2007 Carmen Moreno Valencia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "2007 Carmen Moreno Valencia"

Transcripción

1 Tema VIII. Grafos Grafos Carmen Moreno Valencia 1. Grafos, digrafos y multigrafos 2. Grafos eulerianos 3. Matrices de adyacencia e incidencia 4. Exploración de grafos pesados 1. Grafos, digrafos y multigrafos Definición. Un grafo G es un par ordenado G=(V,A), donde V es un conjunto cuyos elementos se llaman vértices y A es el conjunto de aristas que conectan dichos vértices. u,v V : adyacentes : uv A u v Ejemplo 1 e i : empleados de una fábrica, i=1,2,3,4,5 t j : tareas, j=1,2,3,4 e i t j A : empleado e i está capacitado para realizar la tarea t j

2 Grafos 2 V={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, t 1, t 2, t 3, t 4 } A={e 1 t 1, e 2 t 1, e 2 t 3, e 3 t 1, e 3 t 2, e 3 t 3, e 4 t 2, e 5 t 3, e 5 t 4 } Multigrafo Es un grafo que puede contener más de una arista entre dos vértices. V={v 1, v 2, v 3 }, A={v 1 v 2,v 1 v 2, v 2 v 3, v 1 v 3, v 1 v 3 } Pseudografo V={v 1, v 2, v 3 } A={v 1 v 1, v 1 v 2,v 2 v 2, v 2 v 3 }

3 Digrafo ó grafo dirigido A cada arista se le asigna un orden de sus extremos (flechas). v 1 v 1 Grafos 3 v 2 v 3 v 2 v 3 G=(V,A) G =(V,A ) V=V ={v 1, v 2, v 3 }. A={v 1 v 2, v 2 v 3, v 3 v 1 }, A ={v 2 v 1, v 3 v 1, v 2 v 3 } Grado de un vértice G=(V,A). Se llama grado del vértice u V al número de aristas que tienen a u por extremo. Isomorfismo de grafos Sean G=(V,A) y G =(V,A ). Un isomorfismo de G en G es una aplicación f: VÆV biyectiva que cumple: uv A f(u)f(v) A f preserva la adyacencia C.N: G y G deben tener el mismo nº vértices

4 Grafos 4 Los grafos G y G son isomorfos: y u 1 u 2 z x G=(V,A) f : V V t x f( x) = u y f( y) = u z f( z) = u t f() t = u u 4 u 3 G =(V,A ) Proposición. Si los grafos G y G son isomorfos y u V, entonces gr(u)=gr(f(u)) f preserva el grado G no isomorfo a G

5 Grafos 5 G no isomorfo a G Teorema.(Primer teorema de la teoría de grafo Sean G=(V,A) un grafo y V={v 1,..., v p } el conjunto de sus vértices. Entonces i= p i = 1 gr( v ) = 2 car( A) i (cantidad par) El nº de vértices de grado impar de un grafo es cero o un número par Grafo Regular Todos sus vértices tienen el mismo grado k (k-regular) Un isomorfismo de grafos conserva la regularidad.

6 Grafos 6 Grafo Completo Cada par de vértices son adyacentes. Dos grafos completos con el mismo nº de vértices son isomorfos. Grafo completo de n vértices (y sus isomorfos) K n : K 3 K 4 K 5 Todo grafo completo es regular. 2. Grafos eulerianos Camino C= (v 0, v 0 v 1, v 1, v 1 v 2, v 2,.., v n-1 v n, v n ) Conecta v o con v n C= (v 0, v 1,..., v n ) Longitud =nº aristas Cerrado : v 0 =v n Simple: No repite vértices

7 Grafos 7 Circuito Camino cerrado que no repite aristas Grafo conexo Para cada par de vértices, existe un camino que los conecta. (Una componente conexa) Circuito Euleriano Camino cerrado/ Todas las aristas/ Sin repetir Camino Euleriano Camino / Todas las aristas/ Sin repetir Grafo Euleriano Grafo que contiene un circuito euleriano. Los siete Puentes de Königsberg C A B D (s. XVIII) Leonard Euler (1736)

8 Grafos 8 Trataban de encontrar un circuito euleriano en el grafo G Teorema 1 Sea G un grafo conexo. G posee un circuito euleriano (G es euleriano) si y sólo si todos sus vértices tienen grado par. Teorema 2 Sea G un grafo conexo. G posee un camino euleriano si y sólo si tiene exactamente dos vértices de grado impar. Búsqueda de un circuito euleriano Construir un circuito inicial en G Insertar en él nuevos circuitos, hasta recorrer todas las aristas

9 Es G euleriano?. Encontrar un circuito euleriano en G. j Grafos 9 e b i a c f d h g G=(V, A) 1) Circuito g=(a, b, c, d, a) Borramos las aristas recorridas por g: j e b i a c f g d h G =(V, A ) A π

