Probabilidad. 1. Experimentos aleatorios Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Sucesos... 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Probabilidad. 1. Experimentos aleatorios Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Sucesos... 3"

Transcripción

1 Probabldad PROBABILIDAD 1. Expermetos aleatoros Espaco muestral asocado a u expermeto aleatoro Sucesos El álgebra de Boole de los sucesos Frecuecas. Propedades Defcó axomátca de probabldades. Propedades Probabldad codcoada Sucesos depedetes Teorema de la probabldad total Teorema de Bayes Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

2 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS Probabldad U expermeto aleatoro es aquel que realzado e las msmas codcoes o causas, puede dar lugar a dferetes resultados o efectos coocdos de atemao. So ejemplos de expermetos aleatoros: EJEMPLO 1.1: Se laza u dado y se observa el úmero o la fgura que aparece e la cara superor. EJEMPLO 1.2: Se laza ua moeda cuatro veces y se observa el úmero de caras obtedas. EJEMPLO 1.3: E u proceso de produccó se cueta el úmero de artículos defectuosos que se produce e u día. EJEMPLO 1.4: De ua ura que cotee bolas blacas y egras, se extrae ua bola y se aota su color. Qué tee e comú estos expermetos?: - Cada expermeto puede repetrse defdamete bajo codcoes esecalmete alterables. - Auque e geeral o podemos predecr cuál será el resultado de cada repetcó, s es posble descrbr el cojuto de todos los resultados posbles. - Cuado el expermeto se repte u úmero grade de veces aparece certas regulardades e los resultados. Al descrbr u expermeto aleatoro, es esecal especfcar qué aspecto del resultado os teresa observar, o, dcho de otro modo, cuál es uestro crtero para cosderar dos resultados como dferetes. Esta especfcacó se logra medate el espaco muestral. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 2

3 Probabldad 2. ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXPERIMENTO ALEATORIO A cada expermeto asocamos u cojuto E, que deomaremos espaco muestral, formado por todos los resultados posbles del expermeto. Así e el caso del lazameto de u dado se puede tomar como espaco muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E el caso del lazameto de dos moedas: E = { cc, cx, xc, xx} 3. SUCESOS Suceso elemetal es cada uo de los resultados posbles de ua expereca. Ejemplo: "Obteer u cco al arrojar u dado". El cojuto de todos los sucesos elemetales costtuye el espaco muestral. Suceso compuesto es el cojuto de varos sucesos elemetales. Por ejemplo "Obteer par". Podemos, pues, defr u suceso de u expermeto aleatoro como u subcojuto del espaco muestral. Suceso mposble es aquel que o se puede realzar uca y se le deota. Ejemplo: "Obteer u sete al lazar u dado". Suceso seguro es aquel que se verfca sempre, que es precsamete el espaco muestral E. Los sucesos asocados a u expermeto aleatoro costtuye u álgebra. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 Probabldad 4. EL ALGEBRA DE BOOLE DE LOS SUCESOS Supogamos que os ecotramos ate u expermeto al cual se le asoca ua famla de cojutos A, B, C,... etc., de tal forma que fjado uo de ellos el suceso o cojuto A al realzar ua prueba del expermeto podemos decr, s se ha verfcado o o dcho suceso al observar el resultado de la prueba. Ejemplo: E el expermeto aleatoro de lazar dos moedas se realza la sguete preguta: " Es el úmero de caras meor o gual que uo?" Como vemos, esta preguta tee respuesta y el suceso que respode "s" a la preguta es: A = {cx, xc, cc} B (A B). Defcoes: - Dremos que el suceso A mplca el suceso B s sempre que se verfca A se verfca - S dos sucesos so tales que A B y B A, etoces dremos que so guales A=B. Se dce que u suceso A es cotraro a otro cuado se verfca s o se verfca A. Ejemplo: A = {2} = {múltplo de 2} => El suceso cotraro es A = {1, 3, 5} A Dados dos sucesos A y B se llama uó de dos sucesos A B al suceso que se verfca cuado se verfca A o se verfca B. A B={x tales que x A ó x B}. Propedad A A E. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 Probabldad Ejemplo: A = {2, 4}; B = {1, 2} => A B = {1, 2, 4} Se llama terseccó de sucesos AB al suceso que se verfca s se verfca A y B. A B ={ x tales que xay x B}. Propedad A A Ejemplo: A = {2, 4} B = {1, 2} => A B = {2} - Dos sucesos so compatbles, s o puede verfcarse jutos, A B = Ejemplo: A ={2, 4} B = {1, 6} => A B = Propedades de la uó e terseccó de sucesos: UNION INTERSECCIÓN Comutatva A B = B A A B = B A Asocatva A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Idempotete A A=A A A = A Smplfcacó A (B A) = A A (B A) = A Dstrbutva A (B C) = (A B)(A C) A(B C) = (A B) (A C) el. eutro A = A A E = A el.complemet. A A = E A A = El cojuto formado por todos los subcojutos del espaco muestral (P(E)) co la uó y la terseccó, por verfcar estas propedades tee estructura de algebra de Boole, a ésta se la llama: "Álgebra de Boole de los sucesos". Defcó: Sea B ua famla de subcojutos de u espaco muestral, se dce que B es u - álgebra s se verfca: 1) A1, A2,..., A,.. B etoces A B; 2) S A B etoces A B 1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 Probabldad Defcó: Decmos que ua fucó :B R es completamete adtva s cumple: 1) ( ) 0 2) A ( A ) sedo A Aj 1 1 Defcó: Decmos que :B R es ua medda s es completamete adtva y o egatva (es decr, ( A ) 0). Defcó: Llamaremos espaco medble a la tera costtuda por el cojuto E, la -álgebra y la medda. (E, B, ). Leyes de De Morga AB A B. El suceso complemetaro de la uó de sucesos, es el suceso terseccó de los complemetaros. AB A B. El suceso complemetaro de la terseccó de sucesos, es el suceso uó de los complemetaros. Se os platea el problema de cuatfcar o medr la posbldad de ocurreca de u suceso. Para ello vamos a cosderar las propedades de las frecuecas relatvas de u suceso e la realzacó de u expermeto aleatoro. 5. FRECUENCIAS. PROPIEDADES Dado u suceso A, la frecueca absoluta del suceso A e ua sere de repetcoes smlares del expermeto se la represeta por A. La frecueca relatva del suceso A es la frecueca absoluta dvdda por el úmero de veces que se realza el expermeto, se la represeta por f A. f A A Propedades: 1) Para cualquer suceso A, resulta: 0fA 1, ya que será sempre cocete de dos úmeros postvos e el que el umerador es sempre meor o gual que el deomador. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

