SEMANA 01. CLASE 01. MARTES 04/10/16

Transcripción

1 EMANA 0. CLAE 0. MARTE 04/0/6. Experimeto aleatorio.. Defiició. Experimeto e el cual o se puede predecir el resultado ates de realizarlo. Para que u experimeto sea aleatorio debe teer al meos dos resultados posibles..2. Clasificació.2.. imple.2... Ejemplos Lazamieto de ua moeda Lazamieto de u dado Escogecia al azar de ua persoa Aotació del sexo de u recié acido Aotació de la duració de ua llamada telefóica.2.2. Compuesto Defiició. Implica la realizació de varios experimetos simples de forma simultáea o de forma sucesiva Ejemplos Co idepedecia: Muestreo Aleatorio Co Reposició (MACR) Lazamieto de u dado veces Lazamieto de dados de forma simultáea Aotació de las pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de ua caja que cotiee pelotas egras y v pelotas verdes dode cada vez que se escoge y se aota ua pelota, ésta es devuelta a la caja i idepedecia: Muestreo Aleatorio i Reposició (MAR) Aotació de las pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de ua caja que cotiee pelotas egras y v pelotas verdes dode cada vez que se escoge y se aota ua pelota, ésta o es devuelta a la caja Aotació de las pelotas escogidas al azar de forma simultáea de ua caja que cotiee pelotas egras y v pelotas verdes.3. Propósito de u Experimeto Aleatorio.3.. Defiició. Defie lo que se persigue observar después de ejecutado el.3.2. Ejemplos: Experimeto aleatorio: Lazamieto de u dado ormal co dos caras blacas y cuatro caras egras sobre ua mesa circular. Alguos propósitos que pudiera ser defiidos sobre este experimeto: Propósito. Determiar el úmero obteido e la cara superior del dado Propósito 2. Determiar el color de la cara superior del dado José Luis Quitero

2 Propósito 3. Determiar la distacia etre el cetro de la mesa y el puto cetral de la cara iferior del dado Experimeto aleatorio: Escogecia al azar de u estudiate de Igeiería de ua uiversidad específica. Alguos propósitos que pudiera ser defiidos sobre este experimeto: Propósito. Determiar la edad de la persoa Propósito 2. Determiar el tipo de Igeiería que estudia Propósito 3. Determiar el último dígito de su cédula 2. Espacio Muestral de u Experimeto Aleatorio 2.. Defiició. Es el cojuto de todos los posibles resultados de ese experimeto. e deotará co la letra E o la letra Relació etre resultado y elemeto de u espacio muestral. U resultado es u cojuto de elemetos Clasificació Discreto y fiito Defiició. El úmero total de resultados de ese experimeto es u úmero fiito Ejemplos: E el experimeto aleatorio de lazar u dado co el propósito de determiar el úmero obteido e la cara superior del dado, los posibles resultados so cada ua de las seis caras del dado. Este =,2,3,4,5,6 co seis resultados E el experimeto aleatorio de lazar u dado ormal co dos caras blacas y cuatro caras egras co el propósito de determiar el color de la cara superior del dado, los posibles resultados so blaco = blaco, egro. y egro. El espacio muestral se escribe como { } Este espacio muestral tiee dos posibles resultados (Experimeto de Beroulli) Discreto e ifiito umerable Defiició. El úmero total de resultados de ese experimeto es u úmero ifiito pero se puede ordear e ua sucesió Ejemplos: E el experimeto aleatorio de observar el úmero de persoas que etra a u baco durate u período de ua hora, el espacio = 0,,2,... Este espacio muestral muestral puede escribirse como { } tiee ifiitos resultados E el experimeto aleatorio de lazar u dado tatas veces como sea ecesaria hasta que salga seis por primera vez co el propósito de determiar el lazamieto dode ocurre esto por primera vez, el =,2,... Este espacio muestral tiee ifiitos resultados (Experimeto Geométrico) José Luis Quitero 2

