricidd 5 e = y 3 De cuerdo con los dtos del prolem, l ecución de ( y k) ( x h) l hipérol es de l form = 1 (hipérol verticl). El segmento CF = c = 7 ; c = 5 c 5 Si e = = ; = 3; = c = 5 9 = 16 ; = 3 16 =. Ecución: ( ) ( ) y x 5 = Elementos: C ( 5,) ; A ( 5,5) ; B ( 9,) ; F ( 5,7) ; L,7. 3 ' 5, 1 ' 1, F ' 5, 3 Por simetrí: A ( ); B ( ); ( ) L ', ; R, 7 ; R ',

14 3 Ecución síntots: y = ± ( x 5) ; Ecución eje trnsverso: x = 5. Ecución eje conjugdo: y =. 5 Excentricidd: e = y = x ; y = x + 5) Otener l ecución de l hipérol que stisfg ls condiciones indicds en l siguiente gráfic, y sus elementos. L ecución de l hipérol es de l form A simple vist podemos decir que C ( 6,) ; ( 10,) ( x h) ( y k) 6,6 = y como c = + = 16 + = 0 ; c = 5 ; = , 6 + 5,5, A ; B ( ); A '( ); '( 6,) = 1 (hipérol horizontl). B, por lo tnto = ; x 6 y 16 5, L ' 6 5,5 ; ; ecución: ( ) ( ) = 1 Los elementos restntes son: F ( ); L ( ); F '( 6 ); ( ) R ( 6 + 5,3) ; R '( 6 5,3) Ecución síntots: y = ± ( x 6) ; y = x + 1 ; y = x + 7 Ecución eje trnsverso: y =. Ecución eje conjugdo: x = Excentricidd: e = = 76

15 EJERCICIOS 1) Oteng los elementos de l hipérol ( y 3 ) ( x + 3 ) = 1 y osque su gráfic. 9 9 ) Otener l ecución, los elementos y el osquejo de l gráfic de l hipérol con vértices A ( 8, ), A '(, ) y LR = 3. 3) Un hipérol tiene centro C ( 5,0), foco F ( 9,0), excentricidd e =, oteng su ecución, sus elementos y osqueje su gráfic. B 6,, su centro ) Un extremo del eje conjugdo de un hipérol tiene coordends ( ) 1 C ( 3,) y L,9, oteng l ecución, sus elementos y osqueje su gráfic. 5) Oteng l ecución y los elementos de l hipérol que stisfg ls condiciones indicds en l siguiente gráfic FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS En form nálog l elipse, si en ls ecuciones ( y k) ( x h) ( x h) ( y k) = 1 multiplicmos por, desrrollmos los cudrdos, trsponemos y ordenmos términos, otenemos l ecución en FORMA GENERAL de l hipérol Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 cuyos ejes son prlelos los ejes coordendos, donde los coeficientes A y C son de signo contrrio, los coeficientes de primer grdo D y E indicn que el centro de l hipérol está fuer del origen, si D = 0 el centro está sore el eje y, si E = 0 estrá sore el eje x, el término independiente F indic que l hipérol no ps por el origen y si F = 0 entonces si ps por el origen. = 1 y 77

16 Recíprocmente, cundo l ecución de un hipérol es dd en form generl, puede otenerse su form ordinri medinte el método de completr cudrdos y sí conocer sus elementos pr osquejr su gráfic. EJEMPLOS En cd inciso se d l ecución de un hipérol en form generl, otener su form ordinri, sus elementos y osquejr su gráfic. 1) 16x 9y + 6x + 5y 161 = 0 Se orden l ecución dd como sigue: 16x + 6x 9y + 5y = 161 fctorizndo y completndo cudrdos: 16 x + x 9 y 6y = 16 ( ) ( ) 161 [ x + x + ( ) ] 9 y 6y + ( 3) ( x + ) 9( y 3) = 1 16 dividiendo entre 1 : [ ] = ( x + ) 9( y 3) = 1 1 ( x + ) ( y 3) = 1; ( x + ) ( y 3 ) = 1 Form ordinri = 9 ; = 3; 16 = 16 ; = ; c = + = = 5 ; c = 5; = 3 5 F ; L 3, 3 Por simetrí: A '( 5,3) ; B '(, 1) ; F '( 7,3) ; L ' 7, 3 ; R 3, ; R ' 7, Ecución síntots: y 3 = ± ( x + ) ; y = x + ; y = x Ecución eje trnsverso: y = 3. Ecución eje conjugdo: x =. 5 Excentricidd: e = 3 Elementos: C (,3) ; A ( 1,3) ; B (,7) ; ( 3,3) 78

