Derivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa

Transcripción

1 Derivada de una función en un punto Las tres expresiones son equivalentes. En definitiva, la derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor de la función con respecto al incremento de la variable, cuando este tiende a cero. Atención: La derivada de una función en un punto es un número real. Interpretación geométrica de la derivada. Por tanto, la derivada de una función en un punto x 0 viene dada por la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x 0, es decir P(x 0, f(x 0 )). Si una función tiene derivada en un punto se dice que es derivable. Recta tangente a una curva. La ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = f(x) en el punto de abscisa x = x 0 viene dada por y = f(x 0 ) f ( x 0 ) Función derivada Dada una función real de variable real f: / x fx se llama función derivada de f a la función f : / x f x donde f x es el número real que se obtiene según la definición anterior. Diferencial de una función en un punto Dada la función y = f(x) se define la diferencial de f en x como Teniendo en cuenta que si y = x entonces dy = dx = 1. x = x, entonces la diferencial se puede definir como dy = f (x) dx En consecuencia, la derivada se puede considerar también como un cociente de diferenciales: f (x) Interpretación geométrica de la derivada. y = f(xh) f(x) = BQ AP =BQ BR = QR dy = f (x) x = tg PR = = RS Es decir, la diferencial viene dada por el incremento de y medido en la recta tangente (RS), mientras que el incremento de y ( es el incremento medido sobre la curva (QR). Para valores muy pequeños de, por tanto, la diferencial es una buena aproximación del incremento: Derivada de la función inversa Si f 1 es la función inversa de f entonces Puesto que si y = f 1 (x) x = f(y) la expresión anterior puede expresarse también así Página 1 de 6

2 Relación entre derivabilidad y continuidad Si f es derivable en x o f es continua en x o Es decir, todas las funciones derivables son continuas. Esta proposición es equivalente a decir que si una función no es continua en un punto tampoco es derivable en ese punto. Pero, atención, el recíproco no es cierto. Es decir, una función continua puede ser, o no, derivable. Monotonía y extremos relativos. Relación con la primera derivada f es creciente en x 0 : 0 /,, si Es decir, existe un intervalo centrado en x 0 en el que cuando las abscisas crecen (decrecen) las ordenadas crecen (decrecen) f es decreciente en x 0 : 0 /,, si Es decir, existe un intervalo centrado en x 0 en el que cuando las abscisas crecen (decrecen) las ordenadas decrecen (crecen) Si f es derivable en x o y f es creciente en x o f ( x o ) Si f es derivable en x o y f es decreciente en x o f ( x o ) El recíproco no es cierto aunque sí lo es una proposición muy parecida que nos da un criterio para identificar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente: f ( x o ) 0 f es creciente en x o f ( x o ) 0 f es decreciente en x o f tiene un máximo relativo en x 0 : 0 / si, f tiene un mínimo relativo en x 0 : 0 / si, Proposición (condición necesaria para la existencia de un máximo o mínimo relativo). Si f es derivable en x o y f tiene un máximo o un mínimo relativo en x o f ( x o ) Los puntos en los que se anula la derivada se llaman singulares o críticos. Ha de tenerse presente que esta proposición es aplicable sólo en los puntos en los que la función es derivable. Por tanto, puede haber extremos relativos en puntos en los que la derivada no es nula (pero únicamente si en esos puntos no existe derivada). Proposición (condición suficiente para la existencia de un máximo o mínimo relativo). f tiene un máximo relativo en x o f tiene un mínimo relativo en x o En realidad basta con que f sea continua en un intervalo al que pertenece x o y derivable en ese intervalo (a excepción, quizás, del mismo punto x o ). Sería el caso de una curva continua con un pico, que pasa de crecer a decrecer o viceversa. Página 2 de 6