7 Probabldad 2) Para el suceso seguro E: f E = 1 3) Para el suceso mposble : f 0 4) S dos sucesos A y B so compatbles, tedremos: sea A la frecueca absoluta de A, B la frecueca absoluta de B y sea A B la frecueca absoluta del suceso A B, por ser compatbles A B = A + B, luego: por cosguete f A B f A f s AB B f f f AB A B A B AB A B Cuado el úmero de pruebas aumeta, las frecuecas tede a establzarse e las proxmdades de u certo valor. 6. DEFINICIÓN AXIOMATICA DE PROBABILIDAD. PROPIEDADES. Sea u expermeto aleatoro y B la -álgebra de sucesos asocados a él. A cada suceso A B le asgamos u úmero P(A) deomado probabldad de A que satsface los axomas sguetes: Axoma 1. P(A) 0 Axoma 2. P(E) = 1, sedo E el espaco muestral Axoma 3. P(A U B) = P(A) + P(B) co A B = Cosderaremos la probabldad como el úmero al cual tede la frecueca relatva de u suceso A al repetrse la expereca defdamete. A fa P(A) 0,1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 Probabldad Este úmero se correspode co el cocete del cardal de elemetos del suceso A y el cardal del espaco muestral. REGLA DE LAPLACE La probabldad de u suceso es el úmero que se obtee al dvdr el úmero de casos favorables al suceso por el úmero de casos posbles card(a) P(A) card(e) Hemos de advertr que esta defcó, solamete es válda cuado todos los sucesos posbles so equprobables, es decr, que tega la msma probabldad de ocurreca y el espaco muestral sea fto. Obsérvese que los axomas so cosecueca drecta de las propedades de las frecuecas. Por todo lo vsto, teemos costrudo u espaco medble (E, B, ) cuya medda es la probabldad = P(A). Cosecueca de los axomas so las propedades. Propedades: 1) P( A )=1-P(A) E efecto: A A=E y AA P( A A)=P(A)+P( A )=P(E)=1 P( A )=1-P(A) 2) P( )=0 Por la propedad ateror P( )=1-P(E)=1-1=0 3) S A B, etoces P(A) P(B) S A B se tee que B=A (B A) sedo A (BA) P(B)=P(A (B A) )=P(A)+P( B A) y como P( B A) 0 P(B) P(A) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

9 Probabldad 4) S A y B so compatbles, etoces: P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) La demostracó la lustraremos co la ayuda del dagrama adjuto: Observado la fgura escrbremos A, B, y A B como uó de sucesos compatbles. A B A ( AB) ( AB) B( BA) ( AB) A B = ( AB) ( AB) ( A B) por el axoma 3 teemos: P(A) = P( AB) P( A B) y P( B) PB ( A) PA ( B) de dode, y por tato, PA ( B) PA ( ) PA ( B) y P( BA) PB ( ) PA ( B) P(A B)=P( AB) P( AB) P( A B) =P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB)= =P(A)+P(B)-P(A B) 5) P ABC P A P B P C P AB P AC P BC P(AB C) EJEMPL0 6: E ua habtacó hay 18 persoas de las que 9 so hombres, co cco fumadores etre ellos y el úmero de mujeres fumadoras es 6. Se elge al azar ua persoa. Calcular: a) Probabldad de elegr ua mujer o fumadora. b) Probabldad de elegr ua mujer o u o fumador. c) Supogamos que se elge al azar dos persoas de la habtacó, cuál es la probabldad de elegr a u hombre y a ua mujer? Solucó: La stuacó es la sguete: 5 hombres fumadores Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 Probabldad 4 hombres o fumadores 6 mujeres fumadoras 3 mujeres o fumadoras Cosderamos los sucesos: A = {la persoa elegda es mujer} y B = {la persoa elegda es o fumadora} a) P(AB) = 3 /18 b) P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) = Puesto que P(A)=9/18, ya que so 9 las mujeres y P(B) = 7/18 por ser 7 el úmero de o fumadores. c) Al tomar 2 persoas del total de 18 obteemos u total de 18 posbles por 17 restates dvdo por dos, ya que o mporta el orde, se trata de combacoes de 18 elemetos tomados de 2 e 2, y se escrbe Ahora podemos escoger 9 hombres y mujeres, luego p PROBABILIDAD CONDICIONADA Sea A y B dos sucesos asocados a u expermeto aleatoro. Represetamos por P(B/A) la probabldad de que ocurra B supuesto que haya ocurrdo A. Hablaremos de probabldad de B codcoada por A y se defe: PA ( B) PB ( / A) PA ( ) sedo P( A) 0 Debe observarse que P(B) y P(B/A) opera sobre espacos muestrales dferetes. Por ello, cosderamos u expermeto aleatoro, que realzamos veces, dados dos sucesos Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 10

