2.2. PROBABILIDAD BÁSICA. Saber: Definir el concepto de probabilidad. Enunciar los teoremas elementales de probabilidad y probabilidad condicional.

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1 2.2. PROBABILIDAD BÁSICA Saber: Definir el concepto de probabilidad. Enunciar los teoremas elementales de probabilidad y probabilidad condicional. Hacer: Resolver problemas de probabilidad básica. Introducción El desarrollo de la teoría de la probabilidad fue financiada por apostadores en el siglo XVII, quienes contrataron a algunos matemáticos famosos para que calculasen la probabilidad correcta de ciertos juegos de azar. Con el tiempo, la gente se dio cuenta de que los procesos científicos también son azarosos y desde entonces se han empleado métodos de probabilidad para estudiar el entorno físico. Términos básicos de la probabilidad A continuación analizaremos algunos aspectos y términos de la teoría de la probabilidad. Experimento: constituye un proceso con un resultado que no se puede predecir certeramente. El hecho de lanzar una moneda al aire, arrojar un dado, medir el diámetro de un perno, pesar los contenidos de una caja de cereal, o medir la resistencia de una cuerda de pescar, son ejemplos de experimentos. Con la finalidad de analizar un experimento en términos probabilísticos, se debe especificar sus posibles resultados. Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de realizar un experimento, por ejemplo si lanzamos una moneda al aire, el espacio muestral sería S = {águila, sol}, si lanzamos un dado, el espacio muestral sería S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Estos espacios muestrales son finitos. Algunos experimentos tienen espacios muestrales con un número infinito de resultados. Por ejemplo, imagine que un buril con diámetro de 10 mm hace perforaciones en una lámina de metal. Debido a las variaciones en el ángulo de la perforación y a los pequeños movimientos en la lámina de metal, los diámetros de los agujeros varían entre 10 y 10.2 mm. Por tanto, para el experimento de perforación sería razonable un espacio muestral que esté en el intervalo (10.0, 10.2), o en notación de conjuntos, {x 10.0 < x < 10.2}. Obviamente, este conjunto contiene un número infinito de resultados. En muchos experimentos se puede escoger entre diversos espacios muestrales. Por ejemplo, suponga un proceso que produce clavos de acero cuyas longitudes varían entre 5.20 y 5.25 cm. Una opción obvia para el espacio muestral de la longitud de un clavo sería el conjunto {x 5.20 < x < 5.25}. Sin embargo, si el objetivo fuera simplemente determinar si el clavo es demasiado corto, demasiado largo o está dentro de ciertos límites específicos, una buena elección sería que el espacio muestral fuera {demasiado corto, demasiado largo, dentro de las especificaciones}. Evento: Conjunto de resultados en el espacio muestral que comparten una característica de interés. Con frecuencia, al estudiar experimentos, se está interesado en un subconjunto particular de resultados. Por ejemplo, se puede tener interés en la probabilidad de que un dado caiga en un número par. El espacio muestral para el experimento es {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el correspondiente a que caiga en un número par es el subconjunto {2, 4, 6}. En el ejemplo del buril usado para perforar, se puede tener interés en la 1