3 Curvatura. Relación con la segunda derivada f es convexa en x 0 : 0 /, si Es decir, existe un intervalo centrado en x 0 en el que la imagen de cualquier punto en la función es menor que la imagen en la recta tangente en ese punto. Por tanto la curva está por encima de la recta tangente alrededor del punto. f es cóncava en x 0 : 0 /, si Es decir, existe un intervalo centrado en x 0 en el que la imagen de cualquier punto en la función es mayor que la imagen en la recta tangente en ese punto. Por tanto la curva está por debajo de la recta tangente alrededor del punto. Nota: Para algunos autores las definiciones de cóncava y convexa son al contrario de las aquí expuestas. f tiene un punto de inflexión en x 0 si a un lado del punto es cóncava y al otro convexa. Si f ( x 0 ) y f es convexa en x 0 es creciente en x 0 f ( x o ) Si f ( x 0 ) y f es cóncava en x 0 es decreciente en x 0 f ( x o ) Si f ( x 0 ) y f tiene un punto de inflexión en x 0 f ( x o ) Aunque tampoco aquí el recíproco es cierto, sí lo es una proposición muy parecida que nos da un criterio para identificar los intervalos en los que una función es cóncava o convexa. f ( x o ) 0 f es convexa en x o f ( x o ) 0 f es cóncava en x o f ( x o ) = 0 y f ( x o ) 0 f tiene un punto de inflexión en x o Extremos relativos. Relación con la primera y segunda derivada Aunque para demostrarla se necesitan los teoremas que se citan a continuación, se incluye ahora una proposición que nos da una condición suficiente para la existencia de extremos relativos. f ( x o ) y f ( x o ) 0 f tiene un mínimo relativo en x o f ( x o ) y f ( x o ) 0 f tiene un máximo relativo en x o Derivabilidad. Dos teoremas importantes Teorema de Rolle. es continua en, es derivable en,, / Interpretación geométrica. Para unir el punto A(a,f(a)) con el punto B(b,f(b)) con una curva sin saltos (continua) necesariamente ha de haber un punto en el que la recta tangente es paralela al eje OX, por tanto, con derivada nula. A B Página 3 de 6

4 Teorema del valor medio. es continua en,, / es derivable en, Interpretación geométrica. Para unir el punto A(a,f(a)) con el punto B(b,f(b)) con una curva sin saltos (continua) necesariamente ha de haber un punto en el que la recta tangente es paralela a la recta AB, por tanto, con las mismas tangentes trigonométricas. Como verás, si f(a) = f(b) este teorema se convierte en el teorema de Rolle, por lo que no es más que una generalización de aquel. A A B B Análisis de la monotonía y extremos de una función mediante la primera derivada Basándonos en todo los expuesto anteriormente podemos enunciar los pasos que seguir para el estudio del crecimiento o decrecimiento y extremos relativos de una función derivable y = f(x) 1. Hallar los puntos críticos, para lo que es necesario: a. Encontrar las raíces de la ecuación f (x) = 0 b. Determinar los puntos de discontinuidad de la función derivada f 2. Estudiar el signo de la derivada en los intervalos que definen los puntos críticos. Para ello basta con estudiar el signo de un punto cualquiera en cada intervalo. Veamos porqué: Supongamos que x 1 y x 2 son dos puntos críticos consecutivos. Si hubiese dos valores a y b entre x 1 y x 2 en los cuales f cambiase de signo, p.e. de negativo a positivo, entonces habría un máximo relativo en un punto c entre a y b y, por tanto, un punto c entre x 1 y x 2 en el cual f (c) = 0. Pero esto no es posible puesto que entre x 1 y x 2 no hay ningún otro punto crítico. 3. De este modo, llegamos al siguiente esquema: Signo de f (x 1 ) al pasar por x 1 Naturaleza del punto x < x 1 x = x 1 x > x 1 crítico f (x 1 ) = 0 ó máximo f (x 1 ) = 0 ó mínimo f (x 1 ) = 0 ó no hay extremo f (x 1 ) = 0 ó (función creciente) no hay extremo (función decreciente) Análisis de los extremos relativos de una función mediante la segunda derivada 1. Encontrar las raíces de la ecuación f (x) = 0 2. Estudiar el signo de f en los puntos encontrados en el apartado anterior. El resultado de los análisis para cada raíz x 1 puede resumirse en esta tabla: f (x 1 ) f (x 1 ) Naturaleza del punto crítico 0 máximo 0 mínimo 0 0 El criterio no decide. Hay que efectuar el estudio usando el método anterior Página 4 de 6