10 2) En G construimos un circuito g que comience por un vértice de g (vertice b) Grafos 10 g =(b, i, c, h, d, f, a, e, b) Y lo insertamos en g=(a, b, c, d, a) : g g =g 1 = (a, [b, i, c, h, d, f, a, e, b ], c, d, a) Borramos las aristas recorridas por g 1 j e f a b d c i h g G =(V,A ) A π 3) En G construimos un circuito g que comience por un vértice de g (vertice i)

11 Grafos 11 g =(i, h, g, f, e, j,i) Y lo insertamos en g 1 =(a, [b, i, c, h, d, f, a, e, b ], c, d, a): g 1 g =g 2 = (a, [b, [i, h, g, f, e, j,i ], c, h, d, f, a, e, b ],c,d,a) Borramos las aristas recorridas por g 2 : j e a b c i f d h g g 2 : Circuito euleriano G =(V,A ) A =

12 Grafos Matriz de adyacencia y de incidencia Matriz de adyacencia de un grafo G=(V, A), V={v 1, v 2,..., v p }. M=(a ij ) M p dada por: a ij 1 si viv j A ( adyacentes) = 0 si viv j A ( No adyacentes) v 1 v v 3 v M = Matriz de adyacencia de un digrafo M=(a ij ) M p aij = 1 si vv i j A y vi vj 0 si vv A o vv A, pero v v i j i j j i

13 v 1 Grafos 13 v 3 v 2 v 4 M = Matriz de adyacencia de un multigrafo a ij indica el número de aristas que conectan el vértice i con el j. El valor c ij de M n indica el nº de caminos de longitud n que conectan el vértice v i con v j. Matriz de incidencia vértice-arista de un Grafo G=(V,A), V= {v 1, v 2,..., v p }, A={a 1, a 2,..., a r } Z=(z ij ) M pxr 1 la arista a j incide enel vertice vi zij = 0 en otro caso

14 Matriz de incidencia de un Digrafo Grafos 14 z Z=(z ij ) M pxr 1 vi es vertice inicial de la arista a = 1 v es vertice final de la arista a 0 en otrocaso ij i j j a v 5 1 v v 2 3 a 2 v a 1 a a Z = a 1 v 3 v 1 a 2 a v 4 a Z = v 2

15 4. Exploración en grafos pesados Grafos pesados. Optimización Árbol de Expansión Mínimo Ruta más corta: Algoritmo de DIJKSTRA Flujo máximo Grafos 15 Algoritmo del Árbol de Expansión Mínimo Árbol: Grafo conexo y sin ciclos Dado dos vértices, existe un único camino simple que los conecta Ejemplo: Red de ferrocarril Árbol de expansión de un grafo: árbol que contiene todos los vértices del grafo Árbol de expansión mínimo en un grafo pesado: árbol que contiene todos los vértices del grafo y cuyo peso sea mínimo. Algoritmo V S Conectados enun arbol A = S sin conectar En cada iteración se describe el estado: S, A, S

16 Inicio Fin Grafos 16 S = (Conectados Arbol) S = V (Sin conectar) S=V (Conectados Arbol Exp.Min.) S = (Sin conectar) Criterio: En cada iteración se transfiere a S el vértice de más próximo al arbol - bloque Ej. S

Un grafo G = (V, E) se dice finito si V es un conjunto finito.

Un grafo G = (V, E) se dice finito si V es un conjunto finito. 1 Grafos: Primeras definiciones Definición 1.1 Un grafo G se define como un par (V, E), donde V es un conjunto cuyos elementos son denominados vértices o nodos y E es un subconjunto de pares no ordenados

Más detalles

Es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre

Es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre Es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Típicamente, un grafo se representa

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 14. Grafos

Apuntes de Matemática Discreta 14. Grafos Apuntes de Matemática Discreta 14. Grafos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 14 Grafos Contenido 14.1 Generalidades.....................................

Más detalles

Caminos y Flujos optimales. Introducción a la Investigación de Operaciones 2007

Caminos y Flujos optimales. Introducción a la Investigación de Operaciones 2007 Caminos y Flujos optimales Introducción a la Investigación de Operaciones 2007 Contenido Definiciones básicas. Conexidad. Clausura transitiva. Esqueletos y caminos optimales. Redes. Flujos. Algoritmo de

Más detalles

Fundamentos de la teoría de grafos

Fundamentos de la teoría de grafos Fundamentos de la teoría de grafos 3º I.T.I. de Sistemas Mª Teresa Cáceres Sansaloni 1 Tema 1: Nociones básicas Conceptos básicos sobre grafos. Representación de grafos. Multigrafos, grafos dirigidos y

Más detalles

Minicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 2014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana

Minicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 2014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana Minicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana Índice 1. Conceptos básicos 1 1.1. Nomenclatura...................................

