PREDICCIÓN NO-LINEAL DE TIPOS DE CAMBIO: ALGORITMOS GENÉTICOS, REDES NEURONALES Y FUSIÓN DE DATOS

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1 PREDICCIÓN NO-LINEAL DE TIPOS DE CAMBIO: ALGORITMOS GENÉTICOS, REDES NEURONALES Y FUSIÓN DE DATOS MARCOS ALVAREZ-DIAZ * Deparmen of Applied Economics, Universiy of Vigo Lagoas- Marcosende Vigo, Spain and ALBERTO ALVAREZ ISME-DSEA Deparmen of Elecrical Engineering, Universiy of Pisa Via Dioisalve 2,56100 Pisa, Ialy ABSTRACT I is widely proved he exisence of non-linear deerminisic srucures in he exchange raes dynamic. In his work we inend o exploi hese non-linear srucures using forecasing mehods such as Geneic Algorihm and Neural Neworks in he specific case of he Yen/$ and Briish Pound/$ exchange raes. We also employ a novel perspecive, called Daa Fusion, based on he combinaion of he obained resuls by he non-linear mehods o verify if i exiss a synergic effec which permis a predicive improvemen. The analysis is performed considering boh he poin predicion and he devaluaion or appreciaion anicipaion. Keywords: Daa Fusion, Geneic Algorihms, Neural Neworks, Exchange Raes Forecasing JEL: C14, C53, G14 * Deparameno de Economía Aplicada, Universidad de Vigo Lagoas- Marcosende s/n, Vigo. mad@uvigo.es.

2 1-. Inroducción Debido a su imporancia en la acividad económica inernacional, la anicipación de la dinámica de los ipos de cambio ha sido un objeivo recurrene en el ámbio financiero durane las úlimas décadas. Sin embargo, a pesar del esfuerzo realizado y consaado en numerosos rabajos empíricos, no se han obenido claras evidencias de predicibilidad. En la lieraura se han desarrollado varios modelos eóricos caracerizados por asumir una perspeciva lineal y esocásica 1. Se considera que la evolución emporal de los ipos de cambio puede ser explicada por una dinámica lineal perurbada por shocks exógenos, aleaorios e impredecibles. La verificación empírica de esos modelos muesra muy a menudo signos incorrecos, baja significaividad esadísica de los parámeros esimados y un escaso poder predicivo. Respeco al análisis predicivo, en la conocida compeición realizada por Meese y Rogoff (1983) se comprobó cómo la gran mayoría de los modelos mulivarianes y univarianes no eran capaces de mejorar las predicciones ou-of-sample de un simple paseo aleaorio. Ese resulado corrobora la hipóesis ampliamene asumida de eficiencia en los mercados cambiarios 2. Recienes resulados empíricos y eóricos parecen soporar la idea de la exisencia de un comporamieno deerminisa no-lineal en la evolución mosrada por los ipos de cambio (Hsieh, 1989; Brooks, 1996). La presencia de esas dinámicas nolineales podría implicar la posibilidad de exploarlas para realizar predicciones más 1 Para una revisión de la lieraura eórica y empírica sobre la predicción de ipos de cambio se recomienda la lecura del libro de Baille y McMahon (1989). 2 En su versión débil, la asunción de esa hipóesis supone la imposibilidad de predecir renabilidades fuuras en función de sus valores presenes y pasados (Fama, 1970). 2

3 precisas que aquellas oras proporcionadas por un modelo esocásico lineal y, en concreo, por el modelo referene en la lieraura: el paseo aleaorio. En ese senido, auores como Fernández-Rodríguez y Sosvilla-Rivero (1998) proveen evidencias en favor de la predicción no-lineal de los ipos de cambio. Los rabajos de Takens (1981) y Casdagli (1989), enre oros, han esablecido la meodología necesaria para la modelización no-lineal de series emporales. En concreo, el Teorema de Takens esablece que, dada una serie emporal deerminisa{ x } N, exise = 1 una función F : R m R al que x = F x, x,..., x ) (1) ( τ 2τ mτ donde τ es el facor de reardo y m la dimensión de incrusación. Por ano, el Teorema garaniza la posibilidad de anicipar la dinámica fuura de una serie emporal deerminisa considerando únicamene sus valores pasados. El problema a resolver consise en enconrar una buena represenación o aproximación funcional de F ( ). Gracias a los avances en el campo informáico se han desarrollado poenes y sofisicadas écnicas no-lineales de predicción para la aproximación funcional de F ( ), como pueden ser el méodo de ocurrencias análogas, las redes neuronales y los algorimos genéicos. La economería aplicada ha incorporado oda esa serie de écnicas para la predicción de diferenes ipos de cambio. En un primer momeno, las aproximaciones más empleadas fueron aquellas basadas en generalizaciones del méodo de ocurrencias análogas. Por ejemplo, Diebold y Nason (1990) aplicaron el méodo de regresión localmene ponderada, Bajo, Fernández y Sosvilla (1992) emplearon 3

