LLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES

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1 LLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES Pàgina REFLEXIONA I RESOL Còniques obertes: paràboles i hipèrboles Completa la taula següent, en què a és l angle que formen les generatrius amb l eix, e, de la cònica i b l angle del pla π smb e. b = 0 b > a b = a b < a π PASSA PEL VÈRTEX π NO PASSA PEL VÈRTEX punt circumferència recta b = 0 b > a b = a b < a π PASA POR EL VÉRTICE punto punto recta V dos rectas que se cortan en V π NO PASA POR EL VÉRTICE circunferencia elipse parábola hipérbola Pàgina. Troba les equacions dels llocs geomètrics següents: a) Mediatriu del segment d extrems A(, ), B(7, ). Comprova que és una recta perpendicular al segment en el punt mitjà. b) Circumferència de centre O(, ) i radi. Comprova que passa per l origen de coordenades. c) Bisectrius dels angles formats per les rectes: r : x + y + = 0 r : x y + 6 = 0 Comprova que les bisectrius són dues rectes perpendiculars que es tallen en el mateix punt que r i r.

2 a) Los puntos X (x, y) deben cumplir dist (X, A) = dist (X, B): (x + ) + (y + ) = (x 7) + (y ) Elevamos al cuadrado y desarrollamos: x + 0x + + y + 6y + = x x + + y y + 0x + x + 6y + y + 0 = 0 8 x + 8y 6 = 0 x + y = 0 8 y = x + El punto medio de AB es M(, ) que, efectivamente, está en la recta (pues verifica la ecuación). La pendiente de la recta es m r =, y la del segmento es: ( ) m AB = = = 7 ( ) Cumplen que m r m AB = ( ) ( ) = 8 AB r b) Los puntos X(x, y) son tales que: dist (X, O) = 8 (x + ) + (y ) = 8 x + 6x + + y 8y + 6 = 8 8 x + y + x 8y + = 8 x + y + x 8y = 0 c) Son los puntos X (x, y): x + y + dist (X, r ) = dist (X, r ) 8 = 6 x y + 6 Se dan dos casos: (x + y + ) = 6 (x y + 6) (x + y + ) = 6 (x y + 6) Son dos rectas: b : ( ) x + ( + ) y + 6 = 0 Sus pendientes son: m = b : ( + ) x + ( ) y = 0 m = m m = = = 8 b b 6 Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que está también en ambas bisectrices: r : x + y + = 0 8 y = x r : x y + 6 = 0 ( 6 ) + 6 ( + 6 ) x + 0x = 0 8 x = 8 x = x ( x ) + 6 = 0 8

3 UNITAT Luego: y = ( ) = 7 El punto de corte es (, 7), que se puede comprobar fácilmente que está en b y b sustituyendo en sus ecuaciones respectivas: b : ( ) ( ) + ( + ) = = = 0 b : ( + ) ( ) + ( ) = = = 0 Por tanto, b y b son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r y r. 6 6 Pàgina 7. Troba l equació de la circumferència de centre (, ) i radi. Comprova que passa pel punt (0, 0). (x + ) + (y ) = 6 8 x + y + 0x y = 0 Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).. Quin és el lloc geomètric dels punts del pla que té un quocient de distàncies als punts M (6, 0) i N (, 0) és (és a dir, PM/ PN = )? Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, entonces: PM (x 6) = 8 + y PN = (x + ) + y (x 6) + y = [(x + ) + y ] x x y = [x + x + + y ] x x y = x + 6x y 8x + 8y + 8x = 0 x + y + 6x = 0 Es la circunferencia de centro (, 0) y radio. Pàgina 8. Estudia la posició relativa de la circumferència C: x + y 6x y = 0 respecte de les rectes: s : x y 6 = 0 s : x 8y + 60 = 0 s : x y = 0 s : x = Troba n els punts de tall i de tangència, si n hi haguera.

4 C: x + y 6x y = 0 s : x y 6 = 0 ( y + 8 x = y x = y y y + y 8y y = y y +y 7y 68 6y 08 = y + 00y + 00 = 0 8 y +y + = 0 8 (y +) = y = (solución única) 6 x = ( ) + 8 x = 6 C y s son tangentes en el punto (6, ). C: x + y 6x y = 0 8 s : x 8y + 60 = 0 8 x = 8y 60 8 x = y 8 y + y 8 6 y y = 0 8 ( 6 ) ) ( ( + y 6 6 y + y = 0 8 ) ) 6 8 y + y + y y = y y + y y 00 = y 060y = 0 8 No tiene solución. s es exterior a la circunferencia C. C: x + y 6x y = 0 s : x y = 0 8 x = y + 8 x = y + y + + y ( 6 y + y = 0 8 ) ( ) 6 8 y y + y 8y y = y + + 8y +y 7y 8 6y 08 = y 00y = 0 8 y y y = 0 = 8 x = 7 y = 8 x = C y s son secantes en los puntos (7, ) y (, ). C: x + y 6x y = y 0 y = 0 8 y y 7 = 0 s : x = 6 ± 6 ( 7) ± 8 ± y = = = = ± C y s se cortan en los puntos (, + ) y (, ). y = + y =

5 UNITAT. Per a quins valors de b la recta y = x + b és tangent a la circumferència x + y =? La recta será tangente a la circunferencia si la distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual al radio de la circunferencia. C: x + y = 8 O = (0, 0), R = r: y = x + b 8 x y + b = b b dist (O, r) = = = 8 b = ± + ( ). Troba la posició relativa de C: x + y 6x + 8y = 0 respecte de les rectes: r : x + y = 0 r : x + y + 0 = 0 r : x y = 0 r : y = C: x + y 6x + 8y = 0 8 O = (, ), r = 0 dist (O, r ) = = 7,78 > 8 r es exterior a C. + + ( ) dist (O, r ) = = = < 8 r y C se cortan en dos puntos. 6 + ( ) dist (O, r ) = = = 8 r y C son tangentes dist (O, r ) = = = < 8 r y C se cortan en dos puntos. 0 + Pàgina. Troba la potència de P(, 8) en les circumferències: C : x + y x + 0 = 0 C : O(, ), r = 0 Digues si P és interior o exterior a C i a C. C : x + y x + 0 = 0 8 O = (7, 0), r = 0 = C : O (, ), r = 0 P (, 8) P (P a C ) = (7 + ) + (0 8) ( ) = = > P es exterior a C. P (P a C ) = ( + ) + ( 8) (0) = + 00 = 0 < P es interior a C.