Más detalles

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas).

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). TEMA 5.- GRAFOS 5.1.- DEFINICIONES BÁSICAS Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). Gráficamente representaremos

Más detalles

Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes.

Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes. Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes. Qué son los Grafos? Un grafo es una dupla G= {X,U}, donde X es un conjunto finito y no vacio de elementos llamados vértices y U es el conjunto

Más detalles

GRAFOS. Prof. Ing. M.Sc. Fulbia Torres

GRAFOS. Prof. Ing. M.Sc. Fulbia Torres ESTRUCTURAS DE DATOS 2006 Prof. DEFINICIÓN Un grafo consta de un conjunto de nodos(o vértices) y un conjunto de arcos (o aristas). Cada arco de un grafo se especifica mediante un par de nodos. Denotemos

Más detalles

El TAD Grafo. El TAD Grafo

El TAD Grafo. El TAD Grafo ! Esta representación resulta útil cuando el número de vértices se conoce previamente y permanecerá fijo durante la resolución del problema, pero resulta ineficiente si necesitamos añadir o eliminar vértices

Más detalles

Índice Unidad 1: Lógica y teoría de conjuntos... 2

Índice Unidad 1: Lógica y teoría de conjuntos... 2 MATEMÁTICA DISCRETA Índice Unidad 1: Lógica y teoría de conjuntos... 2 1. Definiciones... 2 2. Leyes de la lógica... 2 3. Reglas de inferencia... 3 4. Lógica de predicados... 3 5. Teoría de conjuntos...

Más detalles

Matemáticas Discretas TC1003

Matemáticas Discretas TC1003 Matemáticas Discretas TC1003 Grafos: Básicos Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 1/12 Grafos: El tema de Teoría de Grafos apareció

Más detalles

Algoritmos sobre Grafos

Algoritmos sobre Grafos Sexta Sesión 27 de febrero de 2010 Contenido Deniciones 1 Deniciones 2 3 4 Deniciones sobre Grafos Par de una lista de nodos y una lista de enlaces, denidos a su vez como pares del conjunto de nodos.

Más detalles

TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas

TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas Código: MAT-31114 AUTORES Ing. Daniel Zambrano Ing. Viviana Semprún UNIDADES DE LA ASIGNATURA» UNIDAD I. Relaciones» UNIDAD II. Estructuras Algebraicas» UNIDAD III.

Más detalles

Introducción a la Teoría de Grafos

Introducción a la Teoría de Grafos Introducción a la Teoría de Grafos Flavia Bonomo fbonomo@dc.uba.ar do. Cuatrimestre 009 Árboles Un árbol es un grafo conexo y acíclico (sin ciclos). Un bosque es un grafo acíclico, o sea, una unión disjunta

Más detalles

Matrices y aplicaciones

Matrices y aplicaciones Matrices y aplicaciones La antigua ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado) ubicada en lo que era Prusia Oriental, se encuentra atravesada por el río Pregel (cuyo nombre actual es Pregolya). La ciudad es

Más detalles

Transparencias de Matemática Discreta Doble Grado en Ingeniería en Informática y. Administración de Empresas Curso 2013 2014

Transparencias de Matemática Discreta Doble Grado en Ingeniería en Informática y. Administración de Empresas Curso 2013 2014 ESCUELA POLITÈCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Transparencias de Matemática Discreta Grado en Ingeniería en Informática Doble Grado en Ingeniería en Informática y Administración de Empresas

Más detalles

LAS CIENCIAS DE LA PLANIFICACIÓN

LAS CIENCIAS DE LA PLANIFICACIÓN LAS CIENCIAS DE LA PLANIFICACIÓN 5. EL PROBLEMA DEL VIAJANTE (PV) (The Traveling Salesman Problem TSP) Un problema como el de las vacaciones, pero vital para las empresas, es el problema del viajante (PV):

Más detalles

Leonard Euler y la Teoría de Grafos

Leonard Euler y la Teoría de Grafos Leonard Euler y la Teoría de Grafos Qué tienen en común un pasatiempo de los habitantes de una ciudad europea del siglo XVIII; Colorear el mapa de Colombia; Planear un viaje de vacaciones; Evitar problemas

Más detalles

Ruta más Corta con una sóla Fuente de Inicio (Single-Source Shortest Paths) DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

Ruta más Corta con una sóla Fuente de Inicio (Single-Source Shortest Paths) DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE Ruta más Corta con una sóla Fuente de Inicio (Single-Source Shortest Paths) 1 DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE Problema de Encontrar la Ruta más Corta 2 Se requiere llegar de