11 Probabldad determados A y B, sea A B el úmero de veces que ha ocurrdo los dos sucesos, queremos determar la frecueca relatva del suceso B teedo e cueta úcamete las veces que ocurró el suceso A, esta frecueca relatva que la podamos llamar frecueca relatva de B codcoada a la ocurreca del suceso A, vedrá dada por f f BA / AB A / f / f AB A BA / A B que dvdedo por : es decr, la frecueca relatva de B codcoada a A es el cocete etre la frecueca relatva del suceso terseccó y la frecueca relatva del suceso A. Expresó que da lugar a la defcó de probabldad codcoada. A Ahora be, teemos que aseguraros de que P(B/A) es efectvamete ua probabldad, para lo cual debe satsfacer los axomas. E efecto: Axoma 1 P(B/A) 0 Como P(AB) 0 y P(A)>0 => P(B/A) será o egatvo. Axoma 2 P(E/A)=1 Ya que, P(E/A) = P ( E A ) PA ( ) 1 PA ( ) PA ( ) Axoma 3 S B y C so compatbles, P(( BC) / A) P(B/A)+P(C/A) P(( BC) A) P(( BC) / A) PA ( ) como ( BC) A ( BA) ( C A) sedo ( BA) ( CA) ( BC) A A teemos que P(( BC) A) P(( BA) ( CA)) P( BA) P( C A) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 11

12 Probabldad PB ( A) PC ( A) PB ( A) PC ( A) resultado P(( BC) / A) =P(B/A)+P(C/A) PA ( ) PA ( ) PA ( ) EJEMPLO 7: Cosderemos el expermeto aleatoro de lazar u dado el suceso A = {resultado mpar} y B = {resultado mayor que 4}. Se pde P(B/A). Solucó: A = {resultado mpar} = {1, 3, 5} => P(A) = 3/6 B = {resultado mayor que 4} = {5, 6} => P(B)= 2/6 AB = {resultado mpar y mayor que 4} = {5} => P(AB) = 1/6 Susttuyedo: P(A B) P(B/ A) = 1/6 1/3 P(A) 3/6 De la defcó de probabldad codcoada, se tee: PA ( B) PB ( / A) => P(AB) = P(A) P(B/A) PA ( ) y aálogamete PA ( B) PA ( / B) => P(AB) = P(B) P(A/B) PB ( ) Se obtee, P(AB) = P(A) P(B/A) = P(A) P(B/A) expresó que se cooce co el ombre de teorema de la probabldad compuesta. Geeralzado, PA ( 1A2... A) PA ( 1) PA ( 2 / A1) PA ( 3 / A1A2)... PA ( / A1... A 1) 8. SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos so depedetes cuado la ocurreca de uo o depede de la ocurreca del otro. Así, s lazamos dos dados, el resultado que pueda obteerse e cada uo de ellos es depedete del otro. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 12

13 Probabldad S B es depedete de A la P(B/A) = P(B) y por tato P(A B)=P(A) P(B) PA ( B) PAPB ( ) ( ) PA ( / B) PA ( ) PB ( ) PB ( ) y se tee que A es depedete de B. Geeralzado, s A 1,..., A so depedetes, etoces: PA ( A... A ) PA ( ) PA ( )... PA ( ) EJEMPLO 8.1: Se laza smultáeamete cco moedas. Hallar la probabldad de obteer al meos ua cara. Solucó: P(obteer ua cara al lazar ua moeda) = ½ P(o obteer ua cara al lazar ua moeda) = ½ P(o obteer gua cara al lazar cco moedas) = P(o obteer ua cara al lazar ua moeda)... 5).. P(o obteer ua cara al lazar ua moeda) = (½) 5 =1/32 Es coveete pasar al suceso cotraro, P(al meos ua cara) = 1 - P(o obteer gua cara) = 1 - (1/32) = 31/32 EJEMPLO 8.2: Sea A y B dos sucesos asocados a u expermeto aleatoro. Supógase que P(A) = 0.4, P(AB) = 0,7, y P(B) = p. a) Para qué valor de p so A y B compatbles? a) Para qué valor de p so A y B depedetes? Solucó: a) P(AB) = P(A) +P(B) para sucesos compatbles, susttuyedo P(AB) = P(A) + P(B) = 0,4 + p = 0,7 => p = 0,3 b) P(AB) = P(A) P(B) para sucesos depedetes. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = 0,4 + p - 0,4 p = 0,7 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 13

14 => 0,3 = 0,6 p etoces p = 0,5 Probabldad 9 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Decmos que u cojuto de sucesos B 1, B 2,, B forma u sstema completo o partcó del espaco muestral E cuado cumple: 1. So compatbles dos a dos, B Bj s j. 2. La uó de todos ellos forma u suceso seguro ( B E). 1 S A es otro suceso cualquera, se cumple que: PA ( ) PA ( / B) PB ( ) 1 Demostracó: A = AE = A(B 1 B 2... B ) = (AB 1 )(AB 2 )...(A B ) se cumple que AB so compatbles por serlo B ( AB ) ( AB ) A( B B ) j j por tato, aplcado la fórmula de la probabldad codcoada, PA ( ) PA ( B) PA ( B )... PA ( B ) PA ( B ) PA ( / B) PB ( ) EJEMPLO 9: Se tee dos uras: la ura úmero 1 tee tres bolas blacas y dos egras; la ura úmero 2 tee ua bola blaca y tres egras. Se elge ua ura al azar, y se extrae ua bola, cuál es la probabldad de que sea blaca? Solucó: Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 14