6 . Troba l eix radical d aquestes circumferències: C : x + y x + y = 0 C : x + y 6y = 0 Comprova que és una recta perpendicular a la línia dels seus centres. Calculamos las potencias de un punto genérico P(x, y) a C y a C : P (P a C ) = x + y x + y = 0 P (P a C ) = x + y 6y = 0 Igualamos ambas expresiones: x + y x + y = x + y 6y 8 x +8y = 0 Ecuación del eje radical: x 8y + = 0 8 m = = 8 Centro de C 8 O = (, 6) Ä8 O O = (, ) 8 Centro de C 8 O = (0, ) 8 La pendiente de la recta que une O y O es m' =. Como m m' = ( ) ( ) =, el eje radical y la recta que une O y O son perpendiculares. Pàgina. Troba l equació de l el lipse de focus F (, 0), F (, 0) i la constant de la qual és 0. Una vegada posada l equació inicial, passa una arrel al segon membre, eleva al quadrat (a espai amb el doble producte!), simplifica, aïlla n l arrel, torna a elevar al quadrat i simplifica fins a arribar a l equació x + y =. Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, F ) + dist (P, F ) = 0 (x ) + y + (x + ) + y = 0 (x ) + y = 0 (x + ) + y Elevamos al cuadrado: (x ) + y = 00 + (x + ) + y 0 (x + ) + y Operamos: x 8x y = 00 + x + 8x y 0 (x + ) + y 0 (x + ) + y = 6x + 00 (x + ) + y = x + Elevamos al cuadrado: (x + 8x y ) = 6x + 00x + 6 Simplificamos: x + 00x y = 6x + 00x x + y = 6

7 UNITAT. Troba l equació de la hipèrbola de focus F (, 0), F (, 0) i la constant de la qual és 6. Simplifica com en l exercici anterior fins a arribar a l expressió 6x y =. Si P (x, y) es un punto de la hipérbola, entonces: dist (P, F ) dist (P, F ) = 6 dist (P, F ) dist (P, F ) = ±6 (x ) + y (x + ) + y = ±6 (x + ) + y = ±6 + (x + ) + y Elevamos al cuadrado: x 0x + + y = 6 + x + 0x + + y ± (x + ) + y ± (x + ) + y = 0x + 6 ± (x + ) + y = x + Elevamos al cuadrado: (x + 0x + + y ) = x + 0x + 8 x + 0x + + y = x + 0x + 8 6x y =. Troba l equació de la paràbola de focus F (, 0) i directriu r: x =. Simplifica fins a arribar a l expressió y = x. Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces: dist (P, F) = dist (P, r) (x + ) + y = x Elevamos al cuadrado: x + x + + y = x x + Simplificamos: y = x Pàgina. Una el lipse té els focus en els punts F (, 0) i F' (, 0) i la constant és k = 6. Troba n els elements característics i l equació reduïda. Representa-la. Semieje mayor: k = 6 8 a = 6 8 a = Semidistancia focal: FF' = 0 8 c = 0 8 c = Semieje menor: b = a c = 6 = = = 8 b = c Excentricidad: = 0,8 8 a F' F 8 exc 0,8 x y Ecuación reducida: + = 6 7

8 Pàgina. Representa i troba n l excentricitat: (x + ) (y ) + = 6 c = 6 = exc = 0,87. Representa i troba n l excentricitat: (x ) (y 7) + = 6 6 c = 6 6 = 8 8 exc = 0, Pàgina 6. Una hipèrbola té els focus en els punts F (, 0) i F (, 0) i la constant és k = 6. Troba n els elements característics i l equació reduïda. Representa-la. Semieje: k = a = 6 8 a = Semidistancia focal: F F = 0 8 c = Cálculo de b: b = c a 8 8 b = = 6 = 8 b = c Excentricidad: exc = = a,67 Asíntotas: y = x; y = x x y Ecuación reducida: = 6 F F 8

9 UNITAT Pàgina 7 (x + ) (y ). Representa: = 6 (y 7) (x ). Representa: = Pàgina 8. Troba l equació reduïda de la paràbola de focus F (,; 0) i directriu x =,. Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la directriz y F el foco. (x,) + y = x +, x x +, + y = x + x +, 8 De otra forma: Distancia del foco a la directriz: p = Ecuación reducida: y = 6x y = 6x

10 . Troba l equació reduïda de la paràbola de focus F (0, ) i directriu y =. Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la directriz y F el foco. x +(y ) = y + x + y y + = y + y + 8 x = 8y De otra forma: Distancia del foco a la directriz: p = Ecuación reducida: x = 8y 0

11 UNITAT Pàgina EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Llocs geomètrics Troba, per a cada cas, el lloc geomètric dels punts que equidisten de A i B. a) A(, ) B(, 0) b) A(, ) B(, ) c) A(, 7) B(, ) a) (x ) +(y +) = (x ) + y 8 8 x 0x + + y +6y + = x x + +y 8 8 6x +6y + 0 = 0 8 x + y + = 0. Es la mediatriz de AB. b) (x ) +(y ) = (x +) +(y ) 8 8 x 6x + = x +8x x 7 = 0 8 x + = 0 c) (x ) +(y 7) = (x ) +(y +) 8 8 y y + = y + y + 8 6y + 8 = 0 8 y = 0 Troba el lloc geomètric dels punts P(x, y). La diferència de quadrats de distàncies als punts A(0, 0) i B(6, ) és. Quina figura hi obtens? [dist (P, A)] [dist (P, B)] = x + y [(x 6) + (y ) ] = Desarrollamos y simplificamos: x + y x 6 + x y + 6y = 8 8 x + 6y 60 = 0 8 r: x + y 0 = 0 Veamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB: 8 AB = (6, ) 8 pendiente: m AB = = 6 La pendiente de r es m r =. 8 m AB m r = ( ) = 8 AB r

12 Troba el lloc geomètric dels punts la distància a la recta x y + = 0 dels quals és 6. El valor absolut donarà lloc a dues rectes. x y + P (x, y) cumple que dist (P, r) = 6 8 = x y + = 0 r 8 x y + = : x y = 0 x y + = 0 r : x y + = 0 Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada. Troba el lloc geomètric dels punts que equidisten de les rectes: r: x y + = 0 s: x y + = 0 Interpreta les línies obtingudes. P (x, y) donde d (P, r) = d (P, s) 8 x y + x y + = 8 8 x y + = x y + 8 = Imposible!! x y + = x + y 8 6x 0y + = 0 8 r: x y + 7 = 0 Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí, como puede verse por sus coeficientes, pues: A B C = =? = A' B' C' Troba les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r i s: r: x y + 8 = 0 s: x + y 7 = 0 Son todos los puntos P (x, y) tales que d (P, r) = d (P, s): x y + 8 x + y 7 x y + 8 x + y 7 = 8 = 8 6 (x y + 8) = (x + y 7) 8 8 (x y + 8) = (x + y 7) x y + 0 = 60x + y 8 8 x y + 0 = 60x y + 8x + 6y = 0 x y + 6 = 0 Luego hay dos soluciones, bisectrices de los ángulos cóncavo y convexo que forman las rectas r y s. Ambas bisectrices se cortan en el punto de corte de las rectas r y s, y son perpendiculares. s r

