Axiomática de la Teoría de Probabilidades

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Milagros del Río Ayala
hace 7 años
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1 Axiomática de la Teoría de Probabilidades

2 Modelos matemáticos Según el experimento Cada ejecución del experimento se denomina prueba o ensayo Determinísticos Aleatorios Conjunto de resultados posibles del experimento (Espacio Muestral). Se simboliza con S suceso

3 Espacio Muestral : S Definición : Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

4 Ejemplos de Espacio Muestral 1-En un lote de 15 artículos hay 5 defectuosos. Se elige un artículo después de otro sin reposición, hasta que se obtiene el último artículo defectuoso y se observa la cantidad de extracciones efectuadas. S = { 5;6;7;8;.;15} 2-Se fabrica una lámpara, se la prueba y se anota el tiempo transcurrido hasta que se quema. S t R / t 0 3-Se tira una moneda tres veces y se observa la sucesión de caras obtenidas. S = ccc ;ccs; csc; scc; css; scs; ssc;sss

5 Observaciones El resultado de un experimento no necesariamente es un número, puede ser un vector, una función, un intervalo, etc. S puede ser finito o infinito. Si S es infinito, puede ser numerable o no numerable. Ejemplo de infinito numerable para el experimento: número de partículas que emite un trozo de material radiactivo. S = { 1;2;3;.} Ejercicio: Clasificar los ejemplos dados de S.

6 Observaciones generales Espacios muestrales discretos: Sus elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son subconjuntos de los números enteros. (Finitos o infinitos) Espacios muestrales continuos: Sus elementos resultan de hacer mediciones, y por lo general son intervalos en la recta Real. (infinitos no numerables)

Suceso Vimos que es el resultado de un experimento También se puede definir como un subconjunto del espacio muestral: Se llama suceso A respecto de un

7 Suceso Vimos que es el resultado de un experimento También se puede definir como un subconjunto del espacio muestral: Se llama suceso A respecto de un espacio muestral S asociado a un experimento E, a todo subconjunto de S. y S son sucesos de S Clasificación Sucesos Ciertos Sucesos imposibles Sucesos aleatorios

8 Operaciones básicas con Sucesos Unión Ocurre cuando ocurre al menos uno de ellos : A o B o ambos Intersección Ocurre cuando Ocurren A y B simultáneamente Diferencia Ocurre A y no ocurre B Suceso contrario Ocurre cuando no ocurre A

Clasificación de más de un suceso Sucesos Mutuamente Excluyentes o incompatibles : No pueden ocurrir juntos : A B = Sucesos únicamente posibles: Uno y sólo uno de ellos es un suceso cierto en el

9 Clasificación de más de un suceso Sucesos Mutuamente Excluyentes o incompatibles : No pueden ocurrir juntos : A B = Sucesos únicamente posibles: Uno y sólo uno de ellos es un suceso cierto en el resultado del experimento. Los sucesos únicamente posibles son mutuamente excluyentes, pero la recíproca no siempre es cierta. Sucesos igualmente probables: todos tienen igual probabilidad de ocurrir

10 Definición de Probabilidad Clásica o de Laplace - A Priori Definición :Se llama probabilidad de un suceso A a la razón entre el número de resultados favorables de A (m) y el número total de resultados posibles (n) P(A) = m / n Ejemplo: Al extraer una carta al azar de un mazo de 40, hallar la probabilidad de que sea una figura. Insuficiencia de esta definición: para espacios muestrales infinitos, por ejemplo si se desea calcular la probabilidad de que una lámpara dure más de 100 hs.

11 Introducción Vamos a considerar el experimento de tirar una moneda al aire y apostar por una de las dos posibilidades que hay: que salga cara (c) o que salga seca (s). Cuál es la probabilidad de que en la moneda salga una cara? Efectivamente es ½= 0,5 Si dicho experimento lo realizamos una gran cantidad de veces qué ocurrirá? Lo realizamos y anotamos las frecuencias del suceso "salir cara al lanzar una moneda".dichos resultados los vemos en la siguiente tabla:

12 Gráficamente podemos ver:

13 Frecuencia relativa Un experimento se repite n veces, A y B son dos sucesos asociados con dicho experimento. NA y NB son el número de veces que ocurren A y B en las n repeticiones Se llama frecuencia relativa de A, f B N n B y frecuencia relativa de B, f A N n A

14 Propiedades de la frecuencia relativa 1) 2) 0 fa 1 fa 1 A ocurre en las n repeticiones 3) fa 0 A no ocurre en las n repeticiones 4) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes y si la frecuencia relativa del suceso A B es fa B fa fb 5) fa Converge en sentido probabilístico a P(A), f A B n

Definición Axiomática de probabilidad Dados un experimento y el espacio muestral S asociado al experimento, se llama P(A) al número real asociado con cada suceso A que

15 Definición Axiomática de probabilidad Dados un experimento y el espacio muestral S asociado al experimento, se llama P(A) al número real asociado con cada suceso A que satisface: 1. 0 P(A) 1 2. P(S) = 1 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P A B P(A)+P(B) 4. Si A i son sucesos mutuamente excluyentes de a pares, entonces P A P A i 1 i i 1 i

16 Propiedades de la probabilidad 1. A= P(A)= 0 2. Si A es el suceso complementario de A P(A)=1- P(A) 3. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces P(A B)= P(A) + P(B) - P(A B) 4. Si A, B y C son sucesos cualesquiera, entonces P A B C P A P B P C P(A B) P A C P B C P A B C 5. Si A B P A P B

17 Ejemplos 1. Los artículos que fabrica una determinada empresa pueden salir con dos tipos de defectos: A ó B. La probabilidad de que un artículo tenga un defecto tipo A es 0,01 ; la de tener un defecto tipo B es 0,02 y la de tener ambos tipos de defectos es 0,005. Si se extrae un artículo al azar; a) Cuál es la probabilidad de que dicho artículo no tenga defectos tipo A? b) Cuál es la probabilidad de que dicho artículo tenga defectos? 2. Se extrae una tarjeta al azar de 30 tarjetas numeradas del 1 al 30. Cuál es la probabilidad de que la tarjeta sea un múltiplo de 4 ó de 6?

18 Guía de estudio 1 Al terminar de estudiar esta clase deberás poder contestar las siguientes preguntas : 1- Qué es un suceso?, Cómo se puede definir? 2- Cómo se clasifican los sucesos? 3-Si considera dos o más sucesos son mutuamente excluyentes? 4- Cuál es la definición de Espacio Muestral? 5- Cuál es la definición clásica de probabilidad? 6- Cuál es la diferencia fundamental entre la probabilidad de un suceso y la frecuencia relativa del mismo? 7- Por qué se dice que la definición de Laplace es insuficiente?

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