5 Derivadas para el cálculo de límites Regla de L Hôpital., derivables en, Ampliación de la regla de L Hôpital., derivables en, El teorema también es válido cuando ó En definitiva, la regla de L Hôpital permite resolver indeterminaciones de tipo ó Haciendo los cambios oportunos también permite resolver indeterminaciones de tipo 0, 0 0, 0, 1, Optimización de funciones En los problemas de optimización es fundamental plantear bien la función que se quiere optimizar. Ha de tenerse en cuenta también que buscamos máximos o mínimos absolutos, no relativos. En general, estos son los pasos que se deben seguir. 1. Expresar analíticamente la función que se quiere optimizar dependiendo de una variable. Si esta depende de 2 variables, habrá que buscar la relación que las ligue y despejar una en función de otra para obtener una función de una sola variable f(x). Muchas veces será de ayuda un dibujo. 2. Definir el dominio de la función según las condiciones del problema. Supongamos que es [a, b] 3. Si f(x) es derivable en [a, b] los máximos y mínimos absolutos están entre los puntos singulares y los extremos del intervalo. Para hallarlos se sigue uno de estos dos procedimientos: Ia. Se resuelve la ecuación f (x) = 0 Ib. Se seleccionan las raíces x 1, x 2, x 3, que están entre a y b. Ic. Se calcula f(a), f(x 1 ), f( x 2 ), f( x 3 ), y f(b) O bien IIa. Se buscan los extremos relativos que estén entre a y b tal y como se expuso más arriba. IIb. Se calcula f(a), f(b) y la imagen de los puntos obtenidos en el apartado a. 4. Si hay algún punto de [a, b] en el que la función no sea derivable, aunque sí continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo. 5. Si f no es continua en algún punto x 0 de [a, b], estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x 0, para ello calcularemos los límites laterales en x 0. El mayor de los valores calculados en 3.Ic ó 3.IIb, 4 y 5 corresponde al máximo y el menor al mínimo. Ejemplo Disponemos de 100 metros de valla metálica con la que se pretende rodear una finca de forma rectangular. Calcula las dimensiones que debe tener para que encierre la máxima área posible teniendo en cuenta que se ha de dejar una abertura de 5 m para la puerta. 1. Queremos maximizar el área, así que la función en la que tenemos interés es A(x) = x. Como hay dos variables buscamos la relación entre ellas: 2x y (y 5) = 100 2x 2y = 105 y = x 52 5 Por tanto, A(x) = x = x x es una función siempre derivable y Página 5 de 6 x

6 2. Teniendo en cuenta que x y = 52 5 e y 0 < x Por tanto el dominio de definición es el intervalo (0, 47 5] 3. A (x) = 2x 52 5 = 0 x = Este es el único punto crítico; es decir, posible extremo relativo y está dentro del dominio de definición. Estudiemos el signo de A (0, 26 25) (26 25, 52 5) Signo de A A (26 25) = 0 Monotonía crece máximo decrece También se podría analizar los extremos relativos haciendo A (x) = 2 A (26 25) < 0 A tiene un máximo relativo en Teniendo en cuenta que A(26 25) = y A(47 5) = Entonces la función A tiene un máximo absoluto en el punto de abscisa x = m Entonces y= = m No hay puntos en los que A(x) no sea derivable o no sea continua así que no hay más puntos en estudio. Por tanto, el área máxima se alcanza en x = y viene dada por A(26 25)= m 2 Página 6 de 6