13 UNITAT Circumferència 6 Quin és el lloc geomètric dels punts que disten unitats del punt P (, )? Representa-ho gràficament i troba n la solució. Es una circunferencia de centro P(, ) y radio. Ecuación:(x + ) +(y ) = x + y + 6x y = 0 (, ) 7 Escriu les equacions de les circumferències de centre C i radi r. a) C = (0, 0), r = b) C = (, 0), r = / c) C = (, /), r = / a) (x 0) +(y 0) = ( ) 8 x + y = b) (x ) +(y 0) = c) (x +) + y + ( ) ( ( 8 x + y 6x = 0 = 8 x + y + x +y + 6 = 0 8 Esbrina quines de les expressions següents corresponen a circumferències i troba-n hi el centre i el radi: a) x + y 8x + y + 0 = 0 b) x y + x + y = 0 c) x + y + xy x + y 8 = 0 d) x + y 6x + = 0 e) x + y + 6x + 0y = 0 a) Los coeficientes de x e y son. No hay término en xy. A ( ) + ( B ) C = = 7 > 0 Es una circunferencia de centro (, ) y radio 7. b) Los coeficientes de x e y no son iguales. No es una circunferencia. c) Hay un término xy. No es una circunferencia. ) )

14 d) Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término en xy. Dividimos entre la igualdad: x + y 8x + = 0. A ( ) + ( B ) C = = > 0 Es una circunferencia de centro (, 0) y radio =. e) Los coeficientes de x e y son. No hay término en xy. A ( ) + ( B ) C = + 0 = > 0 Es una circunferencia de centro (, ) y radio. Escriu les equacions de les circumferències següents: a) Centre en C(, ) i passa pel punt P(0, ). b) Un dels diàmetres és el segment AB on A(, ) i B(, 6) c) Centre en C(, ) i és tangent a la recta x = 0. d) Centre en C(, ) i és tangent a la recta x + y = 0. 8 a) Radio = CP = (0 + ) + ( ) = Ecuación: (x +) +(y ) = b) Centro: Punto medio de AB 8, = (, ) AB 8 ( ) + (6 ) 0 Radio = = = = Ecuación: (x ) +(y ) = c) Radio: Distancia de C(, ) a la recta x = 0. R = = Ecuación: (x +) +(y + ) = + d) Radio: dist (C, r) = = = + Ecuación: (x ) +(y ) = ( ) Posicions relatives de rectes i de circumferències 0 Estudia la posició de la recta x + y = 0 amb relació a la circumferència: x + y + 6x + y + 6 = 0 El centro de la circunferencia es C (, ) y su radio es r = + 6 = =.

15 UNITAT Hallamos la distancia de C a la recta s: x + y = 0: d = dist (C, s) = = = =,8 > = r La recta es exterior a la circunferencia. Estudia la posició relativa de la circumferència x + y 6x y + = 0 respecte de cada una de les rectes següents: r : x y = 0 r : x + y = 0 r : x y + = 0 Hallamos el centro y el radio de la circunferencia: x 6x + +y y + = (x ) +(y ) = C (, ), R = Calculamos la distancia del centro a cada una de las rectas y la comparamos con el radio: dist (C, r ) = = < 8 r es secante. + + dist (C, r ) = = = > 8 r es exterior dist (C, r ) = = = 8 r es tangente. +( ) Per a quin valor de b la recta y = x + b és tangent a la circumferència x + y =? El centro de la circunferencia es C (0, 0) y su radio es r =. Hallamos la distancia de C a la recta s: x y + b = 0: d = dist (C, s) = b Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser d = r, es decir: b b = = 8 b = b = Calcula la distància del centre de la circumferència x + y y = 0 a la recta r: x y + = 0. Quina és la posició de r respecte de la circumferència? El centro de la circunferencia es C (0, ) y su radio es R =. La distancia de C a r es: + dist (C, r) = = 0,8 <, Luego la circunferencia y la recta son secantes.

16 Potència d un punt a una circumferència Calcula la potència dels punts P(, ), Q(, ) i R(, 0) a la circumferència: C: x + y 6x y + = 0. Utilitza l per a estudiar la posició relativa de P, Q i R respecte de C. C: x + y 6x y + = 0 8 O(, ), r = P (, ) 8 P = ( ) + ( ) = 0 = 0; por tanto, P pertenece a C. Q(, ) 8 P = ( ) + ( ) = < 0; por tanto, Q es un punto interior a C. R(, 0) 8 P = ( ) + (0 ) = 6 > 0; por tanto, R es un punto exterior a C. Pàgina 6 Troba l eix radical dels següents parells de circumferències: a) C : (x + ) + (y ) = C : (x + ) + (y + ) = b) C : (x ) + (y ) = C : (x 6) + (y ) = c) C : (x + ) + (y + ) = C 6 : (x 6) + (y + ) = Representa l. a) C : (x + ) + (y ) = 0 Igualamos: C : (x + ) + (y + ) = 0 (x +) +(y ) = (x +) +(y +) 8 8 y y + = y + y y 6 = 0 8 y =. Eje radical. C (, ) (, ) C y = b) C : (x ) + (y ) = 0 Igualamos: C : (x 6) + (y ) = 0 (x ) +(y ) = (x 6) +(y ) 8 x + x = x + 6 x x 7 = 0 8 x =. Eje radical. 8 C (, ) (6, ) 7 x = 8 C 6

17 UNITAT c) C : (x + ) + (y + ) = 0 Igualamos: C 6 : (x 6) + (y + ) = 0 (x +) +(y +) = (x 6) +(y +) 8 8 x +8x y +6y + = x x y + y x + y = 0 8 x + y = 0. Eje radical. C 6 C (6, ) (, ) x + y = 0 El lipse 6 Troba els vèrtexs, els focus, les excentricitats i representa les el lipses donades per les equacions: x y a) + = 00 6 b) + = 6 00 c) x + y = d) x + y = x y a) Vértices: (0, 0); ( 0, 0); (0, 6) y (0, 6) Focos: c = 00 6 = 8 F (8, 0) y F'( 8, 0) 8 Excentricidad: exc = = 0, F' F 0 6 b) Vértices: (8, 0); ( 8, 0); (0, 0) y (0, 0) Focos: c = 00 6 = 6 = 6 F (0, 6) y F'(0, 6) 6 Excentricidad: exc = = 0,6 0 0 F 8 8 F' 0 7

18 c) x + y = 8 + = / Vértices: (, 0) ( ; ), 0 ; (0, ) y (0, ) Focos: c = = = 6 F (, 0) ( y F' ), 0 Excentricidad: exc = / = = 0,8 / x y F' F d) x + y = 8 + = / / Vértices: (, 0) ( ; ), 0 ; ( 0, ) y ( 0, ) Focos: c = = = 6 F ( ) 0, ( ) y F' 0, 6 x y 6 6 F F' 7 Troba les equacions de les el lipses determinades de les formes següents: a) Focus (, 0), (, 0). Longitud de l eix major, 0. b) F (, 0) i F' (, 0) i l excentricitat de la qual és igual a 0,. c) Eix major sobre l eix X, igual a 0. Passa pel punt (, ). d) Eix major sobre l eix Y i igual a. Excentricitat, /. a) c = ; a = 0 8 a = ; b = a c = = x y Ecuación: + = c c b) c = ; exc = = 0, 8 a = = = 6 a 0, 0, b = a c = 6 = 7 x y Ecuación: + = 6 7 8