Más detalles

Teoría de grafos. Notas de clase (versión preliminar) Universidad EAFIT

Teoría de grafos. Notas de clase (versión preliminar) Universidad EAFIT Teoría de grafos. Notas de clase (versión preliminar) Raúl Gómez Marín, Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT 1999 2 Capítulo 1 Grafos Es un hecho conocido que la teoría de grafos tiene sus raíces en

Más detalles

TEORIA DE GRAFICAS INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE GRAFOS

TEORIA DE GRAFICAS INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE GRAFOS TEORIA DE GRAFICAS INTRODUCCIÓN La teoría de gráficas o teoría de grafos es aplicada en una gran cantidad de áreas tales como ciencias sociales, lingüística, ciencias físicas, ingeniería de comunicación,

Más detalles

Matemática Discreta. Tijani Pakhrou

Matemática Discreta. Tijani Pakhrou Matemática Discreta Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de Números 1 1.1. Los Números enteros........................... 1 1.2. Propiedades de la suma y del producto en Z.............. 1 1.3. El principio

Más detalles

TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 1

TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 1 Optimización en redes. Fluos en redes (Network Flows NF) Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas http://www.iit.comillas.edu/aramos/ Andres.Ramos@comillas.edu TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

Más detalles

4 SCT UPLA = 108 Horas Cronológicas Semestrales Presencialidad (41,67%)

4 SCT UPLA = 108 Horas Cronológicas Semestrales Presencialidad (41,67%) CARRERA NOMBRE DEL PROGRAMA FORMATIVO TOTAL DE CRÉDITOS Pedagogía en Matemática / Licenciatura en Educación CPM 4331 Matemática Discreta 4 SCT UPLA = 108 Horas Cronológicas Semestrales Presencialidad (41,67%)

Más detalles

Soluciones a algunos ejercicios de Matemática Discreta 1.

Soluciones a algunos ejercicios de Matemática Discreta 1. Soluciones a algunos ejercicios de Matemática Discreta 1. Eleonora Catsigeras * 23 de agosto de 2005 Práctico 1.- Ejercicio 5 Cuántos números naturales pares de tres dígitos (en base 10) tienen todos sus

Más detalles

Problemas y Conjeturas

Problemas y Conjeturas U UNIVERSITAT DE BARCELONA B Problemas y Conjeturas de la Teoría de Grafos (Trabajo Académicamente Dirigido) Autora: Cristina Araúz Lombardía Trabajo Académicamente Dirigido por F. Javier Soria de Diego

Más detalles

Tema 1: La geometría euclídea

Tema 1: La geometría euclídea Tema 1: La geometría euclídea Geometrías no euclídeas Curso 2009-2010 1. Axiomas de Euclides 1. Euclides de Alejandría vivió hacia el año 300 A.C. 2. Definiciones intuitivas de punto, recta, plano, ángulo,

Más detalles

11. MOSAICOS. El ángulo interior de un polígono regular de n lados es

11. MOSAICOS. El ángulo interior de un polígono regular de n lados es 11. MOSAICOS Cuando una o varias piezas recubren un plano sin solaparse tenemos un recubrimiento o mosaico. Los mosaicos más sencillos son los que solo utilizan una pieza de una única forma y tamaño. Aun

Más detalles

FORMATO 2 (Anexo No.3) FORMULARIO DE LA DESCRIPCIÓN DE LA TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO

FORMATO 2 (Anexo No.3) FORMULARIO DE LA DESCRIPCIÓN DE LA TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO FORMATO 2 (Anexo No.3) FORMULARIO DE LA DESCRIPCIÓN DE LA TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO TÍTULO COMPLETO DE LA TESIS DOCTORAL O TRABAJO DE GRADO: APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS EN LA INFORMÁTICA

Más detalles

Matemática discreta TEMA 1 FUNCIONES Y NUMERACIÓN 1. FUNCIONES

Matemática discreta TEMA 1 FUNCIONES Y NUMERACIÓN 1. FUNCIONES Matemática discreta TEMA 1 FUNCIONES Y NUMERACIÓN Tema 1 Funciones y Numeración 1. Funciones 2. La operación de contar 3. El principio de las cajas 4. Conjuntos finitos e infinitos Función Exhaustiva Función

Más detalles

Figura 3.1. Grafo orientado.

Figura 3.1. Grafo orientado. Leyes de Kirchhoff 46. ECUACIONES DE INTERCONEXION. Leyes de Kirchhoff..1. Definiciones. Una red está formada por la interconexión de componentes en sus terminales; y deben cumplirse simultáneamente las

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 6 Relaciones Contenido 6.1 Generalidades.....................................