4 predicores baricénricos y Lisi y Medio (1997) una regresión local. En los úlimos años se observa una mayor inensidad en el uso de redes neuronales (Kuan and Liu, 1995; Teni, 1996; Yao e al., 1997; Zang and Hu, 1998; Hu e al., 1999; Yao and Tan, 2000; Walzack, 2001). De forma más reciene se ha empleado programación genéica para la predicción de ipos de cambio (Álvarez-Díaz y Álvarez, 2002). Un aspeco ineresane y escasamene considerado en el ejercicio predicivo consise en exploar los efecos sinérgicos que pudieran exisir enre diferenes méodos predicivos. Esa posibilidad de análisis, denominada fusión de daos o composición de predicciones, permie obener una aproximación a la dinámica subyacene en los daos a parir de una combinación de las predicciones obenidas con méodos individuales. Se han argumenado 2 razones básicas por las cuales se recomienda el uso de la fusión de daos. En primer lugar, diferenes méodos de predicción poseen diferenes venajas y reflejan diferene información. Por ese moivo, es de esperar que una combinación de predicciones permia aprovechar las venajas de cada méodo y mejorar los resulados en érminos predicivos. En segundo lugar, la composición permie reducir los sesgos que pudieran exisir empleando sólo un méodo predicivo. A la hora de llevar a cabo un ejercicio predicivo basado en la fusión de daos, es preciso definir una forma de combinar predicciones. El procedimieno habiual consise en emplear una regresión para asignar pesos a cada una de las predicciones obenidas por cada méodo individual (Kwok and Lubecke, 1990). Recienemene, asumiendo la limiación de una perspeciva lineal, se ha empleado un méodo de combinación basado en redes neuronales (Lubecke e al., 1998). Sin embargo, la adopción de una red neuronal requiere el edioso proceso de especificar una arquiecura previa. 4

5 En ese rabajo empleamos un algorimo genéico para combinar las predicciones obenidas por 2 méodos individuales (en paricular, un algorimo genéico y una red neuronal). El objeivo perseguido se cenra en comprobar si, empleando ano los méodos considerados individualmene o en combinación, es posible aproximar con precisión la función F ( ) en el caso específico del ipo de cambio semanal del yen y la libra respeco al dólar esadounidense. El rabajo se esrucura en 5 secciones. Después de esa sección inroducoria se presenan los méodos predicivos empleados. A coninuación, en la sección 3, se comenan cieros aspecos del ejercicio predicivo a desarrollar, se describen brevemene las series y se analizan las regularidades empíricas observadas. En la sección 4 se muesran los resulados obenidos por cada méodo en érminos de predicción punual y del porcenaje de acieros de signo (ano a uno como a diferenes horizones emporales). Por úlimo se finaliza con una sección dedicada a conclusiones. 2-. Méodos No-lineales de Predicción Redes Neuronales Ese méodo no-lineal, inspirado en los esudios sobre el funcionamieno del cerebro y del sisema nervioso, ha sido empleado para resolver numerosos problemas económicos y financieros desacando, en gran medida, su aplicación en la predicción de series emporales. En la lieraura especializada se disinguen diferenes ipos de redes neuronales (Gaely, 1996), si bien la feedforward mulilayer nework con un algorimo de aprendizaje basado en la écnica backpropagaion (Rumelhar y McClelland, 1986) es la red más popular en economía y finanzas (Wong, 1995; Yao, Li and Tan, 1997). La 5

6 principal venaja de las redes neuronales consise en su elevada capacidad para deecar y exploar la no-linealidad exisene en los daos, aun en condiciones donde exisen daos incompleos o la presencia de ruido es imporane. En nuesra aplicación empírica empleamos una feedforward nework con 3 niveles cuya formulación esadísica puede ser expresada como ˆ H J Φ β 0 + βh Ψh α 0 + αhj j (2) h= 1 j= 1 = x x donde rˆ es el oupu del modelo. Las funciones Ψ ( ) y Φ( ) se denominan función de ransferencia del nivel oculo y del nivel oupu, respecivamene. La red presena J inpus (reardados de la variable x ), H unidades de proceso (neuronas) en el nivel oculo y 1 oupu. Inicialmene, los pesos α hj y β h son deerminados aleaoriamene adopando valores denro de un deerminado rango. Por medio de un proceso ieraivo de aprendizaje basado en la écnica backpropagaion, los valores de esos pesos son modificados de forma que la diferencia enre el valor real y el valor esimado (oupu de la red neuronal) sea mínimo. Ha sido demosrado por numerosos rabajos eóricos que ese ipo de red, con un único nivel oculo y con un número suficienemene elevado de unidades, es capaz de aproximar cualquier función no-lineal con un deerminado grado de precisión (Cybenko, 1989; Whie, 1990). Su empleo ha sido mayoriario en las aplicaciones empíricas sobre predicción de series financieras y, en paricular, de ipos de cambio (Hu e al., 1999). Además de la complejidad exisene en los daos, el éxio predicivo de una red depende en gran medida de la correca deerminación de su arquiecura. Por ano, es 6