19 UNITAT x c) a = 0 8 a = ; + = b Como pasa por (, ) 8 + = 8 b + = b 8 b 8 6b = 8 b = 6 x x 6y Ecuación: y + =, o bien, + = /6 c d) exc = = 8 c = (a =, pues a = ) b = a c = = x x Ecuación: y + =, o bien, + y = / y 8 Troba l equació del lloc geomètric dels punts la suma de distàncies a P (, 0) i Q (, 0) és 0. Es una elipse de focos P(, 0) y Q(, 0), y constante k = 0, es decir, a = 0 y c =. Así: a = ; b = a c = 6 = x y La ecuación será: + = Escriu l equació de l el lipse que té per focus els punts F(0, ) i F'(0, ), i la constant de la qual és igual a. Si P(x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, F ) + dist (P, F' ) = a, es decir: x +(y ) + x +(y +) = 8 8 x +(y ) = 6 + x +(y +) 8 x +(y +) 8 8 x + y y + = 6 + x + y +y + 8 x +(y +) 8 8 y 6 = 8 x +(y +) 8 (y + 6) = 6[x +(y +) ] 8 8 6y y = 6x +6y y 8 x y 8 = 6x + 8y 8 + =

20 De otra forma: El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une F con F', es decir: (0, 0) Por otra parte: 8 c = dist (F, F') = F'F = (0, ) = 8 c = a = 8 a = 8 a = b = a c = = x y Por tanto, la ecuación es: + = 0 Troba l equació de l el lipse que passa pel punt (, ) i té els focus en (, 0) i (, 0). x a y b La ecuación es: + = Como pasa por (, ) 8 + = a b Como a = b + c y sabemos que c = 8 a = b + 6 Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores: + = 8 b + b + 6 = b + 6b 8 b + 6b 6 = 0 b +6 b b 6 ± ± 00 = = = Así: a = + 6 = 8 Por tanto, la ecuación de la elipse será: + = 8 x 6 ± 0 y b = b = 8 (No vale) Hipèrbola Troba els vèrtexs, els focus, les excentricitats i les asímptotes, i dibuixa les hipèrboles donades per les equacions: x a) y x = b) y = c) x y = d) x y = y x e) = f) y 6x = 6 6 g) x y = 6 h)x y + 6 = 0 0

21 UNITAT a) a = 0, b = 6, c = a + b = 6 =, exc =,7 0 Vértices: (0, 0) y ( 0, 0) Focos: F (, 0) y F'(, 0) Asíntotas: y = x; y = x 6 F' 0 0 F 6 x b) y x y = 8 = 6 6/ 6 a =, b =, c = + / =, exc = = =, / Vértices: (, 0) ( y ), 0 Focos: F (, 0) ( ) y F', 0 Asíntotas: y = x; y = x F' F x y c) x y = 8 = / a =, b =, c = + / =, exc = =,

22 Vértices: (, 0) y (, 0). Focos: F (, 0) ( y F' ), 0 Asíntotas: y = x; y = x F' F x d) x y = 8 = a =, b =, c = + =, exc =, Vértices: (, 0) y (, 0) Focos: F(, 0) y F'(, 0) Asíntotas: y = x; y = x y F' F e) Vértices: (0, ) y (0, ) Focos: F(0, 0 ) y F'(0, 0 ) 0 exc =,6. Asíntotas: y = x; y = x F 6 6 F'

23 UNITAT y f) y 6x = 6 8 = 6 Vértices: (0, ) y (0, ) x F Focos: F(0, 7 ) y F'(0, 7 ) 7 exc =,0 Asíntotas: y = x; y = x F' x y g) x y = 6 8 = Vértices: (, 0) y (, 0) Focos: F (, 0) y F'(, 0) exc =,80 Asíntotas: y = x; y = x F' F h) x y + 6 = 0 8 y x = 6 8 = 6 Vértices: (0, ) y (0, ) Focos: F ( 0, 0) y F'( 0, 0) 0 exc =, Asíntotas: y = x; y = x y x F F'

24 Troba les equacions de les hipèrboles determinades de les formes següents: a) Focus (, 0), (, 0). Distància entre vèrtexs,. b) Asímptotes, y = ± x. Vèrtex, (, 0). c) Asímptotes, y = ± x. Passa pel punt (, ). d) Focus (, 0), (, 0). Excentricitat,. a) c = ; a = 8 a = ; b = c a = 6 = La ecuación es: = b b b) a = ; = 8 = 8 b = a x Ecuación: y x y =, o bien, = / b c) = 8 b = a 8 = a a a Como pasa por (, ) 8 = 8 6 = a a a = a 8 a = 8 b = a = x Ecuación: y x y =, o bien, = / c d) c =, = = 8 a = a a b = c a = = 8 x x y Ecuación: = 8 y x y Troba el lloc geomètric dels punts la diferència de distància a F' (, 0) i F (, 0) és 6. Es una hipérbola de focos F y F' y constante a = 6. Por tanto, a =, c =, b = c a = 6 = 7. x y La ecuación es: = 7

25 UNITAT Troba l equació de la hipèrbole que té com a focus els punts F (, 0) i F' (, 0) i que passa pel punt P (8, ). Hallamos la constante de la hipérbola: dist (P, F ) dist (P, F' ) = a 8 8 FP F'P = a 8 (, ) (, ) = a = a 8 0 = a 8 = a 8 a = Como a = y c =, entonces b = c a = =. x y La ecuación es: = Paràbola Troba els vèrtexs, els focus i les directrius de les paràboles següents, i representa-les: a) y = 6x b) y = 6x c) y = x x d) y = e) y = (x ) f) (y ) = 8x g) x = (y + ) h)(x ) = 6y y a) = px p p = 6 8 p = 8 = y = 6x Vértice: (0, 0) Foco: (, 0) Directriz: x = F b) Vértice: (0, 0) Foco: ( ), 0 Directriz: x = F

26 c) Vértice: (0, 0) Foco: ( ) 0, Directriz: y = F d) Vértice: (0, 0) Foco: (0, ) Directriz: y = F e) Vértice: (, 0) Foco: (, 0) Directriz: x = 0 F f) Vértice: (0, ) Foco: (, ) Directriz: x = F g) Vértice: (0, ) Foco: (0, 0) F Directriz: y = 6

27 UNITAT h) Vértice: (, 0) Foco: ( ), Directriz: y = F 6 Troba les equacions de les paràboles determinades de les formes següents: a) Directriu, x =. Focus, (, 0). b) Directriu, y =. Vèrtex, (0, 0). c) Vèrtex (0, 0) i passa per (, ). ( solucions). p a) = 8 p = 0 8 p = 0. Ecuación: y = 0x b) El foco será F(0, ). Si P(x, y) es un punto de la parábola y d: y = 0 es la directriz, entonces: dist (P, F) = dist (P, d) 8 x +(y + ) = y 8 8 x + y + 6y + = y 6y + 8 x = y c) Hay dos posibilidades: I) Eje horizontal: y = px. Como pasa por (, ), entonces: = p 8 p = 8 y = x II) Eje vertical: x = py. Como pasa por (, ), entonces: = 6p 8 p = = 8 x = y 6 7 Troba el lloc geomètric dels punts que equidisten del punt (, 0) i de la recta y =. Es una parábola cuyo foco es F(, 0) y cuya directriz es d: y + = 0. Si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces: dist (P, F ) = dist (P, d) 8 (x ) + y = y + 8 O bien: (x ) = 6( ) y + 8 x 6x + + y = y + 6y + 8 y = x 6 x 7