Más detalles

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean

Más detalles

Tema 10: Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas

Tema 10: Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas Tema 10: Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas Regla. Escuadra. Cartabón. Compás. Transportador de ángulos. Calculadora Portaminas. Goma 10.1 Polígonos MATERIAL DE CLASE OBLIGATORIO PROBLEMAS

Más detalles

Planaridad. Algoritmos y Estructuras de Datos III

Planaridad. Algoritmos y Estructuras de Datos III Planaridad Algoritmos y Estructuras de Datos III Por qué planares? Por qué planares? Por qué planares? Grafos planares Definiciones: Una representación planar de un grafo G es un conjunto de puntos en

Más detalles

Unidad 6. Gráficas Planares

Unidad 6. Gráficas Planares Unidad 6. Gráficas Planares Una gráfica Planar es aquella que puede llegar a representarse en un plano de tal modo que no existe intersección de líneas excepto en los vértices. Una gráfica Plana es aquella

Más detalles

1. Conceptos básicos sobre el problema en cuestión y cuestiones afines. 2. Formulación de los correspondientes algoritmos y su pseudocódigo.

1. Conceptos básicos sobre el problema en cuestión y cuestiones afines. 2. Formulación de los correspondientes algoritmos y su pseudocódigo. Análisis de Algoritmos Ingeniería Informática, EPS-UAM Información general Organización del curso: 13-15 (mínimo-máximo) semanas docentes: 30-33 clases teóricas. 9-12 clases de problemas 26-30 clases prácticas

Más detalles

UNIDAD 9. DATOS COMPLEJOS PILAS

UNIDAD 9. DATOS COMPLEJOS PILAS UNI 9. TOS OMPLEJOS PILS Una pila es una lista de elementos en la que se pueden insertar y eliminar elementos sólo por uno de los extremos. omo consecuencia, los elementos de una pila serán eliminados

Más detalles

MATEMATICA PARA INFORMATICA III

MATEMATICA PARA INFORMATICA III INFORMACION GENERAL FACULTAD O CENTRO: CIENCIAS DE LA EDUCACION Y HUMANIDADES PLAN DE ESTUDIO: 1999 CARRERA: INFORMATICA EDUCATIVA ORIENTACION: EDUCATIVA ASIGNATURA: ESTRUCTURAS DISCRETAS AÑO ACADEMICO:

Más detalles

Introducción a los códigos compresores

Introducción a los códigos compresores Introducción a los códigos compresores Parte I de la Lección 2, Compresores sin pérdidas, de CTI Ramiro Moreno Chiral Dpt. Matemàtica (UdL) Febrero de 2010 Ramiro Moreno (Matemàtica, UdL) Introducción

Más detalles

Descripción resumida El estudiante debe hacer una descripción breve sobre la temática que involucra los problemas propuestos.

Descripción resumida El estudiante debe hacer una descripción breve sobre la temática que involucra los problemas propuestos. Trabajo colaborativo 4 Temáticas revisadas: UNIDAD 4 Introducción a los Grafos 1. Grafos. Árboles Estrategia de aprendizaje: Resolución de Problemas Descripción resumida El estudiante debe hacer una descripción

Más detalles

Tema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.

Tema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases. Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo

Más detalles

1 Tema 1. Definiciones y conceptos básicos

1 Tema 1. Definiciones y conceptos básicos Enrique Benavent. Universitat de València Teoría de Grafos 1 1 Tema 1. Definiciones y conceptos básicos 1.1 Grafos. Isomorfismo de grafos Un grafo no dirigido es un triple ordenado (V(G), E(G), Ψ G ),

Más detalles

Introducción a la Investigación de Operaciones

Introducción a la Investigación de Operaciones 3. GRAFOS 3.1 Introducción El nacimiento del concepto GRAFOS se puede situar, por el año 1730, cuando Euler (matemático) se convirtió en el padre de la Teoría de Grafos al modelar un famoso problema no

Más detalles

OPTIMIZACIÓN VECTORIAL

OPTIMIZACIÓN VECTORIAL OPTIMIZACIÓN VECTORIAL Métodos de Búsqueda Directa Utilizan sólo valores de la función Métodos del Gradiente Métodos de Segundo Orden Requieren valores aproimados de la primera derivada de f) Además de

Más detalles

GRÁFICAS k-nulas Y LA PROPIEDAD DE PUNTO FIJO *

GRÁFICAS k-nulas Y LA PROPIEDAD DE PUNTO FIJO * Mosaicos Matemáticos No. Diciembre, 2003. Reporte de Tesis (Licenciatura). Nivel Superior GRÁFICAS k-nulas Y LA PROPIEDAD DE PUNTO FIJO * María de Jesús Carrillo Trejo Martín Eduardo Frías Armenta Departamento

Más detalles

GRAFOS. LICESIO J. RODRíGUEZ-ARAGÓN

GRAFOS. LICESIO J. RODRíGUEZ-ARAGÓN GRAFOS LICESIO J. RODRíGUEZ-ARAGÓN 1 LEONARD EULER Matemático y físico nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos.