7 preciso especificar de forma ópima el número de inpus (J) y el número de unidades de proceso en el nivel oculo (H) así como seleccionar la esrucura de las funciones de ransferencia ( Ψ ( ) y Φ ( ) ). Por ejemplo, un número demasiado elevado de H puede originar problemas de overfiing y, en consecuencia, una ausencia de generalización. Por oro lado, con un número insuficiene de unidades de proceso la red puede perder capacidad prediciva al no exploar plenamene la no-linealidad exisene en los daos. En la lieraura es posible enconrar reglas para definir el número de inpus y de unidades de proceso en el nivel oculo pero ninguna es perfeca ni se ha asumido de forma generalizada (Yao, Tan and Poh, 1999). Una recomendación muy común y ampliamene empleada consise en deerminar J y H por medio de un proceso de prueba y error. En nuesro rabajo asumimos esa recomendación deerminando aquellos valores que reporaban el mínimo error en un subconjuno muesral desinado exclusivamene a ese propósio (conjuno de selección). Respeco a las funciones de ransferencia, se suele definir una esrucura nolineal en el nivel oculo ( Ψ ( ) ) y lineal en el nivel oupu ( Φ ( ) ) (Qui, 1999). Nuesra propia experiencia en aneriores rabajos sobre predicción financiera nos ha llevado a considerar la función angene hiperbólica. Además, esa esrucura funcional se ha ciado como la más común en la predicción de series emporales (Chapman, 1994). Oro problema a resolver consisió en la excesiva variabilidad de los resulados ane diferenes pesos iniciales (Racine, 2000). La solución propuesa consisió en considerar ópima aquella arquiecura que opimizase el crierio de ajuse en el conjuno de selección después de operar la red con un deerminado número de modificaciones de los pesos iniciales (Hu e al, 1999). 7

8 En definiiva, siguiendo las recomendaciones exisenes en la lieraura y nuesra propia experiencia, se aplicó una feedforward backpropagaion nework con 3 layers para predecir la dinámica del ipo de cambio libra y yen respeco al dólar esadounidense. En cuano a su arquiecura, el número de inpus y de unidades de proceso fueron deerminados por un proceso de prueba y error. Por su pare, se consideró una función de ransferencia angene hiperbólica para el nivel oculo y lineal para el nivel oupu. Algorimos Genéicos De forma reciene se ha incorporado al análisis un novedoso procedimieno basado en las eorías darwinianas de selección naural y supervivencia. Esos procedimienos, denominados algorimos genéicos o evoluivos, han sido desarrollados por Holland (1975) y difundidos por Goldberg (1989) y Koza (1992). Los algorimos genéicos (AG) ya han demosrado su robusez para aproximar explíciamene la forma funcional F ( ) en el análisis no-lineal de series emporales (Szpiro, 1997; Yadavalli e al., 1999; Álvarez e al., 2001). Su inerés ha crecido inensamene en los úlimos años enre los invesigadores de múliples disciplinas incluida la economía (Koza, 1995; Szpiro, 1997; Beensock and Szpiro, 2002) y las finanzas (Neely e al., 1997; Allen and Karjalainen, 1999; Fyfe e al., 1999; Kaboudan, 2000). Un AG permie enconrar una solución ópima a parir de la evolución de una población inicial de soluciones alernaivas. Supone un proceso de búsqueda eficiene a ravés de un amplio número de posibilidades con el objeivo de hallar una expresión maemáica que, denro del espacio de posibles soluciones, mejor describa la dinámica presenada por una serie emporal. Esa écnica presena oda una serie de venajas 8

9 frene a las radicionales écnicas no-lineales de predicción. En primer lugar, a diferencia de las redes neuronales y de los méodos basados en ocurrencias análogas, los AG obienen explíciamene una ecuación maemáica como aproximación a la verdadera dinámica de la serie. Además, se presenan como un méodo predicivo más flexible que las redes neuronales ya que no requieren la cososa especificación de una arquiecura previa. En ese rabajo se ha empleado un algorimo genéico para la predicción de series emporales denominado DARWIN (Álvarez e al., 2001; Álvarez-Díaz y Álvarez, 2002)). Su funcionamieno se basa en la simulación en un ordenador del proceso evoluivo observado en la Nauraleza y que puede ser explicado por medio de una serie de pasos ieraivos. Para empezar, en el primer paso se generan de forma aleaoria una población inicial de N ecuaciones maemáicas por medio de una sencilla combinación aleaoria de operadores y operandos de la forma S j (( A B) ( C D) ) j N = 1 (3) en donde A, B, C y D son los argumenos (genes operandos) y el símbolo represena a los operadores maemáicos (genes operadores). Los argumenos considerados pueden ser números reales perenecienes a un inervalo (coeficienes de las ecuaciones) o bien valores reardados de la variable x, x,..., x ). Por su pare, los operadores ( τ 2τ mτ maemáicos ( ) empleados serán la suma (+), resa (-), muliplicación ( ) y división ( ), ese úlimo operador esará proegido para eviar cocienes enre 0 o números muy pequeños. También cabe la posibilidad de incluir oros operadores maemáicos (como 9