2 probabilidad de que un hueco tenga un diámetro menor a 10.1 mm. Esto último corresponde al subconjunto {x 10.0 < x < 10.1}. Ejemplo: Un ingeniero eléctrico tiene en su mano dos cajas de resistores, cada una con cuatro de éstos. Los resistores de la primera caja están etiquetados con 10 Ω (ohms), pero, de hecho, sus resistencias son de 9, 10, 11 y 12 Ω. Los resistores de la segunda caja tienen la etiqueta de 20 Ω, pero sus resistencias son de 18, 19, 20 y 21 Ω. El ingeniero elige un resistor de cada caja y determina la resistencia de cada uno. Sea A el evento para el cual el primer resistor tiene una resistencia mayor a 10, sea B el evento en el que el segundo resistor tiene una resistencia menor a 19. Determine un espacio muestral para este experimento y especifique los subconjuntos que corresponden a los eventos A y B. Solución: El espacio muestral de este experimiento sería: S = {(9, 18), (9, 19), (9, 20), (9, 21), (10, 18), (10, 19), (10, 20), (10, 21), (11, 18), (11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 18), (12, 19), (12, 20), (12, 21)} Los eventos A y B serán: A = {(11,18),(11,19),(11,20),(11,21),(12,18),(12,19),(12,20),(12,21)} B = {(9,18),(10,18),(11,18),(12,18)} Combinación de eventos. Con frecuencia se construyen eventos mediante la combinación de eventos más sencillos. Debido a que aquéllos son subconjuntos de espacios muestrales, es usual emplear la notación de conjuntos para describir los eventos construidos de esta forma. A continuación se repasará la notación necesaria. La unión de dos eventos A y B, se denota por A B, es el conjunto de resultados que pertenecen ya sea a A o B, o a ambos. Esto es, A B significa A o B. Por tanto, el evento A B se presenta siempre que ocurre A o B (o ambos). La intersección de dos eventos A y B se denota como A B; es decir, constituye el conjunto de resultados que pertenece tanto a A como a B. Por consecuencia, A B significa A y B. Por consiguiente, el evento A B se presenta siempre que A y B ocurren. El complemento de un evento A se denota por A c, es el conjunto de resultados que no pertenecen a A. Es decir, A c significa no A. Por consiguiente, el evento A c se presenta siempre que no ocurra A. En la figura se muestra el evento B A c 2

3 A continuación se muestran videos de los casos anteriores; además de subconjuntos y diagramas de Venn Subconjuntos y diagramas de Venn: Unión de dos conjuntos: Intersección de dos conjuntos: Complemento de conjuntos: Unión, intersección y complemento de conjuntos: Eventos mutuamente excluyentes. Existen ciertos eventos que nunca se presentan simultáneamente. Por ejemplo, es imposible que una moneda que se arroje al aire caiga a la vez en cruz y cara, al igual que un clavo de acero sea al mismo tiempo demasiado largo y corto. A eventos de este tipo se les llama mutuamente excluyentes. Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común. De forma más general, se dice que una colección de eventos A 1, A 2,, A n es mutuamente excluyente si dos de ellos no tienen resultados en común. En la imagen se muestra el diagrama de Venn de dos eventos mutuamente excluyentes. Probabilidad. Todo evento en un espacio muestral tiene una probabilidad de ocurrir. Intuitivamente, la probabilidad es una medida cuantitativa de qué tan probable es que ocurra un evento. Formalmente hablando, hay varias interpretaciones de la probabilidad; la primera que se adoptará es que la probabilidad de un evento representa la proporción de veces que se presentaría el evento a largo plazo, si el experimento se repitiera una y otra vez. Con frecuencia se usa la letra P para representar la probabilidad. Por tanto, cuando se lanza una moneda al aire la notación P( cara ) = 1/2 significa que la probabilidad de que la moneda caiga en cara es igual a 1/2. Dado un experimento y cualquier evento A: La expresión P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento A. Además constituye la proporción de veces que se presenta el evento A en el tiempo, si es que el experimento se realizara una y otra vez. En muchas situaciones, la única forma de calcular la probabilidad de un evento es repetir el experimento muchas veces y determinar la proporción de veces que ocurre. Por ejemplo, si se deseara calcular la probabilidad de que un tablero de circuitos impresos fabricado por cierto proceso esté defectuoso, usualmente se necesitaría producir cierta cantidad de tableros y probarlos para determinar la proporción de los defectuosos. En algunos casos, las probabilidades se pueden determinar si se conoce la naturaleza física del experimento. Por ejemplo, si se sabe que la forma de un dado es casi igual a la de un cubo perfecto y que su masa está distribuida aproximadamente en forma homogénea, se puede suponer que cada una de sus seis caras tiene la misma probabilidad de salir cuando se lanza el dado. 3

