3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p

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1 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts Mtrics dtrinnts. Ejrcicios d Slctividd. º.- Junio 99. i) Dfin rngo d un triz. ii) Un triz d trs fils trs coluns tin rngo trs, cóo pud vrir l rngo si quitos un colun?. Si supriios un fil un colun, podos sgurr qu l rngo d l triz rsultnt vldrá dos?. Rzon ls rspusts. º.- Sptibr 99. Dd l cución f ( ). S pid: i) Rzonr qu s polinóic d grdo. ii) Obtnr, sin dsrrollr l dtrinnt, sus solucions. Rzon ls rspusts. º.- Junio 995. i) Producto d trics: dfinición, condicions pr su rlizción. Si M n (l triz tin fils n coluns), M n p C M q r, qué condicions dbn cuplir p, q r pr qu ls oprcions qu s indicn continución pudn sr fctuds cuál s l ordn d l triz rsultnt?: ) C ; b) ( C). ii) Sindo ncsrint?. con trics cudrds d ordn dos, db sr º.- Sptibr 995. ) Dfinir rngo d un triz plicndo cd concpto qu intrvin n l dfinición. b) S un triz cudrd d ordn cuo rngo s, s ltrrá l rngo d dich triz si los lntos d un d sus coluns s ls sun los corrspondints d otr d sus colus?. Rzon l rspust. 5º.- Junio 996. plicndo propidds d los dtrinnts ( sin dsrrollr ni plicr l rgl d Srrus) rspondr rzondnt ls siguints prgunts: i) Cóo vrirá l dtrinnt d un triz d ordn si s ultiplic cd lnto ij d l triz por i j?. ii) L triz, d ordn, ( ) con ij i j, tin invrs?. ij ( ij s l lnto d l triz prtncint l fil i colun j ) 6º.- Sptibr 996. i) Dfinir rngo d un triz plicndo cd concpto qu intrvin n l dfinición. ii) Clculr, sgún los vlors d, l rngo d l triz

2 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts Rzon ls rspusts. 7º.- Junio Dds ls trics M ; N. k i) vrigur prqué vlors d k ist lgun triz P qu cupl, N PM. t ii) Tin sntido hblr d l istnci d l triz invrs M N, pr todo k R?. Si ist pr k, hllrl. t ( N trspust d N ) 8º.- Sptibr 997. plicndo ls propidds d los dtrinnts sin utilizr l rgl d Srrus, probr qu z [( z) ]( z ) z indicndo n cd pso ls propidds qu hs utilizdo. z z. 9º.- Junio 998. Dd l idntidd tricil X 5 6. Cuáls son ls dinsions d un triz solución d l idntidd ntrior?.. Clcul un solución.. Es únic l solución?. Rzon ls rspusts. º.- Sptibr Dfin triz tringulr suprior clcul su dtrinnt.. Hll tods ls trics tringulrs supriors, d ordn dos, qu vrificn qu su cudrdo s l triz idntidd. º.- Junio 999. λ S λ dond λ s un núro rl. i) Hll los vlors d λ pr los culs no tin invrs. ii) Clcul l vlor d b R pr l qu l triz b tin dtrinnt. º.- Sptibr 999.

3 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts S b i) Cuándo l dtrinnt d s l sno d lgún núro rl?. ii) Clcul l invrs d cundo ist., b pr los qu coincid con su invrs. iii) Dtrin todos los prs ( ) º.- Junio. i. Clcul tods ls trics digonls d ordn dos qu coincidn con su invrs. ii. Si s un d sts trics, clcul su cudrdo. b º.- Sptibr. S c d i. Clcul ls trics qu vrificn l rlción I. ( I s l triz idntidd rprsnt l dtrinnt d ). ii. Clcul tods ls trics digonls, qu no posn invrs qu vrificn l rlción ntrior. iii. S vrific pr culquir pr d trics C l rlción C C?. Si no s cirto pon un contrjplo. 5º.- Junio. S un triz n ) Eist un triz tl qu s un triz fil? Si ist, qué ordn tin? b) S pud ncontrr un triz tl qu s un triz fil? Si ist, qué ordn tin? c) uscr un triz tl qu ( ) sindo 6º.- Sptibr S l cución tricil C. ) Qué ordn tin l triz solución? b) Rsulv l cución cundo C 7º).- Junio. ) Dtrinr l triz X pr qu tng solución l cución C ( X ). I, dond, C son trics no singulrs d ordn n I l triz idntidd d ordn n. b) plicr l rsultdo ntrior pr, C

4 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts NOT: Mtriz singulr s qull d dtrinnt nulo. 8º) Sptibr S l triz ) Clculr l vlor d su dtrinnt n función d. b) Encontrr su invrs si ist, cundo 9º) Sptibr Sn ls trics 5 ) Clculr ls trics C D tls qu CDI, sindo I l triz idntidd d ordn. b) Discutir rsolvr l sist ( ) D C si C D son ls invrss d ls trics C D indicds n l prtdo ntrior. º) Junio ) Si s un triz no singulr ( ) C, sindo l triz nul coprobr qu C b) Sgún l rsultdo dl prtdo ntrior, cundo 6, l únic triz X qu vrific l cución X s l triz nul. Es cirt st firción? Por qué? NOT: Mtriz singulr s qull d dtrinnt nulo. º) Sptibr -9- S. Clculr su invrs, si ist. b. Encontrr l rgl d cálculo d ls sucsivs potncis n d. c. Rsolvr l cución ( ) X. Junio Dds ls trics C D. Pr qué vlors d l triz pos invrs? (,75 b. Clcul l invrs d pr l vlor - (,75

