PROBABILIDAD. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Por ejemplo: Experimento: tirar un dado.

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3 PROBABILIDAD EXPERIMENTOS Al fijar las condiciones iniciales para un experimento se da lugar a dos tipos de situaciones: a) Experimentos determinísticos: se conoce el resultado. Por ejemplo: si suelto un lápiz se cae. b) Experimentos aleatorios: no se puede predecir el resultado. Por ejemplo: elegir un día de la semana para ir al cine. ESPACIO MUESTRAL (S) ó ( E ) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Por ejemplo: Experimento: tirar un dado. Espacio muestral: S = { 1;;3;4;5;6} Cualquier subconjunto de puntos muestrales se llama suceso: en el ejemplo anterior podríamos definir los siguientes sucesos: A = {obtención de cara par }= { ;4;6} B = {obtención de números menores que tres}= {1;} C = {obtención de cara impar}= {1;3;5} SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos sucesos A y B incluidos en un espacio muestral S son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir A y B mutuamente excluyentes si y solo si A B = Por ejemplo: En el tiro del dado los sucesos A y C son mutuamente excluyentes. 3

4 PROBABILIDAD DEFINICION CLASICA DE LAPLACE Dado un experimento aleatorio con resultados equiprobables y un suceso A incluido en él, la probabilidad de que ocurra el suceso A se define como P (A) = numero de casos favorables del suceso A numero de casos posibles del experimento Supongamos que nuestro experimento es el lanzamiento de un dado. Los resultados posibles son : 1;;3;4;5 y 6. Si el suceso A es la aparición de número par: P (A) = 3 6 = 1 DEFINICION AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Dado el experimento, S su espacio muestral asociado, A y B sucesos cualquiera del mismo, se verifica: I) 0 P (A) 1 II) P (S) = 1 III) Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente (no pueden ocurrir juntos, es decir A B = ), entonces P(A B) = P(A) + P(B) CONSECUENCIAS I) P( ) = 0 II) P (A ) = 1 - P(A); siendo A = S - A, el suceso complementario SUCESOS INDEPENDIENTES Es decir que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro. P(A B) = P(A). P(B) Los sucesos A y B; son, A B ; definidos en un espacio muestral S. 4

5 PRÁCTICA 1- PROBABILIDAD 1-. Definir si los siguientes son experimentos aleatorios ó determinísticos: a. Se arrojan dos monedas y un dado b. Se elige un Licenciado en Administración Hotelera de una lista para ingresar a trabajar a un determinado hotel. -.Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de eventos son mutuamente excluyentes: a. De un grupo de estudiantes se elige aleatoriamente un individuo: la persona elegida es mujer, la persona elegida es hombre. b. Un estudiante es seleccionado aleatoriamente de la Universidad de Belgrano, la persona elegida es hombre, o es mayor de 1 años. 3-. Se arrojan dos monedas. i) Defina el espacio muestral. ii) calcular la probabilidad de obtener: a. Exactamente una cara b. Una cara y una seca c. Dos caras d. 3 caras Rta: a) 0.5 b)0.5 c)0.5 d)0 4-. En una encuesta entre estudiantes para Administración Hotelera se obtuvieron los siguientes datos acerca de el principal motivo para ingresar a la institución donde está matriculado. Motivo de la solicitud Sexo I II Masculino 5 0 Femenino 35 0 Siendo I: Calidad de la Institución y II : Costo o comodidad 5

6 Si se selecciona un archivo aleatoriamente, determine las probabilidades de que el individuo seleccionado a. Sea de sexo femenino b. La calidad de la Institución sea el principal motivo de su elección. Rta a) 0.55 b) El siguiente cuadro resume la experiencia docente y la preparación profesional de los profesores de una universidad pública. Experiencia Docente Preparación Menos de Profesional 5 Años o Más Inferior al grado de maestría Grado de maestría o superior Sea A el evento de que un profesor, seleccionado aleatoriamente, tenga grado inferior a la maestría, y sea B el profesor tiene menos de 5 años de experiencia. Determine: a. P(A B) b. P(A B) c.p( B ) VARIABLE ALEATORIA Algunas definiciones Variable aleatoria: descripción numérica del resultado de un experimento aleatorio. Variable aleatoria discreta: es aquella variable que puede asumir una cantidad finita de resultados posibles o, una cantidad infinita numerable. Variable aleatoria continua: es aquella variable que puede asumir cualquier valor de un intervalo o de un conjunto de intervalos de números reales. Función de probabilidad: regla que asigna probabilidades a cada valor que puede tomar la variable. Función de densidad de probabilidad: función que asigna probabilidades a los intervalos de valores de una variable aleatoria continua. La probabilidad que le corresponde a un intervalo es el área sobre ese intervalo y bajo la curva representativa de la función. La función de probabilidad asigna probabilidades a cada elemento del recorrido y se debe cumplir que: 6

7 i) p ii) ( xi ) 0 p( x ) = 1 Rx i iii ) P( X = x) = f ( x) Cada probabilidad cero o más y la suma de las probabilidades en el recorrido de una variable aleatoria discreta ser 1. Función de Distribución: definida para cualquier valor x R, da la probabilidad acumulada hasta ese valor x. Esperanza o media o valor esperado de una variable aleatoria: medida de la localización central de la variable aleatoria. Cálculo de la esperanza de una variable aleatoria discreta: E ( x) = µ = xf ( x) Propiedades del valor esperado: 1-E(c)=c -E(cx)=cE(x) 3-E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4-E(X-Y)=E(X)-E(Y) 5-E(aX+B)=aE(X)+B Varianza de una variable aleatoria: medida de variabilidad o de dispersión de una variable aleatoria. Cálculo de la varianza de una variable aleatoria discreta: Var( X ) = σ = ( x µ ) f ( x) = E( X ) E ( X ) Desviación estándar de una variable aleatoria: medida de variabilidad o de dispersión de una variable aleatoria, medida en la misma unidad que las observaciones de la variable aleatoria en cuestión. Cálculo del desvío estándar de una variable aleatoria: σ = σ = Var( X ) Propiedades de la varianza La varianza de una v.a. X es. σ = E ( X ) µ 7

