ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL ÍNDICE GENERAL

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1 ESTADÍSTICA BIDIMESIOAL ÍDICE GEERAL 1.-Varable Estadístca Bdmensonal. Tablas de frecuenca Concepto de varable estadístca bdmensonal. Eemplos Tablas bdmensonales de frecuencas. Tablas de doble entrada Dstrbucones margnales Vector de medas Dstrbucones condconadas Covaranza: Concepto y cálculo. Matrz de covaranza Introduccón a la regresón lneal Idea ntutva del auste de una lnea a un dagrama de dspersón.... Recta de regresón: Sgnfcado y cálculo de la recta de regresón de y sobre x. Cálculo de la recta de regresón de x sobre y Sgnfcado y cálculo del coefcente de correlacón Coefcente de correlacón lneal: Defncón y cálculo Interpretacón del coefcente de correlacón Lneal... 9 Estadístca Bdmensonal. -1-

2 1.-Varable Estadístca Bdmensonal. Tablas de frecuenca Concepto de varable estadístca bdmensonal. Eemplos. En muchas ocasones no basta con estudar la descrpcón de un fenómeno y sus varacones, es convenente conocer a qué son debdas esas varacones. Puede resultar nteresante e ncluso necesaro estudar los cambos producdos en una varable en relacón con otras, o cómo nfluyen unas varables para que otra cambe. Cuando se estudan conuntamente varas varables se entra en el campo de la estadístca multvarable (muchas varables). S el estudo se reduce a dos varables, como en este tema, se llama estadístca bdmensonal. La estadístca bdmensonal estuda fenómenos en los que ntervenen dos varables conuntamente, buscando la relacón que exste entre ambas. Así, por eemplo, se puede estudar la nfluenca que tenen los ngresos de una determnada famla en los gastos que tene, o cómo nfluye la velocdad de un certo automóvl en su consumo de combustble, o qué relacón exste entre los pesos y las estaturas de un grupo de personas. Una varable bdmensonal se representa por un par (X, Y), donde X es la prmera varable y toma los valores x 1, x, x 3,...,x n e Y la segunda y toma los valores, y 1, y, y 3,...,y n. Sn embargo, al consderar dos varables de una poblacón o muestra, no podemos afrmar que se trata de una varable bdmensonal porque la relacón entre las varables puede no ser estadístca. Así, entre dos varables puede exstr: Dependenca Funconal. Cuando es posble predecr con exacttud los valores de una varable a partr de los de la otra, se dce que ambas varables están en relacón funconal. Dada la varable (X,Y) exstrá una funcón f(x) tal que y = f(x ). Para cada valor de x se puede conocer el valor de y. Eemplo: a) La altura desde la que cae un cuerpo y el tempo que tarda en llegar al suelo está sueto a la ley de la gravedad. Sempre tarda lo msmo en recorrer el msmo espaco. b) El preco de una tela es funcón del coste del metro de tela y del número de metros. Independenca o Incorrelacón. Cuando las dos varables no tenen nnguna relacón entre ellas y podemos estudarlas por separado. Eemplo: a) La estatura y la nota de matemátcas. b) La nota en selectvdad y el número de letras del nombre. Dependenca estadístca o correlacón. Cuando no podemos establecer una relacón funconal pero tampoco podemos afrmar que no exste nterrelacón, se dce que están en relacón estadístca. Lo que nos proponemos a lo largo de estos apartados es determnar el grado de correlacón que exste entre las varables. Eemplo: a) De un colectvo se anota el número de horas de sueño y la edad de cada ndvduo. Hay una tendenca general a afrmar que a mayor edad menos horas de sueño, pero no podemos afrmar con exacttud que a X años le corresponden Y horas de sueño. b) Otro eemplo de relacón estadístca es el nº de cgarrllos consumdos y el resgo de fallo cardaco. Estadístca Bdmensonal. --