Más detalles

Tema 7: Optimización sobre Redes Muchos de los problemas de Investigación Operativa pueden modelizarse y resolverse sobre un grafo: conjunto de

Tema 7: Optimización sobre Redes Muchos de los problemas de Investigación Operativa pueden modelizarse y resolverse sobre un grafo: conjunto de Tema 7: Optimización sobre Redes Muchos de los problemas de Investigación Operativa pueden modelizarse y resolverse sobre un grafo: conjunto de vértices o nodos conectados con arcos y/o aristas. Diseñar

Más detalles

SOLUCIONES MINIMOS 2º ESO TEMA 8 CUERPOS GEOMÉTRICOS

SOLUCIONES MINIMOS 2º ESO TEMA 8 CUERPOS GEOMÉTRICOS SOLUCIONES MINIMOS º ESO TEMA 8 CUERPOS GEOMÉTRICOS Ejercicio nº 1.- Escribe el nombre de cada uno de los elementos de este poliedro: Ejercicio nº.- Cuáles de las siguientes figuras son poliedros? Por

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos

Más detalles

ASIGNATURA: Matemática Discreta 1 Cuatrimestre Año: 2011

ASIGNATURA: Matemática Discreta 1 Cuatrimestre Año: 2011 CÓDIGO ASIGNATURA 1028 DEPARTAMENTO: Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas ASIGNATURA: Matemática Discreta 1 Cuatrimestre Año: 2011 1. OBJETIVOS: i. Cognitivos Incorporar los conceptos de Matemática

Más detalles

Métodos de teoría de Grafos en aprendizaje no supervisado y cl

Métodos de teoría de Grafos en aprendizaje no supervisado y cl Métodos de teoría de Grafos en aprendizaje no supervisado y clustering 15 de enero de 2011 1 Teoría de Grafos 2 Métodos de la Teoría de Grafos 3 Clasificación de Documentos Web 4 Clustering Incremental

Más detalles

Algoritmos: Algoritmos voraces

Algoritmos: Algoritmos voraces Algoritmos: Algoritmos voraces Alberto Valderruten LFCIA - Departamento de Computación Facultad de Informática Universidad de A Coruña, España www.lfcia.org/alg www.fi.udc.es Contenido Características

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Sede UNI-NORTE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Sede UNI-NORTE UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Sede UNI-NORTE Teoría de redes Problema de la Ruta más corta Problema del Árbol de expansión mínima Problema del Flujo máximo Problema de Flujo de costo mínimo Introducción

Más detalles

Distancia entre vértices en multigrafos de isogenias de curvas elípticas

Distancia entre vértices en multigrafos de isogenias de curvas elípticas 1 / 17 Distancia entre vértices en multigrafos de isogenias de curvas elípticas D. Sadornil 1 F. Sebé 2 J. Tena 3 M. Valls 2 1 UC, 2 UdL, 3 UVa Julio 2012 Definicion Una curva elíptica sobre F q es un

Más detalles

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también

Más detalles

Contenidos. Capítulo 1 Grimaldi. Introducción Reglas. Combinación. Coeficiente. Permutación. Ejercicios 20/05/2014. sin repeticiones con repeticiones

Contenidos. Capítulo 1 Grimaldi. Introducción Reglas. Combinación. Coeficiente. Permutación. Ejercicios 20/05/2014. sin repeticiones con repeticiones Capítulo 1 Grimaldi Contenidos Introducción Reglas de la suma del producto Permutación sin repeticiones con repeticiones elementos repetidos circular Combinación sin repeticiones con repeticiones Coeficiente

Más detalles

Ecuaciones de la recta en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu

Más detalles

Unidad 1: Combinatoria

Unidad 1: Combinatoria Unidad 1: Combinatoria 1.1 Principios básicos de conteo. (1) Conocer y manejar la regla del Producto y de la suma. (2) Conocer y manejar el Principio de inclusión exclusión. (3) Conocer y manejar los Diagramas

Más detalles

Gráficas : teoría, aplicaciones e interacciones : I

Gráficas : teoría, aplicaciones e interacciones : I J. Ramírez Alfonsín Université Montpellier 2, Francia Facultad de Ciencias, UNAM, México 21 de Enero de 2013 1 Introducción 2 Isomorfismo 3 Subgráfica 4 Grado 5 Conexidad 6 Coloración 7 Pruebas de Conocimiento