17 ) y x + 1x 50 = 0 Oservr que en l ecución dd no prece el término de primer grdo en y, o se que el coeficiente E = 0, por lo tnto el centro de l hipérol estrá sore el eje x. Dividiendo l ecución dd entre se tiene: y x + 6x 5 = 0 fctorizndo y completndo cudrdos: y x 6x + 3 = 5 y ( ()) 9 ( 3) 16 y ( 3) x = dividiendo entre 16: x = 1 form ordinri, se trt de un hipérol equiláter verticl, en donde = = 16 ; = = ; c = + = 3 ; c = ; = Elementos: C ( 3,0) ; A ( 3,) ; B ( 7,0) ; F ( 3, ) ; L ( 7, ) Por simetrí: A '( 3, ) ; B '( 1,0 ); F '( 3, ) ; '( 7, ) Ecución síntots: y = ±1( x 3) ; y = x 3; y = x + 3 Ecución eje trnsverso: x = 3. Ecución eje conjugdo: y = 0 (eje x ). Excentricidd: e = 3) 3x 1y 8y 60 = 0 L ; R ( 1, ) ; R '( 1, ) Como no hy término en x, el coeficiente D = 0, l hipérol tendrá su centro sore el eje y. Dividiendo l ecución dd entre 3 se otiene: x y 16y 0 = 0 fctorizndo y completndo cudrdos: x y + y = x x ( ) 0 ( y + y + ( ) ) = 0 16 ( y + ) = Dividiendo entre : x y ( + ) 1 x ( + ) y = = 1 Form ordinri, es l ecución de un hipérol horizontl, donde: 79

18 Ecución síntots: + = ± ( x 0) = ; = ; = 1; = 1; 1 c = + = + 1; c = 5 ; = 0,, B 0, 1 ; Elementos: C ( ); A ( ); ( ) ( 5, ) F ; L 3 5, ', Por simetrí: A ( ); '( 0, 3) ( 5, ) B ; 3 5 F ' ; L ' 5, ; R 5, ; 5 R ' 5, y ; y = x ; y = x Ecución eje trnsverso: y =. Ecución eje conjugdo: x = 0 (eje y ). Excentricidd: e = 5 ) y x + 8x + 16y = 0 L ecución dd crece de término independiente ( F = 0 ), por lo tnto se trt de un hipérol que ps por el origen. Dividiendo l ecución dd entre se otiene: y x + x + 8y = 0, ordenndo, fctorizndo y completndo cudrdos: y + 8y x + x = 0 ( y + y + ( ) ) x x + ( ) ( y + ) ( x ) = ( ) = 8 y + x = Dividiendo entre : ( ) ( ) ( y + ) ( x ) = 1 Form ordinri, es l ecución de un hipérol verticl, donde: = ; = ; = ; = ; c = + = + = 6 ; c = 6 ; =,, +,, + 6 L +, + 6 Elementos: ( ) A ; ( ) C ; ( ) B ; F ( ); ( ) 80

19 Por simetrí: '(, ) R '(, 6) A ; '( 0, ) B ; F '(, 6) ; L '( +, 6) ; (, + 6) Ecución síntots: y + = ± ( x ) ; y = x ; y = x + Ecución eje trnsverso: x = Ecución eje conjugdo: y = Excentricidd: e = 3 R ; 5) 16x y 6 = 0 L ecución dd crece de términos de primer grdo o se que D = E = 0, por lo tnto se trt de un hipérol con centro en el origen. Ordenndo términos y dividiendo entre 6: x 6 16 y 6 = 6 6 Ecución síntots: y = x ; y = x Ecución eje trnsverso: y = 0 (eje x ). Ecución eje conjugdo: x = 0 (eje y ). Excentricidd: e = 5 x y = 1 16 Form ordinri, es l ecución de un hipérol horizontl, donde: = ; = ; = 16 ; = ; c = + = 0; c = 5 ; = 8,0 B 0, ; Elementos: ( 0,0) F ( 5,0) ; L ( 5,8) C ; A ( ); ( ) Por simetrí: A '(,0) ; '( 0, ) B ; F '( 5,0) ; L '( 5,8) ; ( 5, 8) R '( 5, 8) R ; 81

20 EJERCICIOS En cd inciso se d l ecución de un hipérol en form generl, oteng su form ordinri, sus elementos y osqueje su gráfic. 1) 9y 16x 6x 5y 17 = 0 ) 3x 3y x + 1 = 0 3) y x + 16y + 1 = 0 ) x y 8x + 8y = 0 5) y x = 0 8

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES 4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo SISTEMA DE COORDENADAS Demostrr que los puntos A ( 0,) B (,5) ; C ( 7,) D (, ) son los vértices de un cudrdo. Solución AB 9 6 5 5 BC 6 9 5 5 AD 9 6 5 5 CD

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen LA ELIPSE CONTENIDO. Ecución de l elipse horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Ldo recto 3. Ecentricidd de l elipse 4. Ecución de l elipse verticl con centro en el origen 4. Ejercicios