15 Probabldad Ura úmero 1: {3 Blacas, 2 Negras} ; Ura úmero 2: {1 Blaca, 3 Negras} Sea los sguetes sucesos: B 1 = {elegr la ura úmero 1} B 2 = {elegr la ura úmero 2} A = {extraer bola blaca} teemos, P(B 1 ) = P(B 2 ) = ½ por seleccoar la ura al azar. P(A/ B 1 ) = 3/5 por estar stuados e la prmera ura. P(A/ B 2 ) = ¼ por estar stuados e la seguda ura. por cosguete, P(A) = P(A/ B 1 ) P(B 1 ) + P(A/ B 2 ) P(B 2 ) = TEOREMA DE BAYES B Sea el espaco muestral E y los sucesos B, B,..., compatbles dos a dos, B s j, tales que B 1 B 2... B E. S A es otro suceso cualquera, se cumple j 1 2 B que: PB ( / A) PA ( / B) PB ( ) 1 PA ( / B) PB ( ) Demostracó: obteemos, Por el teorema ateror P( A) PA ( / B) PB ( ) 1 y como P( AB) PA ( / B) PB ( ) PA ( B ) PB ( / A) PA ( ) PA ( / B) PB ( ) 1 PA ( / B) PB ( ) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 15

16 Probabldad EJEMPLO 10: E el ejemplo ateror supogamos que, realzado el expermeto, la bola extraída resulta ser blaca, cuál es la probabldad de que la ura de la cual se ha extraído la bola sea la ura úmero 1? Solucó: P(B / A) P(A/B)P(B) P(A / B )P(B 1) P(A / B 2)P(B 2) Obsérvese como el teorema de la probabldad total os determa la probabldad a pror, s embargo el teorema de Bayes os dca la probabldad a posteror, es decr, ua vez realzado el expermeto. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 16

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES.

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. CONTENIDOS. VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. Itroduccó a la Estadístca descrptva. Termología básca: poblacó, muestra, dvduo, carácter. Varable estadístca: dscretas y cotuas. Orgazacó de datos.

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes

Más detalles

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado

Más detalles

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula

Más detalles

Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite Central

Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite Central Aproxmacó a la dstrbucó ormal: el Teorema del Límte Cetral El teorema del límte cetral establece que s se tee varables aleatoras, X, X,..., X, depedetes y co détca dstrbucó de meda µ y varaza σ, a medda

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temátco: Estadístca y Probabldades Empezaremos este breve estudo de estadístca correspodete al cuarto año de Eseñaza Meda revsado los dferetes tpos de gráfcos.. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es}

Más detalles

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar

Más detalles

A I A subconjunto de S A es un Evento s A s es elemento de A Ocurre el evento A

A I A subconjunto de S A es un Evento s A s es elemento de A Ocurre el evento A Uversdad Técca Federco Sata María Departameto de Iformátca ILI-80 Coceptos áscos Capítulo 5: Modelos de Probabldad Estadístca Computacoal º Semestre 00 Profesor :Héctor llede Pága : www.f.utfsm.cl/~hallede

Más detalles

TEMA 4: VALORACIÓN DE RENTAS

TEMA 4: VALORACIÓN DE RENTAS TEMA 4: ALORACIÓN DE RENTAS 1. Cocepto y valor facero de ua reta 2. Clasfcacó de las retas. 3. aloracó de Retas dscretas. Temporales. 4. aloracó de Retas dscretas. Perpetuas. 5. Ejerccos tema 4. 1. Cocepto

Más detalles

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 1 TEMA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS UTILIZACIÓN DE

Más detalles

Tema 2: Distribuciones bidimensionales

Tema 2: Distribuciones bidimensionales Tema : Dstrbucoes bdmesoales Varable Bdmesoal (X,Y) Sobre ua poblacó se observa smultáeamete dos varables X e Y. La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) es el cojuto de valores {(x, y j ); j } 1,, p;

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó

Más detalles

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada. MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co u ejemplo:

Más detalles

Topología General Capítulo 0-2 -

Topología General Capítulo 0-2 - Topología Geeral Topología Geeral apítulo - - - - Topología Geeral apítulo - 3 - Breve reseña hstórca Sus orígees está asocados a la obra de Euler, ator y Möbus. La palabra topología había sdo utlzada

Más detalles

NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD

NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD 1. CONCEPTO DE ESTADÍSTICA : Es la ceca que estuda la terpretacó de datos umércos. a) Proceso estadístco : Es aquél que a partr de uos datos umércos, obteemos

Más detalles

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:

Más detalles

V II Muestreo por Conglomerados

V II Muestreo por Conglomerados V II Muestreo por Coglomerados Dr. Jesús Mellado 31 Por alguas razoes aturales, los elemetos muestrales se ecuetra formado grupos, como por ejemlo, las persoas que vve e coloas de ua cudad, lo elemetos

Más detalles

DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA

DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE - INTRODUCCION Es tecó aalzar e este trabajo las coocdas relacoes costo-volume-utldad para el caso e que sus compoetes sea: w : costo varable utaro