28 8 Escriu l equació de la paràbola de focus F (, ) i directriu y + = 0. Si P(x, y) es un punto de la parábola, F(, ) el foco, y d: y + = 0 la directriz, entonces: dist (P, F ) = dist (P, d) 8 (x ) + (y ) = y (x ) + (y ) = (y + ) 8 8 (x ) + y y + = y + 6y (x ) = 8y (x ) = 8(y + ) Pàgina 7 PER A RESOLDRE Identifica les còniques següents, calcula n els elements característics i dibuixa-les: a) x + y = 6 b) 6x y = c) x + y = d) x y = 6 e) y = x f)x + y = 00 x a) x + y = = Es una elipse 8 a =, b =, c = exc = 0,7 x y y b) 6x y = 8 = 6 F' F Es una hipérbola 8 a =, b =, c = ; exc =,67 Asíntotas: y = x ; y = x F' F 8

29 UNITAT c) x + y = 8 x + y = Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio. / / / / x y d) x y = 6 8 = 6 Es una hipérbola 8 a =, b =, c = ; exc = =, Asíntotas: y = x ; y = x F' F e) Es una parábola. Vértice: (0, 0) 7 Foco: (, 0) Directriz: x = 7 F

30 f) x + y = 00 8 = 6 / x y Es una elipse 8 a = 6, b =, c = exc = 0, / 6 F' F 6 / 0 Escriu l equació d una el lipse amb centre en l origen de coordenades i focus en l eix d abscisses, sabent que passa pel punt P (8, ) i que l eix major és igual al doble del menor. El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a = b. Además, pasa por el punto P(8, ). Luego: x a y + = = = 8 = 8 b b b b b b 8 = b ; a = b = 00 x y La ecuación es: + = 00 Troba l equació de la hipèrbola que té el centre en l origen de coordenades i els focus en l eix d abscisses, sabent que passa pel punt P ( /, ) i que una de les asímptotes és la recta y = x. b La pendiente de la asíntota es = 8 b = a a x y Luego = es la ecuación. a a Como pasa por el punto P( /, ), entonces: / = 8 0 = a 8 = a 8 a = a a 8 b = a = x La ecuación será: y x y =, es decir: = / 0

31 UNITAT Anomenem hipèrbola equilàtera aquella on a = b. Troba l equació de la hipèrbola equilàtera els focus de la qual són (, 0) i (, 0). La ecuación será: = Como c = a + b, y sabemos que c = y que a = b, entonces: = a 8 a = Por tanto, la ecuación es: =, o bien, x y = / / Troba l equació de la hipèrbola les asímptotes de la qual són les rectes y = ± x i els focus (, 0) i (, 0). Si los focos son (, 0) y (, 0), entonces c =. b Si las asíntotas son y = ± x, entonces: = a Como c = a + b, tenemos que a + b =. Teniendo en cuenta los dos últimos resultados: b = a a + b = x a y a x y a a + a = 8 = 8 a = a = = 8 b = a = 7 7 x Por tanto, la ecuación será: y 7x 7y =, o bien, = 0/7 8/7 0 8 Troba les equacions de les paràboles següents: a) Focus (0, 0); directriu y =. b) Focus (, 0); directriu x =. c) Focus (, ); vèrtex (, ). a) Si P(x, y) es un punto de la parábola, debe cumplir: dist (P, F) = dist (P, d); donde F es el foco y d la directriz. x + y = y + 8 x + y = y + y + 8 x = (y + ) b) Si P(x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d); siendo F el foco y d la directriz. (x ) + y = x + 8 x x + + y = x + x + ( ) y = 6x 8 y = 6 x

32 c) Si el foco es F(, ) y el vértice es ( ),, la directriz tiene que ser la recta d: y = 0, ya que la distancia del vértice al foco ha de ser igual a la distancia del vértice a la directriz. Así, si P(x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d) (x ) + (y ) = y 8 (x ) + y y + = y (x ) = y 8 (x ) = ( ) y Aplica dos mètodes diferents que permeten decidir si la recta r: x + y 8 = 0 és exterior, tangent o secant a la circumferència: (x 6) +(y ) = MÉTODO I Calculamos la distancia del centro de la circunferencia, O(6, ), a la recta r: dist (O, r) = = = + Como coincide con el radio de la circunferencia, son tangentes. MÉTODO II Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: x +y 8 = 0 8 y x = x x y 6y + = 0 x x + y 6y + 0 = 0 8 y 8 y ( ) + y 6y + 0 = 0 6 8y +y 6y y 6y + 0 = y +y + y 8 + 6y 6y + 0 = 0 y = 0 8 y = 0 8 y x = = Por tanto, hay un único punto de corte entre la circunferencia y la recta, P(, 0); es decir, son tangentes. 6 Troba els punts d intersecció de cada parella de circumferències i digues quina n és la posició relativa: x x a) + y 6x 6 = 0 b) + y 6x y + = 0 x + y = x + y 6x + y + = 0

33 UNITAT a) x + y 6x 6 = 0 x + y = 6x 6 = 0 8 6x = 8 x = +y = 8 y = 0 8 y = 0 Las circunferencias se cortan en el punto (, 0). La primera circunferencia tiene centro en (, 0) y radio ; la segunda tiene centro en (0, 0) y radio. La distancia entre sus centros es d =. Como la diferencia entre sus radios es = = d, las circunferencias son tangentes interiores. b) x + y 6x y + = 0 x + y 6x + y + = 0 Restando a la. a ecuación la. a : 6y = 0 8 y = 0 x 6x + = 0 8 (x ) = 0 8 x = Las circunferencias se cortan en el punto (, 0). La primera circunferencia tiene su centro en (, ) y radio ; la segunda tiene su centro en (, ) y radio. La distancia entre sus centros es d =, igual que la suma de sus radios. Por tanto, las circunferencias son tangentes exteriores. 7 Descriu les còniques següents. Obtín-ne els elements i dibuixa-les. (x ) a) (y + ) + (x ) = b) (y + ) + = (x ) (y + ) (y + ) (x ) c) = d) = 6 6 a) Es una elipse de centro P(, ). a =, b = c = a b = = 6 = Los focos son F(7, ) y F'(, ). F' P F La excentricidad es: exc = = 0,8 b) Es una elipse de centro P(, ). a =, b =, c = Los focos son F(, ) y F'(, 6). La excentricidad es: exc = = 0,8 F P F'