Más detalles

MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad:

MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad: MATEMÁTICA Unidd Geometrí nlític Objetivos de l unidd: Aplicrás correctmente l geometrí nlític: prábol, elipse e hipérbol l encontrr soluciones diverss problemátics del entorno. 55 Figurs cónics ests son

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICA. Geometría Analítica

APUNTES DE MATEMÁTICA. Geometría Analítica . Plno Crtesino Rects.... Producto Crtesino... 3 3. Distnci... 3 4. Gráfics de línes rects... 4 5. Ecución de l rect... 6 6. Prlelismo perpendiculridd... 8 7. Sistems de ecuciones lineles... 9 8. Distnci

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Definición El siste de coordends crtesins en el plno está constituido por dos rects perpendiculres que se intersecn en un punto O l que se le ll el origen. Un de ls rects

Más detalles

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS u r s o : Mtemátic Mteril N 13 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: GOMTRÍ POLÍGONOS URILÁTROS POLÍGONOS FINIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Ejercicios de optimización

Ejercicios de optimización Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y

Más detalles

Secciones cónicas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola.

Secciones cónicas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola. Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Secciones cónics Ls secciones cónics son curvs que pueden otenerse como l intersección de un cono circulr con un plno que no conteng l vértice

Más detalles

Vectores en R 2 y R 3

Vectores en R 2 y R 3 Vectores en R R 3 Vectores en R R 3 Mgnitudes esclres vectoriles H mgnitudes que quedn determinds dndo un solo número rel. Por ejemplo: l longitud de un regl, l ms de un cuerpo o el tiempo trnscurrido

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

Geometría Analítica. Lección II. Cónicas en coordenadas cartesianas. Prof. Miguel Ángel De Carlo

Geometría Analítica. Lección II. Cónicas en coordenadas cartesianas. Prof. Miguel Ángel De Carlo Geometrí Anlític Prof. Miguel Ángel De Crlo Lección II Cónics en coordends crtesins M.A. De Crlo Índice 1.- Ls Cónics... 3. Circunferenci... 3.1. Ecución de l circunferenci.... 3.. Cálculo de los elementos

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 0 - Prof. Cecili Glimerti MATEMÁTICA AÑO B GUÍA N - NÚMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos Conjuntos Numéricos: - Los n nturles: (, 8,.8),

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Ecuaciones de Segundo Grado II

Ecuaciones de Segundo Grado II Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe

Más detalles

Funciones & Cónicas. José Alfredo Martínez Valdés

Funciones & Cónicas. José Alfredo Martínez Valdés Funciones & Cónics José Alfredo Mrtínez Vldés Funciones & Cónics José Alfredo Mrtínez Vldés TABLA DE CONTENIDO Pág. Función:... 7 Dominio y rngo de un función... 7 Iguldd de funciones... 8 Funciones pres

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGIN 13 EJERCICIOS Operciones con ángulos y tiempos 1 Efectú ls siguientes operciones: ) 7 31' 15" 43 4' 57" b) 163 15' 43" 96 37' 51" c) (37 4' 19") 4 d) (143 11' 56") : 11 ) 7 31' 15" 43 4' 57"

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

α = arctag ; como lo que hay que maximizar es α ya tenemos la función a

α = arctag ; como lo que hay que maximizar es α ya tenemos la función a Prolems resueltos de máimos mínimos J.M. mos González Un oservdor se encuentr frente un cudro colgdo de un pred verticl. El orde inferior del cudro está situdo un distnci sore el nivel de los ojos del

Más detalles

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1 M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9

Más detalles

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos

Más detalles

UNIDAD. Vectores y rectas

UNIDAD. Vectores y rectas UNIDAD 6 Vectores y rects L os ectores fcilitn el estudio de los elementos del plno y los prolems que se pueden estlecer entre ellos En su origen, el concepto de ector prece en Físic pr crcterizr cierts

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de

Más detalles

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c) Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics

Más detalles

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619 1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del

Más detalles

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 1 1. Intervlos Ddos dos números reles y,

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

Laboratorio de Física Universitaria 2: Lentes de vidrio delgadas mayo 2006 Enrique Sánchez y Aguilera. Rodolfo Estrada Guerrero.

Laboratorio de Física Universitaria 2: Lentes de vidrio delgadas mayo 2006 Enrique Sánchez y Aguilera. Rodolfo Estrada Guerrero. Enrique Sánchez y Aguiler. Rodolo Estrd Guerrero. LENTES DE VIDRIO DELGADAS: DISTANCIA FOCAL Y RADIOS DE CURVATURA OBJETIVO GENERAL: Entender el concepto de distnci ocl. Entender los conceptos de convergenci

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo

Más detalles

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 PRODUCTOS NOTABLES. BINOMIO CUADRADO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES El cudrdo de l sum de dos cntiddes puede representrse geométricmente cundo los vlores son positivos.