10 el logarimo o los rigonoméricos, por ejemplo) pero a cosa de incremenar la complejidad en el proceso de opimización funcional. Además, rabajos previos llevados a cabo con DARWIN (Álvarez e al., 2001) así como con oros AG (Szpiro, 1997; Yadavalli e al., 1999) han demosrado la posibilidad de describir dinámicas complejas por medio de expresiones maemáicas consruidas simplemene con los operadores ariméicos. En el segundo paso, una vez deerminada la población inicial, comienza el proceso evoluivo seleccionando aquellas ecuaciones que presenan una mayor foraleza según algún crierio de ajuse. Para el caso de predicción punual se ha deerminado como crierio de foraleza el Error Cuadráico Medio Normalizado definido como ECMN j 1 = Var( x) M [ x xˆ ] = m+ 1 M 2 (3) donde ECMN j es el Error Cuadráico Medio Normalizado presenado por la ecuación j- ésima ( 1 j N ), Var ( x) es la varianza de la serie emporal, xˆ el valor predicho y M el número oal de observaciones desinadas a enrenar el AG. Una generalización de esa expresión ha sido empleada como crierio de foraleza en los AG de Szpiro (1997) y Yadavalli e al. (1999). A coninuación, odas las ecuaciones de la población inicial son clasificadas en orden decreciene según su ECMN j. Las ecuaciones con valores muy elevados del ECMN son aniquiladas mienras que, por el conrario, las que poseen un valor más 10

11 pequeño ienen una mayor probabilidad de supervivencia consiuyendo la base de la siguiene generación. Las ecuaciones supervivienes al proceso de selección son empleadas para generar a los individuos de una nueva generación (proceso de reproducción). Para ello se les aplican los denominados operadores genéicos: Clonación, Cruzamieno y Muación. Con la clonación las mejores ecuaciones son copiadas exacamene a la siguiene generación. Por su pare, con el operador cruzamieno se seleccionan parejas de ecuaciones con pequeños valores de ECMN j para inercambiar pares de sus argumenos y operadores maemáicos. Por úlimo, la muación implica el reemplazamieno aleaorio de algún operador o argumeno en un porcenaje reducido de ecuaciones. En definiiva, la nueva población generada a parir de la población inicial esará consiuida por individuos clonados, muados y cruzados. A parir de ese momeno el proceso evolucionará repiiendo los pasos de selección y reproducción de forma ieraiva en busca de aquella expresión maemáica que menor ECMN presene. Después de un número deerminado de generaciones del proceso evoluivo, la ieración erminará y el AG ofrecerá explíciamene como resulado una ecuación maemáica que considera ópima para represenar la verdadera dinámica de la serie emporal 3. 3 Para nuesro problema específico de predicción, se configuró el AG de al manera que el número máximo de argumenos y operadores permiido era 20, cada generación esaba consiuida por una población máxima de 120 ecuaciones y, en cada caso, se consideró un máximo de 5000 generaciones. 11

12 Para el propósio de la fusión de daos, DARWIN fue re-programado para permiir una perspeciva de análisis mulivariane 4. Por ano, a parir de los resulados obenidos por el AG (Gˆ ) y la red neuronal ˆ ) (N para predecir una series emporal { } T se empleó DARWIN para enconrar aquella expresión maemáica ( Gˆ, Nˆ ) ˆ = H (4) x x, = 1 que permiiese una combinación ópima de las predicciones en érminos de un deerminado crierio de ajuse (por ejemplo, el ECMN). 3-. Comenarios y Regularidades Empíricas Observadas en los Daos La base de daos empleada ha sido obenida del Pacific Exchange Rae Service (Universidad de Briish Columbia) y esá consiuida por daos semanales del ipo de cambio libra y yen respeco al dólar esadounidense. La muesra finalmene seleccionada abarca un periodo comprendido enre la primera semana de 1973 hasa la úlima semana de Julio de 2002 (1542 observaciones en oal). La elección de una periodicidad semanal se jusifica para minimizar los sesgos originados por el efeco día de la semana (Lo and Mackinlay, 1988; LeBaron, 1993) y el efeco fin de semana (Zhang and Hu, 1998). Además, se asume que la periodicidad semanal coniene suficiene información como para capurar la dinámica mosrada por los ipos de cambio (Yao and Tan, 2000). Como es habiual en la mayoría de las aplicaciones empíricas, se considera para el análisis la diferencia del logarimo de los ipos de cambio r = log( y ) log( y 1) (5) 4 Al conrario de un análisis univariane, ahora DARWIN permie el buscar relaciones funcionales enre 2 o más series emporales. 12

13 donde y es el ipo de cambio objeo de análisis, log( y ) es su ransformación logarímica y r se considera su rendimieno. Esa ransformación ha llegado a ser esándar en el análisis financiero ya que permie obener una serie esacionaria, puede ser inerpreada como una renabilidad y, además, se presena como una variable de mayor inerés para los operadores financieros (Brooks, 1996). No obsane, ambién se reconoce la posible amplificación del ruido exisene en la serie (Soofi and Cao, 1999). Siguiendo las recomendaciones exisenes en la lieraura (Yao and Tan, 2000), se ha dividido la muesra disponible en 3 subconjunos: Enrenamieno, Selección y, finalmene, Ou-of-Sample. El subconjuno de enrenamieno, compueso por las 1080 primeras observaciones, esá reservado para el enrenamieno de la red neuronal y la evolución del algorimo genéico 5. El subconjuno de selección, inegrado por las 306 siguienes observaciones, permie seleccionar la dimensión de incrusación para cada uno de los méodos y, en paricular, deerminar la arquiecura de la red neuronal. Por su pare, para el subconjuno ou-of-sample se reservan las úlimas 154 observaciones. Esa úlima submuesra, que abarca aproximadamene 3 años, permiirá verificar la validez y consisencia prediciva de los méodos propuesos. Para el caso de la predicción punual, al y como recomienda Casdagli (1989), la medida de ajuse considerada fue el ECMN definido en la ecuación (3). Ese crierio para evaluar la capacidad prediciva de los méodos considerados ha sido empleado en muliud de rabajos dedicados a la predicción de series financieras (Elms, 1994; Yao, Tan and Poh, 1999; Yao and Tan, 2000; Teni, 1996). Se basa en la comparación de los 5 En el caso del AG, el conjuno de enrenamieno se reserva para su evolución ano en el caso de la predicción individual como en la fusión de predicciones. 13

14 errores del méodo no-lineal respeco a los errores que se obendrían si se considerase la media de la serie como predicor. De esa forma, un valor del ECMN mayor/igual/menor que uno implicaría una capacidad prediciva peor/igual/mejor que emplear la media como predicor. Por oro lado, para la predicción de una apreciación o depreciación de empleó como crierio el porcenaje de signos correcamene predichos. La abla 1 presena los principales esadísicos descripivos para cada una de las series. El análisis descripivo de los daos permie observar cieras regularidades empíricas comunes en la mayoría de las renabilidades financieras (Guarda and Salmon, 1993). Para empezar, la media es aproximadamene igual a cero, la función de disribución empírica es no normal presenando lepocurosis y asimería y, analizando la gráfica 1, se puede comprobar la baja correlación serial exisene. Esa úlima caracerísica indicaría una ausencia de esrucura en el nivel medio verificándose, desde una perspeciva lineal, la Hipóesis de Mercados Eficienes y, en consecuencia, la impredicibilidad de las series analizadas. Sin embargo, como apuna Hsieh (1989), las oscilaciones observadas en los ipos de cambio pueden presenar dependencias nolineales a pesar de ser linealmene incorreladas 6. En ese caso, la aplicación de méodos no-lineales podrían enconrar y exploar esrucuras poencialmene predecibles oculas para las écnicas lineales. 6 Para deecar posibles esrucuras no-lineales en nuesros daos se ha aplicado el es BDS (Brock e al., 1996) y el es de rachas. Ambos esadísicos rechazan de forma alamene significaiva la hipóesis de independencia verificando la presencia de comporamienos no-lineales en las series analizadas. 14

15 4-. Resulados Predicción Punual En ese aparado se analiza la habilidad del algorimo genéico, de la red neuronal así como de la composición de predicciones para aproximar de forma punual la evolución de los ipos de cambio objeo de análisis. Considerando la predicción a un periodo, en las gráficas 1 y 2 se presenan la sensibilidad de los méodos no-lineales ane diferenes dimensiones de incrusación (m) en érminos del ECMN obenido en el periodo de selección. Para ambas series, se verifica ciera esabilidad prediciva ane variaciones en la dimensión de incrusación. A pesar de esa esabilidad y siguiendo las recomendaciones de Casdagli (1989), se seleccionó aquel valor de m que reporó el menor ECMN en el periodo de selección. En las ablas 2 y 3 se muesran los resulados obenidos por las écnicas predicivas empleadas así como las dimensiones de incrusación finalmene seleccionadas. Para el caso Yen/$, se comprueba cómo el AG y la red neuronal presenan unos ECMN ou-of-sample similares y menores que 1 ( y para el AG y la red, respecivamene). Esos resulados parecen indicar una leve capacidad prediciva. Por su pare, con la fusión de daos se obiene un ECMN más bajo (0.9233) verificando, de esa manera, la exisencia de una ciera sinergia prediciva al combinar las predicciones de los méodos. Para la libra/$ se observan unos resulados similares empleando el AG, la red o la fusión de daos (0.919, y , respecivamene). En ese caso, la combinación de predicciones no permie una mejora respeco a los méodos individuales. Nuesros resulados a un periodo se asemejan a los obenidos por Teni (1996) cuando analizó la habilidad de una serie de recurrens neural neworks para predecir la evolución del ipo de cambio Deusche Mark/$. Además, parecen corroborar las 15

16 conclusiones obenidas por Diebold y Nason (1990). Esos auores consideraron que la presencia de esrucuras deerminisas no-lineales en la evolución de los ipos de cambio no pueden ser exploadas significaivamene en érminos predicivos. Sin embargo, planean la posibilidad de la predicción a diferenes periodos de predicción. En su aplicación empírica, los propios auores no enconraron evidencias significaivas en sus predicciones a 4, 8 y 12 periodos para 10 de los principales ipos de cambio. En la gráfica 3 y 4 se presenan los resulados obenidos considerando diferenes periodos predicivos. El empleo de los méodos propuesos para los disinos ipos de cambio permie comprobar cómo a un periodo se obienen las predicciones más precisas y, a parir de la predicción a 2 periodos, el ECMN ou-of-sample aumena y flucúa en orno a uno. En base a la meodología desarrollada por Sugihara and May (1990), ese hecho parece corroborar la presencia de una esrucura deerminisa en la dinámica de los ipos de cambios levemene predecible, aunque sólo a muy coro plazo. Porcenaje de Acieros de Signo Una aproximación complemenaria a la predicción punual consise en anicipar la dirección fuura que adopará el ipo de cambio. El objeivo no se cenra en conocer el valor exaco de la evolución en un momeno deerminado sino que se preende predecir si el ipo de cambio sufrirá una apreciación o depreciación en el fuuro. Desde un puno de visa prácico hay ciero inerés en predecir la dirección de signo anes que el valor punual de la variable ya que, en el mercado cambiario, errores predicivos muy pequeños pero en la dirección equivocada pueden originar imporanes pérdidas de capial (Teni, 1996; Lisi and Medio, 1997). En la mayoría de los rabajos empíricos se obuvieron unos porcenajes de acieros que permiían rechazar la aleaoriedad en la 16

17 dinámica de los ipos de cambio (Walzack, 2001). Sin embargo, se puede consaar las serias dificulades para superar el umbral del 60% de acieros en las predicciones a un periodo. La aplicación de los diferenes méodos propuesos al problema específico de la predicción del signo nos ha llevado a considerar como crierio de ajuse la expresión SR = M θ = m+ 1 [ r r > 0] M ˆ (6) donde SR es el raio de acieros de signo (Success Raio), r es la renabilidad observada, rˆ es la renabilidad predicha, ( ) θ es la función Heaviside ( θ ( ) = 1 si r rˆ > 0 y θ ( ) = 0 si r rˆ < 0 ) y M es el número oal de observaciones de la submuesra empleada. Además, a la hora de combinar las predicciones, esa expresión ha sido uilizada como crierio de foraleza del AG en susiución de la definida en la ecuación (3). Por ano, para el caso de la combinación de predicciones, el AG evaluará y seleccionará las ecuaciones en función de la expresión (5). Como en el caso de la predicción punual a un periodo, en las gráficas 6 y 7 se muesra la baja sensibilidad del porcenaje de acieros de signos predichos correcamene respeco a la dimensión de incrusación. Asimismo, siguiendo la misma meodología empleada con la predicción punual, se seleccionó aquel valor que reporaba el mayor porcenaje en el conjuno de selección. En las ablas 4 y 5 se presenan las dimensiones finalmene seleccionada y el porcenaje de acieros de signo obenido por cada méodo para cada uno de los ipos de cambio analizados. También se presenan los resulados derivados de la aplicación del 17

18 es no-paramérico propueso por Pesaran y Timmermann (1992). En el caso de las predicciones ou-of-sample, el es verifica si los porcenajes de acieros obenidos por los diferenes méodos difieren significaivamene de aquellos que se obendrían si r y rˆ fuesen independienes. El es, bajo la hipóesis nula de independencia, se disribuye según una Normal esandarizada. Por ano, los valores críicos con un nivel de significaividad del 1%, 5% y 10% corresponden a 2.33, y 1.282, respecivamene. Para la dinámica del ipo de cambio Yen/$, abla 4, el AG y la red neuronal obienen unos porcenajes de aciero ou-of-sample en orno al 60%. Sin embargo, no se consaa la exisencia de un efeco sinérgico cuando se combinan las predicciones alcanzadas por ambos méodos. Analizando los valores mosrados por el es de Pesaran-Timmermann, exisen argumenos esadísicos para rechazar la hipóesis de independencia enre los valores reales del ipo de cambio Yen/$ y los valores predichos por los diferenes méodos no-lineales empleados. Para el caso del ipo de cambio Libra/$, se observa una mayor habilidad prediciva ou-of-sample del AG respeco a la red neuronal (58.06% frene al 56.13%, respecivamene). Por oro lado, al conrario del caso anerior, la fusión de daos obiene un aumeno en el porcenaje de aciero (59.35%). La aplicación del es de Pesaran- Timmermann permie verificar la significaividad esadísica de las predicciones ofrecidas por los méodos. En resumen, el análisis de la capacidad prediciva ou-of-sample por medio de un AG, una red neuronal y una combinación de los resulados de ambos méodos, ha 18

19 permiido conseguir, en odos los casos y para odos los ipos de cambio esudiados, unos porcenajes de aciero de signo significaivamene superiores a aquellos que se obendría empleando un paseo aleaorio o, de forma análoga, considerando que r sigue un proceso aleaorio (porcenaje de acieros en orno al 50%). En las gráficas 8 y 9 se muesran los resulados obenidos para diferenes periodos de predicción. De ese análisis cabría esperar, a parir del segundo periodo, una flucuación del porcenaje de acieros en orno al valor del 50%. Sin embargo, como se puede comprobar, exise una elevada capacidad por pare de cieros méodos para predecir significaivamene a 4 periodos. De esa forma, para el caso del Yen/$, la fusión de daos pero, sobreodo, el AG permie alcanzar unos elevados porcenajes de aciero. Observando la gráfica correspondiene a la libra/$, se comprueba cómo esa habilidad le corresponde a la fusión de daos y a la red neuronal. Una explicación a ese hallazgo pudiera deberse a la exisencia de esrucuras esacionales no-lineales que permien anicipar el signo de la evolución de los ipos de cambio únicamene a 4 periodos. 5-. Conclusiones En ese rabajo se ha aplicado un AG y una red neuronal para predecir la evolución de los ipos de cambio Yen y libra respeco al dólar esadounidense. Asimismo, empleando de nuevo un AG, se han combinado las predicciones obenidas por ambos méodos para verificar la posible exisencia de efecos sinérgicos (fusión de daos). El análisis se llevó a cabo adopando como crierio de ajuse el ECMN en el caso de la predicción punual así como el porcenaje de acieros en la predicción de una apreciación o depreciación. 19

20 En general, los resulados obenidos no muesran grandes diferencias respeco a los ya obenidos en la lieraura sobre predicción no-lineal de ipos de cambio (Teni, 1996; Walzack, 2001). Considerando la predicción punual, se observa una débil capacidad prediciva a un periodo por pare de odos los méodos empleados. Esa capacidad se pierde cuando se realizan predicciones a un horizone emporal mayor. Respeco a la predicción de signo a un periodo, los méodos empleados obienen unos porcenajes de acieros esadísicamene disinos a los que se obendrían si las series analizadas fuesen aleaorias. Sin embargo, al y como se consaa ambién en la lieraura, los porcenajes obenidos no superan el umbral del 60%. Cuando se realizan predicciones de signo a diferenes periodos, se observa una habilidad generalizada por odos los méodos para anicipar significaivamene la dirección del signo de las series analizadas a 4 periodos. Por oro lado, con nuesro rabajo ambién se ha consaado cómo la fusión de daos sólo permie, en el mejor de los casos, pequeñas mejoras respeco a los méodos individuales, ano considerando predicción punual como de signo. En conclusión, a pesar de aplicar cada vez herramienas más sofisicadas y poenes, odavía no se ha conseguido obener grandes mejoras en la predicción de ipos de cambio. En la lieraura se han propueso varias explicaciones. En primer lugar, es posible que exisan débiles esrucuras no-lineales en los ipos de cambio que no reporan imporanes mejoras predicivas (Diebold and Nason, 1990). Ora posible explicación se basa en admiir la presencia de un componene no-lineal predecible pero odavía sería necesario una mejora en el diseño y desarrollo de las écnicas predicivas. En ese senido, Franses and Griensven (1998) consideran que una posible causa de la 20

21 pobreza prediciva observada pudiera deberse a una selección errónea de los inpus de los modelos no-lineales. En vez de uilizar reardos de la variable, sugieren la posibilidad de emplear variables basadas en el análisis écnico. Por oro lado, ambién se ha propueso el esudio y desarrollo de nuevos méodos que permian una aproximación más precisa a la verdadera pero desconocida dinámica de la serie. En ese senido, fuuras líneas de invesigación podrían cenrarse en los denominados méodos híbridos (por ejemplo, uilizar redes evoluivas (Alvarez, 2002)). Una úlima explicación, planeada por Sengos (1996), incide en la exisencia de esrucuras deerminisas predecibles en las series financieras aunque, debido a su elevada complejidad, un análisis predicivo preciso exigiría un número de observaciones exremadamene elevado. 21

22 References Allen, F. and Karjalainen, R. (1999), Using Geneic Algorihms o Find Technical Trading Rules, Journal of Financial Economics, 51, pp Álvarez A., A. Orfila y J. Tinore (2001) DARWIN- an evoluionary program for nonlinear modeling of chaoic ime series, Compuer Physics Communicaions, 136, Álvarez A. (2002) A neural nework wih evoluionary neurons, Neural Processing Leers, 16, pp Álvarez-Díaz, M. and A. Álvarez (2002) Forecasing exchange raes using geneic algorihms, Applied Economic Leers, forhcoming. Baille R. and P. McMahon (1989) The foreign exchange marke: Theory and evidence. Cambridge Universiy Press. Bajo O., F. Fernández and S. Sosvilla (1992) Chaoic Behaviour Exchange-Rae Series. Firs Resuls for he Pesea-U.S. Dollar Case, Economics Leers 39, pp Beensock M. and G. Szpiro (2002) Specificaion search in nonlinear ime-series models using geneic algorihms. Journal of Economic Dynamic and Conrol, 26, pp

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29 Table 1. Descripive Saisics EXCHANGE RATES STATISTICS Yen/$ B. Pound/$ Minimum Maximum Mean Sd. Dev skewness kurosis Figure 1. Auocorrelaions Yen/$ Exchange Rae Briish Pound/$ Exchange Rae

30 Figure 2. Selecion of he Embedding Dimension Yen/$ Exchange Rae Geneic Algorihm 1.05 Neural Nework NMSE Selecion Period NMSE Selecion Period Embedding Dimension Embedding Dimension Figure 3. Selecion of he Embedding Dimension Briish Pound/$ Exchange Rae Geneic Algorihm 1.05 Neural Nework NMSE Selecion Period NMSE Selecion Period Embedding Dimension Embedding Dimension 30

31 Table 2. Yen/$ Exchange Rae Resuls One Period Ahead. GENETIC ALGORITHM Embedding Normalized Mean Squared Error Equaion Dimension Training Selecion Ou-of-sample r 2 r = 1 ˆ r r Embedding Dimension NEURAL NETWORK Number Normalized Mean Squared Error Hidden Unis Training Selecion Ou-of-sample DATA FUSION Normalized Mean Squared Error Training Selecion Ou-ofsample rˆ = Gˆ + Equaion [ ( ) ] G Gˆ ˆ + Nˆ + Gˆ Nˆ 1.49 Nˆ where Ĝ and Nˆ are he predicions obained by he geneic algorihm and neural nework, respecively. Nˆ Tabla 4. Briish Pound/$ Exchange Rae Resuls One Period Ahead. GENETIC ALGORITHM Embedding Normalized Mean Squared Error Equaion Dimension Training Selecion Ou-of-sample r r = 2 ˆ r + 1 r 2 Embedding Dimension NEURAL NETWORK Number Normalized Mean Squared Error Hidden Unis Training Selecion Ou-of-sample DATA FUSION Normalized Mean Squared Error Equaion Training Selecion Ou-of-sample Nˆ Gˆ rˆ = Nˆ Nˆ Gˆ * where Ĝ and Nˆ are he predicions obained by he geneic algorihm and neural nework, respecively. 31

32 Figure 4. Puncual Predicion o Differen Periods: Yen/$ Exchange Rae 1.05 NMSE Ou-of-Sample Mean Geneic Algorihm Neural Nework Daa Fusion Forecas Horizon Figure 5. Puncual Predicion o Differen Periods: Briish Pound/$ Exchange Rae 1.05 NMSE Ou-of-Sample Mean Geneic Algorihm Neural Nework Daa Fusion Forecas Horizon 32

33 Figure 6. Selecion of he Embedding Dimension Yen/$ Exchange Rae. 65 Geneic Algorihm 65 Neural Nework Success Raio Selecion Period Success Raio Selecion Period Embedding Dimension Embedding Dimension Figure 7. Selecion of he Embedding Dimension Briish Pound/$ Exchange Rae. 65 Geneic Algorihm 65 Neural Nework Success Raio Selecion Period Success Raio Selecion Period Embedding Dimension Embedding Dimension 33

34 Table 4. Success Raio One Period Ahead: Yen/$ Exchange Rae GENETIC ALGORITHM Embedding Success Raio DA Dimension Training Selecion Ou-ofsample Ou-of- Equaion Sample ** 2 r ( r + ) = 1 1 r r 2 ˆ ( r r ) 9.15 r 2 1 r 2 ** Significance a he 5%. Embedding Dimension NEURAL NETWORK Number Success Raio Hidden Unis Training Selecion Ou-of-sample DA Ou-of- Sample *** *** Significance a he 1%. DATA FUSION Success Raio DA Training Selecion Ou-ofsample Ou-of- Sample Equaion ( ) ** Gˆ G N r = N ˆ ˆ ˆ ˆ Nˆ Gˆ ** Significance a he 5%. Ĝ and Nˆ are he predicions obained by he geneic algorihm and neural nework, respecively. Table 5. Success Raio One Period Ahead: Briish Pound/$ Exchange Rae GENETIC ALGORITHM Success Raio Embedding Dimension Training Selecion Ou-ofsample DA Ou-of- Sample Equaion ** r r = 1 ˆ r 1 + r 2 * Significance a he 5%. Embedding Dimension NEURAL NETWORK Number Success Raio Hidden Unis Training Selecion Ou-of-sample DA Ou-of- Sample * * Significance a he 10%. Success Raio Training Selecion Ou-ofsample DATA FUSION DA Ou of Sample Equaion * rˆ = { Gˆ Nˆ [ Nˆ ( Nˆ ) + Gˆ ]} * Significance a he 1%. Ĝ and Nˆ are he predicions obained by he geneic algorihm and neural nework, respecively. 34

35 Figure 8. Success Raio o Differen Periods: Yen/$ Exchange Rae. 60 Ou-of-Sample Success Raio Mean Geneic Algorihm Neural Nework Daa Fusion Forecas Horizon Figure 9. Success Raio o Differen Periods: Briish Pound/$ Exchange Rae Ou-of-Sample Success Raio Mean Geneic Algorihm Neural Nework Daa Fusion Forecas Horizon 35