34 c) Es una hipérbola de centro P(, ). a =, b =, c = 6 + = 0 = Los focos son: F( +, ) y F'(, ) La excentricidad es: exc = =, Las asíntotas son: y + = (x ); y + = (x ) F' F d) Es una hipérbola de centro P(, ). b =, a =, c = 0 = F Los focos son: F(, + ) y F'(, ) La excentricidad es: exc = = Las asíntotas son: y + = (x ); y + = (x ) F' 8 a) Troba l equació de la circumferència el centre de la qual és C (, ) i és tangent a la recta x y = 0. b) De totes les rectes paral leles a la bisectriu del primer quadrant, troba les que siguen tangents a la circumferència trobada en l apartat anterior. a) El radio, r, de la circunferencia es la distancia del centro C (, ) a la recta s: x y = 0; es decir: 0 r = dist (C, s) = = = + 6 La ecuación será: (x + ) +(y ) =, o bien, x + y + x y = 0 b) Las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante son de la forma y = x + k, es decir, t: x y + k = 0. La recta t es tangente a la circunferencia cuando la distancia del centro de la circunferencia, C(, ), a la recta es igual al radio,. Es decir: + k k dist (C, t) = = 8 = 8 8 k = k = 8 k = 8 k = + k = Hay dos rectas: y = x + + y = x +

35 UNITAT Troba l equació de la circumferència el centre de la qual és el punt C (, ) i una de les rectes tangents té per equació x y = 0. Determina si el punt X (, ) és interior, és exterior o està en la circumferència. El radio, r, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, C (, ), a la recta s: x y = 0; es decir: 6 r = dist (C, s) = = 6 + La ecuación es: (x ) +(y ) =, o bien, x + y 6x y = x + y 0x 00y = 0 Veamos si X(, ) es interior, exterior o está en la circunferencia: 8 dist (C, X) = CX = (0, ) = > radio = Luego el punto es exterior a la circunferencia. 0 a) Considera el lloc geomètric dels punts del pla que són centre de les circumferències que passen pels punts P (, 0) i Q (0, ). Troba n l equació. b) L origen de coordenades pertany a una circumferència de longitud 6π. Calcula el centre d aquesta circumferència si imposem que ha de ser un punt del lloc definit en a). a) Si C (x, y) es el centro de la circunferencia, la distancia de C a P y a Q ha de ser la misma, es decir: dist (C, P) = dist (C, Q) PC = QC y (x ) + y = x +(y ) Q x 8x y = x + y y x y = 0 Obtenemos una recta, que es la mediatriz del segmento PQ. P x b) Longitud = πr = 6π 8 radio = r = Su centro está en un punto de la recta x y = 0 y pasa por el punto P(0, 0). El centro es de la forma C (x, x ): 8 r = dist (P, C) = PC = x +(x ) = x +x x + = 8 x x = 0 Hay dos soluciones: C (0, ) y C (, ) x = 0 x = /

36 Troba les equacions de les circumferències següents: a) Passa pels punts A(, 0), B(0, ) i C(, ). Mira el problema resolt. b) Passa per l origen de coordenades i pels punts A (, 0) i B (0, ). c) Té el centre en la recta x y = 0 i passa pels punts (, ) i (, 6). d) Passa pels punts (, ) i (, ) i té el centre en la recta x + y =. a) El centro pertenece a la mediatriz de AB. Ecuación de la mediatriz de AB: (x +) + y = x +(y ) 8 x +y = 0 También pertenece a la mediatriz de AC: Ecuación: (x +) + y = (x +) +(y ) 8 x +y = 0 Resolviendo el sistema: x +y = 0 x +y = 0 ( ) 8 Centro:,. Radio: AC = Ecuación: (x +) + ( y ) x = y = / = 8 x + y +x y + = 0 b) El centro pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y A(, 0), es decir, pertenece a la recta x =. También pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y B(0, ), es decir, pertenece a la recta y =. Por tanto, el centro de la circunferencia es C ( ),. El radio es la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos: 8 r = dist (C, O) = OC = + = = La ecuación es: (x ) + ( y ) =, o bien, x + y x y = 0 c) Si el centro está sobre la recta x y = 0, es de la forma C(y, y). El centro está a igual distancia de A(, ) que de B(, 6). Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia: r = dist (A, C ) = dist (B, C ) 8 AC = BC (y + ) +(y ) = (y ) + (y 6) 6

37 UNITAT y + + 6y + y + 6 8y = y + 8y + y + 6 y 8y = 8 8 y = 8 x = y = Por tanto, el centro de la circunferencia está en C (, ), y su radio es: r = AC = 6 + = = La ecuación es: (x ) +(y ) =, o bien, x + y 6x y = 0 d) Si el centro está en la recta x + y =, es de la forma C ( y, y). El centro está a igual distancia de A(, ) y de B(, ). Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia: 8 8 r = dist (A, C) = dist (B, C) 8 AC = BC 8 8 ( y) +(y ) = ( y) +(y ) y 8y + y + 6y = y + y + 0y = 0y +8y +6y 8 = y 8 y = 8 x = y = Por tanto, el centro de la circunferencia está en C(, ), y su radio es: 8 r = AC = 8 +0 = 8 La ecuación es: (x ) +(y ) = 6 Pàgina 8 8 Calcula l equació de l el lipse els focus de la qual són els punts F (, ) i F' (, ) i F (, ) i l excentricitat de la qual és igual a /. El centro de la elipse es el punto medio entre los focos: + + (, ) = (, ) La semidistancia focal es c =. c La excentricidad es exc = = = a a 8 a = 6 Obtenemos b 8 b = a c = 6 = (x ) (y ) La ecuación es: + = 6 F F' 7

38 La paràbola y y 6x = 0 té per focus el punt (0, ). Troba n la directriu. y y = 6x + 8 y y + = 6x (y ) = 6 ( ) x + El vértice de la parábola es V (, ). Como el foco es F(0, ), entonces la directriz es x =. V F Troba l equació del lloc geomètric de tots els punts del pla tals que la distància al punt (, 0) és el doble de la distància a la recta x =. Comprova que el lloc geomètric és una cònica i troba n els focus. Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P al punto Q(, 0) ha de ser el doble que la distancia de P a la recta s: x = 0; es decir: dist(p, Q) = dist(p, s) 8 (x ) + y = x (x ) + y = (x ) 8 x 8x y = (x x + ) x 8x y = x 8x + 8 x y = 8 = Es una hipérbola, centrada en (0, 0). a = ; b = 8 c = a + b = 6 8 c = Por tanto, los focos son F (, 0) y F (, 0). x y Troba l equació del lloc geomètric dels punts la distància al punt (, 0) dels quals és igual a la meitat de la distància a la recta x 6 = 0. Representa la corba que hi obtens. Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P a (, 0) ha de ser igual a la mitad de la distancia de P a la recta x 6 = 0; es decir: (x ) + y = x 6 (x ) + y = (x 6) x 8x y = (x x + 6) x x y = x x + 6 x + y = 8 + = 6 8 Es una elipse, en la que a = 8 y b = 8 6,. x y 8

39 UNITAT La representamos: Los focos están en F(, 0) y F '(, 0). c La excentricidad es: exc = = = = 0, a F' F Troba el lloc geomètric dels punts P (x, y) tals que el producte dels pendents de les rectes traçades des de P als punts: A (, ) i B (, ) siga igual a. Quina figura hi obtens? Representa-la. y La pendiente de la recta que une P con A es: x + y + La pendiente de la recta que une P con B es: x El producto de las pendientes ha de ser igual a, es decir: y ( ) ( ) y + = 8 y = 8 y = x x + x x x y = 8 = Es una hipérbola, en la que a = b = y c = 6. Los focos son F ( 6, 0) y F ( 6, 0). Las asíntotas son: y = x e y = x c 6 La excentricidad es: exc = = =, a y x F' F