3 Cotiuo Mixto Defiició. El úmero total de resultados de ese experimeto es u úmero ifiito que o se puede ordear e ua sucesió. Aquí el cojuto de resultados viee dado por itervalos Ejemplos: E el experimeto aleatorio de medir el voltaje etre u cierto puto y tierra e el circuito de u receptor de radio, el espacio muestral puede escribirse como = { v:0 v v MAX }. Este espacio muestral tiee ifiitos resultados E el experimeto aleatorio de lazar u dado ormal sobre ua mesa circular co el propósito de determiar la distacia etre el cetro de la mesa y el puto cetral de la cara iferior del dado, el = r:0 r R, dode R represeta el radio de la mesa. Este espacio muestral tiee ifiitos resultados Defiició. El úmero total de resultados de ese experimeto es u úmero ifiito que o se puede ordear e ua sucesió. Aquí el cojuto de resultados resulta de la uió de valores putuales y de itervalos Ejemplo: upoga que se tiee u sistema e el iterior de u taque que cotiee u fluido que debe apagar el sistema y marcar e el medidor la temperatura de 0C si la temperatura medida e el iterior del taque es meor que 0C. De igual maera debe apagar el sistema y marcar e el medidor la temperatura de 25C si la temperatura medida e el iterior del taque supera los 20C. E caso cotrario se debe reportar la temperatura real e el iterior del = T:0,0 T 20,25. taque. El espacio muestral es { } 2.4. Cardialidad de u cojuto C. Es el úmero de elemetos que posee el cojuto C. e deotará por N C Cardialidad del Espacio Muestral Ejemplos: E el experimeto aleatorio de lazar ua moeda co el propósito de determiar lo = cara, sello tiee cardialidad que ocurrió e la cara superior, el espacio muestral { } 2, es decir N = 2 E el experimeto aleatorio de lazar u dado co el propósito de determiar el =,2,3,4,5,6 úmero obteido e la cara superior del dado, el espacio muestral { } tiee cardialidad 6, es decir N = 6 E el experimeto aleatorio de lazar u dado ormal co dos caras blacas y cuatro caras egras co el propósito de determiar el color de la cara superior del dado, el espacio muestral = { blaco, egro} tiee cardialidad 6, es decir N = 6. E este ejemplo se puede afirmar que Nblaco = 2 y Negro = 4 José Luis Quitero 3

4 E el experimeto aleatorio de lazar dos dados co el propósito de observar el úmero obteido e la cara superior del primer dado y el úmero obteido e la cara = (i,j)/i,j =,2,3,4,5,6 tiee superior del segudo dado, el espacio muestral { } cardialidad 36, es decir N = Evetos o sucesos 3.. Defiició. Es cualquier subcojuto del espacio muestral. e deota co las letras mayúsculas, por ejemplo, A,B,C Alguos evetos de iterés Eveto complemeto de A. Es u subcojuto del espacio muestral que cotiee los resultados que o está e el eveto A Eveto elemetal. Es u eveto que cotiee solamete u resultado del Eveto compuesto. Es u eveto que cotiee más de u resultado del Eveto seguro. Es u eveto que cotiee todos los resultados del Eveto imposible. Es u eveto que o cotiee igú resultado del Evetos mutuamete excluyetes (o disjutos). o evetos de itersecció vacía, es decir, que o posee elemetos comues k evetos colectivamete exhaustivos. o los evetos A, A 2,, A k del espacio muestral tales que A A 2... Ak = Ejemplos: E el experimeto aleatorio de lazar u dado co el propósito de determiar el úmero obteido e la cara superior del dado, alguos evetos compuestos que se puede defiir so: A carai/ipar 2,4,6 = { } = { }, B = { carai/iprimo} = { 2,3,5 } E el experimeto aleatorio de lazar u dado co el propósito de determiar el úmero obteido e la cara superior del dado, el eveto complemeto de A viee c dado por A = { carai/iimpar} = {,3,5 } 3.4. Diagramas de Ve. o ilustracioes usadas e la teoría de cojutos. e usa para mostrar gráficamete cojutos, represetado cada uo mediate u círculo o u óvalo. La figura muestra Diagramas de Ve que ilustra cuatro situacioes de evetos mutuamete excluyetes y colectivamete exhaustivos. 4. Probabilidad 4.. Defiicioes Es ua maera de cuatificar la icertidumbre que existe e u experimeto aleatorio Medida umérica del chace de ocurrecia de u eveto Es ua relació matemática que asiga a cada resultado del experimeto aleatorio u úmero real que se ecuetra e el itervalo [0,] José Luis Quitero 4

5 Figura. Cuatro situacioes ilustradas usado Diagramas de Ve 4.2. Costrucció de la fórmula de probabilidad ea u experimeto aleatorio cuyo espacio muestral es discreto y fiito de cardialidad N y sea u eveto A co cardialidad N A, etoces se coocerá como probabilidad del eveto A a la relació etre N A y N dada por NA P(A) =. N 4.3. Axiomas de la probabilidad 0 P(A), P( ) = 0, P() =, P(A) + P(A) = P(A A 2) = P(A) + P(A 2) P(A A 2) P(A A 2) P(A) + P(A 2) P(A A2 A 3) = P(A) + P(A 2) + P(A 3) P(A A 2) P(A A 3) P(A2 A 3) + P(A A2 A 3) i A, A 2,..., A so evetos mutuamete excluyetes, P(A A... A ) = P(A) + P(A ) P(A ) P A U = 2 2 i i i= i= P(A A 2... A ) + P(A A 2... A ) = P(A) José Luis Quitero 5