3 Dagrama de dspersón. ube de Puntos Una manera senclla y efcaz de estudar la posble correlacón entre varables es recurrr a los dagramas de dspersón, que son representacones gráfcas en un sstema de ees cartesanos donde cada par (x, y) se representa por un punto. La representacón gráfca resultante se denomna dagrama de dspersón o nube de puntos. Podemos apuntar un par de deas sobre la nube de puntos: 1.- En muchas ocasones la nube de puntos sugere la forma de la gráfca de alguna funcón conocda: una recta, una parábola, una funcón exponencal. Esto sgnfca que puede exstr alguna relacón entre las varables. S así ocurrese, se dría que las varables están correlaconadas..- S la forma de la nube es estrada y sus puntos se pueden encerrar en una elpse, la estrechez de esa elpse es un ndcador de la fuerza de la correlacón 1..-Tablas bdmensonales de frecuencas. Tablas de doble entrada. Lo prmero que tenemos que resolver es como tabular los datos obtendos en las observacones. Podemos construr una tabla de frecuencas, pero son mucho más práctcas las tablas de doble entrada que reflean los valores y frecuencas de las varables bdmensonales. Eemplo: Las notas en Lengua y en Idoma de los 30 alumnos de una clase en la últma evaluacón han sdo: Lengua: 3,, 8,,,,, 9,,, 3,, 3,, 3, 8,,,,,,, 9,, 9,,,, 1, Idoma:,, 10,,,,, 9,,,,, 1,, 1, 10,,, 8,,,, 9,, 9, 8,,,0, Para el estudo de los resultados podemos dsponer las notas en una tabla de doble entrada, en la que unto a los dstntos resultados aparezcan sus frecuencas. Obtenemos así la dstrbucón de frecuencas de la varable estadístca bdmensonal (X,Y), donde X representa la nota en Lengua e Y la nota en Idoma de los alumnos de la clase. Escrbe la dstrbucón de frecuencas de X="nota en Lengua". Calcula su meda y su varanza. Escrbe la dstrbucón de frecuencas de Y="nota en Idoma". Calcula su meda y su varanza. Estadístca Bdmensonal. -3-

4 Observa esta nueva tabla en la que se ha añaddo una fla y una columna más con los totales: Y \ X Total Total Dstrbucones margnales Se denomna dstrbucón margnal de una varable bdmensonal a la dstrbucón que se obtene al estudar ndependentemente cada varable. S tomamos la prmera columna y la últma columna en la tabla anteror, obtenemos la dstrbucón de frecuencas margnales de la varable estadístca Y: Y n S tomamos la prmera fla y la últma, obtenemos la dstrbucón de frecuencas de X: X n Con estas dstrbucones podemos calcular los msmos parámetros estadístcos que calculamos para las dstrbucones undmensonales. Las medas margnales son: x Varanzas margnales son: S ( x x) n p x n x n' = 1 = 1 = y= q ( y y) n' x = = ( x ) x S = ( ) y = ( y ) ( y) Estadístca Bdmensonal. --

5 1..-Vector de medas. Sea (X,Y) una dstrbucón estadístca bdmensonal. Al par ( x, y ) se le denomna vector de medas o centro de gravedad de la dstrbucón. Eerccos: 1) Un vendedor de helados anota durante doce días la temperatura (T) a las doce de la mañana y el número de bloques venddos (V) en ese día, obtenendo los sguentes valores: (30 0,10), ( 0,8), (8 0,9), ( 0,8), (30 0,10), (31 0,11), ( 0,9), (8 0,10), (9 0,11), (30 0,11), (9 0,1), (30 0,10). Escrbe la dstrbucón de frecuencas de la varable bdmensonal (T,V) en forma de tabla de doble entrada. Escrbe las dstrbucones margnales de la dstrbucón anteror y calcula la temperatura meda y el número medo de bloques venddos. Calcula en las dos dstrbucones margnales la varanza y la desvacón típca. ) Hemos preguntado a los 0 alumnos de una clase el número de horas semanales que dedcan al estudo (E) y el número de horas semanales que ven televsón (T): E T Construye una tabla de doble entrada. escrbe las dstrbucones margnales de ambas varables y calcula sus medas y varanza. 3) Las alturas (X) y los pesos (Y) de personas son los sguentes: X (Kgr.) [0-) [0-) [-0) [-0) [-0) Y (Cm.) [1-10) [10-1) [1-10) [10-1) [1-180) Frecuenca 1 3 X (Kgr.) [0-) [0-) [0-) [-80) [80-8) Y (Cm.) [1-10) [10-1) [1-180) [10-1) [10-1) Frecuenca Expresa estos resultados medante una tabla de doble entrada. Escrbe las dstrbucones margnales y calcula sus medas y varanzas (toma como valor de cada ntervalo el punto medo, Marca de clase). 1..-Dstrbucones condconadas Son las dstrbucones que se obtenen al far un valor en una de las varables y estudar las frecuencas correspondentes a la otra. Por eemplo la dstrbucón de la varable Y para el valor X=x. La dstrbucón que se obtene es undmensonal. 1..-Covaranza: Concepto y cálculo. Matrz de covaranza. Se llama covaranza de la varable (X,Y) a la meda artmétca de los productos de las desvacones de cada varable respecto de la meda.. Tambén se le denomna varanza conunta o sncronzada de las varables X e Y. La covaranza es la medda más smple de la relacón lneal entre dos varables. Vene dada por:σ = ( x x) ( y y) f ( x, y ) = r, ( x x) ( y y) n Estadístca Bdmensonal. --