Más detalles

Algoritmos Básicos de Grafos

Algoritmos Básicos de Grafos Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Computación Lecturas en Ciencias de la Computación ISSN -9 Algoritmos Básicos de Grafos Ernesto Coto ND - Laboratorio de Computación Gráfica

Más detalles

Registros de desplazamiento

Registros de desplazamiento Registros de desplazamiento Definición de registro de desplazamiento básico Tipos de registro de desplazamiento Configuraciones específicas Aplicaciones más típicas VHDL Ejercicio propuestos Definición

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Leidi Gil y Martha Orjuela Universidad Pedagógica Nacional

Leidi Gil y Martha Orjuela Universidad Pedagógica Nacional FIGURAS DE ANCHO CONSTANTE: UN TEMA POR EXPLORAR Leidi Gil y Martha Orjuela Universidad Pedagógica Nacional leidifuentes@yahoo.es, tuchisgomez@hotmail.com El objetivo de la ponencia es describir algunos

Más detalles

Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo.

Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 1 Tema 5.-. Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 5.1. Anillos y cuerpos Definición 5.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A

Más detalles

Capítulo 6. Relaciones. Continuar

Capítulo 6. Relaciones. Continuar Capítulo 6. Relaciones Continuar Introducción Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en base de datos,

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Universidad Autónoma de Madrid Actualización en Análisis Matemático, abril de 2012 Cardano (1501 1576) Dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rectángulo cuyos lados tienen la longitud

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 8 Relaciones de Equivalencia

Más detalles

4. GEOMETRÍA // 4.4. POLIEDROS.

4. GEOMETRÍA // 4.4. POLIEDROS. 4. GEOMETRÍA // 4.4. POLIEDROS. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 Bibliografía. Bibliografía. 1. Alsina, C., Pérez, R., Ruiz, C., Simetría dinámica, Serie Matemáticas:

Más detalles

INSTITUCION EDUCATIVA DIVERSIFICADO DE CHIA TALLER DE VOLUMENES Y POLIEDROS

INSTITUCION EDUCATIVA DIVERSIFICADO DE CHIA TALLER DE VOLUMENES Y POLIEDROS Sep. 18 de 2015 Señores Estudiantes grados Novenos El siguiente trabajo ya lo estamos realizando en clase, pero los datos que a continuación aparecen son refuerzo para terminar las figuras geométricas

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 7 Relaciones de Orden Contenido

Más detalles

Geometría

Geometría Geometría Geometría www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2012 Contenido 1. Geometría 2 1.1. Definiciones....................................... 2 1.2. Postulados........................................

Más detalles

1. (2 puntos) En la V Caminata Madrileño Manchega, los participantes caminan de Madrid

1. (2 puntos) En la V Caminata Madrileño Manchega, los participantes caminan de Madrid Matemática Discreta Segundo de Ingeniería Informática UAM Curso 2006-2007 Solucionario del examen final del 26-1-2007 Nota bene: A continuación exhibimos algunas de las distintas maneras de abordar los

Más detalles

Geometría. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

Geometría. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Geometría Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Ángulos Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas con el origen común. Lados Vértice Clasificación de los ángulos

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

Criterios de divisibilidad y Congruencias

Criterios de divisibilidad y Congruencias Criterios de divisibilidad y Congruencias Rafael F. Isaacs G. * Fecha: 9 de marzo de 2007 Cuando tenemos un número muy grande escrito en base 10 y deseamos saber si es múltiplo por ejemplo de 9 no necesitamos

Más detalles

Formas Normales. Normalización. Introducción

Formas Normales. Normalización. Introducción Formas Normales Normalización - Introducción Primera Forma Normal Segunda Forma Normal Tercera Forma Normal Forma Normal de Boyce-Codd Dependencias Multivaluadas Cuarta Forma Normal In.Co. - Facultad de

Más detalles

IIC2213. IIC2213 Teorías 1 / 42

IIC2213. IIC2213 Teorías 1 / 42 Teorías IIC2213 IIC2213 Teorías 1 / 42 Qué es una teoría? Una teoría es un cúmulo de información. Debe estar libre de contradicciones. Debe ser cerrada con respecto a lo que se puede deducir de ella. Inicialmente

Más detalles

Capítulo 1 Matriz Admitancia de Barra

Capítulo 1 Matriz Admitancia de Barra ELC-05 Sistemas de Potencia Capítulo Matriz Admitancia de Barra Prof. Francisco M. González-Longatt fglongatt@ieee.org http://www.giaelec.org/fglongatt/sp.htm SSTEMAS DE POTENCA Copright 007 . La inección

Más detalles

r j ϕ j (v i ) = r i, ϕ(v i ) = v = n a ij ϕ j(v) ϕ i (v) =

r j ϕ j (v i ) = r i, ϕ(v i ) = v = n a ij ϕ j(v) ϕ i (v) = ESPACIO DUAL 1. Espacio Dual En temas anteriores dados V y V espacios vectoriales sobre k, definíamos en Hom(V, V ) una suma y un producto por elementos de k que convertían este conjunto en un espacio