Más detalles

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL Defcoes 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL E la práctca, los parámetros de ua dstrbucó de probabldad se estma a partr de la muestra La fereca estadístca cosste e estmar los parámetros de ua dstrbucó; y e evaluar ua

Más detalles

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE RGRIÓN LINAL IMPL l aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar la relacó fucoal etre dos o más varables, ajustado algú modelo matemátco. La regresó leal smple utlza ua sola varable de regresó

Más detalles

Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA 10 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 10.1 EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS EXPERIENCIAS DETERMINISTAS Y ALEATORIAS Se llama experiecia

Más detalles

CÁLCULO DE PROBABILIDADES :

CÁLCULO DE PROBABILIDADES : CÁLCULO DE PROBBILIDDES : Experimeto aleatorio. Espacio muestral. Sucesos. Álgebra de sucesos. Frecuecias. Propiedades. Probabilidad. Resume de Combiatoria. Probabilidad codicioada. Teoremas. PROBBILIDD

Más detalles

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS TEMA : COMPLEJOS 1 EN FOMA BINÓMICA 1.1 DEFINICIONES Sabemos que la resolucó de alguas ecuacoes de º grado coduce a ua raíz cuadrada de u º egatvo. Dcha raíz o tee setdo e el cojuto de los úmeros reales.

Más detalles

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Solucoes de los ejerccos de Selectvdad sobre Ifereca Estadístca de Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II Atoo Fracsco Roldá López de Herro * Covocatora de 006 Las sguetes págas cotee las solucoes

Más detalles

( ) = 0 entonces ˆ i i. xy x Y Y xy Y x ˆ. β = = β =.(1) Propiedades Estadísticas de los estimadores MICO. Linealidad.

( ) = 0 entonces ˆ i i. xy x Y Y xy Y x ˆ. β = = β =.(1) Propiedades Estadísticas de los estimadores MICO. Linealidad. Propedades Estadístcas de los estmadores MICO Lealdad ) y Y Y Y Y = = = β Y Dado que la = 0 etoces β =.) S defmos el poderador k =, co las propedades sguetes: a) No estocástco b) k = 0 c) k = k d) = kx

Más detalles

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula:

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula: CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS I Meddas de localzacó Auque ua dstrbucó de frecuecas es certamete muy útl para teer ua dea global del comportameto de los datos, es geeralmete ecesaro

Más detalles

Estadística Espacial. José Antonio Rivera Colmenero

Estadística Espacial. José Antonio Rivera Colmenero Estadístca Espacal José Atoo Rvera Colmeero 1 Descrptores del patró putual Tedeca cetral 1. Meda cetral (Meda espacal). Meda cetral poderada 3. Medaa cetral (medaa espacal) o se utlza amplamete por su

Más detalles

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada prmera de de ua fucó Prof. Alfredo López L Beto Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo dalgo LópezL

Más detalles

Frecuencia absoluta Les gusta 28 No les gusta 12 Total 40. Posibles resultados. Revisoras: Raquel Caro y Nieves Zuasti

Frecuencia absoluta Les gusta 28 No les gusta 12 Total 40. Posibles resultados. Revisoras: Raquel Caro y Nieves Zuasti 116 Capítulo 7: Estadístca. Azar y probabldad TEORÍA. Matemátcas 4º de ESO 1. ESTADÍSTICA 1.1. Muestras. Estudos estadístcos S queremos hacer u estudo estadístco teemos que: a) Recoger los datos b) Descrbr

Más detalles

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es (Feb03-ª Sem) Problema (4 putos). Se dspoe de u semcoductor tpo P paraleppédco, cuya dstrbucó de mpurezas es ( x a) l = A 0 dode A y 0 so mpurezas/volume, l es u parámetro de logtud y a la poscó de ua

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax + bx + c = 0 se aalzó el sgo

Más detalles

Métodos Estadísticos Aplicados a la Ingeniería Examen Temas 1-4 Ingeniería Industrial (E.I.I.) 23/4/09

Métodos Estadísticos Aplicados a la Ingeniería Examen Temas 1-4 Ingeniería Industrial (E.I.I.) 23/4/09 Métodos Estadístcos Aplcados a la Igeería Exame Temas -4 Igeería Idustral (E.I.I.) 3/4/09 Apelldos y ombre: Calfcacó: Cuestó..- Se ha calculado el percetl 8 sobre las estadístcas de sestraldad e el sector

Más detalles

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS PROBADO GRADORS D UMROS ALATORIOS s mportate asegurarse de que el geerador usado produzca ua secueca sufcetemete aleatora. Para esto se somete el geerador a pruebas estadístcas. S o pasa ua prueba, podemos

Más detalles

Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente.

Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente. Sere de radete (eométrco y rtmétco) y su Relacó co el resete. Certos proyectos de versó geera fluos de efectvo que crece o dsmuye ua certa catdad costate cada período. or eemplo, los gastos de matemeto

Más detalles

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN CONTENIDO DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CONCEPTOS BÁSICOS POBLACIÓN VARIABLE: Cualtatvas o Categórcas y Cuattatvas (Dscretas y Cotuas) MUESTRA TAMAÑO MUESTRAL DATO DISTRIBUCIONES

Más detalles

Tema 2 Probabilidad. 1. Conceptos básicos. 2. Probabilidad. 3. Probabilidad condicionada. 4. Independencia de sucesos

Tema 2 Probabilidad. 1. Conceptos básicos. 2. Probabilidad. 3. Probabilidad condicionada. 4. Independencia de sucesos Tema 2 robabldad. oceptos báscos 2. robabldad 3. robabldad codcoada 4. depedeca de sucesos 5. Teorema de la probabldad total 6. Teorema de ayes 7. sgacó de probabldades 8. álss combatoro . oceptos báscos.