6 Se demuestra que:σ = x y n, x y Interpretacón de la covaranza Una covaranza postva y alta ndca que ambas varables crecen o decrecen smultáneamente, es decr, presentan una fuerte correlacón. Cuando mayor sea la covaranza, más estrecha es la relacón entre las varables. Una covaranza alta y negatva ndca que cuando una varable crece, la otra decrece y vceversa, es decr, presentan una fuerte correlacón nversa. Cuanto menor sea la covaranza, puesto que es negatva, más estrecha es esta relacón entre las varables. La covaranza cero o próxma a cero ndca que no exste relacón entre las varables. Eemplo: A 1 alumnos de un colego se les toma las notas de los últmos exámenes de matemátcas, físca y flosofía. Observa que hay una relacón fuerte entre las notas de matemátcas y las de físca. ALUMO MATEMÁTICAS.SSS FÍSICA FILOSOFÍA A B C D E F G H I J K L Vemos la gráfca de los pares de puntos (x,y ) y su relacón con la covaranza En la prmera gráfca, los puntos están más alneados y por tanto la relacón entre las varables (CORRELACIÓ) es más fuerte. Por el contraro, en la segunda gráfca es más débl. Pero la covaranza presenta algún nconvenente: 1- Los puntos más aleados de la nube nfluyen más en su valor y sgno que los centrales. - Las escalas nfluyen en el valor de la covaranza. Así, al cambar la escala camba el valor de la covaranza y sn embargo, la relacón entre las varables es la msma. Matrz de covaranzas Podemos agrupar los parámetros anterores en la sguente matrz: S M = S x S S y Estadístca Bdmensonal. --

7 .- Introduccón a la regresón lneal.1.- Idea ntutva del auste de una lnea a un dagrama de dspersón La regresón es el estudo de los métodos de auste de una curva conocda a una nube de puntos. La regresón calcula la expresón matemátca de la curva que más se aproxma, o que meor se austa, a la nube de puntos. Trata, por lo tanto, de averguar cuál es la funcón que reflea del modo más exacto la relacón entre ambas varables. Esto nos permtrá estmar y predecr valores para una de las varables a partr de los valores de la otra. Regresón lneal: La regresón lneal estuda los dstntos métodos, o técncas, de austar una recta a una nube de puntos.. Recta de regresón: Sgnfcado y cálculo de la recta de regresón de y sobre x. Cálculo de la recta de regresón de x sobre y. Dada una nube de puntos, la recta de regresón que meor se auste a ella tendrá una ecuacón de la forma y = Ax + B. Para obtener los valores de A y B, se mpondrán dos condcones: 1.- Gravedad de la nube de puntos. Esta condcón mplca que la recta de regresón pasa por el punto (, ) es decr su ecuacón será y y = A ( x x). Sólo queda por determnar el valor de la pendente de la recta, A..- A cada punto P, de coordenadas (x, y ), pertenecente a la nube de puntos, le corresponde, en la recta, el punto P ' de coordenadas (x, y ). S se llamamos D a la dferenca y - y, se mpondrá la condcón de que la suma de los cuadrados de estas dferencas sea mínma. Puesto que el punto ( x,y ) pertenece a la recta se verfca que y' = y+ A ( x x) Como D tene que ser mínmo, para cometer el menor error. Entonces la dervada de D = ( y' y) = y+ A ( x x) y con respecto a A debe de ser 0. De esta condcón, y medante un tratamento matemátco, se deduce que el valor de A debe ser A = S / S x. Por lo tanto la recta de regresón de y sobre x es: S y y = ( x x) esta ecuacón permte aproxmar valores de y conocdos los de x. Sx S Al valor se le denomna Coefcente de regresón de Y sobre X S x Del msmo modo obtenemos la ecuacón de la recta de regresón de x sobre y que será: S x x = ( y y) que permte aproxmar valores de x conocendo los de y. Sy S Al valor se le denomna Coefcente de regresón de X sobre Y S y El método de obtencón de esta recta, mnmzando la suma de los cuadrados de las dferencas y - y, se denomna método de mínmos cuadrados y la recta de regresón se llama tambén recta de mínmos cuadrados. L Los valores de la aproxmacón serán meores s el coefcente de correlacón se acerca a 1 o -1. Estadístca Bdmensonal. --