5 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts 5 c. Qué dinsions db tnr un triz pr qu l cución tricil D C tng sntido? Clcul pr l vlor - ( punto). Sptibr Dds ls trics 6 6. Discut l rngo d sgún los vlors d. ( pto.) b. Qué dinsions h d tnr l triz X pr qu s posibl l cución X (,5 pto) c. Clcul X pr.. Junio 5 Rsulv ls siguints cucions n l vribl. (,5 b. (,5 5. Sptibr 5 Si l triz i h g f d c b tin dtrinnt k Cuáls son los vlors d los siguints dtrinnts?. i h g c b f d (,5 b. i h h g f d c b b (,5 6. Junio 6 Dd l triz dond s un núro rl. Hll:. Los vlors d pr qu l triz pos invrs. ( punto) b. L invrs d pr ( punto) c. Con 5, l vlor d R b pr qu l triz b. tng dtrinnt. (,5

6 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts k 7. Sptibr 6 Sn ls trics k,. Estudi, n función d vlors rls d k, si l triz. tin invrs ( punto) b. Lo iso pr l triz. (,5 8. Junio 7 Sn ls trics α α α. Estudi, n función d α l rngo d ls trics.( punto) b. Clcul, pr α, l triz X qu vrific X (,5 9. Sptibr d 7 S l triz. Coprobr qu vrific I O, con I triz idntidd O triz nul ( punto) b. Clcul (,75 c. sándos n los prtdos ntriors sin rcurrir l cálculo d invrss hll l triz X qu vrific l iguldd X I (,75. Junio 8 S considrn ls trics, ( α,,) C (,,). z z. Hll los vlors,, z, pr los qu no tin invrs (,75 b. Dtrin los vlors d α pr los qu l sist C tin solución ( punto) c. Rsulv l sist ntrior cundo s posibl. (,75. Sptibr 8 S considr un triz cudrd dordn trs qu vrific l cución 6 9I dond I. Eprs coo cobinción linl d I. ( punto) b. Estudi si l triz 6 vrific l cución 6 9I. Dtrin si tin invrs, si l tin, clcúll. (,5 6

7 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts 7. Junio 9 S considrn ls trics P Q. Sgún los vlors d R, studi l rngo d P ( punto) b. Pr l cso, Hll X tl qu Q X P (,5. Sptibr 9 Ddo l núro rl, s considr l triz. Hll los vlors d pr qu l triz tin invrs (.75 b. Pr, clcul l vctor X qu vrifiqu X sindo (.75. Junio Dd l triz. Clcul los vlors d pr los qu l triz I no tin invrs (,5 b. Clcul, si ist, l invrs d l triz I ( punto) Not: I s l triz idntidd d ordn 5. Junio Dd l triz. Rsulv l cución ( ) dt. (,5 b. Clcul l rngo d l triz sgún los vlors d. ( punto) Not: ( ) dt dnot l dtrinnt d l triz. 6. Sptibr Dd l triz M. Hll, si ist, l triz invrs d M. ( punto) b. Clcul l triz X qu cupl M M M X (,5 7. Sptibr Dd l triz

8 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts 8. Clcul l dtrinnt d. ( punto) b. Indiqu los vlors d pr los qu tin triz invrs.(,5 c. Hll, si ist, l triz invrs d cundo. ( punto) 8. Junio Ddo l núro rl s considr l triz. Hll los vlors d pr los culs l triz tin invrs. ( punto) b. Obtng l triz invrs d n los csos n qu ist. (,5 9. Junio S considr l triz. Obtng los vlors dl núro rl pr los qu tin triz invrs (.5 b. Hll, si s posibl, l triz invrs d, n l cso. (.5. Julio S l triz. Estudi su rngo sgún los vlors dl núro rl. (,5 b. Rsulv l sist hoogéno cu triz s n l cso -. (,5. Julio S considrn ls trics Rsulv, si s posibl, l cución tricil X (,5. Junio S considrn ls trics I. Rsulv l cución ( ) dt I ( punto) b. Discut l sist hoogéno d triz I, sgún los vlors dl núro rl. (,75 c. Rsuélvlo n qullos csos n qu l sist s coptibl dtrindo. (,75. Junio Ddo l núro rl s considr l triz. Hll los vlors d pr los culs l triz tin invrs. (,5 b. usqu, si s posibl, l triz invrs d n l cso (,5

9 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts. Julio Ddos los núros rls, b, c,, considros l triz b c b c. Hll los vlors, b, c,, pr los culs s ntisiétrics. (Rcurd qu l triz s ntisiétric si t ) (9,75 b. Si bc, hll l rngo d sgún los vlors d. ( punto) c. Si b c Rsulv l cución t t (,75 Not: dnot l triz trspust d. 5. Julio Sn ls trics. Clcul, si s posibl, l triz invrs d l triz. ( punto) b. Rsulv, si s posibl, l cución tricil X (,5 6. Julio S considr l triz c b p Dt. (,5. Obtng l polinoio ( ) ( ) b. Si c, busqu ls rícs d p ( ) dpndindo d b. (,5 9

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