Más detalles

Sistema binario. Disoluciones de dos componentes.

Sistema binario. Disoluciones de dos componentes. . Itroduccó ermodámca. ema Dsolucoes Ideales Ua dsolucó es ua mezcla homogéea, o sea u sstema costtudo por ua sola fase que cotee más de u compoete. La fase puede ser: sólda (aleacoes,..), líquda (agua

Más detalles

RENTABILIDAD DE LA CUOTA DE CAPITALIZACIÓN INDIVIDUAL.

RENTABILIDAD DE LA CUOTA DE CAPITALIZACIÓN INDIVIDUAL. Supertedeca de Admstradoras de Fodos de Pesoes CIRCULAR Nº 736 VISTOS: Las facultades que cofere la ley a esta Supertedeca, se mparte las sguetes struccoes de cumplmeto oblgatoro para todas las Admstradoras

Más detalles

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el

Más detalles

Regla de Bayes. Pedro J. Rodríguez Esquerdo

Regla de Bayes. Pedro J. Rodríguez Esquerdo Regla de Bayes Pedro J. Rodríguez Esquerdo Isttuto de Estadístca y Sstemas Computadorzados de Iformacó Facultad de Admstracó de Empresas y Departameto de Matemátcas Facultad de Cecas Naturales Recto de

Más detalles

7.1. Muestreo aleatorio simple. 7.2 Muestreo aleatorio estratificado. 7.3 Muestreo aleatorio de conglomerados. 7.4 Estimación del tamaño poblacional.

7.1. Muestreo aleatorio simple. 7.2 Muestreo aleatorio estratificado. 7.3 Muestreo aleatorio de conglomerados. 7.4 Estimación del tamaño poblacional. 7 ELEMETOS DE MUESTREO COTEIDOS: OBJETIVOS: 7.. Muestreo aleatoro smple. 7. Muestreo aleatoro estratfcado. 7.3 Muestreo aleatoro de coglomerados. 7.4 Estmacó del tamaño poblacoal. Determar el dseño de

Más detalles

4. SEGUNDO MÓDULO. 4.1 Resumen de Datos

4. SEGUNDO MÓDULO. 4.1 Resumen de Datos 4. SEGUNDO MÓDULO 4. Resume de Datos E estadístca descrptva, a partr de u cojuto de datos, se busca ecotrar resumes secllos, que permta vsualzar las característcas esecales de éstos. E ua expereca, u dato

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTILIDD Y RIESGO DE CRTERS Y CTIVOS TEM 3- I FUNTMENTOS DE DIRECCIÓN FINNCIER Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I RIESGO y RENTILIDD ( decsoes de versó productvas) EXISTENCI DE RIESGO ( los FNC

Más detalles

ANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS. José Vicéns Otero Eva Medina Moral

ANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS. José Vicéns Otero Eva Medina Moral ÁLISIS D DTOS CULITTIVOS José Vcés Otero va Meda Moral ero 005 . COSTRUCCIÓ D U TL D COTIGCI Para aalzar la relacó de depedeca o depedeca etre dos varables cualtatvas omales o actores, es ecesaro estudar

Más detalles

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores Laboratoro de Físca Prmer curso de Químca Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Medda y Error Aquellas propedades de la matera que so susceptbles de ser meddas se llama magtudes;

Más detalles

V Muestreo Estratificado

V Muestreo Estratificado V Muestreo Estratfcado Dr. Jesús Mellado 10 Certas poblacoes que se desea muestrear, preseta grupos de elemetos co característcas dferetes, s los grupos so pleamete detfcables e su peculardad y e su tamaño,

Más detalles

Los principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos

Los principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos Dreccó Facera Pág Sergo Alejadro Herado Westerhede, Igeero e Orgazacó Idustral 5. INTRODUCCIÓN Los prcpales métodos para la seleccó y valoracó de versoes se agrupa e dos modaldades: métodos estátcos y

Más detalles

Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática

Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. Determa la fucó geeratrz para el úmero de formas de dstrbur 5 moedas de u euro etre cco persoas, s (a o hay restrccoes; (b

Más detalles

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MÉRIDA ESTADO MÉRIDA Admstracó de la Produccó y las Operacoes II Prof. Mguel Olveros MÉTODOS

Más detalles

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. Cálculo y EstadísTICa. Prmer Semestre. EstadísTICa Curso Prmero Graduado e Geomátca y Topografía Escuela Técca Superor de Igeeros e Topografía, Geodesa y Cartografía. Uversdad Poltécca de Madrd Capítulo

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN

NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN UNIVERSIDAD DE CHILE VICERRECTORÍA DE ASUNTOS ACADÉMICOS DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN, MEDICIÓN Y REGISTRO EDUCACIONAL NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN SANTIAGO, septembre de 2008

Más detalles

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO ECEL D. Fracsco Parra Rodríguez. Jefe de Servco de Estadístcas Ecoómcas y Socodemográfcas. Isttuto Cátabro de Estadístca. Dª.

Más detalles

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS

Más detalles

IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS IV Gráfcos de Cotrol por Atrbutos IV GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS INTRODUCCIÓN Los dagramas de cotrol por atrbutos costtuye la herrameta esecal utlzada para cotrolar característcas de caldad cualtatvas,

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Estadístca Estadístca Descrptva. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Itroduccó.. Coceptos geerales. 3. Frecuecas y tablas. 4. Grácos estadístcos. 4. Dagrama de barras. 4. Hstograma. 4.3 Polgoal de recuecas. 4.4 Dagrama

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIONES DE AMORTIZACION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3.1.-CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE :

TEMA 3.- OPERACIONES DE AMORTIZACION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3.1.-CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE : Dpto. Ecoomía Facera y otabldad Pla de Estudos 994 urso 008-09. TEMA 3 Prof. María Jesús Herádez García. TEMA 3.- OPERAIONES DE AMORTIZAION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3..-LASIFIAIÓN DE LOS PRÉSTAMOS

Más detalles

Juegos finitos n-personales como juegos de negociación

Juegos finitos n-personales como juegos de negociación Juegos ftos -persoales como uegos de egocacó A.M.Mármol L.Moro V. Rubales Departameto de Ecoomía Aplcada III. Uversdad de Sevlla. Avd. Ramó Caal.. 0-Sevlla. vrubales@us.es Resume Los uegos -persoales ftos

Más detalles

Apuestas deportivas por Internet

Apuestas deportivas por Internet Autor: Davd Serrao Martíez 22/0/2009 Apuestas deportvas por Iteret Aputes y relexoes Itroduccó Durate el últmo trmestre de 2005, u grupo de compañeros de trabajo y amgos decdmos motar ua suerte de peña

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL . ROBBILIDD CONDICIONL La probabldad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrdo algún otro evento se denomna robabldad Condconal, Se denota como (B/) y se lee como la probabldad de que ocurra

Más detalles

5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial

5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial 5.3 Estadístcas de ua dstrbucó frecuecal 5.3. Meddas de tedeca cetral Meddas de tedeca cetral Las meddas de tedeca cetral so descrptores umércos que proporcoa ua dea de los valores de la varable, alrededor

Más detalles

. Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos

. Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos Título: La desgualdad etre la meda artmétca y geométrca e problemas de olmpadas. Resume: E el presete artículo se pretede mostrar la utldad de ua desgualdad ta elemetal como la relacó etre las medas artmétca

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Fracsco Álvarez Gozález fracsco.alvarez@uca.es Bajo el térmo Estadístca Descrptva se egloba las téccas que os permtrá

Más detalles

Tema I. Estadística descriptiva 1 Métodos Estadísticos LECCIONES DE ESTADÍSTICA

Tema I. Estadística descriptiva 1 Métodos Estadísticos LECCIONES DE ESTADÍSTICA Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos LECCIONES DE ESTADÍSTICA Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos Feómeos determístcos TEMA I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Llamados també causales,

Más detalles

2 - TEORIA DE ERRORES : Calibraciones

2 - TEORIA DE ERRORES : Calibraciones - TEORIA DE ERRORES : Calbracoes CONTENIDOS Errores sstemátcos.. Modelo de Studet. Curvas de Calbracó. Métodos de los Mímos Cuadrados. Recta de Regresó. Calbracó de Istrumetos OBJETIVOS Explcar el cocepto

Más detalles

Unidad I Estadística Descriptiva

Unidad I Estadística Descriptiva PRESENTACIÓN DEL CURSO Udad I Estadístca Descrptva La ESTADISTICA es la parte de las matemátcas ecargada de la presetacó y aálss de los datos de u expermeto. Normalmete la estadístca se dvde e: Estadístca

Más detalles

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS. Antonio Morillas 1

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS. Antonio Morillas 1 MUESTREO E POBLACIOES FIITAS Atoo Morllas Coceptos estadístcos báscos Etapas e el muestreo 3 Tpos de error 4 Métodos de muestreo 5 Tamaño de la muestra e fereca 6 Muestreo e poblacoes ftas 6. Muestreo

Más detalles

Actividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran.

Actividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran. Actvdad: Elabora u resume de la formacó que se muestra a cotuacó y aalza los procedmetos que se muestra. Fudametos matemátcos de la electróca dgtal Sstemas de umeracó poscoales E u sstema de esta clase,

Más detalles

Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes

Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes Guía para la Presetacó de Resultados e Laboratoros Docetes Prof. Norge Cruz Herádez Departameto de Físca Aplcada I Escuela Poltécca Superor Uversdad de Sevlla Curso 0-03 6 de octubre de 0 I Itroduccó Las

Más detalles

CURSO BÁSICO DE ANÁLISIS ESTADÍSTICO EN SPSS. FRANCISCO PARRA RODRÍGUEZ JUAN ANTONIO VICENTE VÍRSEDA MAURICIO BELTRÁN PASCUAL

CURSO BÁSICO DE ANÁLISIS ESTADÍSTICO EN SPSS. FRANCISCO PARRA RODRÍGUEZ JUAN ANTONIO VICENTE VÍRSEDA MAURICIO BELTRÁN PASCUAL CURSO BÁSICO DE ANÁLISIS ESTADÍSTICO EN SPSS. FRANCISCO PARRA RODRÍGUEZ JUAN ANTONIO VICENTE VÍRSEDA MAURICIO BELTRÁN PASCUAL EL PROGRAMA ESTADÍSTICO SPSS . EL PROGRAMA ESTADÍSTICO SPSS. INTRODUCCIÓN El