40 7 a) Troba el lloc geomètric de tots els punts P(x, y) del pla. La suma de quadrats de distàncies als punts A(, 0) i B(, 0) és 68. Pots comprovar fàcilment que es tracta d una circumferència de centre O(0, 0). Quin n és el radi? b) Generalitza: Troba el lloc geomètric dels punts del pla la suma de quadrats de distàncies a A( a, 0) i B(a, 0) és k (constant), i comprova que es tracta d una circumferència de centre O(0, 0). Digues el valor del radi en funció de a i de k. Quina relació han de complir els paràmetres a i k per tal que realment siga una circumferència? a) [dist (A, P)] + [dist (B, P)] = 68 8 (x + ) + y + (x ) + y = x + 6x + + y + x 6x + + y = x + y = x + y = x + y =, que es la ecuación de una circunferencia de centro P (0, 0) y radio r =. Comprobemos que, efectivamente, se trata de esa circunferencia. Despejamos y 8 y = x 8 P (x, y) = (x, x ) Debe verificarse que: Es decir, que: x + y dist (O, P) = r = 8 x + ( x ) = 8 = Por tanto, como se cumple la condición, podemos asegurar que se trata de esa circunferencia. b) [dist (A, P)] + [dist (B, P)] = k 8 (x + a) + y + (x a) + y = k 8 8 x + ax + a + y + x ax + a + y = k 8 8 x + y = k a 8 x + y k = a que es la ecuación de una circunferencia de centro (0, 0) y radio: k r = a Para que realmente sea una circunferencia, debe ocurrir que r > 0. Por tanto, debe verificarse: k a > 0 8 k > a 0

41 UNITAT 8 Associa cada una de les equacions següents a un dels gràfics que es mostren a continuació: x a) + = b) x + = c) + = x x d) + y = e) x y + y = f ) = g) y = h) + y = 0 i ) y = 0 x y x x j) y = 0 k) x y = l ) xy = y x x y I II DOS RECTAS y = x a) VI UNA RECTA III (0, 0) IV V VI y = x b) V c) IV UN PUNTO d) I VII VIII e) VIII f) XI IX X g) XII h) III i) II XI XII j) VII k) IX l) X

42 Pàgina REFLEXIONA SOBRE LA TEORIA Un segment PQ de cm de longitud es mou recolzant-se tangencialment sobre la circumferència x + y x + 6y + = 0. Si l extrem P és el punt de tangència, quin és el lloc geomètric que descriu l altre extrem Q? La circunferencia dada tiene su centro en (, ) y su radio es + =. Como la tangente es perpendicular al radio, la distancia de Q al centro será siempre la misma: x = + = Por tanto, Q describe una circunferencia con el mismo centro que la dada y radio. P Q x Su ecuación será: (x ) +(y + ) = ; o bien x + y x + 6y = 0 0 Posa l equació del lloc geomètric dels punts P (x, y) que equidisten del punt F (6, ) i de la recta r: x y = 0. (Hi trobaràs una equació complicada. No et molestes a simplificar-la). De quina figura es tracta? Per a respondre aquesta pregunta, fixa t en la forma com s ha definit i no en quina n és l equació. Representa r i F. Com haurem de situar uns nous eixos de coordenades per tal que l equació d aquesta corba siga y = kx? Quant val k? Ecuación: (x 6) + (y + ) = x y El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto (foco) y de una recta (directriz) es una parábola. La ecuación de la parábola respecto a los nuevos ejes es y = px, donde p es la distancia del foco a la directriz: dist (F, r) = = = + 6 Si p =, entonces k = 8.

43 UNITAT La ecuación es y = 8x respecto a los nuevos ejes. r F NUEVO EJE Y NUEVO EJE X Dues circumferències es tallen en els punts (0, 0) i (0, 8). Quin n és l eix radical? Justifica la resposta. Su eje radical será la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (0, 8); es decir: x = 0. PER A APROFUNDIR-HI Troba l equació de la circumferència inscrita en el triangle de costats: y = 0 x y = 0 x + y 0 = 0 x y = 0 6 r (8, 6) P(x, y) (0, 0) (,; 0) y = 0 6 r x + y 0 = 0 6 r Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, entonces: dist (P, r ) = dist (P, r ) 8 x y = y 8 y = x y y = x y 8 y = x 8 x = y y = x + y 8 y = x 6 No vale; la bisectriz que buscamos es la otra. dist (P, r ) = dist (P, r ) 8 x + y 0 = y 8 y = x + y 0 y = x + y 0 8 y = x 6 No vale; es la otra bisectriz. y = x y x + y =

44 El punto de corte de las dos bisectrices es el incentro, es decir, el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. x = y x + y = El centro es P (, ). El radio es dist (P, r ) = y = = radio x x + + y y + = La ecuación es: ( x ) + ( y ) = ; o bien: x + y x y + = 0 8 x + y 60x 0y + = 0 Troba l equació de la circumferència que passa per (, ) i (, ) i és tangent a l eix OX. Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, y llamamos a los puntos A(, ) y B(, ); la distancia de P a los dos puntos y al eje OX ha de ser la misma. Además, esta distancia es igual al radio de la circunferencia. dist [P, eje OX] = y dist (P, A) = (x +) +(y ) dist (P, B) = (x ) +(y ) 6y + y = 8 0y = 8 y = = 0 x = y = han de ser iguales. (x +) +(y ) = (x ) +(y ) x + 6x + + y y + = x 8x y y + x y = 0 8 7x y = 0 8 y = 7x (x +) +(y ) = y x + 6x + + y y + = y x + 6x (7x ) + = 0 x + 6x 8x = 0 8 x x + = 0 ± 8 8 ± 00 x = = = ± 0 x = 8 y = x = 8 y = Hay dos soluciones:. a ) Centro (, ) y radio : (x ) +(y ) = 0; o bien: x + y x 0y + = 0

45 UNITAT. a ) Centro (, ) y radio : (x ) + (y ) = ; o bien: x + y x 0y + = 0 Determina l equació de la circumferència de radi 0 que, en el punt (7, ), és tangent a la recta x y = 0. El centro pertenece a la recta perpendicular a la dada que pasa por (7, ). Una recta perpendicular a x y = 0 es de la forma x + y + k = 0. Como (7, ) pertenece a la recta: k = 0 8 k =. El centro pertenece a la recta: x + y = 0 8 y = x + La distancia de C al punto (7, ) es igual al radio, que es 0, es decir: x + (x 7) + ( ) = 0 El centro es C ( x, ). x + (x 7) + ( ) = 00 x + x 6x x + + x + 78 = 00 x 6x + + 6x x + 78 = 00 x 0x + = 0 8 x x + = 0 ± 6 ± ± x = 8 y = 6 x = = = x = 8 y = 0 Hay dos soluciones:. a ) Centro (, 6) y radio 0: (x ) +(y + 6) = 00 8 x + y 6x + y + 0 = 0. a ) Centro (, 0) y radio 0: (x ) + (y 0) = 00 8 x + y x 0y + = 0 Troba l equació de la paràbola de vèrtex en el punt (, ) i que passa pel punt (, ). Hay dos posibilidades: ) (y ) = p (x ) Como pasa por (, ) 8 = p 8 p = (y ) = (x )