4 Una vez que se han encontrado las probabilidades de ciertos eventos mediante el conocimiento científico o la experiencia, se puede calcular matemáticamente las probabilidades de otros eventos. Por ejemplo, si se ha calculado a través de la experimentación que la probabilidad de que un tablero de circuitos impresos esté defectuoso es de 0.10, se puede calcular que la probabilidad de que un tablero no esté defectuoso es de Como otro ejemplo, suponga que los clavos de acero producidos por determinado proceso no cumplen con la longitud especificada, ya sea porque son demasiado cortos o demasiado largos. Al medir gran cantidad de clavos, se calculó que la probabilidad de que uno de ellos sea demasiado corto es de 0.02 y que la probabilidad de que otro sea demasiado largo es de Entonces puede calcularse que la probabilidad de que un clavo no cumpla con la especificación es de En la práctica, los científicos e ingenieros calculan las probabilidades de ciertos eventos con base en el conocimiento científico y la experiencia, y posteriormente utilizan reglas matemáticas para calcular las estimaciones de las probabilidades de otros eventos. Axiomas de probabilidad 1) Sea (S) un espacio muestral. Entonces P(S) = 1. 2) Para cualquier evento A, 0 P (A) 1. 3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces: P(A B) = P(A) + P(B). De forma forma más general, si A 1, A 2, son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + (A 2 )+ 4) En caso de que los eventos A y B no fueran mutuamente excluyentes se puede usar la siguiente expresión: P (A B ) = P (A) +P (B ) P (A B ) 5) Para tres eventos tenemos: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C) Es fácil ver que los tres primeros axiomas en realidad concuerdan con el sentido común. El primero establece que el resultado de un experimento siempre está en el espacio muestral. Esto es obvio, puesto que, por definición, el espacio muestral contiene todos los resultados posibles del experimento. El segundo dice que la frecuencia a largo plazo de cualquier evento siempre se encuentra entre 0 y 100%. Para el tercer axioma, si un proceso que produce clavos de acero, en donde la probabilidad de que un clavo sea demasiado corto es de 0.02 y la de que un clavo es demasiado largo es de El tercer axioma establece que la probabilidad de que el clavo sea demasiado corto o muy largo es = Para cualquier evento A: P(A c )=1 P(A). Esta ecuación establece que la probabilidad de que un evento no ocurra es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra. Por ejemplo, si existe una probabilidad de 40% de que llueva, hay una probabilidad de 60% de que no llueva. Si ø denota el espacio vacío, entonces: P( )=0. Esta ecuación establece que es imposible que un experimento no tenga ningún resultado. 4

5 Ejemplo. En una prueba de tiro un tirador apunta a un objetivo, el cual consiste de un círculo blanco rodeado por dos anillos concéntricos. Se dispara un proyectil hacia el objetivo. La probabilidad de que pegue en el círculo blanco es de 0.10, la de que atine en el anillo interior es de 0.25 y la de que acierte en el anillo exterior es de Determine: a) Cuál es la probabilidad de que el proyectil haga blanco en el objetivo (en cualquiera de sus divisiones)? b) Cuál es la probabilidad de que no pegue en este último? Ejemplo: En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de 0.02, la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de Determine: A) Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata en forma aleatoria tenga una fisura? B) Cuál es la probabilidad de que no la tenga? Solución: Inciso A) Pegar en el blanco, acertar en el anillo interior y atinar en el anillo exterior son eventos mutuamente excluyentes, ya que es imposible que más de uno de éstos ocurra a la vez. Por tanto, utilizando el axioma 3, P(pega en el objetivo) = P(blanco) + P(anillo interior) + P(anillo exterior) P(pega en el objetivo) = =0.80 Inciso B) Ahora se puede calcular la probabilidad de que el proyectil no pegue en el objetivo: P(no pega en el objetivo)=1 P(pega en el objetivo)=1 0.80=0.20 Los siguientes ejemplos serán resueltos por los alumnos bajo supervisión del profesor. Ejemplo: Si la probabilidad de que un estudiante pertenezca al taller de teatro es 2/3, de que pertenezca al taller de música es de 1/4 y de que pertenezca a ambos es de 1/5 cuál es la probabilidad de que un estudiante pertenezca al menos a uno de ambos talleres? Ejemplo: Si las probabilidades de victoria/derrota/empate para un equipo deportivo son 0.40, 0.23 y 0.37 respectivamente, cuál es la probabilidad de que este equipo no pierda? 5