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

10.- Teoremas de Adición.

10.- Teoremas de Adición. Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc

Más detalles

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que:

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que: Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento

Más detalles

Laboratorio de Física Universitaria 2: Lentes de aire delgadas junio 2006 Enrique Sánchez y Aguilera. Rodolfo Estrada Guerrero.

Laboratorio de Física Universitaria 2: Lentes de aire delgadas junio 2006 Enrique Sánchez y Aguilera. Rodolfo Estrada Guerrero. Lortorio de Físic Universitri : Lentes de ire delgds junio 006 LENTES DE AIRE DELGADAS: DISTANCIA FOCAL Y RADIOS DE CURVATURA OBJETIVO GENERAL: Entender el concepto de distnci ocl. Entender los conceptos

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 81 págin 8 Si se divide un curt prte de un pstel l mitd se otiene un octv prte del mismo, lo que escrito en simologí mtemátic es Lo nterior es lo mismo que 1 1 4

Más detalles

r = 1 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESPLAZAMIENTO Y VECTORES

r = 1 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESPLAZAMIENTO Y VECTORES 1 Introducción l Físic Prlelos 10 13. Profesor RodrigoVergr R DPLAZAMIT Y VCTR 1) Repso de trigonometrí Definir plicr ls 3 funciones trigonométrics ásics en triángulos rectángulos. Definir ls funciones

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

VECTORES PLANO Y ESPACIO

VECTORES PLANO Y ESPACIO TETO º 3 ECTOES PLAO ESPACIO Conceptos Básicos Ejercicios esueltos Ejercicios Propuestos Edict Arrigd D. ictor Perlt A Diciemre 008 Sede Mipú, Sntigo de Chile Introducción Este mteril h sido construido

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

CENTRO DE FORMACIÓN PROFESIONAL. REVILLAGIGEDO Jesuitas - Gijón JOSÉ MANUEL FERNÁNDEZ GARCÍA

CENTRO DE FORMACIÓN PROFESIONAL. REVILLAGIGEDO Jesuitas - Gijón JOSÉ MANUEL FERNÁNDEZ GARCÍA CENTRO DE FORACIÓN PROFESIONAL REVILLAGIGEDO Jesuits - Gijón PRONTUARIO DE ATEÁTICAS PARA ELECTRÓNICOS Y ELÉCTRICOS JOSÉ ANUEL FERNÁNDEZ GARCÍA CÁLCULO NUÉRICO. Redondeo. Dependiendo de ls mgnitudes con

Más detalles

Problema 5.154. w A. 24 kn 30 kn. 0.3 m. 1.8 m

Problema 5.154. w A. 24 kn 30 kn. 0.3 m. 1.8 m Problem 5.54 A w A 4 kn 0 kn.8 m 0. m w L vig A soport dos crgs concentrds y descns sobre el suelo el cul ejerce un crg linelmente distribuid hci rrib como se muestr. Determine ) l distnci pr l cul w A

Más detalles

PROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS

PROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS POBLEMAS DE ODADUA EJEMPLOS SELECCONADOS UNDAMENTOS ÍSCOS DE LA NGENEÍA Antonio J. Brbero / Alfonso Cler Belmonte / Mrino Hernández Puche Dpt. ísic Aplicd. ETS ng. Agrónomos (Albcete) EJEMPLO Considere

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

Taller de Matemáticas I

Taller de Matemáticas I Tller de Mtemátics I Semn y Tller de Mtemátics I Universidd CNCI de México Tller de Mtemátics I Semn y Temrio. Los números positivos.. Representción de números positivos... Frcciones... Decimles... Porcentjes..4.

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42

TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42 TEMAS DE MATEMÁTIAS (OPOSIIONES DE SEUNDARIA) TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. Introducción. 2. Homotecis en el plno. 2.1. Propieddes de l homoteci en el plno. 2.2. Producto de homotecis. 2.2.1.

Más detalles

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz

Más detalles

1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: (5 ) = = = 5, por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4 = ;

1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: (5 ) = = = 5, por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4 = ; RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS BÁSICOS DEFINICIÓN DE LOGARITMO.- Obtener, sin clculdor, el vlor de en ls siguientes epresiones: ) (/) = 7/; 7/= / =(/) =(/) -, por tnto =- b) = ; ( ) = = =, por tnto =-/ y

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 06 EJERCICIOS Tipos de poliedros 1 Di, justificdmente, qué tipo de poliedro es cd uno de los siguientes: A B C D E Hy entre ellos lgún poliedro regulr? A Prism pentgonl recto. Su bse es un

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní.

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles