Laboratorio Nº 4 Ecuaciones diferenciales de orden n. Ecuación lineal homogénea. Soluciones linealmente independientes

Transcripción

1 Universidad Diego Portales Segundo Semestre 2007 Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Laboratorio Nº 4 Ecuaciones diferenciales de orden n. Ecuación lineal homogénea. Soluciones linealmente independientes Objetivo general Hallar, usando la calculadora, la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea. Determinar la solución particular, dadas las condiciones iniciales, y describir en forma gráfica su solución. Objetivos específicos 1 Resolver las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo, tercer y cuarto orden. 2 Determinar la solución particular de la ecuación diferencial lineal homogénea. 3 Describir, en forma gráfica, la solución particular de la ecuación diferencial lineal homogénea. 4 Analizar y resolver ecuaciones diferenciales homogéneas. Actividades Nº de actividad Contenido 1 Ecuación lineal homogénea de 2º orden 2 Ecuación lineal homogénea de 3 er orden 3 Ecuación lineal homogénea de 4º orden 4 El alumno desarrollará 2 actividades propuestas Metodología En las tres actividades siguientes mostraremos la ventaja que nos entrega el uso de calculadora. Nos permite resolver y analizar ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, que incluso con el uso de calculadoras, en forma inadecuada, no sería posible hacerlo.

2 Actividad 1: (a) Hallar, usando la calculadora, la solución general de la ecuación diferencial y + 3 y + 2y = 0. (b) Determine la solución particular, de la ecuación diferencial, dada que satisfaga las condiciones iniciales x = 0, y = 0, y = 1. (c) Grafique esta solución particular. (d) Grafique tres curvas solución de la solución general. (a) La solución general es y x 2x = C1e + C2e, como se muestra en la figura. (b) Para x = 0, y = 0, y = 1, tenemos la solución particular y x 2x = e e. (c) La gráfica de esta solución es: x 2x Copiar e e del gráfico anterior y pegar en el icono señalizado. (d) Defina y x 2x = Ae + Be, con: i) A = 1, B = 1 ii) A = 2, B = 1 iii) A = 3, B = 1

3 Para obtener las tres curvas solución de la solución general, debe utilizar la calculadora, de la siguiente manera: Identifique a qué par de constantes A y B, corresponde cada gráfico. Actividad 2: (a) Hallar, usando la calculadora, la solución general de la ecuación diferencial y y = 0. (b) Determine la solución particular, de la ecuación diferencial, dada que satisfaga las condiciones iniciales x = 0, y = 0, y = 0, y = 1. (c) Grafique esta solución particular. (d) Grafique las curvas solución, que satisfagan las condiciones iniciales x = 0, y = 0, y = 0, y K K = 3, 2, 1, 0,1, 2,3. =, con { } (a) La solución general de la ecuación diferencial y y = 0, es: x x y = Ae + Be + C

4 (b) La solución particular, de la ecuación diferencial, dada que satisfaga las condiciones iniciales x = 0, y = 0, y = 0, y = 1, es: (c) La gráfica de esta solución particular, es: (d) Si hacemos x = 0, y = 0, y = 0, y = K, obtenemos: De x x y = Ae + Be + C A+ B+ C = 0 x x y = Ae Be A B= 0 A + B= K x x y = Ae + Be La solución para estas condiciones dadas, es: El gráfico para K = { 3, 2, 1, 0,1, 2,3}, es: K yx ( ) = e + e 2 2 x x ( )

5 Actividad 3: (a) Hallar, usando la calculadora, la solución general de la ecuación diferencial (4) y + 2y 3y = 0. (b) Determine la solución particular, de la ecuación diferencial, dada que satisfaga las condiciones iniciales x = 0, y = 0, y = 0, y = 1, y (0) = 1. (c) Grafique esta solución particular. (a) La calculadora no resuelve ecuaciones diferenciales de cuarto orden, luego debemos utilizar otro procedimiento. 4 3 La ecuación característica es λ + 2λ 3= 0. La solución de esta ecuación es, aproximadamente λ = 2.260, λ = 1, λ = i, λ = i La solución general es Las raíces de la ecuación característica se obtienen, como se muestra en la figura. Debe usar formato complejo. y = Ce + C e + e ( C cos(1.091 x) + C sin(1.091 x)) x x 0.370x (b) Para determinar las constantes C 1, C 2, C 3 y C 4, ya sabemos lo tedioso que resulta derivar la solución general todas las veces que resulte necesario y luego reemplazarlas en la ecuación diferencial dada. Es mejor usar la calculadora de la siguiente manera: (i) Definir la solución general como: 2.260x x x ae + be + e ( c cos(1.091 x) + d sin(1.091 x)) f (ii) Determinar la función f, evaluada en cero. f x= 0 F (iii) Determinar la primera derivada de f, evaluada en cero. diff ( f, x) x = 0 G (iv) Determinar la segunda derivada de f, evaluada en cero. diff ( f, x,2) x = 0 H (v) Determinar la tercera derivada de f, evaluada en cero. diff ( f, x,3) x = 0 I (vi) Resolver el sistema siguiente solve F= 0, G= 0, H= 1, I= 1, abcd,,, ({ } { })

6 De aquí se obtienen, aproximadamente, los valores de las constantes de integración definidas como a, b, c y d. La solución es: y e e e x x 2.260x x 0.370x = (0.877 cos(1.091 ) 0.364sin(1.091 )). (c) El gráfico de esta solución particular, es:

7 ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ALUMNO 1. Grafique las soluciones particulares de la ecuación diferencial y + 3 y + 2y = 0, sujeta a las condiciones iniciales y ( 0) = 1, y ( 0) = C, donde C = 5, 4, 3,...,3,4,5. x 2x La solución general, es y = C1e + C2e. Para y ( 0) = 1, y ( 0) = C, tenemos: y( x) x 2x = ( C + 2) ( C + 1) e. 2. Resuelva la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden d y dy dy d y d y + 3 4y = 0, con las condiciones de que y = = 1, = = 2, para 4 dx dx dx 2 3 dx dx x = 0. Grafique la solución particular obtenida. 4 La ecuación característica es λ + 3λ 4= 0. Las raíces, aproximadas, de la ecuación característica son: λ = 1, λ = 1,743, λ = i y λ = i.

8 La solución general, es: x 1.743x 0.371x y = Ce 1 + C2e + e ( C3cos(1.469 x) + C4sin(1.469 x)) La solución particular, es: x 1.743x 0.371x y = 0.186e e + e (0.199 cos(1.469 x) 0.601sin(1.469 x)).