8 Propiedades: 1-V(c)=0=> V(c ) = E(c )-[ E (c)] = c c = 0 -V(cx)= c V ( x) => V(c x)= [( cx) ] [ E( cx )] = E( c x ) [ ce( x) ] c E( x ) [ E( x) ] = c [ E( x ) [ E( x) ] ] c V ( x). E = - c = 3-V(aX+B)= a V ( X ) PRÁCTICA -VARIABLE ALEATORIA 1-Clasifique las siguientes variables aleatorias en discretas o continuas: a) X: la cantidad de ofertas de pasajes realizadas a buenos aires durante el mes de diciembre. b) R: Cantidad de horas de vuelo de Europa a Buenos Aires en el mes de enero. c) M: cantidad de alumnos que fuman en un curso de la carrera de probabilidad y Estadística de º año de la Facultad de Ciencias Económicas en la Lic. en Administración Hotelera. de la Universidad de Belgrano. d) Y: número de horas de televisión utilizadas en un determinado hotel De Mar de las Pampas en el salón principal durante el mes de enero. -Diga cuál de las siguientes funciones es una función de probabilidad. Justifique su respuesta, explicando también porqué rechaza a las otras dos. Y p 1 (y) P (y) P 3 (y) En la siguiente tabla se dan las distribuciones de probabilidad de los valores con los que califican su satisfacción en el trabajo los empleados de cierta empresa, para los cargos gerenciales y, para los cargos jerárquicos, no gerenciales. Las calificaciones van desde 1-muy insatisfecho hasta 5-muy satisfecho. Calificación Cargos gerenciales Cargos jerárquicos a) Tabule las funciones de distribución de las dos variables en estudio. b) Cuál es la probabilidad de que un empleado con cargo gerencial exprese su satisfacción en el trabajo con una calificación de por lo menos 4? 8

9 c) Cuál es la probabilidad de que un empleado con cargo jerárquico, no gerencial, esté muy satisfecho en su trabajo?. d) Calcule la calificación media para los empleados con cargos gerenciales y, la calificación media, para los empleados con cargos jerárquicos, no gerenciales. e) Calcule la varianza y desvío estándar para los empleados con cargos gerenciales y, también para los empleados con cargos jerárquicos, no gerenciales. f) Qué grupo de empleados expresa mayor satisfacción? 4-La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de la demanda mensual de determinado producto: en una cadena hotelera Demanda Probabilidad a) Defina la variable de estudio. b) Calcule la probabilidad de que la demanda mensual sea de a los sumo 00. c) Calcular la demanda media pedida mensualmente. d) Calcular la varianza y desvío estándar de la variable. 5- Un servicio voluntario de emergencias en un determinado hotel utilizadas en un mes tiene la siguiente ley de probabilidad: y 0 1 p(y) a) Calcule la probabilidad de que se realicen exactamente una llamada de emergencia. b) El servicio le cuesta al hotel $10 cada vez que se utiliza. Encuentre la media del costo mensual. Rta: a) 0.4 b)e( c )=13 9

10 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (a) Distribución normal estandarizada z 1 f ( z) = e < z < π F( z) = P [ Z < z] = f ( z) ; E (Z) = 0 σ (Z) = 1 Z N ( 0, 1) (b) Distribución normal general f ( x) = b 1 e π 1 x a b < x < Sea Z = x b E(X) = a σ ( X) = b X N ( a, b ) a. La transformación de X en Z, restándole su esperanza y dividiéndola por el desvío estándar, se denomina estandarización. Se verifica que: E(Z) = 0 σ ( Z ) = 1 VARIABLE ALEATORIA NORMAL PRACTICA 1-a) Sea Z una variable aleatoria con distribución N (0,1), hallar: a1) P[Z <1] Rta a) P[Z >1] Rta a3) P[-1.5 < Z < 0.5] Rta a4) P[ Z < 0.5 ] Rta b) Sea X una variable aleatoria con distribución N (10, ), hallar: b1) P[8 < X < 1] Rta b) P[ X < 13 ] Rta El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan las comidas para una determinada red hotelera en una carretera tienen una demoran que sigue una distribución normal de media 50 minutos y desvío 8 minutos. Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos? 10

11 3-Cierto tipo de acumulador eléctrico perteneciente a un Hotel dura en promedio 3 años, con una desviación stándard de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones del aparato están normalmente distribuidas, obtenga la probabilidad de que un acumulador dado dure menos de a.3 años. Rta: Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la Bolsa hotelera. El volumen diario promedio fué de 646 milllones de acciones (Barron s, enero de 003). La distribución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal, con un desvío de unos 100 millones de acciones. a) Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones? b) Qué porcentaje de las veces el volumen negociado es mayor de 800millones de acciones? 5.- La duración de una pintura impermeabilizante de terrazas, es una variable normal con media 4 y desvío 1. Calcular: La probabilidad de que un trabajo efectuado con esa pintura dure : a)menos de 4,5 años. b) Más de 6 años c) Entre 5 y 7 años. Rta: a) 0,6915 b) 0,08 c) 0,