Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.

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1 UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas. A los números reales a ij se les llama elementos de la matriz. El primer subíndice (i) indica el renglón, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a 32 es el que está en el tercer renglón y la segunda columna. Las dimensiones de la matriz son m y n. Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. Es decir, siendo: A = B si para todo i = {1,2,...,m} y para todo j = {1,2,...,n} se cumple que Tipos de matrices. a) Matriz renglón o vector renglón es una matriz con un solo renglón. Es toda matriz de orden 1 x n.. Donde A es de orden 1 x 5. b) Matriz columna o vector columna es una matriz con una sola columna. Es toda matriz de orden m x 1.. Donde A es de orden 3x1. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 1

2 c) Matriz nula. Es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremos por (0). Son matrices nulas:,,... d) Matriz vertical. Es aquella en la que m>n.. e) Matriz horizontal. Es aquella en la que m < n.. f) Matriz opuesta de A. Es la que tiene por elementos los opuestos de los elementos de A. La denotaremos por -A. Si y Ejemplo: Si. g) Matriz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir de A cambiando filas por columnas sin alterar su orden de colocación. La denotaremos por A T. Si,. Si A es de orden mn, A T será de orden nm. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades: 1. (A + B) T = A T + B T. 2. (A T ) T = A. 3. (ka) T = ka T (si k es un escalar). 4. (AB) T = B T A T. Ejemplo 1: Si,. A es de orden 2 x 3. A t es de orden 3 x 2. h) Matrices simétricas: Se dice que una matriz real es simétrica, si A T = A, n = m y a ij = a ji Ejemplo 2: es simétrica, pues. Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A T = A. Siendo así, A es simétrica. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 2

3 i) Matrices Antisimétricas: La matriz A es antisimétrica, si A T = -A. O sea: para todos i, j. Ejemplo 3: es antisimétrica, pues. Para A los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo A es antisimétrica. En las matrices antisimétricas los elementos de la diagonal principal son nulos j) Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que columnas. Es decir m = n. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n- cuadrada. Ejemplos: Sean las matrices Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.en las matrices cuadradas podemos distinguir: La diagonal principal. Son los elementos y la diagonal secundaria. Son los elementos. Diagonal principal: 1,5,9. Diagonal secundaria: 3,5,7. k) Matriz identidad: Sea una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Por ejemplo: Ejemplo 4: Para cualquier matriz A de n x n, se cumple que. l) Matrices triangulares Una matriz cuadrada es una matriz triangular, si todos los elementos que están por encima o por debajo de la diagonal principal son todos cero. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 3

4 l.1) Matriz triangular superior. Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal. Es decir para i > j. l. 2) Matriz triangular inferior. Si son nulos los elementos por encima de la diagonal principal. Es decir: para i < j. k) Matrices diagonales Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por. Por ejemplo, son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7), diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1). 3.2 Operaciones con matrices Suma de matrices. Definición: Consideremos dos matrices A, B con las mismas dimensiones. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 4

5 En forma abreviada: si y entonces Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices: Ejemplo 5: Si y Entonces Propiedades de la suma de matrices. Dadas A, B, y C, tres matrices de m x n y, se cumplen las siguientes propiedades de la suma de matrices. i) A + 0 = A La matriz nula es un elemento neutro en la suma de matrices. ii) A + B = B + A La suma de matrices es conmutativa. iii) (A + B) + C = A + ( B + C ) La suma de matrices es asociativa Multiplicación de una matriz por un escalar. Si A es la matriz de m x n y es un escalar entonces la matriz de m x n esta dada por: En forma abreviada: Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 5

6 Ejemplo 6: Dada encuentra 2A. Solución: Multiplicando la matriz A por el escalar 2, de acuerdo con la definición anterior: Propiedades de la multiplicación de una matriz por un escalar. i) A (0) = 0 ii) 1A = A iii) iv) a B = B a Ley distributiva Ley conmutativa Producto de dos matrices Producto de una matriz fila por una matriz columna. Sean A una matriz con un renglón y n columnas y B una matriz con m renglones y una columna. El producto de las matrices A y B es otra matriz elemento es: con una fila y una columna cuyo único Es decir: Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 6

7 Ejemplo 7: Sean una matriz con una fila y 4 columnas y una matriz con 4 filas y una columna. que es una matriz de orden 1 x 1 con un único elemento, el Producto de dos matrices cualesquiera. Definición: Sean A una matriz de orden m x n, y B una matriz de orden n x p, Entonces el producto de las matrices A y B es otra matriz C de orden m x p donde cada elemento es el producto del renglón i de A por la columna j de B, esto es: Obsérvese que para poder efectuar el producto AB es necesario que el n número de columnas de la matriz A coincida con el m número de renglones de la matriz B. Esto implica que, en general, si existe el producto AB no necesariamente tiene por qué existir BA, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Así, debe tenerse cuidado en el orden de la multiplicación de dos matrices. Ejemplo 8: Ejemplo 9: Ejemplo 10: Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 7

8 Ejemplo 11: Propiedades de la multiplicación de matrices. Si A es una matriz de m x n, B una matriz de n x p y C una matriz de m x p, entonces se cumple la propiedad asociativa. definida por la izquierda o por la derecha. Si todas las sumas y todos los siguientes productos están definidos, entonces se cumple las siguientes propiedades distributivas y 3.3 Determinante de una Matriz Definición de Determinante. Definición de determinante de 2 x 2: Dada, se define el determinante de A como: y se le denota por A, o por por lo tanto: Definición de determinante de 3 x 3: Sea, entonces: Antes de definir el determinante de la matriz de n x n obsérvese que: Es la matriz obtenida al eliminar el primer renglón y primera columna de A; Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 8

9 Es la matriz obtenida al eliminar el primer renglón y segunda columna de A; Es la matriz obtenida al eliminar el primer renglón y tercera columna de A. Si a estas matrices se les denota así: Y si: Entonces la ecuación puede escribirse así: Ejemplo 12: = (-4) (-15) = = 63 Definición: Se le llama menor i j de la matriz A de n x n a la matriz M i j de (n-1)(n-1) que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna j. Ejemplo 13: Dada la matriz, entonces: Definición: Se le denomina cofactor i j de la matriz A de n x n y se le denota por A i j a: A ij = (-1) i+j M ij Definición de determinante de n x n: Sea una matriz A de n x n, entonces el determinante de A, está dado por: Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 9

10 Ejemplo 14: Dado el determinante a) Calcula el det (A) desarrollándolo por cofactores a lo largo de la tercera columna. b) Calcula el det (A) desarrollándolo por cofactores a lo largo del tercer renglón. Solución: a) b) Ejemplo 15: Encuentra el valor del siguiente determinante: Solución: Si se examinan los renglones y las columnas de este determinante se verá que la segunda columna tiene más ceros, será por lo tanto conveniente desarrollar por cofactores de dicha columna: Propiedades de los determinantes. Las propiedades básicas del determinante son las siguientes: a) Sea A una matriz cuadrada, Si A posee dos renglones (columnas) iguales, necesariamente A = 0. Si A posee un renglón (columna) iguales a cero, necesariamente A = 0. Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces A es igual al producto de los elementos de la diagonal. b) Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre renglones (columnas), Si se han intercambiado dos renglones (columnas) de A, entonces B = - A. Si se ha sumado un múltiplo de un renglón (columna) a otra, entonces B = A. Si se ha multiplicado un renglón (columna) de A por un escalar k, entonces, B = k A. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 10

11 c) El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A T son iguales, es decir, A = A T. d) El determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: AB = A B. La manera más fácil de resolver un determinante de orden mayor a 3 es convertir su matriz a matriz diagonal mediante operaciones por renglones. Ejemplo 16: Evalúa el determinante de la matriz Solución: Convirtiendo el determinante de la matriz dada al determinante de la matriz diagonal mediante operaciones por renglones: 3.4 Inversa de una matriz. Definición: Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que: AB = BA = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A -1. Entonces se tiene: AA -1 = A -1 A = I. Por tanto, si A tiene inversa, entonces se dice que A es invertible. Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular y una matriz invertible se llama no singular Propiedades de la matriz inversa. a) Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ambas invertibles, entonces: (AB) -1 = B -1 A -1 b) Si la matriz A tiene inversa, esta es única. c) No toda matriz tiene inversa. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 11

12 3.4.2 Método del Producto de Matrices elementales Matrices elementales. Definición: Sea una matriz E (cuadrada) de n x n que se puede obtener a partir de la matriz identidad I n de n x n mediante una o varias operaciones elementales por renglones. Las operaciones elementales con renglones son: Multiplicar el renglón i por un número diferente de cero. Ri cri, Sumar un múltiplo del renglón i al renglón. Rj Rj + cri, Permutar: Intercambiar los renglones i y j. P ij Ri Rj Una matriz elemental se denota por E, o por cr i, R j + cr i, o por P ij según la forma en que se obtuvo de I. En este casó P ij es la matriz obtenida al intercambiar los renglones i y j de I. Ejemplo 17: Obtenga tres matrices elementales de 3x3. Teorema 1: Para realizar una operación elemental en una matriz A, se multiplica A por la izquierda por la matriz elemental adecuada. Ejemplo 18: Realice las siguientes operaciones elementales con los renglones de A multiplicando A por la izquierda por la matriz elemental adecuada. Sea A= Solución: Como A es una matriz de 3x4 cada matriz elemental E debe ser de 3x3, ya que E debe de ser cuadrada. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 12

13 Considere los siguientes tres productos, con c 0. Las operaciones anteriores sugieren que toda matriz elemental es invertible y que su inversa es del mismo tipo (Teorema 2). Es evidente que si se realizan operaciones seguidas de la inversa de la misma operación sobre la matriz A, la matriz A no cambia Inversa por Producto de Matrices elementales. Teorema 3: Una matriz cuadrada es invertible, solo si es el producto de matrices elementales. Demostración: Sea A =E 1 E 2 E n donde cada E i es una matriz elemental. Por el teorema 2 cada matriz elemental es invertible. Más aun A es invertible y A -1 = E -1 1E -1 2 E -1 n. Inversamente, suponga que A es invertible. A es equivalente por renglones a la matriz identidad I. Esto significa que A se puede reducir a I mediante un numero finito de operaciones elementales. Por el teorema 1 cada operación de este tipo se logra multiplicando A por la izquierda por una matriz elemental adecuada y por lo tanto, existen matrices elementales E 1, E 2, E n. Tales que: E i A = I E i = A -1 E n E n-1 E 2 E 1 A= I Así, E n E n-1 E 2 E 1 = A -1 Y como cada E i es invertible por el teorema 2. A= (A -1 ) -1 = (E n E n-1 E 2 E 1 ) -1 = E -1 1E -1 2 E -1 n-1e -1 n Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental, sea escrito A como el producto de matrices elementales. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 13

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