46 ) (x ) = p'(y ) Como pasa por (, ) 8 = p' 8 p' = (x ) = (y ) 6 Troba els vèrtexs, els focus i l excentricitat de les còniques següents: a) x + 6y 6x + 6y + 6 = 0 b) x y x = 0 c) x + y + 6y + 7 = 0 a) x + 6y 6x + 6y + 6 = 0 x 6x y + 6y = 0 (x 6) +(y + ) = 0 [(x )] + [(y + )] = (x ) + 6(y + ) = (x ) (y + ) + = 6 Es una elipse de centro (, ). a =, b =, c = a b = 7 Vértices: (6, ); (, ); (, 0) y (, 6) Focos: ( + 7, ) y ( 7, ) c 7 Excentricidad: exc = = 0,66 a b) x y x = 0 x x + y = 0 (x ) y = (x ) y = 6

47 UNITAT Es una hipérbola de centro (, 0). a =, b =, c = + = Vértices: (, 0) y (, 0) Focos: ( +, 0) y ( +, 0) Excentricidad: exc =, c) x + y + 6x + 7 = 0 x + (y + y) + 7 = 0 x + (y + ) = 0 x + (y + ) = x (y + ) + = Es una elipse con a =, b =, c = 8. Vértices: (, 0), (, 0), (0, ), (0, ) Focos: ( 0, 0), ( 0, 0) c 8 Excentricidad: exc = = 0, a Pàgina AUTOAVALUACIÓ. Troba l equació de la bisectriu dels angles formats per les rectes següents: r : x = r : x y + = 0 Los puntos X (x, y) deben cumplir: dist (X, r ) = dist (X, r ) dist (X, r ) = x x y + dist (X, r )= + x = x y + Eliminando los valores absolutos obtenemos dos ecuaciones, las que corresponden a las dos bisectrices, perpendiculares entre sí: (x ) = x y + 8 x + y 6 = 0 8 x + y 8 = 0 (x ) = x y + 8 8x y = 0 8 x y 7 = 0 7

48 . Escriu l equació de la circumferència el centre de la qual és el punt C(, ) i passa pel punt A(, 0). La ecuación de la circunferencia es de la forma (x ) +(y +) = r. Para determinar r, sustituimos A (, 0) en la ecuación: ( ) + = r 8 r = La ecuación de la circunferencia es, por tanto, (x ) +(y +) =. O, en su forma simplificada, x + y x + 6y = 0.. Considerem la circumferència x + y x = 0 i la recta x y + k = 0. Calcula els valors que ha de prendre k per tal que r siga interior, tangent o exterior a la circumferència. Hallamos primero el centro, O C, y el radio, R, de la circunferencia: x + y x = 0 8 (x ) + y = 8 O C = (, 0) y R = Calculamos la distancia del centro de la circunferencia, O C, a la recta r: x y + + k = 0: 0 + k d = dist (O C, r) = = + + k Para que r sea interior a la circunferencia, ha de ser d < R =. + k + k < 8 k < < 8 Es decir, k é ( 8, ). + k + k < 8 > 8 k > 8 Para que r sea tangente a la circunferencia, ha de ser d = R =. + k = 8 + k = 8 k = + k = 8 k = 8 Para que r sea exterior a la circunferencia, ha de ser d > R =. + k + k > 8 k > > 8 Es decir, + k + k > 8 < 8 k < 8 k é 8) «(, +@). 8

49 UNITAT. Donats els punts F(, ) i F'(, ) i la recta r: x + y = 0, obtín les equacions de: a) L el lipse de focus F i F' la constant de la qual és 6. b) La hipèrbola de focus F i F' la constant de la qual és. c) La paràbola de focus F i directriu r. No és necessari que simplifiques l expressió de l equació. a) Elipse de focos F (, ) y F'(, ) y constante k = 6. Semieje mayor, a: k = 6 = a 8 a = FF' ( ) +( ) 0 Semidistancia focal, c = = = = Semieje menor, b: b = a c = = 8 b = Por tanto, la ecuación de la elipse es + =. b) Hipérbola de focos F (, ) y F'(, ) y constante k =. Semieje a: k = = a 8 a = FF' Semidistancia focal, c = = c = a + b 8 b = c a = = 8 b = Por tanto, la ecuación de la hipérbola es =. c) Parábola de foco F (, ) y recta directriz r: x + y = 0. En una parábola de ecuación y = px, p = dist (F, r): + p = = = = + Por tanto, la ecuación de la parábola es y = x. x x y y. Descriu les còniques següents. Obtín-ne els elements i dibuixa-les: x a) = 6 (x ) (y + ) b) = 6 x y y a) = 6 Es una hipérbola en la que: a =, b =

50 Asíntotas: y = x, y = x Semidistancia focal: c = a + b = Focos: F (, 0) y F'(, 0) Vértices: V (, 0) y V'(, 0) Y F' O F X (x ) (y + ) b) = 6 Y Es una hipérbola igual a la del apartado anterior pero centrada en el punto (, ). a =, b =, c = 7 Asíntotas: y = x ; y = x + Focos: F (0, ), F'(0, ) Vértices: V (8, ), V'(, ) O F' F X 6. Obtín l equació de l el lipse de focus F(, 0) i F'(, 0) i excentricitat 0,8. F (, 0) F'(, 0) exc = 0,8 FF' c = = c exc = = = 0,8 8 a = a a b = a c = 6 = 8 b = x y La ecuación de la elipse es + =. 7. Troba els focus, l excentricitat i les asímptotes de la hipèrbola x 6y =. Dibuixa-la. x y x 6y = 8 6 = a = 6 8 a = b = 8 b = c = a + b = = 0

51 UNITAT Los focos son F(, 0) y F'(, 0). c Excentricidad: exc = = a Asíntotas: y = x e y = x Y F' O F X 8. Escriu l equació de la paràbola que té per directriu la recta x =, i, com a vèrtex, l origen de coordenades. d: x = En una parábola y p = px, la recta directriz es x =. p Por tanto, = 8 p = 6 La ecuación de la parábola es y = x.. Troba l eix radical a les circumferències: C : x + y x y + = 0 C : x + y x 8y + = 0 Representa les circumferències i l eix radical d aquestes. Sea P (x, y) un punto del eje radical de ambas circunferencias. Como las potencias de P a C y de P a C deben coincidir: x + y x y + = x + y x 8y + 8 6y = 0 8 y = El eje radical de las circunferencias es y =. Para hacer la representación, calculamos el centro y el radio de cada circunferencia: C A = B = C = O C = (, ) r = + = C A = B = 8 C = O C = (, ) r' = + 8 = 8 Y C y = / C X