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

El cuerpo de los números complejos

El cuerpo de los números complejos Capítulo 1 El cuerpo de los números complejos En este primer capítulo se revisan los conceptos elementales relativos a los números complejos. El capítulo comienza con una breve nota histórica y después

Más detalles

A B MIN C D E F MAX x E.T.S.I. INFORMÁTICA 4º CURSO. INTELIGENCIA ARTIFICIAL E INGENIERÍA DEL CONOCIMIENTO

A B MIN C D E F MAX x E.T.S.I. INFORMÁTICA 4º CURSO. INTELIGENCIA ARTIFICIAL E INGENIERÍA DEL CONOCIMIENTO E.T.S.I. INFORMÁTICA 4º CURSO. INTELIGENCIA ARTIFICIAL E INGENIERÍA DEL CONOCIMIENTO UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación RELACIÓN DE PROBLEMAS. TEMA IV. PROBLEMAS DE JUEGOS.

Más detalles

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder

Más detalles

POLÍGONOS POLÍGONOS. APM Página 1

POLÍGONOS POLÍGONOS. APM Página 1 POLÍGONOS 1. Polígonos. 1.1. Elementos de un polígono. 1.2. Suma de los ángulos interiores de un polígono. 1.3. Diagonales de un polígono. 1.4. Clasificación de los polígonos. 2. Polígonos regulares. Elementos.

Más detalles

Problema 1.4. Demostrar que si hay 2013 ciudades y cada ciudad está conectada a todas las demás, entonces en total hay 2013 2012

Problema 1.4. Demostrar que si hay 2013 ciudades y cada ciudad está conectada a todas las demás, entonces en total hay 2013 2012 Introducción a la teoría de grafos A.Kiselev, Universidad Estatal de San Petersburgo, y Ekaterina Zhukova, Universidad Estatal Electrotécnica de San Petersburgo 1. Introducción Todos los lectores habrán

Más detalles

Matemáticas discretas

Matemáticas discretas Matemáticas discretas Aplicaciones y ejercicios José Francisco Villalpando Becerra Andrés García Sandoval Universidad de Guadalajara info editorialpatriacommx wwweditorialpatriacommx Dirección editorial:

Más detalles

1 Introducción 1. 2 Teoría de redes 5 2.1 Conceptos básicos... 5 2.2 Representación algebraica de grafos... 9

1 Introducción 1. 2 Teoría de redes 5 2.1 Conceptos básicos... 5 2.2 Representación algebraica de grafos... 9 ! "!#$%&"'! ( !" # Contenido 1 Introducción 1 2 Teoría de redes 5 2.1 Conceptos básicos................................... 5 2.2 Representación algebraica de grafos.......................... 9 3 Fundamentos

Más detalles

Grupos libres. Presentaciones.

Grupos libres. Presentaciones. S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad

Más detalles

Trabajo 2. Jonathan A. Trejos O. El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría.

Trabajo 2. Jonathan A. Trejos O. El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría. Trabajo Jonathan A. Trejos O. 1 Primer problema El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría. Enunciado 1 Halle y pruebe una bonita fórmula para el producto

Más detalles

a) 12 = b) 45 = c) 54 a) 2 = 2 c) 9 c) 9 = 9 Tema 2 - Hoja 2: Raíz de un número

a) 12 = b) 45 = c) 54 a) 2 = 2 c) 9 c) 9 = 9 Tema 2 - Hoja 2: Raíz de un número Tema - Hoja : Raíz de un número Expresa como producto de un número entero y un radical los siguientes radicales: a) a) = = = = = = Expresa en forma de raíz las siguientes potencias de exponente fraccionario:

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS: C

NÚMEROS COMPLEJOS: C NÚMEROS COMPLEJOS: C Alejandro Lugon 21 de mayo de 2010 Resumen Este es un pequeño estudio de los números complejos con el objetivo de poder usar las técnicas de solución de ecuaciones y sistemas diferenciales

Más detalles

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME)

MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) 2014-2015 Fecha 19/05/2015 APUNTES DE GEOMETRÍA 2º ESO 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa

Más detalles

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales.

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales. Tema 1: Números Reales 1.1 Conjunto de los números Naturales (N): 0, 1, 2, 3. Números positivos sin decimales. Sirven para contar. Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 4: Diagonalización de matrices. Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 4: Diagonalización de matrices. Curso Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial Esp en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4: Diagonaliación de matrices

Más detalles

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:

Más detalles

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema

Más detalles

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República Definiciones básicas - Vectores Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto

Más detalles