8 Interpolacón y extrapolacón. La recta de regresón puede utlzarse para predecr el valor de Y que corresponde a un determnado valor de X conocdo. Se llama nterpolacón a la estmacón de un valor de la varable Y para un certo valor de X, dentro de su recorrdo. Se llama extrapolacón a la estmacón de un valor de Y, para un certo valor de X fuera de su recorrdo. Eemplo: Realzamos un expermento que consste en sumnstrar a cada una de 10 ratas una doss dara de 1 mg, mg, 3 mg,..., 10 mg, respectvamente, de un certo fármaco A, y calculamos el aumento de peso de cada rata después de un mes. Realzamos el msmo expermento con otras 10 ratas y otro fármaco B. Y por últmo un tercer expermento con otras 10 ratas y otro fármaco C. Los resultados gráfcamente son: A la vsta de las tres gráfcas, nos nclnamos a pensar que A favorece el engorde de las ratas, B no nfluye y C es perudcal. La correlacón de la gráfca 1 es postva y la de la 3 es negatva, gual que las pendentes de las rectas de regresón correspondentes. En la segunda gráfca se observa que la nube de puntos es amorfa y no sugere nnguna recta. o hay correlacón entre las varables. Se dce que son Incorreladas. Estadístca Bdmensonal. -8-

9 3.-Sgnfcado y cálculo del coefcente de correlacón. 3.1 Coefcente de correlacón lneal: Defncón y cálculo. La correlacón mde el grado de auste de la nube de puntos a la funcón matemátca asgnada. Responde por tanto a la pregunta: en qué medda una recta, u otra funcón matemátca, descrbe de un modo adecuado la relacón exstente entre las varables?. La relacón entre dos varables puede austarse muy ben a una recta o cualquer otra funcón matemátca. Para medr el grado de auste de la dstrbucón a una recta, se emplea el coefcente de correlacón de Pearson, cuya expresón es: σ ρ = S Sx S = y σx σ y Este coefcente solucona los problemas que presentaba la Covaranza por varas razones: 1.- S el coefcente de una vara ble (x, y) es D el de (aax, bay) tambén es D.- o tene undades, lo que nos permtrá estudar la correlacón con ndependenca de como tomemos las meddas. 3. Interpretacón del coefcente de correlacón Lneal El sgno del coefcente de correlacón de Pearson concde con el sgno de la covaranza σ, puesto que * x y * y son dos números postvos. Los valores que puede tomar el coefcente de correlacón de Pearson están comprenddos entre -1 y 1. A S 0<D <1, la correlacón es postva. La correlacón es postva o drecta cuando al aumentar una varable, se produce un aumento en la otra, y al dsmnur una, se produce una dsmnucón en la otra. Esto ocurre cuando la covaranza es postva. A S -1<D < 0, la correlacón es negatva. La correlacón es negatva, o nversa, cuando al aumentar una varable, se produce una dsmnucón de la otra, y al dsmnur una varable, se produce un aumento en la otra. Esto ocurre, cuando la covaranza es negatva. S D = + 1 el auste es perfecto. Cuando se da este caso, las varables X e Y guardan una relacón funconal lneal exacta, y = f(x). S D = 1 la recta tene pendente postva y s D = -1 la recta tene pendente negatva. S D = 0 no hay recta de regresón, la nube de puntos no se austa a una recta Estadístca Bdmensonal. -9-

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