UNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES I. Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.

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Julián Velázquez Moreno
hace 7 años
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1 C u r s o : Matemática º Medio Material Nº MT - UNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES I NOCIONES ELEMENTALES Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces. Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un conjunto de resultados posibles. Espacio Muestral: Evento o Suceso: Observación: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral. Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral. En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa. EJEMPLOS. Cuál(es) de los siguientes experimentos es(son) aleatorio(s)? I) Lanzar una moneda y observar si cae mostrando sello. II) Predecir la duración de una conversación telefónica. III) Lanzar sobre una mesa dos dados y observar si ambas caras superiores muestran la misma pinta. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III. Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio lanzamiento de un dado? Ninguna de las anteriores

2 TIPOS DE EVENTOS Evento o suceso cierto : Es el propio Espacio Muestral. Evento o Suceso Imposible : Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto vacío ( ) del espacio muestral. Eventos Mutuamente Excluyentes : Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes. Eventos Complementarios : Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral. EJEMPLOS. Si se lanzan tres monedas, cuál de los siguientes eventos es imposible? Obtener al menos una cara Obtener como máximo un sello Obtener exactamente dos caras Obtener un sello y tres caras Obtener como máximo dos caras. Dado el espacio muestral E = {,,,, } y los eventos A = {,, }, B = {,} y C = {,}, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I) A y B son complementarios. II) B y C son mutuamente excluyentes. III) A y C son mutuamente excluyentes. Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III

3 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si un determinado suceso ocurre en k etapas diferentes, en donde la primera etapa puede ocurrir de n maneras diferentes, la segunda de n maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre el suceso está dado por n n n n k PRINCIPIO ADITIVO Si dado un determinado suceso que tiene formas alternativas de llevarse a cabo, donde la primera de esas alternativas puede realizarse de n maneras, la segunda alternativa puede realizarse de n maneras, y así sucesivamente, hasta la última alternativa que puede realizarse de n k maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es n + n + + n k EJEMPLOS. Si Jorge dispone de camisas diferentes y dos corbatas también diferentes, entonces de cuántas maneras diferentes puede ponerse una camisa y una corbata? Don Raúl desea viajar de Santiago a Buenos Aires en determinada fecha. Si para esa fecha tiene a disposición barcos, buses y aviones todos diferentes, de cuántas maneras puede don Raúl hacer el viaje a Buenos Aires?

4 PROBABILIDAD CLÁSICA La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles. La probabilidad de A se denotará por P(. P( = Números de casos favorables ( Números total de casos Observación: 0 P( o bien 0% P( 00% EJEMPLOS. Si se lanza un dado, cuál es la probabilidad de obtener más de puntos? 0% % 0%, % 66, 6 %. Una caja contiene 0 esferas numeradas del al 0. Cuál es la probabilidad de que al sacar una esfera al azar, ésta indique un número primo o un múltiplo de 0?

5 TRIÁNGULO DE PASCAL Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura: Se pueden observar algunas regularidades y estas son: Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre. Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que están justo arriba en la fila anterior. Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de. Existe una simetría en cada fila respecto a su centro. OBSERVACIÓN: El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios que tengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda, el sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc. Ejemplo: Al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar monedas a la vez) se obtienen 6 resultados posibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son 6 Cero lanzamiento 0 Un lanzamiento Dos lanzamiento Tres lanzamiento Cuatro lanzamiento Lo cual se grafica de la siguiente manera C S C CS S C C S CS S C C S 6C S CS S CCCS OBSERVACIÓN: C S significa CCSC CSCC SCCC O sea, C S indica que hay cuatro casos favorables para obtener caras y sello.

6 EJEMPLOS. Cuál es la probabilidad de obtener exactamente caras si se ha lanzado una moneda veces? 6. En un test de preguntas del tipo verdadero falso, si un alumno contesta todas las preguntas, cuál es la probabilidad de que conteste incorrectamente sólo una de ellas? Si se lanza una moneda veces y dos dados una sola vez, cuál es la probabilidad de obtener exactamente sellos y una suma igual a? Ninguna de las anteriores 6

7 PROBABILIDADES DE EVENTOS Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: P(A o = P(A = P( + P( P(A Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: P(A o = P(A = P( + P( EJEMPLOS. Al lanzar un dado, cuál es la probabilidad de que el resultado sea el número ó un número impar? 6. Un naipe inglés consta de cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 0 cartas numeradas desde (as) a 0. Entonces, la probabilidad de obtener un AS o un REY al extraer una de las cartas de una baraja inglesa es 7

8 Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. P(A = P( P( Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de la ocurrencia del evento A dado que ya ha ocurrido el evento B es: P(A/ = P(A P(. Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y rojas, la segunda contiene bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes? Una caja contiene esferas verdes y amarillas. Si se sacan sucesivamente esferas, sin devolverlas a la caja, cuál es la probabilidad de que éstas sean de distinto color? Ninguna de las anteriores 8

9 EJERCICIOS. Al lanzar un dado, cuál es la probabilidad de obtener un número primo?. Cuántos números pares de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos,, 7, 8 y 9? Cuál(es) de los siguientes experimentos aleatorios presenta(n) un espacio muestral como conjunto de 6 elementos? I) Lanzar tres monedas. II) Lanzar un dado. III) Lanzar un dado y una moneda. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III. Al lanzar dos dados, cuál es la suma que mayor probabilidad de ocurrencia tiene? 6 7 9

10 . Si se lanza una moneda tres veces, cuál es la probabilidad de obtener sellos?,% %, % 66, 6 % 0% 6. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de un suceso cualquiera es siempre mayor que. II) Se considera un evento seguro cuando la probabilidad de su ocurrencia es. III) Si P( representa la probabilidad de que ocurra A, entonces 0 P(. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III Ninguna de ellas 7. Si se lanza una moneda veces, cuántos elementos tiene el espacio muestral? Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados, se obtengan 0 puntos como mínimo? 6 8 0

11 9. Una caja contiene bolitas negras, azules y rojas. Cuál es probabilidad que al extraer una bolita, ésta no sea azul? 6 0. Si se elige al azar una letra de la palabra INNECESARIO, cuál es la probabilidad de que la letra elegida sea una E? 8 8 Ninguna de las anteriores. Si se lanzan dos dados simultáneamente, cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que seis, si se sabe que dicha suma es un múltiplo de? 7 8. Un arquero dispara una flecha a un determinado blanco. Si la probabilidad de acertar al blanco es 0,0 qué probabilidad tiene de no acertar? 0,0 0,0 0,09 0,9 0,99

12 . Observando una ecografía, el médico le indicó a una paciente embarazada, que tendría trillizos. Si el parto es normal, cuál es la probabilidad que el día del parto nazcan varones? 6 8. Se lanzó una moneda dos veces, y en ambos casos, se obtuvo sello. Cuál es la probabilidad que en un tercer y un cuarto lanzamiento, también se obtenga sello? 00% 0% %,% 0%. Se tiene una caja con bolitas rojas, bolitas negras y bolitas verdes. Cuál es la probabilidad de extraer al azar de la caja, una bolita que sea roja o negra? Pág. Ejemplo E A D B C B D A 6 B D C 7 D B 8 E C RESPUESTAS CLAVES PÁG. 9. A 6. D. A. A 7. C. E. B 8. A. B. C 9. E. C. A 0. B. A DOMT- Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web

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