6 Probabilidad condicional A la probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que otro evento A se ha presentado se le llama probabilidad condicional de B dado A y se denota por P(A B) P(A B) = P(A) Ejemplo: En cierta ciudad, 75% de la gente consume el refresco A, 55% el refresco B y 40% consume ambos. a) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar consuma el refresco B, dado que consume el A? b) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar consuma el refresco B, dado que no consume el A? Claro, siempre que P(A) 0. Lo que sucede en este caso es que el espacio muestral del evento A se convierte en el nuevo espacio muestral S o universo. 6

7 Ejemplo: En una escuela 50% de los alumnos lleva la clase de teatro, 60% la clase de música y 30% llevan ambos cursos. a) Dado que un alumno lleva el curso de música cuál es la probabilidad de que curse teatro? b) Dado que un alumno no cursa música cuál es la probabilidad de que lleve teatro? Ejercicios de práctica, elabore los ejercicios impares: 1. La probabilidad de que un microcircuito esté defectuoso es Cuál es la probabilidad de que no presente defectos? 2. Un dado-octaedro (de ocho caras) tiene el número 1 pintado en dos de sus caras, el 2 en tres de sus caras, el 3 en dos de sus caras y el 4 en una cara. Se lanza el dado. Suponga que cada cara tiene la misma probabilidad de salir. a) Determine el espacio muestral de este experimento. b) Determine P(número par). 3. Sesenta por ciento de las grandes compras hechas a un vendedor de computadoras son PC, 30% son portátiles y 10% son accesorios, como impresoras. Como parte de una auditoría, se elige una muestra aleatoria del registro de una compra. a) Cuál es la probabilidad de que se trate de una computadora personal? b) Cuál es la probabilidad de que se trate de una computadora personal o de una portátil? 4. Una unidad producida en cierto proceso tiene una probabilidad de 0.10 de que sea defectuosa. Verdadero o falso: a) Si se toma una muestra de 100 unidades, exactamente 10 de ellas serán defectuosas. b) Si se toma una muestra de 100 unidades, el número de unidades defectuosas será aproximadamente 10, pero no exactamente 10. c) A medida que se toman más y más unidades, la proporción de unidades defectuosas se acercará a 10 por ciento. 5. Un ingeniero que vigila el control de calidad toma una muestra de 100 unidades fabricadas por determinado proceso y encuentra que 15 de ellas son defectuosas. Verdadero o falso. a) La probabilidad de que una unidad fabricada por este proceso esté defectuosa es b) La probabilidad de que una unidad fabricada por este proceso esté defectuosa se aproxima a 0.15, pero no es exactamente igual a Un sistema contiene dos componentes, A y B. El sistema funcionará siempre y cuando A o B funcionen. La probabilidad de que A funcione es 0.95, que B funcione es 0.90 y que ambos funcionen es Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 7. Un sistema contiene dos componentes, A y B. El sistema sólo funcionará si ambos funcionan. La probabilidad de que A funcione es 0.98, que B funcione es 0.95 y que A o B funcionen es Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 7

8 8. El cuerpo humano puede contener uno o dos antígenos, A y B. A la sangre que contiene sólo el antígeno A se le denomina tipo A, a la que contiene sólo el B se le conoce como tipo B, a la que contiene a ambos se le llama tipo AB y a la sangre que no contiene ninguno se le denomina tipo O. En cierto banco de sangre, 35% de los donantes de sangre tiene el tipo de sangre A, 10% el tipo B y 5% el tipo AB. a) Cuál es la probabilidad que se elija aleatoriamente a un donante de sangre de tipo O? b) Un receptor con sangre tipo A puede recibir sin ningún peligro de un donante sangre que no tenga el antígeno B. Cuál es la probabilidad de que un donante elegido aleatoriamente pueda donar al receptor con sangre tipo A? Actividad 2.1. Probabilidad. De la lista de problemas anteriores realice los ejercicios: 2, 4, 6 y 8. Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS de este trabajo (INDIVIDUAL), las rúbricas se indican en la liga siguiente: Enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx Colocar en ASUNTO: Actividad 2.1. Probabilidad. No olvide enviarse copia a sí mismo del correo que envía, si usa Outlook solicite confirmación de entrega y de lectura. 9. Verdadero o falso: Si A y B son mutuamente excluyentes, a) P(A B)= 0 b) P(A B)= 0 c) P(A B)= P(A B) d) P(A B)= P(A) + P(B) 8