Más detalles

UNIDAD 7.- Matrices (tema 1 del libro) = MATRICES

UNIDAD 7.- Matrices (tema 1 del libro) = MATRICES UNIDD.- Marces (ema del lbro). MTRICES Ua mar se puede eeder como ua abla de úmeros ordeados e flas columas Defcó.- Se llama mar de dmesó m a u cojuo de úmeros reales dspuesos e m flas columas de la sguee

Más detalles

LECCIONES DE ESTADÍSTICA

LECCIONES DE ESTADÍSTICA LECCIONES DE ESTADÍSTICA Estos aputes fuero realzados para mpartr el curso de Métodos Estadístcos y umércos e el I.E.S. A Xuquera I de Potevedra. Es posble que tega algú error de trascrpcó, por lo que

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

-Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

-Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida -Métodos Estadístcos e Cecas de la Vda Regresó Leal mple Regresó leal smple El aálss de regresó srve para predecr ua medda e fucó de otra medda (o varas). Y = Varable depedete predcha explcada X = Varable

Más detalles

ANÁLISIS DE LA VARIANZA ANOVA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES

ANÁLISIS DE LA VARIANZA ANOVA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES ANÁLISIS DE LA VARIANZA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES ANOVA Marta Alper Profesora Adjuta de Estadístca alper@fcym.ulp.edu.ar http://www.fcym.ulp.edu.ar/catedras/estadstca INTRODUCCION

Más detalles

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO U N E X P O UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE VICE RECTORADO BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO

Más detalles

R-C CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR

R-C CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR RC CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR CONTENIDOS Estado trastoro de carga y descarga. Cálculo de la costate de tempo. Método de cuadrados mímos. Errores que se comete durate la evaluacó de τ OBJETIVOS

Más detalles

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES 4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES Dr. http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 41 4.1 Espacio Muestral y Evetos 4.1.1 1 Experimetos Aleatorios y Espacios

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS)

12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 1 Supogamos que ua variable aleatoria X sigue ua ley N(µ; =,9). A partir de ua muestra de tamaño = 1, se obtiee ua media muestral

Más detalles

Si los cerdos de otro granjero tienen los siguientes pesos: 165, 182, 185, 168, 170, 173, 180, 177. Entonces el diagrama de puntos está dado por:

Si los cerdos de otro granjero tienen los siguientes pesos: 165, 182, 185, 168, 170, 173, 180, 177. Entonces el diagrama de puntos está dado por: Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 65 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Meddas de Dspersó Además de obteer la formacó que reúe las meddas de tedeca cetral

Más detalles

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a www.cienciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a www.cienciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Este documeto es de dstrbucó gratuta y llega gracas a Ceca Matemátca www.cecamatematca.com El mayor portal de recursos educatvos a tu servco! Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas INSTITUTO

Más detalles

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS U paso clave e smulacó es teer rutas que geere varables aleatoras co dstrbucoes especfcas: epoecal, ormal, etc. Esto es hecho e dos fases. La prmera cosste e geerar ua

Más detalles

PARTE 2 - ESTADISTICA. Parte 2 Estadística Descriptiva. 7. 1 Introducción

PARTE 2 - ESTADISTICA. Parte 2 Estadística Descriptiva. 7. 1 Introducción Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell PARTE - ESTADISTICA 7- Estadístca Descrptva 7. Itroduccó El campo de la estadístca tee que ver co la recoplacó, orgazacó, aálss y uso de datos para tomar

Más detalles

Probabilidad. Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Teoría de probabilidades

Probabilidad. Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Teoría de probabilidades Experimentos deterministas Probabilidad Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas,

Más detalles

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)

Más detalles

0(=&/$6*$6(26$6. i = (3)

0(=&/$6*$6(26$6. i = (3) 0(&/$6$6(26$6,1752'8&&,21 E la erodáca, para poder realzar aál de prera eguda le, e ecearo coocer la propedade terodáca de la utaca de trabajo, coo o, por ejeplo, la eergía tera, la etalpía la etropía.

Más detalles

Análisis estadístico de datos muestrales

Análisis estadístico de datos muestrales Aálss estadístco de datos muestrales M. e A. Víctor D. Plla Morá Facultad de Igeería, UNAM Resume Represetacó de los datos de ua muestra: tablas de frecuecas, frecuecas relatvas y frecuecas relatvas acumuladas.

Más detalles

LAS MATEMÁTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALES

LAS MATEMÁTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALES Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp) Vol. 101, Nº. 1, pp 21-33, 2007 VII Programa de Promocó de la Cultura Cetífca y Tecológca LAS MATEMÁTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALES FCO. JAVIER GIRÓN GONZÁLEZ-TORRE

Más detalles

Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD

Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD 1.- Experimetos aleatorios U experimeto se llama aleatorio cuado se cooce todos los posibles resultados del mismo, pero o puede predecirse cuál de ellos se producirá e ua

Más detalles

6.2.- Funciones cóncavas y convexas

6.2.- Funciones cóncavas y convexas C APÍTULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL 6..- Itroduccó a la Programacó No Leal E este tema vamos a cosderar la optmzacó de prolemas que o cumple las codcoes de lealdad, e e la fucó ojetvo, e e las restrccoes.

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL So estadígrafos de poscó que so terpretados como valores

Más detalles

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)

Más detalles

Tema 3: Cálculo de Probabilidades. Métodos Estadísticos

Tema 3: Cálculo de Probabilidades. Métodos Estadísticos Tema 3: Cálculo de Probabilidades Métodos Estadísticos 2 INTRODUCCIÓN Qué es la probabilidad? Es la creencia en la ocurrencia de un evento o suceso. Ejemplos de sucesos probables: Sacar cara en una moneda.

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles