Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con Matrices. COMP 2502: Estructuras Computacionales Discretas II Dra. Madeline Ortiz Rodríguez

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Raquel Saavedra Blázquez
hace 7 años
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1 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con Matrices COMP 2502: Estructuras Computacionales Discretas II Dra. Madeline Ortiz Rodríguez

2 Agenda Cuáles son las ecuaciones lineales Solución de ecuaciones lineales Dos ecuaciones con dos variables Tres ecuaciones con tres variables 2

3 Ecuaciones Lineales Al estudiar Álgebra habrás trabajado con ecuaciones de distintos tipos. Dos ejemplos de ecuaciones lineales en una incógnita son: 3x = 12 2x -1 = 7 Observa que la variable x NO lleva exponente. Si decidieras escribirle el exponente a la variable x, éste tendría que ser uno (1), ya que: x 1 = x 3

4 Solución de ecuaciones lineales Considera la ecuación: 3x = 12 Para resolver una ecuación, debemos encontrar el valor de la variable x que hace cierta la igualdad. Por ello, realizamos operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación. Si divides cada lado de la ecuación por 3, encontrarás la solución. (3/3) x = 12/3 1x = 4 x = 4 Esto quiere decir que 3 multiplicado por 4 es igual a 12. 3(4) = 12 4

5 Sistema de dos ecuaciones lineales Cuando tenemos dos ecuaciones lineales en dos variables, podemos utilizar una matriz para encontrar la solución del sistema. Un sistema puede tener tres tipos de soluciones: Solución única: un punto o par ordenado que puede representarse en el Plano Cartesiano. Solución infinita: cuando las dos ecuaciones son equivalantes (la primera puede conseguirse multiplicando la segunda por un factor o vice-versa). Solución vacía: cuando las ecuaciones representan dos líneas paralelas en el Plano Cartesiano. Esto es, cuando la pendiente (m) es igual, pero el intercepto en y es distinto. 5

6 Solución de sistemas lineales: Tres casos posibles Imagen disponible en: 6

7 Ejemplo Dado un sistema de dos ecuaciones lineales: 2x + 3y = 13 6x 4y = 26 La matriz se crea tomando los coeficientes de cada variable y el número a la derecha del signo de es igual. Esto es:

8 La Matriz de un Sistema de Ecuaciones Observa que podemos dibujar una línea para separar el lado izquierdo de la ecuación del lado derecho, aunque esto no es requisito. Las dos ecuaciones, representadas en la matriz, se manipularían con operaciones aritméticas para encontrar la solución. El procedimiento nos permitirá convertir el lado izquierdo de la línea vertical en una matriz identidad. 8

9 Recordando la Matriz Identidad La matriz identidad es una matriz cuadrada. Tiene unos (1) en la diagonal y ceros fuera de la diagonal, tanto en la parte superior como en la inferior de la diagonal. Por ejemplo, diagonal A = B = 2x2 diagonal x3 9

10 Solución del Sistema de Ecuaciones Al manipular las ecuaciones con operaciones aritméticas, podremos convertir la matriz del sistema en una matriz identidad: ?? 0 1?? En el lado derecho de la línea vertical encontraremos la solución del sistema. 10

11 Escalonamiento de la matriz Para convertir la matriz dada en una matriz identidad se realizan operaciones aritméticas. Éstas incluyen: Multiplicar una línea por un número Dividir por un número una línea Sumar dos líneas Restar dos líneas Cambiar de lugar una línea de primera a segunda de primera a tercera u otros cambios 11

12 Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables Qué caso será? 12

13 Proceso: Primer paso Divide la primera línea por Ya tenemos el 1 en la posición 1,1 de la matriz identidad: 13

14 Proceso: Segundo paso Multiplica por -6 la primera línea y súmala a la segunda línea, cambia la segunda línea. -6 [] = [ ] [ ] + [6-4 26] = [ ] Ya tenemos un 1 en la posición 1,1 y Tenemos un 0 en la posición 2,1. 14

15 Proceso: Detalles del segundo paso Multiplico los elementos de la primera línea por 6-6 [] = [-6 (1) -6(3/2) -6(13/2)] = [-6-18/2-78/2] [ ] Sumo el producto de la primera línea por 6 con la segunda línea: [ ] + [6-4 26] = [(-6+6) (-9+-4) (-39+26)] [ ] 15

16 Proceso: Tercer paso Divido la segunda línea por Ya tenemos un 1 en la posición 1,1 de la matriz. Tenemos un 0 en la posición 2,1 de la matriz. Tenemos un 1 en la posición 2,2 de la matriz. Sólo falta un 0 en la posición 1,2 de la matriz. 16

17 Proceso: Cuarto paso Multiplico la segunda línea por ( 3/2) y la sumo a la primera línea Tenemos un 1 en la posición 1,1. Tenemos un 0 en la posición 2,1. Tenemos un 1 en la posición 2,2. Tenemos un 0 en la posición 1,2. 17

18 Proceso: Detallas del cuarto paso Multiplico los elementos de la segunda línea por (-3/2) -3/2 [0 1 1] = [-3/2(0) -3/2(1) -3/2(1)] = [0-3/2-3/2] Sumo el producto a la segunda línea con la primera línea [0-3/2-3/2] + [] = [(0+1) ((-3/2)+(3/2)) (-3/2)+(13/2)] = [1 0 10/2] = [1 0 5] 18

19 En resumen: Primer Paso: F 1 /2 F Segundo Paso: F 1 *-6 + F 2 F Tercer Paso: F 2 /-13 F Cuarto Paso: F 2 *-3/2 + F 1 F

20 Qué significa? Si convertimos la matriz de la derecha en un sistema de ecuaciones nuevamente, tendremos: 1x + 0y =5 x + 0 = 5 x = 5 0x + 1y = y = 1 y = 1 La matriz escalonada (cuya parte de la izquierda es la matriz identidad) nos da la solución del sistema. 20

21 La solución del sistema La solución es el par ordenado o punto (5,1). Al dibujar las ecuaciones en el Plano Cartesiano, éstas se interceptarán (se cruzarán) en el punto (5,1). Un caso como el siguiente: 6x - 4y = 26 (5, 1) 2x + 3y = 13 21

22 Ejercicios de práctica: Presenta la solución paso a paso en el Foro. 1. Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales: 2x 10y = 2 6x 5y = 1 Encuentra la solución utilizando el Método de Gauss-Jordan. 2. Dado el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales: 2x + 4y + 6z = 18 4x + 5y + 6z = 24 3x + y 2z = 4 Encuentra el valor de x, y, z utilizando el Método de Gauss- Jordan. 22

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